夜雨聆风
栏目：蓝天悟理 · 真题可视化解析
适用：高三一轮复习 · 动量与能量 · 弹性碰撞
难度：★★★★☆
关键词 : 机械能守恒 弹性正碰 动量守恒 冲量 临界条件分类讨论
2026年湖北卷第15题，是一道"力学压轴题教科书"式的好题。
光滑轨道、弹性碰撞、斜面往返、临界分类——四个要素完美覆盖了动量与能量板块的四大核心能力：机械能守恒的单过程求解、弹性正碰的双守恒联立、动量定理的直接应用，以及最考验逻辑缜密度的多情形临界分析。
这道题的"重头戏"在第（3）问——四种临界情形环环相扣，最终答案竟是一个分段区间。能做对前两问不算本事，能把第（3）问的四种情形全部理清，才算真正掌握了弹性碰撞与运动学分析的"完全体"。
下面我们逐问拆解，把每一层物理图像还原到位。（为方便观察，仿真过程中，未将两物块视为质点，故碰撞发生在两物体接触时，而非两物体中心重叠时）
一、原题呈现
15． 在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为 30° 的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为 A、B。质量为 m 的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高 h 处、质量为 km 的小物块乙静止在水平轨道上，乙到 A、B 两点的距离均为 h。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为 g，不计空气阻力。
（1）求甲第一次到达 点时的速度大小。
（2）求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。
（3）若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求 满足的关系式（不求具体数值）。
二、考点速览
核心方法：把"动量守恒"和"动能守恒"两个方程联立求解碰撞后速度，是处理弹性正碰的"万能钥匙"；分类讨论的关键是抓住"碰撞前是否还停留在水平段"以及"碰撞前的速度方向"两个判断条件。
三、思路总览（先画"运动—时间"图）
为把多段过程看得更清楚，我们把甲、乙的位置与速度沿时间轴展开。本题大致包含以下几个阶段：
下面分问拆解。
四、分问详解
第（1）问：甲第一次到达 A 点的速度
分析：甲从左侧斜面高 h 处释放，沿光滑轨道下滑到 A 点过程中，只有重力做功，机械能守恒。
设：甲到达 A 点时速度为 （方向水平向右）。
列式：
解得：
物理意义：与物块质量无关，只取决于下落高度 h；这正是机械能守恒最直接的体现。
第（2）问：第一次碰撞中乙所受合外力的冲量
分析：水平轨道光滑，甲乙发生弹性正碰，碰撞过程中动量守恒、动能守恒。设碰后甲的速度为 ，乙的速度为 （取向右为正方向）。
列式（动量守恒 + 动能守恒）：
联立求解（弹性正碰的经典结论）：
求乙的冲量：乙初始动量为 0，碰后动量为 。由动量定理，合外力冲量大小为
代入 ，得
理解提示：冲量是矢量。本题只问"大小"，故取正值；若问方向，则水平向右。计算冲量时直接用动量变化量，比单独去求碰撞力再乘时间简便得多——这正是动量定理在碰撞问题中的常用套路。
第（3）问：第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道——求 k 的取值
这是本题的核心难点。 让我们按"碰后甲的速度方向"分四种情形讨论。
步骤一：把第一问的结论摆出来
碰后甲、乙的速度分别为
注意方向（取向右为正方向）：
当 时，（甲仍向右），且 （甲比乙慢）；
当 时，（甲停下），（乙获得全部动量）；
当 时，（甲反弹向左）， <（甲反弹速度小于乙前进速度）；
当 时，（甲几乎反弹），（乙几乎不动）。
步骤二：第一次碰撞点的位置
乙初始位于 A、B 中点（距 A、B 各 h）。甲从左侧斜面到达 A 后，还要在水平段上走过距离 h 才会撞上乙——所以第一次碰撞点为 C，即 A、B 中点。
碰后甲、乙都从 C 点出发。设向右为正方向。
