数学分析（III）试题

2005.1

一

在球面  上找点 ，满足 ，使得该球面在点  处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。

二

求球面  被平面  与  所夹部分的面积。

三

计算二重积分

其中  是由  轴、直线  以及曲线 、 所围成的平面闭区域。

四

计算三重积分

其中 。

五

计算曲线积分

其中  是球面  与平面  相交而成的圆周。

六

计算曲面积分

其中  为锥面  在平面  与  之间的部分，定向为下侧。

七

设

是右半平面  上的向量场，试确定常数 ，使得  为  上函数  的梯度场，并求出 。

八

将  展开为 Fourier 级数，并分别求级数

的和。

九

设

(1) 证明积分  关于  在  上一致收敛；

(2) 证明 ；

(3) 证明  在  上一致连续。