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重庆复旦中学教共体 ～ 学年度上期
2025 2025
⾼⼆定时作业检测
尊重⾃⼰！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今
天在考试的时候，不要忘记⾃⼰！不要忘记复旦！考场秩序井然，⼈⼈洁身⾃爱．
本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案⼯整地书写在答题卡上
⼀、单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项是符合题⽬要求的．
1. 直线 的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D. 不存在
2. 已知点 到抛物线： 的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. ⽅程 表示的轨迹图形是（ ）
A. 抛物线 B. 半个圆 C. 半个椭圆 D. 双曲线的⼀⽀
4. 已知圆 ： ，⼀只蚂蚁从点 出发，爬到 轴后⼜爬到圆 上，则它爬
⾏的最短路程为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 已知直线 与圆 相交于A，B两点，且 为等边三⻆形，则
实数 的值为（ ）
A B. C. D.
6. 点 的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，则点 的
轨迹⽅程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平⾏六⾯体 中， 是 中点， ， ， ，
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司， ，则 的⻓为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8. 如图： ， 是双曲线 的左右焦点，以 为圆⼼的圆与双曲线 的左右两⽀分别交于
， 两点，且 ，则双曲线的离⼼率为（ ）
A B. C. D.
⼆、多项选择题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项
符合题⽬要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下⾯说法正确的是（ ）
A. 双曲线 的渐近线⽅程为
B. 点 在离⼼率为 的椭圆 上⼀点， 、 是椭圆 的焦点，则 的最
⼤值为
C. 已知实数 、 满⾜ ，则 的最⼩值为
D. 直线 到点 的距离是 ，到点 的距离是 ，这样的直线 有3条
10. 直线 过抛物线 的焦点 ，若点 为坐标原点， 与 交于
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司两点，则（ ）
A.
B. 重⼼纵坐标的最⼩值为
C. 以线段 为直径的圆被 轴截得的弦⻓最⼩值为
D. 若直线 交准线于点D，且 ，则 ．
11. 如图，在棱⻓为 的正⽅体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段
上的⼀个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 体积为定值
B. 存 点 ，使平⾯ 平⾯
C. 设直线 与平⾯ 所成⻆为 ，则 最⼤值为
D. 平⾯ 截正⽅体 所得截⾯的⾯积为
三、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知平⾯ 的⼀个法向量为 ，平⾯ 过空间坐标原点 ，平⾯ 外⼀点 的坐标为
，则点 到平⾯ 的距离为___________．
13. 设 是双曲线 上的两点，且线段 的中点是 ，则直线 的斜率为______．
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过 作直线交椭圆 于 、 两点，其中点 在
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司轴下⽅， 内切圆交边 于点 ，则线段 的⻓度取值范围为______.
四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线 ．
（1）求经过点 且与直线 垂直的直线⽅程；
（2）求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线⽅程．
16. 已知直线 与直线 相交于点 ，以 为圆⼼的圆过点 .
（1）求圆 的⽅程；
（2）求过点 的圆 的切线⽅程.
17. 在三棱柱 中，四边形 是菱形， 是 的中点，平⾯ 平⾯ ，
．
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求⼆⾯⻆ 的正弦值．
18. 已知⼀动圆 与直线 相切且过定点 .
（1）求圆⼼ 的轨迹⽅程；
（2） 、 是 的轨迹上异于原点 的两点；
（i）若 ，求 ⾯积最⼩值；
（ii）直线 、 的倾斜⻆分别为 与 ，当 时，试问：直线 是否过定点?若是，求出
定点坐标；若不是，说明理由.
19. 已知椭圆 左，右焦点分别为 ， ，离⼼率为 ，经过点 且倾斜⻆为
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司直线 与椭圆交于 ， 两点（其中点 在 轴上⽅）， 的周⻓为 .
（1）求椭圆 的标准⽅程；
（2）如图，将平⾯ 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平⾯（平⾯ ）与 轴负半轴和
轴所确定的半平⾯（平⾯ ）互相垂直.
①若 ，求三棱锥 的体积；
②是否存在 ，使得 折叠后的周⻓为与折叠前的周⻓之⽐为 ？若存在，求 的
值；若不存在，请说明理由.
