量大25-26学年第二学期

《高等数学A2》课程考试试卷(A）

及参考解答

一、填空题（能化简的须化简）

1. 已知点 ，，，则 .

解析：由于

所以 

1. 曲线

解析：消去  变量，可得投影柱面方程

从而投影曲线的方程是

易错点：不区分“曲线”与“曲面”

1. 集合的所有聚点组成的集合为

知识点：聚点 --- 极限定义的基础

1. 设 ，则 

解析 ：利用公式  可得

易错点：丢失“”

1. 设

则 

考点：二重积分的几何意义

1. 设  是曲线  上点  到点  的一段弧，则

第一类曲线积分 ： 的参数方程为

所以

1. 曲线  是  上从  到  的一段弧，则 

第二类曲线积分：法一（参数化）： 的参数方程为

所以

法二（Green公式）：（如上图），增加路径

则

且路径为封闭路径，应用Green公式得

1. 若级数为  则其和是.

解析：由于

所以

1. 函数  展开成  的幂级数为 

解析：由于

易错点：丢失收敛域讨论：直接计算可得

从而 ，且   展开成  的幂级数为

易证以上幂级数的收敛域为.问题：如何证明上式收敛到 ？建议方法：直接求幂级数的和函数，验证其等于 .

二、计算题

1. 求过点  和 ，且垂直于  坐标面的平面方程.

   

法一（点法式方程）：(如上图）

 坐标面的法向可取为 ， 由题设条件知：所求平面的法向 满足

故可取

从而所求平面方程为

化简得 .

法二（一般式方程）：设所求平面方程为

则系数满足如下方程组：

解之得：

故平面方程为：

化简得 .

法三：在平面上任取一点 ，则平面的法向 满足:

如法一的分析，有

即

化简得 .

1. 求曲线

在点  处的切线方程.

法一（参数方程）：将曲线用参数方程表示为：

故而切线的方向为 . 下面采用复合函数求导法确定方向，即对方程组的两边对  求导并移项，

解之得

从而切线的方向为 ，所求切线方程为 .

法二：记两个曲面在  的法向分别为 ，则

注意到切线落在曲面在该点处的切平面内，所以切向  满足 ， ，故可取

从而切线方程为：

法三：如法二分析，切线为两个法平面的交线，故切线方程为：

化简得

1. 从斜边长为  的一切直角三角形中，找出有最大周长的直角三角形并求其直角边长.

数学模型：设直角三角形的两个直角边的边长分别为 ，周长为 ，则问题化为：

求目标函数  在条件  下的最大值

法一（条件极值） ： 构造Lagrange函数

求偏导

可得唯一驻点 ，故直角边长均为 时周长最大.

法二（无条件极值）：将条件带入，有

求导得唯一驻点 . 由于

所以直角边长均为 时周长最大.

法三（无条件极值）：设 ，则原问题化为

求导得唯一驻点 . 由于

所以直角边长均为 时周长最大.

法四（初等方法）：由于

且当  时， 上式中等号成立；所以直角边长均为 时周长最大.

1. 计算 ，其中  是由 ， 所围成的闭区域.

   

重积分：

法一（  型域）：

法二（  型域）：

1. 计算 ，其中  是由曲面  及  所围成的闭区域.

三重积分：

先一后二法：记  则

先二后一法：

1. 计算曲面积分 ，其中  为圆锥面  在  面上方的部分.

第一类曲面积分：曲面 为

其中 ，从而

所以

1. 计算  其中  为平面  所围成的立体的全表面的外侧.

第二类曲面积分：由高斯公式

注：采用“投影法”或“两类曲面积分的关系”来求解，均不困难，但繁琐；因为曲面是由六块分块曲面构成，积分包括三部分，故而需要求解18个积分；好处是，大部分积分一眼可看出等于零；难点是，容易遗漏，容易写错.

1. 求幂级数  的和函数.

解析：第一步，分析收敛域.  因

所以当  时级数  收敛；另外，当时，级数化为交错级数，所以幂级数的收敛域为 .

第二步，求和函数.   当  时，记

所以

易错点：(1) 没专门考虑  的情形；(2) 忘记考虑“收敛域”

三、证明题

设级数  收敛，证明  绝对收敛.

证明：由于

且  和  都收敛, 故  收敛，即级数  绝对收敛.

考点：正项级数的比较判别原则