拓扑学 期中试卷

期中考试

题目一（30分）拓扑空间

考虑一个赋范线性空间 以及其一个线性子空间 。

（10分）证明如果 ，那么 的内部是空的。

（10分）证明如果 为 的一个超平面（即 ），那么 要么是闭集，要么 在 中稠密。

（10分）证明如果 为闭子空间且 ，那么 也是闭子空间。

题目二（30分）连通性与道路连通性

假设 是一个拓扑空间， 为其中一个子集。

（10分）假设 为连通的。证明对于任意集合 ，如果 ，那么 也是连通的。

（15分）假设 为赋范线性空间且 为凸集。证明对于任意集合 ，如果 ，那么 也是道路连通的。

（5分）如果去掉上一小问中的凸性假设，上一小问的结论还成立么（仅需给出关键想法，不需要详细证明步骤）？

题目三（20分）紧致性

考虑 以及其自然拓扑。考虑一个不属于 $\mathbb{C} $ 的点 ，并记 。

在 上定义一个拓扑如下：考虑 。如果 ，则称 为开集如果 是 自然拓扑下的开集；如果 ，则称 为开集如果 在 中的补集是 自然拓扑下的紧集。

（5分）证明上面的定义的确构成了一个拓扑。

（10分）证明上面的拓扑是紧致的。

（5分）用同样的方法考虑 ，并证明其同胚于单位圆周 。

这个步骤称为 Alexandrov 紧致化； 被称为黎曼球面。

题目四（20分）实数域与复数域上的拓扑

下面三小题没有关系。

（10分）证明一个 上的开集一定能写成至多可数个两两不交开区间的并。

（5分）考虑一个非常值复多项式 。证明，任意一个 中的开集 关于 的像 也是开的。

（5分）证明 不能写成恰好可数个两两不交非空闭集合的并。