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司重庆复旦中学教共体 ～ 学年度上期
2025 2025
⾼⼆定时作业检测
尊重⾃⼰！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今
天在考试的时候，不要忘记⾃⼰！不要忘记复旦！考场秩序井然，⼈⼈洁身⾃爱．
本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案⼯整地书写在答题卡上
⼀、单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项是符合题⽬要求的．
1. 直线 的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的⽅程，利⽤斜率和倾斜⻆的关系求解.
【详解】 ，由于 为常数，则直线 的倾斜⻆为90°.
故选：C
2. 已知点 到抛物线： 的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出准线⽅程，由题意建⽴等式，求得准线，从⽽得到焦点坐标.
【详解】由题已知点 到抛物线： 的准线的距离为5,则抛物线准线⽅程为 ，
则焦点为 ，
故选：A．
3. ⽅程 表示的轨迹图形是（ ）
A. 抛物线 B. 半个圆 C. 半个椭圆 D. 双曲线的⼀⽀
【答案】D
【解析】
【分析】先对给定⽅程进⾏变形，然后根据变形后的⽅程与常⻅曲线的标准⽅程的关系来判断其表示的轨
第1⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司迹图形即可.
【详解】由题意，得把式⼦左右同时平⽅，得 ，即 ， ，
⼜ ，
⽅程 表示的轨迹图形是双曲线的⼀⽀.
故选：D.
4. 已知圆 ： ，⼀只蚂蚁从点 出发，爬到 轴后⼜爬到圆 上，则它爬
⾏的最短路程为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】根据“ 将军饮⻢” 模型，求得对称点，利⽤两点距离公式结合圆的性质，可得答案．
【详解】如图，设爬到 轴上的点 ，再到圆 上点 处，
要求它爬⾏的最短路程，即求 的最⼩值，
圆⼼ ，半径 ，
设点 关于 轴的对称点为 ,则 坐标为 ，且 ，
由于 （当 三点共线时取等号），
⼜点 到圆 上点的最短距离 （当
三点共线时取等号），
所以 ,即该蚂蚁爬⾏的最短路程为3．
故选：C．
第2⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司5. 已知直线 与圆 相交于A，B两点，且 为等边三⻆形，则
实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知，只需保证圆⼼ 到直线 距离为 ，应⽤点线距离公式列⽅程求参
数值.
【详解】由题设，如下图示，圆⼼ ，半径 ，要使 为等边三⻆形，
则圆⼼ 到直线 的距离为 ，
所以 ，可得 .
故选：A
6. 点 的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，则点 的
轨迹⽅程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
第3⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得.
【详解】
设 ，因为 ，所以 ，
由已知， ，化简得 ，
故选：B．
7. 如图，在平⾏六⾯体 中， 是 的中点， ， ， ，
， ，则 的⻓为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 设 ， 由 向 量 的 线 性 运 算 ， 再 两 边 平 ⽅ 得 到
，接着解⽅程即可．
【详解】在平⾏六⾯体 中，设 ，
因为 ， ， ， ， ， 是 的中点，
，
所以 ，
由题意 ， ， ， ，
第4⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 的⻓为4．
故选：D．
8. 如图： ， 是双曲线 的左右焦点，以 为圆⼼的圆与双曲线 的左右两⽀分别交于
， 两点，且 ，则双曲线的离⼼率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆 的半径为 ，由条件结合双曲线的定义证明 ，结合双曲线定义及余弦定理列⽅程确
定 关系，由此可得结论.
【详解】设圆 的半径为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，由双曲线定义可得 ，
所以 ，故 ， ， ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
第5⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司在 中，由余弦定理可得 ，
由已知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线的离⼼率 .
故选：D.
⼆、多项选择题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项
符合题⽬要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下⾯说法正确的是（ ）
A. 双曲线 的渐近线⽅程为
B. 点 在离⼼率为 的椭圆 上⼀点， 、 是椭圆 的焦点，则 的最
⼤值为
C. 已知实数 、 满⾜ ，则 的最⼩值为
D. 直线 到点 的距离是 ，到点 的距离是 ，这样的直线 有3条
【答案】BD
第6⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】对A，由双曲线⽅程求出渐近线判断；对B，由题可得 ，当点 为短轴顶点时， 最
⼤，运算得解；对C，由题点 在圆 上， 表示点 到原点 的斜率，
数形结合求解判断；对D，根据题意直线 是以点 为圆⼼，1为半径的圆的切线，也是以点 为
圆⼼，4为半径的圆的切线，即直线 是两圆的公切线，判断两圆位置关系得解.