步骤三：四种临界情形
为统一符号，记 。
情形 ① ：甲、乙同向右，乙更快
物理图像：碰后甲以 匀速向右，乙以 匀速向右，且 。乙先到达 B，滑上右侧斜面又折返回到 B，此时甲恰好到达 B——第二次碰撞在 B 点发生。
临界几何关系（甲从 C 走到 B 的时间 = 乙从 C 走到 B 的时间 + 乙的斜面往返时间）：
代入 化简（过程略，参见附录），最终得到
数值解为 。按官方近似记为 0.81。
结果：
情形 ② ：碰后甲立即停下
物理图像：碰后 ，甲静止在 C 点；乙以 向右出发，先到 B 滑上斜面又折返，返回 C 处撞静止的甲——只有乙滑上过斜面，满足题意。
结果：
情形 ③ ：甲反弹向左，但反弹速度较小
物理图像：碰后甲以 向左走到 A，再滑上左侧斜面又折返；同时乙以 向右走到 B。要求"只有甲滑上斜面"，必须甲的斜面往返在乙到达 B 之前完成。
临界几何关系（甲从 C 走到 A 的时间 + 乙的斜面往返时间 = 乙从 C 走到 B 的时间）：
代入 化简（过程略），数值解为 。
结果：
情形 ④ ：甲反弹极快
物理图像：碰后甲以极大的 向左，几乎瞬间到达 A 并折返；乙还未到 B 时甲已经折返并追上乙。只有甲滑上斜面，满足题意。
临界几何关系（甲在乙到达 B 之前就已经"折返追上乙"）：
代入 化简，数值解为 。
结果：
步骤四：合并结果
| k | ||
|---|---|---|
合并：
"讨论题的分类口诀" ：先看 的正负（甲反弹/不反弹），再看 的大小（谁追谁—— 时乙追甲， 时甲追乙），最后列出临界方程——这种"二分法"是处理多过程临界问题的标准流程。
五、关键方法与易错点
1. 弹性正碰的"双守恒联立"
弹性正碰的"万能公式"（初始静止靶）：
这是动量守恒 + 动能守恒联立后对初始静止靶的简化结果。直接套用能省 5 分钟推导。
2. 冲量 = 动量变化量
第（2）问求冲量，许多同学会想"先求碰撞力再乘时间"——这在弹性碰撞中根本不可行（碰撞力是变力，作用时间极短且未知）。
正确做法：直接用动量定理：
注意初动量如果是 0，表达式就更简洁。
3. 临界分析的"四步走"
本题特别提示：临界分析时先判断方向（ 的正负），再分析几何——不要从代数方程开始，要从物理图像开始。
4. 弹性碰撞的"能量直觉"
： 同向（甲乙都向右，但甲慢乙快）； ：（甲停下），（乙获得全部动量）； ： 反向（甲向左，乙向右），且 较大； ：（甲几乎反弹），（乙几乎不动）——这就是重墙效应。
5. 第一次碰撞点的"几何陷阱"
很多同学会误以为"甲从斜面下来到 A 就撞到乙"——其实乙初始在 A、B 中点，甲在水平段上还要走 h 距离才到乙的位置。第一次碰撞点不在 A，而在 A、B 中点。这一细节直接影响第（3）问的运动学分析。
六、变式训练（巩固用）
变式 1：把弹性碰撞改成完全非弹性
如果甲乙碰撞后粘在一起共同运动，求第一次碰撞后共同速度、损失的机械能。
解答：由动量守恒 → 。
损失机械能：
变式 2：把斜面倾角改为 45°
如果倾角改为 45°，重新计算 和 。
解答：，但 仍由机械能守恒得 （与倾角无关）。 也只与质量比有关，与倾角无关——因为弹性正碰解只依赖于质量。
变式 3：增加第三块物块
在 B 点右侧 h 处再放一块质量为 的物块丙（静止），求后续碰撞。
提示：碰撞链——乙撞丙、丙撞墙、丙反弹撞乙、乙撞甲……形成复杂的多体链式碰撞。用动量守恒 + 能量守恒逐次分析即可。
七、答案汇总
八、命题趋势与教学建议
来自 2026 湖北卷第 15 题的命题信号
"机械能守恒 + 弹性正碰 + 临界分类讨论" 是高考力学压轴题的经典组合。本题三问分别考查：单一守恒、双守恒、复杂多过程分析，难度递进合理。 第（3）问的四种临界情形是本题最大亮点，考查学生的多情形建模能力——这种"分支讨论"型压轴题在近三年高考中频繁出现。 教学建议： 第（1）~（2）问当堂过关； 第（3）问作为"周末提升"或"模考压轴"训练； 重点训练画"运动—位置"示意图的能力——这是破解临界分析题的"钥匙"。
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