【第80期】【教学研究】溯源教材,直击真题 ——四点共圆巧解几何压轴题

在上一期推文中我们分享了2026年中考数学第23题的三类解法：过D作AB垂线、向两直角边作双垂线、构造一线三垂直，依靠全等、相似完成推导。本文换一新思路，借助四点共圆模型解答同一道压轴题，对比解题路径，感受不同几何模型的解题优势。

    我们先从人教版（2012）九年级数学上册第二十四章《圆》的两道题入手，挖掘四点共圆最原始的判定依据：到定点距离相等的四点共圆。

   1.第80页例题：

    上面双直角四边形只是对角互补的特殊情形，我们自然产生追问：若四边形仅仅满足一组对角之和为180°，四个顶点是否依然共圆？教材第119页《活动2 探究四点共圆的条件》完整解答了这个问题。

1. 圆内接四边形基础性质

课本先给出正向定理：圆内接四边形对角互补（第87页）。

2.反证推导逆命题：对角互补→四点共圆 

活动通过分两类图形对比，证明不在圆上的四边形对角一定不互补。

解：如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角不互补。

如上左图，连接BE，则四边形ABED内接于圆O，∴∠A+∠E=180°，且∠BCD是△BCE的外角，∴∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°，即∠ABC+∠D＜180°。

如上右图：连接DE，同理可知∠A+∠BED=180°，∠BED＞∠C，∴∠A+∠C＜180°，即∠B+∠ADC＞180°。

    由此得出：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

    再问：如图，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，CB，CD，若∠B=∠D，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上。

   证明：如图，作经过点A，C，D 的圆O，在劣弧AC上取一点E（不与点A，C 重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°，∵∠B=∠D，

∴∠AEC+∠B=180°，∴点A，B，C，E 四点在同一个圆上，∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙0上，∴A，B，C，D 四点在同一个圆上。

    再追问：若∠B=∠D=90°，又能得到什么结论？教材86页给出了答案：

    结合圆周角推论：90°的圆周角所对弦为直径，两点在直径同侧且均为直角，四点共圆；推广到任意等角，本质是同弧所对圆周角相等的逆用，四边形AC1C2B的四个顶点共圆就是该推论的直观体现。