【详解】对于A，令 ，解得 ，所以双曲线 的渐近线⽅程为 ，
故A错误；
对于B，因为椭圆 的离⼼率为 ，所以 ，得 ，
当点 为短轴顶点时， 最⼤，此时 ，
所以 为正三⻆形，所以 ，故B正确；
对于C，由题点 在圆 上， 表示点 到原点 的斜率，
如图，过原点 圆 的切线 ，切点为 ，因为 ， ，
在 中，易得 ，所以切线 的斜率 ，由对称性知另⼀条切线的斜率为
，
所以 的取值范围为 ，故C错误；
第7⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于D，由直线 到点 的距离是1，则直线 是以点 为圆⼼，1为半径的圆的切线，
同理，直线 是以点 为圆⼼，4为半径的圆的切线，即直线 是两圆的公切线.
⼜两圆的圆⼼距 ，
故两圆外切，所以两圆的公切线只有3条，即直线 有3条，故D正确.
故选：BD.
10. 直线 过抛物线 的焦点 ，若点 为坐标原点， 与 交于
两点，则（ ）
A.
B. 重⼼纵坐标的最⼩值为
C. 以线段 为直径的圆被 轴截得的弦⻓最⼩值为
D. 若直线 交准线于点D，且 ，则 ．
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据直线经过定点即可求解焦点得 判断；对B，联⽴直线与抛物线⽅程，得⻙达定理，
根据重⼼坐标公式即可求解；对C，求出 为直径的圆的⽅程，令 ，得 ，即
可根据弦⻓公式求解；对D，根据向量的坐标关系，结合⻙达定理，即可根据弦⻓公式求解．
【详解】对于A，由于直线 恒过定点 ，即抛物线焦点为 ，
因此 ，故 ，故A错误；
对于B，由 可得 设 ，
第8⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司联⽴ 得 ，
恒成⽴， ，
所以 重⼼的纵坐标为 ，
当且仅当 等号成⽴，故B正确；
对于C，设 中点为 ，
则 ，⼜ ，
，
所以线段 为直径的圆的⽅程为 ，
即 ，
设该圆与 轴的交点为 ，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成⽴，故C正确；
对于D，设 ，由 可得 ，
⼜ ，
，
则 ，
第9⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 或 （舍去），
则 ， ，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在棱⻓为 的正⽅体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段
上的⼀个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 体积为定值
B. 存在点 ，使平⾯ 平⾯
C. 设直线 与平⾯ 所成⻆为 ，则 最⼤值为
D. 平⾯ 截正⽅体 所得截⾯的⾯积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，等体积变换可得 ，可判断；选项B，建⽴空间直⻆坐标系，设
，根据空间向量由⾯⾯平⾏可得 ，可判断；选项C，根据空间向量法表示
线⾯⻆，可得 ，进⽽可得；选项D：先作出平⾯ 截正⽅体
所得截⾯，根据线⾯关系可得截⾯的⾯积．
【详解】对于选项A， ，故A正确；
第10⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于选项B，如图建⽴空间直⻆坐标系，
则 ，
，
设平⾯ 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，则 ，
因为 ，设 ，故 ，
则 ，
由 ，得 ，不合题意，故B错误；
对于选项C，易知平⾯ 的法向量为 ，
则 ，
所以 ，
当 时， 取最⼩值为 ，
所以 有最⼤值为 ，故C正确；
对于选项D，如图，直线 分别交 的延⻓线于点 ，
第11⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 ，
由题意可知五边形 即为平⾯ 截正⽅体 所得截⾯，
因 ， 分别为棱 ， 的中点， ， ，
，得 ，
由正⽅体性质可知 ， ，
故所求截⾯⾯积为 ，
由选项C可知， ， ，故 ， ，
故 ， ，
，
故所求截⾯⾯积为 ，故D正确，
故选：ACD
三、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知平⾯ 的⼀个法向量为 ，平⾯ 过空间坐标原点 ，平⾯ 外⼀点 的坐标为
，则点 到平⾯ 的距离为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据条件，利⽤点⾯距的向量法，即可求解.
第12⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】因为平⾯ 的⼀个法向量为 ，
⼜由题知 ，
所以点 到平⾯ 的距离为 ，
故答案为： .
