高中物理竞赛题(1)

带空气阻力的抛体运动

（直线运动叠加法求解有阻力抛体）

一、题目

如图所示，质量为 m 的小球自 A 点以水平速度 v₀ 抛出，在重力和空气阻力作用下，经一段时间后落在地面上 B 点，将达 B 点时的速度为 v₀′，其方向与水平方向成 θ 角。小球在运动中受到的空气阻力为：

f = −kv

其中 k 为正的常量，v 为小球在运动中的速度。试求：

1）v₀′ 的大小；

2）A、B 两点间水平距离 S。

二、分析与解答

1）求 v₀′ 的大小

如图(b)所示，把 v₀ 分解成两个分速度：

v₀ = V₀ + V₁①

使 V₀ 满足：

kV₀ = mg②

这样，这个分速度方向（竖直向下）将作匀速运动。而 V₁ 与水平方向夹角 α 满足：

tan α = V₀/v₀ = mg/(kv₀)③

V₁ 的大小为：

V₁ = v₀ / cos α④

又：

V₀ = v₀ tan α⑤

初始时空气阻力改写为：

f₀ = −kv₀ = −k(V₀ + V₁) = −mg − kV₁

即，V₀ 方向的空气阻力正好与重力相消，小球在竖直方向作匀速运动。V₁ 方向受到的阻力，使 V₁ 方向的运动成为变减速直线运动，阻力写成：

f₁ = −kv₁⑥

其中 v₁ 为 V₁ 方向运动中的速度，与水平方向始终成 α 角。

在图(b)中，考察 B 点处的速度 v₀′，它被分解成两个分速度：

v₀′ = V₀ + V₂

其中 V₀ 是不变的竖直向下分速度，V₂ 方向与 V₁ 方向相同。利用正弦定理，有：

v₀′/sin(π/2 − α) = V₂/sin(π/2 − θ) = V₀/sin(α + θ)⑦

解得：

v₀′ = V₀ sin(π/2 − α)/sin(α + θ) = v₀ sin α / sin(α + θ)⑧

其中：

α = arctan(mg / kv₀)⑨

2）求 A、B 两点间水平距离 S

小球自 A 经曲线抵达 B 的运动，可看作小球自 A 到 B₁ 和 B₁ 到 B 的两个直线运动的叠加，如图(c)所示。

小球从 A 到 B₁ 的直线运动，速度大小由 V₁ 减小至 V₂，设通过的路程为 L。由于是变减速直线运动，我们把整段运动分成无限多个小过程处理。

设过程中任一无限小时间段 Δt 内，对应的速度大小为 v₁，受到空气阻力的大小为 f₁，则小冲量：

f₁Δt = kv₁Δt = kΔL

应用动量定理：

−f₁Δt = mΔv₁

则：

−kΔL = mΔv₁

对全部时间段（A 到 B₁）求和，得：

kL = −ΣmΔv₁ = m(V₁ − V₂)，　即　L = (m/k)(V₁ − V₂)⑩

利用式④和式⑦，即：

V₁ = v₀/cos α，　V₂ = V₀ cos θ / sin(α + θ) = v₀ cos θ tan α / sin(α + θ)

代入式⑩，得：

L = (mv₀/k) · sin θ / sin(α + θ)

由图(c)，解得 A、B 两点的水平距离：

S = L cos α = (mv₀/k) · cos α sin θ / sin(α + θ)

其中：

α = arctan(mg / kv₀)

三、方法要点归纳

1. 速度分解技巧：将初速度 v₀ 分解为 V₀（满足 kV₀ = mg，使竖直方向阻力与重力相消、作匀速运动）与 V₁（受阻力作变减速运动），从而把曲线运动化为两个直线运动。

2. 对称性运用：落地点速度 v₀′ 的分解与初速度对称处理（V₀ + V₂），借助正弦定理建立各分速度与角度 θ、α 的关系。

3. 微元法 + 动量定理：对变减速直线运动取无限小元段，f₁Δt = kΔL，累积求和得 kL = m(V₁ − V₂)，避免直接积分。

4. 最终答案：S = (mv₀/k)·cos α·sin θ/sin(α + θ)，其中 α = arctan(mg/kv₀)。