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上次我们学习了数列极限的ε-N定义，今天要聊的是收敛数列的性质。收敛数列有哪些重要性质呢？
教材给出了四个定理，分别是：极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性，以及收敛数列与其子数列的关系。这四个定理从不同侧面刻画了收敛数列的特征。
先看定理1——极限的唯一性：如果数列大括号xn收敛，那么它的极限唯一。也就是说，一个收敛数列不可能同时趋于两个不同的值。
这个结论听起来很自然，但怎么严格证明呢？
用反证法。假设数列同时趋于a和b，且a小于b。取ε等于2分之b减a。因为xn趋于a，所以存在正整数N1，当n大于N1时，xn减a的绝对值小于2分之b减a，由此推出xn小于2分之a加b。同理，因为xn趋于b，所以存在正整数N2，当n大于N2时，xn减b的绝对值小于2分之b减a，由此推出xn大于2分之a加b。取N等于N1和N2中较大的那个，当n大于N时，两个不等式同时成立——但这要求xn既小于2分之a加b，又大于2分之a加b，这是不可能的！矛盾出现，所以极限必须唯一。
精彩！核心逻辑就是：假设两个极限存在，就能推出xn同时大于和小于同一个数，这就自相矛盾了。
有了唯一性定理，就可以证明某些数列是发散的。例4，证明数列xn等于负1的n加1次方是发散的。
这个数列就是1、负1、1、负1、……，一直在1和负1之间跳来跳去。
没错。用反证法：假设它收敛，根据定理1，极限唯一，设为a。按极限定义，取ε等于2分之1，存在正整数N，当n大于N时，xn减a的绝对值小于2分之1，也就是xn都落在开区间"a减2分之1到a加2分之1"内。但这是不可能的！因为xn无休止地重复取1和负1，而1和负1不可能同时属于长度为1的开区间。所以这个数列发散。
妙啊！用唯一性定理加上极限的定义，几步就推出了矛盾。
在讲定理2之前，先介绍数列有界性的概念。对于数列大括号xn，如果存在正数M，使得对于一切xn都满足"xn的绝对值小于等于M"，那么称数列大括号xn是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列大括号xn是无界的。
能举个例子吗？
数列xn等于n加1分之n是有界的，因为可取M等于1，使n加1分之n的绝对值小于等于1对一切正整数n都成立。而数列xn等于2的n次方是无界的，因为当n无限增加时，2的n次方可超过任何正数。
几何上，有界数列的所有点都落在某个闭区间负M到M上。
定理2——收敛数列的有界性：如果数列大括号xn收敛，那么数列大括号xn一定有界。
收敛就一定有界？怎么证？
设xn的极限为a。根据极限定义，取ε等于1，存在正整数N，当n大于N时，xn减a的绝对值小于1。于是当n大于N时，xn的绝对值等于"xn减a加a"的绝对值，小于等于xn减a的绝对值加a的绝对值，小于1加a的绝对值。也就是说，第N项之后的所有项，绝对值都不超过"1加a的绝对值"。那前N项呢？它们是有限个数，总有最大值。取M等于"x1的绝对值、x2的绝对值、……、xN的绝对值、1加a的绝对值"中的最大值，那么数列中的一切xn都满足xn的绝对值小于等于M。证毕。
证明分了两步：后面的项用极限控制，前面的项用有限个数的最大值控制，然后取两者的最大值。
对。但要注意反过来——有界不一定收敛！比如数列1、负1、1、负1、……是有界的，但例4已经证明了它是发散的。所以，有界是收敛的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，收敛→有界，但有界↛收敛。而无界→一定发散。
定理3——收敛数列的保号性：如果xn的极限等于a，且a大于0，那么存在正整数N，当n大于N时，都有xn大于0。如果a小于0，则从某项起xn都小于0。
极限为正，后面的项就都是正的；极限为负，后面的项就都是负的。怎么证明？
就a大于0的情形证明。由极限定义，取ε等于2分之a——注意a大于0，所以2分之a也是正的——存在正整数N，当n大于N时，xn减a的绝对值小于2分之a，从而xn大于a减2分之a，等于2分之a，大于0。证毕。
关键是取ε等于2分之a，这样xn就被"挤"在a的正半边，不会跑到0或负数那边去。
说得对。保号性还有一个重要的推论：如果数列大括号xn从某项起有xn大于等于0，且极限为a，那么a大于等于0。
也就是说，非负数列的极限也是非负的？
正是。证明也用反证法：假设a小于0，由保号性，从某项起xn小于0，与已知xn大于等于0矛盾。所以a大于等于0。
同理，非正数列的极限也是非正的。
最后介绍子数列的概念。在数列大括号xn中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列，也叫子列。
能具体说明吗？
比如，第一次抽取xn1，第二次在xn1之后抽取xn2，第三次在xn2之后抽取xn3，……，这样无休止地抽取下去，得到数列xn1、xn2、……、xnk、……，大括号xnk就是原数列的一个子数列。注意，xnk是子数列的第k项，但在原数列中却是第nk项，显然nk大于等于k。
定理4——如果数列大括号xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
原数列趋于a，所有子数列也趋于a，这直觉上很合理。
证明也很简洁。由于xn趋于a，所以∀ε大于0，存在正整数N，当n大于N时，xn减a的绝对值小于ε。取K等于N，当k大于K时，nk大于等于nN大于等于N，于是xnk减a的绝对值小于ε。这就证明了xnk趋于a。
关键是nk大于等于k，所以k足够大时，nk也足够大，自然满足原数列的极限条件。
定理4还有一个重要应用：如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么原数列发散。比如例4中，数列负1的n加1次方的奇数项子数列收敛于1，偶数项子数列收敛于负1，两个子数列极限不同，所以原数列发散。
这比直接用定义证明更简洁！同时这也说明，一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
四个定理都讲完了，来梳理一下。
定理1，极限唯一性——收敛数列不可能同时趋于两个不同的值，用反证法证明。定理2，收敛数列有界——收敛→有界，但有界↛收敛；无界则一定发散。定理3，保号性——极限为正则后面的项为正，极限为负则后面的项为负；推论：非负数列的极限非负，非正数列的极限非正。定理4，子数列关系——原数列收敛于a，则所有子数列也收敛于a；两个子数列极限不同，则原数列发散。
这四个定理从不同角度刻画了收敛数列的特征。唯一性说极限只能有一个，有界性说收敛的数列跑不出框，保号性说极限的符号会传递给后面的项，子数列关系说收敛性会在所有"子集"上保持一致。
归纳得非常精彩！这四个定理是后续讨论极限运算和极限存在准则的基础，大家一定要牢牢掌握。
感谢收听，我们下次再见！
再见！