13. 设 是双曲线 上的两点，且线段 的中点是 ，则直线 的斜率为______．
【答案】1
【解析】
【分析】设 ，通过点差法即可求解；
【详解】设 ，则 的中点
在双曲线上， ，两式相减得 ，
则 ，则 ．
此时 ，即 ，联⽴⽅程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线 与双曲线有两个交点.
故答案为：1
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过 作直线交椭圆 于 、 两点，其中点 在
轴下⽅， 内切圆交边 于点 ，则线段 的⻓度取值范围为______.
【答案】
【解析】
第13⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据内切圆的有关性质知， ，结合椭圆的定义可推出 ，注
意到点 在 下⽅，所以， .
【详解】因为 的内切圆交边 于点 ，所以 ,
⼜因为在椭圆中 ， ,
所以 ，
⽽ ，（等号取不到）因此 .
故答案 ： .
四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线 ．
（1）求经过点 且与直线 垂直的直线⽅程；
（2）求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线⽅程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据直线 垂直关系求出直线的斜率，代⼊经过的点坐标求解；
（2）先求出两直线的交点，再根据两坐标轴上的截距互为相反数分情况讨论，求出直线⽅程．
【⼩问1详解】
由直线 可得斜率为 ，
设直线⽅程为 ，根据垂直关系得 ， ，
⼜ 直线经过点 ，
第14⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，解得 ，
所求直线⽅程为 ，整理得 ．
【⼩问2详解】
联⽴直线 ： ，解得 ，
直线 与 的交点为 ，
当直线经过坐标原点时，满⾜题意，设直线⽅程为 ，
代⼊ 得 ， 直线⽅程为 ，即 ；
当直线的截距都不为0时，设直线⽅程为 ，
，解得 ，此时直线⽅程为 ，
所求直线⽅程为 或 ．
16. 已知直线 与直线 相交于点 ，以 为圆⼼的圆过点 .
（1）求圆 的⽅程；
（2）求过点 的圆 的切线⽅程.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）联⽴直线得 ，圆 的半径为 ，进⽽可得；
（2）斜率不存在时， ，符合题意；斜率存在时，设直线⽅程，根据圆⼼到切线的距离为半径可得斜率，
进⽽可得.
【⼩问1详解】
第15⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由 ，得 ，即 ，
由题意圆 的半径为 ，
故圆 的⽅程为 .
【⼩问2详解】
当切线的斜率不存在时，⽅程为 ，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为 ，则切线⽅程为： ，即 ，
由题意 ，得 ，即 ，
两边分别平⽅得 ，得 ，
故切线⽅程为 ，即 ，
综上过点 的圆 的切线⽅程为 ， .
17. 在三棱柱 中，四边形 是菱形， 是 的中点，平⾯ 平⾯ ，
．
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求⼆⾯⻆ 的正弦值．
第16⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】（1）证明⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推导出 ， 利⽤⾯⾯垂直的性质可得出 ⾯ ，再利⽤线⾯垂直的性质
可证得结论成⽴；
（2）推导出 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建⽴空间直
⻆坐标系，利⽤空间向量法可求得⼆⾯⻆ 的正弦值．
【⼩问1详解】
在 中，由 ， 是 的中点，所以 ，
⼜平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ， ⾯ ，
所以 ⾯ ，
因为 平⾯ ，故 ．
【⼩问2详解】
连接 ，在 中，由 ， 是 的中点，所以 ，
⼜ ⾯ ， 、 平⾯ ，所以， ， ，
在直⻆三⻆形 中， ， ，
，
在 中， ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建⽴空间直⻆坐标系，
第17⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 、 、 、 ，
设平⾯ 的⼀个法向量 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ， ，
则 ，取 ，则 ，
所以， ，
所以， .
因此，⼆⾯⻆ 的正弦值为 .
18. 已知⼀动圆 与直线 相切且过定点 .
（1）求圆⼼ 的轨迹⽅程；
（2） 、 是 的轨迹上异于原点 的两点；
（i）若 ，求 ⾯积最⼩值；
（ii）直线 、 的倾斜⻆分别为 与 ，当 时，试问：直线 是否过定点?若是，求出
定点坐标；若不是，说明理由.
【答案】（1） ；
（2）（i） ；（ii）是，定点为 .
