夜雨聆风量大25-26学年第二学期
《高等数学A2》课程考试试卷(A）
及参考解答
量大25-26学年第二学期
《高等数学A2》课程考试试卷(A）
及参考解答
一、填空题（能化简的须化简）
已知点 ，，，则 .
解析：由于
所以
曲线
解析：消去 变量，可得投影柱面方程
从而投影曲线的方程是
易错点：不区分“曲线”与“曲面”
集合的所有聚点组成的集合为
知识点：聚点 --- 极限定义的基础
设 ，则
解析 ：利用公式 可得
易错点：丢失“”
设
则
考点：二重积分的几何意义
设 是曲线 上点 到点 的一段弧，则
第一类曲线积分 ： 的参数方程为
所以
曲线 是 上从 到 的一段弧，则
第二类曲线积分：法一（参数化）： 的参数方程为
所以
法二（Green公式）：（如上图），增加路径
则
且路径为封闭路径，应用Green公式得
若级数为 则其和是.
解析：由于
所以
函数 展开成 的幂级数为
解析：由于
结合 可得易错点：丢失收敛域讨论：直接计算可得
从而 ，且 展开成 的幂级数为
易证以上幂级数的收敛域为.问题：如何证明上式收敛到 ？建议方法：直接求幂级数的和函数，验证其等于 .
二、计算题
求过点 和 ，且垂直于 坐标面的平面方程. 
法一（点法式方程）：(如上图）
坐标面的法向可取为 ， 由题设条件知：所求平面的法向 满足
故可取
从而所求平面方程为
化简得 .
法二（一般式方程）：设所求平面方程为
则系数满足如下方程组：
解之得：
故平面方程为：
化简得 .
法三：在平面上任取一点 ，则平面的法向 满足:
如法一的分析，有
即
化简得 .
求曲线
在点 处的切线方程.
法一（参数方程）：将曲线用参数方程表示为：
故而切线的方向为 . 下面采用复合函数求导法确定方向，即对方程组的两边对 求导并移项，
解之得
带入切点坐标，从而切线的方向为 ，所求切线方程为 .
法二：记两个曲面在 的法向分别为 ，则
注意到切线落在曲面在该点处的切平面内，所以切向 满足 ， ，故可取
从而切线方程为：
法三：如法二分析，切线为两个法平面的交线，故切线方程为：
化简得
从斜边长为 的一切直角三角形中，找出有最大周长的直角三角形并求其直角边长.
数学模型：设直角三角形的两个直角边的边长分别为 ，周长为 ，则问题化为：
求目标函数 在条件 下的最大值
法一（条件极值） ： 构造Lagrange函数
求偏导
可得唯一驻点 ，故直角边长均为 时周长最大.
法二（无条件极值）：将条件带入，有
求导得唯一驻点 . 由于
所以直角边长均为 时周长最大.
法三（无条件极值）：设 ，则原问题化为
求导得唯一驻点 . 由于
所以直角边长均为 时周长最大.
法四（初等方法）：由于
且当 时， 上式中等号成立；所以直角边长均为 时周长最大.
计算 ，其中 是由 ， 所围成的闭区域. 
重积分：
法一（ 型域）：
法二（ 型域）：
计算 ，其中 是由曲面 及 所围成的闭区域.
三重积分：
先一后二法：记 则
先二后一法：
计算曲面积分 ，其中 为圆锥面 在 面上方的部分.
第一类曲面积分：曲面 为
其中 ，从而
所以
计算 其中 为平面 所围成的立体的全表面的外侧.
第二类曲面积分：由高斯公式
注：采用“投影法”或“两类曲面积分的关系”来求解，均不困难，但繁琐；因为曲面是由六块分块曲面构成，积分包括三部分，故而需要求解18个积分；好处是，大部分积分一眼可看出等于零；难点是，容易遗漏，容易写错.
求幂级数 的和函数.
解析：第一步，分析收敛域. 因
所以当 时级数 收敛；另外，当时，级数化为交错级数，所以幂级数的收敛域为 .
第二步，求和函数. 当 时，记
则 ，且所以
结合幂级数 在收敛域 上的连续性，有易错点：(1) 没专门考虑 的情形；(2) 忘记考虑“收敛域”
三、证明题
设级数 收敛，证明 绝对收敛.
证明：由于
且 和 都收敛, 故 收敛，即级数 绝对收敛.
考点：正项级数的比较判别原则
END
