夜雨聆风曲面积分习题选讲
一、曲面积分的计算
1. 基本方法
曲面积分的分类与转化：
第一类曲面积分的计算：
若曲面 ，，则：
第二类曲面积分的计算：
若曲面 ，取上侧，则：
若取下侧，则加负号。
2. 基本技巧
(1) 利用曲面方程和对称性
曲面方程简化：若 是球面 ，则在 上：
可用此关系简化被积函数
对称性：
(2) 利用高斯公式
高斯公式：
其中 是闭曲面，取外侧， 是 围成的区域。
注意使用条件：
必须是闭曲面 在 内有连续偏导数
添加辅助面的技巧：
当 不是闭曲面时，添加辅助面 使其成为闭曲面：
辅助面的选择：一般取平行于坐标面的平面
(3) 两类曲面积分的转化
其中 是曲面 的法向量的方向余弦。
二、典型例题
例1：第一类曲面积分
题目：计算 ，其中 是锥面 被平面 截下的部分。
解：
曲面 ，
投影区域
计算偏导数：
化为二重积分：
用极坐标计算：
例2：利用对称性
题目：计算 ，其中 是球面 。
解：
利用对称性：
球面 关于三个坐标面都对称。
关于 面是奇函数，所以 关于 面是奇函数，所以 关于 面是奇函数，所以
因此：
例3：第二类曲面积分（投影法）
题目：计算 ，其中 是球面 的外侧。
解：
利用对称性：由对称性知三个积分相等，只需计算一个再乘3。
**计算 **：
将 分为上半球面 （取上侧）和下半球面 （取下侧）：
投影区域
用极坐标计算：
最终结果：
例4：添加辅助面使用高斯公式
题目：计算 ，其中 是锥面 被平面 截下部分的下侧。
解：
添加辅助面：
取 ，，取上侧，使 成为闭曲面（外侧）。
注意： 取的是下侧，对于闭曲面外侧， 应该是下侧， 应该是上侧，这样组合才是锥体的外侧边界。
用高斯公式：
其中 是锥体体积：
所以：
计算辅助面上的积分：
在 上，， 的积分：
由于 取上侧，，，所以：
最终结果：
例5：球面上的曲面积分
题目：计算曲面积分 ，其中 是球面 （）。
解：
化简曲面方程：
这是以 为球心， 为半径的球面。
利用曲面方程简化被积函数：
在 上：
所以：
**计算 **：
球面的质心在 ，所以
球面面积
由质心公式：
最终结果：
三、高斯公式、斯托克斯公式的应用
1. 高斯公式的应用
基本思路：
例6：高斯公式的应用
题目：计算 ，其中 是球面 的外侧。
解：
用高斯公式：
转化为三重积分：
用球坐标计算：
2. 斯托克斯公式的应用
斯托克斯公式：
其中 是 的边界曲线，方向符合右手法则。
行列式形式：
例7：斯托克斯公式的应用
题目：设 是平面 与柱面 的交线，从 轴正向看去， 为逆时针方向，计算
解：
用斯托克斯公式：
计算各偏导数：
**曲面 **：平面 上被柱面 截下的部分。
法向量：平面 的法向量 ，单位法向量：
所以
转化为第一类曲面积分：
在 上：，所以：
**计算面积 **：
投影区域 是边长为 的正方形，面积
最终结果：
四、解题技巧总结
1. 积分类型选择
2. 常用辅助面
3. 对称性判断
第一类曲面积分：
曲面关于某坐标面对称 被积函数关于相应变量的奇偶性
第二类曲面积分：
注意积分元素（如 ）本身的对称性 法向量方向的影响