【解析】
【分析】（1）根据题设有 ，整理化简即可得轨迹⽅程；
（2）（i）设 ， ，联⽴抛物线，应⽤⻙达定理及 求参数，进
第18⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⽽有直线 恒过点 ，根据 求最⼩值；
（ii）法⼀：根据已知可得 、 ，写出直线 的⽅程，结合
及差⻆正切公式得 ，代⼊直线整理求定点即可；法⼆：设直线 的⽅
程为： ，联⽴抛物线⽅程得到⻙达定理式，根据两⻆和的正切公式再代⼊⻙达定理式即可得到
，则得其所过定点.
【⼩问1详解】
设 ，由题意有 ，则 ；
【⼩问2详解】
（i）设 ， ，联⽴抛物线有 ，
则 ，且 ， ，则 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以直线 恒过点 ，则
，当且仅当 时取等号，
所以 ⾯积最⼩值为 ；
（ii）法⼀：由题设 且 ，联⽴ ，可得 ，同
理 ，
所以 ，则
,
第19⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由 ，
所以 ，
当 时， ，
所以直线 过定点 .
法⼆：由题， 斜率必存在，设直线 的⽅程为： ，
联⽴ ，消 有： ，
， ，
，
代⼊⻙达定理式得 ，
直线 的⽅程为： ，
过定点 ．
【点睛】关键点点睛：第⼆问，⼆⼩问，根据已知写出直线 关于已知参数的⽅程，结合
第20⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司求定点.
19. 已知椭圆 左，右焦点分别为 ， ，离⼼率为 ，经过点 且倾斜⻆为
的直线 与椭圆交于 ， 两点（其中点 在 轴上⽅）， 的周⻓为 .
（1）求椭圆 的标准⽅程；
（2）如图，将平⾯ 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平⾯（平⾯ ）与 轴负半轴和
轴所确定的半平⾯（平⾯ ）互相垂直.
①若 ，求三棱锥 的体积；
②是否存在 ，使得 折叠后的周⻓为与折叠前的周⻓之⽐为 ？若存在，求 的
值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）① ；②存在，
【解析】
【分析】（1）由条件结合离⼼率的定义，椭圆的定义列关于 的⽅程，解⽅程求 ，再根据 关系
求 ，由此可得椭圆⽅程；
（2）①由已知可得直线 ⽅程为 ，联⽴⽅程组求出 的坐标，再求三棱锥 的
底⾯⾯积和⾼，结合锥体体积公式求结论；
第21⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司②假设存在 满⾜条件，设 在新图形中对应点记为 ，由假设可得 ，
设直线 ⽅程为 ，设折叠前 ， ，联⽴⽅程组求 的纵坐标关系，结合两
点距离公式 可转化为 ，代⼊化简求结论.
【⼩问1详解】
由椭圆的定义知 ， ，
所以 的周⻓ ，所以 ，
⼜椭圆离⼼率为 ，所以 ，所以 ， ，
所以椭圆的标准⽅程为
【⼩问2详解】
①由（1）知，点 ，倾斜⻆为 ，
故直线 ⽅程为 ，
联⽴ ，化简可得 ，
所以 ，
解得 或
则 ， ， ， ，
所以 的⾯积为 ，
因为平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ，
第22⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司过 作 ，则 平⾯ ，
所以 平⾯ ，故三棱锥 的⾼为 ，
三棱锥 的体积为 ；
②假设存在 ，使得 折叠后的周⻓为与折叠前周⻓之⽐为 ，
设 在新图形中对应点记 ，
因为折叠前的周⻓ ，
所以折叠后的周⻓为： ，
⽽ ， ，故 ，
设折叠前 ， ，直线 ⽅程为 ，
联⽴ ，得 ，
，
在折叠后的图形中建⽴如图所示的空间直⻆坐标系
（原 轴仍然为 轴，原 轴正半轴为 轴，原 轴负半轴为 轴）；
第23⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 ， ，
， ，
，
即 ，
，
由 可得 ，
，
，
，
，解得 ，
检验： ，
故 成⽴，故存在 满⾜题意.
此时由 得 ， .
第24⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题第⼆⼩问中②的解决的关键在于根据翻折前后的数量关系，将条件 折叠
后的周⻓为与折叠前的周⻓之⽐为 ，转化为 .
第25⻚/共25⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
