67届国际数学奥林匹克(IMO)首日试题

第1题.   黑板上写有2026个大于1的整数，允许有相同的数。在一次操作中，孔夫子选取黑板上两个不同位置的整数  和 ，并将这两个整数替换成

只要能够进行这样的操作他便继续操作。

(1) 证明：不论孔夫子如何选择，在有限次操作后，黑板上恰有一个大于1的整数，记此数为 。

(2) 证明：整数  的值不依赖于孔夫子的选择。

（注： 表示正整数  和  的最大公约数， 表示  和  的最小公倍数。）

第2题.   在三角形  中，点  和  分别是边  和  的中点。在三角形  和三角形  的内部分别选取点  和 ，使得点  在三角形  的内部，点  在三角形  的内部。已知

且

设  是三角形  的外心。证明：。

第3题.   设  是正整数。刘邦和项羽有一根长度为1的细棍，他们按下述方式进行分配。刘邦先在细棍上标记不超过  个点，接着项羽再标记不超过  个点。标记的点是互不相同的。随后在所有标记点处将细棍切开，这样细棍被分成了若干个小段。在此之后，他们轮流选取一个未被选取的小段，由刘邦先选，直至全部选完。每个人的目标均是使得自己选取的小段的总长度尽可能大。 对每个 ，求最大的 ，使得无论项羽如何操作，刘邦总能确保自己选取的小段的总长度不小于 。