夜雨聆风习题9.4.1证明：正交（酉）变换的积仍是正交（酉）变换，正交（酉）变换的逆也是正交（酉）变换．正交（酉）矩阵的积仍是正交（酉）矩阵，正交（酉）矩阵的逆仍是正交（酉）矩阵．
证明：
1. 正交（酉）变换的乘积性质
设 是两个正交（酉）变换，则它们非异且 ，于是 也非异且因此，正交（酉）变换的积是正交（酉）变换。
2. 正交（酉）变换的逆变换性质
注意到 故正交（酉）变换的逆是正交（酉）变换。
3. 矩阵层面的对应结论
因为正交（酉）变换在一组标准正交基下的表示矩阵为正交（酉）矩阵，故由线性变换与表示矩阵之间的一一对应关系可得：
正交（酉）矩阵的积是正交（酉）矩阵。 正交（酉）矩阵的逆是正交（酉）矩阵。
正交（酉）变换与矩阵性质的详细推导
步骤1：分析“正交（酉）变换非异且 的依据
目的：明确正交（酉）变换的核心性质（非异性、伴随变换与逆变换的关系）。
依据：
「正交（酉）变换的定义」欧氏空间中，线性变换 是正交变换 ⇨ 对任意向量 ，保持内积不变，即 酉空间中，线性变换 是酉变换 ⇨ 对任意向量 ，保持内积不变，即 （内积符号依空间类型区分）。
「非异线性变换的判定」保持内积的线性变换是非异（单射且满射）。证明：若 ，故 （单射）；有限维空间中，单射必满射（维数公式 ，因此非异。
「伴随变换的定义与性质」线性变换的伴随变换满足,,（内积的“伴随交换性”）。结合正交（酉）变换的“内积保持性”，令，则
由于
步骤2：推导“非异”的依据
目的：证明两个非异变换的乘积仍非异。
依据：「非异线性变换的乘积性质」若
步骤3：推导“”的依据
目的：证明伴随变换对乘积的“逆序分配律”。
依据：「伴随变换的运算性质」对任意线性变换 ，有 。证明：利用内积的双线性性与伴随变换定义， ,
对比伴随变换定义
步骤4：推导“”的依据
目的：将伴随变换替换为逆变换（利用步骤1的结论）。
依据：步骤1中已证“正交（酉）变换的伴随变换是其逆变换”，即 ，直接代入步骤3的结论即可。
步骤5：推导“”的依据
目的：证明逆变换对乘积的“逆序律”。
依据：「逆变换的乘法性质」若线性变换 均可逆，则 。证明：验证 且 ，由逆变换的唯一性得 。
步骤6：结论“正交（酉）变换的积是正交（酉）变换”的依据
目的：整合“非异性”与“伴随变换是逆变换”，完成正交（酉）变换的定义验证。
依据：「正交（酉）变换的定义」正交（酉）变换需满足非异且伴随变换是自身的逆（即 。步骤2已证 非异，步骤5已证 ，因此 是正交（酉）变换。
步骤7：推导“的依据
目的：证明逆变换的正交（酉）性（即逆变换的伴随变换是其自身的逆）。
依据：
「伴随变换与逆变换的关系」对任意线性变换，有=。证明：对两边取伴随，得=，同理，故。
结合步骤1中“正交（酉）变换的伴随变换是其逆”，即 ，代入得 = ，因此 ，满足正交（酉）变换的定义（伴随是逆）。
步骤8：结论“正交（酉）矩阵的积是正交（酉）矩阵，正交（酉）矩阵的逆是正交（酉）矩阵”的依据
目的：将线性变换的性质转化为矩阵的性质（通过“标准正交基下的矩阵表示”桥梁）。
依据：
「线性变换与矩阵的一一对应关系」在固定基下，线性变换的和、积、逆分别对应矩阵的和、积、逆（矩阵运算与线性变换运算的同态性）。
「正交（酉）变换的矩阵表示」欧氏空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵（满足 ；酉空间中，酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵（满足 ，表示共轭转置）。因此，线性变换的“积是正交（酉）变换”对应矩阵的“积是正交（酉）矩阵”；线性变换的“逆是正交（酉）变换”对应矩阵的“逆是正交（酉）矩阵”。
总结
每一步推导均严格依赖正交/酉变换的定义、非异线性变换的性质、伴随变换的运算规则及线性变换与矩阵的对应关系等核心概念。
