几何核心考点角平分线——角平分线典型试题秘招解析

开篇：角平分线，几何界的"端水大师"！

角平分线，很公平，两边距离一般平。见到角分想垂线，等腰全等自然成。

同学们，角平分线就像是几何界的"端水大师"——到角两边的距离相等，一碗水端得平平的！垂直平分线更是"霸道"——到线段两端距离相等，谁都不偏心！

今天咱们就把角平分线、垂直平分线那些"刁钻题""创新题"一网打尽，让你从"看到角分就发怵"变成"看到角分就欢呼"！

第一招：垂直平分线——"连两端，等距离，等腰三角形自然出"

【秘招口诀】

线段垂直平分线，常向两端把线连。中垂线点距点等，与点等距中垂线。

吕老师的口诀告诉我们：见到垂直平分线，立即把端点连起来！垂直平分线上的点到线段两端距离相等，马上出等腰三角形！

【例题1】垂直平分线+30°角（例题）

题目：△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF。

思考路径：这是道"一题三解"的好题！咱们逐个拆解：

·分析一：连AF（最直接！）

·EF是中垂线 → BF=AF（"常向两端把线连"）

·AB=AC，∠B=30° → ∠C=30°，∠BAC=120°

·∠BAF=∠B=30° → ∠FAC=90°

·在Rt△AFC中，∠C=30° → AF=½CF

·∴ BF=AF=½CF → CF=2BF ✓

·分析二：作平行线（构造中位线）

·过A作AG∥EF交BC于G

·EF是中垂线 → E是AB中点，EF∥AG → F是BG中点

·∠B=30° → Rt△ABG中，AG=½BG

·可证AG=GC → 推出BF=FG=GC → CF=2BF ✓

·分析三：设参数+勾股定理（代数法）

作AD⊥BC于D，设EF=1

用勾股定理计算各段长度，直接得出2倍关系

核心点拨：垂直平分线→ 连端点 → 得等腰 → 用特殊角 → 得结论。这是解题的"黄金四步法"！

【跟踪训练2】垂直平分线+等腰三角形

题目：AB=AC，∠A=44°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC。

·解法：

MN垂直平分AB → DA=DB → ∠DBA=∠A=44°

AB=AC → ∠ABC=∠ACB=(180°-44°)÷2=68°

∠DBC=∠ABC-∠DBA=68°-44°=24°

口诀应用：

等边对的是等角。

【跟踪训练3】垂直平分线+15°角

题目：△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，BD=8，求AC。

·解法：

连接AD，DE是中垂线 → AD=BD=8

∠B=15° → ∠DAB=15° → ∠ADC=30°

在Rt△ACD中，∠ADC=30° → AC=½AD=4

关键：垂直平分线连端点→ 等腰→ 外角=30° → 30°所对直角边=斜边一半！

【跟踪训练4】垂直平分线+三角形周长

题目：△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24，BC=10，求AB。

·解法：

DE是中垂线 → AE=BE

△BCE周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=24

BC=10 → AC=14 → AB=AC=14

第二招：角平分线性质——"到两边距离相等，垂线段是法宝"

【秘招口诀】

图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

1.见到角平分线，三件事立马想：

作垂线——到两边距离相等

找平行——角平分线+平行线→等腰三角形

想三线合一——等腰三角形顶角平分线=底边中线=底边高

【跟踪训练5】角平分线+外角

题目：EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点为G；BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点为P。F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G=68°，求∠P。

分析：这道题考察"角平分线夹角公式"。

内角平分线夹角，90度加另半角。外角平分线夹角，另角一半的余角。

∠G是△AEF的两个外角平分线的夹角 → ∠G = 90° - ½∠A∠P是△ABC的两个内角平分线的夹角 → ∠P = 90° + ½∠A∠G=68° → ∠A=44° → ∠P=90°+22°=112°

第三招：角平分线性质定理——"角分线，分对边，成比例，两边比"

【秘招口诀】

角平分线分对边，两边之比等于两邻边之比。

这个定理教材里未必明说，但考试常考！建议每个同学都要掌握。

【例题2】角平分线性质定理（问题）

题目：阅读材料，回答：（1）证明过程中用了哪些定理？（2）用了哪种数学思想？（3）AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm，求BD。

·分析：（1）用到的定理：

平行线分线段成比例定理

等腰三角形的判定定理

（2）数学思想：

转化思想 ——把不相似的比例转化为相似的比例。

·（3）求BD：

由角平分线定理：BD/DC = AB/AC = 5/4

BD+DC=BC=7

设BD=5x，DC=4x → 9x=7 → x=7/9

BD=35/9 ≈3.89cm

口诀应用：

角分线，比例传，两边之比等于对边分两段之比。

【跟踪训练2】角平分线+角度计算

题目：△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，若∠D=36°，求∠C。

·解法：

∠1=∠2，∠3=∠4 → BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线

在△BDC中，∠D=36° → ∠2+∠3=144°

∠B+∠C=2(∠2+∠3)=288° → 这在三角形中不可能！

仔细看：∠1=∠2，∠3=∠4，∠D是两个外角的夹角

内角外角平分线，夹角第三角一半。

∠D = ½∠A → ∠A=72° → ∠B+∠C=108° → ∠C=72°？选B。

第四招：角平分线与垂直平分线综合——"遇到中点加垂直，三线合一显神通"

【秘招口诀】

等腰三角形顶角平分线=底边中线=底边高。

见到"中点+垂直+角平分线"三个条件中的两个，立刻想"三线合一"！

【例题3】角平分线+中线

题目：Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA=MD。

·分析：

·M是斜边BC的中点 → MA=MB=MC（斜边中线=斜边一半）

·要证MA=MD，即证MD=MC或MD=MB

·取AB中点N，连接MN → MN∥AC

·AD平分∠BAC → ∠BAD=∠CAD

·MN∥AC → ∠DMN=∠CAD → ∠DMN=∠BAD

·可证△DMN≌△DAN → MD=AD... 这思路复杂了

·更巧的方法：

过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

AD平分∠BAC → DE=DF

M是BC中点，DM⊥BC

可证△DEM≌△DFM → ∠DEM=∠DFM

从而证明MA=MD

关键：角平分线→ 作垂线 → 全等三角形。这就是"图中有角平分线，可向两边作垂线"的威力！

【跟踪训练3】角平分线+垂直平分线

题目：△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于D，BD=6√2，AE⊥BC于E，求EC。

·解法：

连接AD，DE是AB中垂线 → AD=BD=6√2

∠B=22.5° → ∠DAB=22.5° → ∠ADE=45°

在Rt△ADE中，∠ADE=45° → AE=AD×sin45°=6√2×√2/2=6

∠C=60°，Rt△AEC中，∠C=60° → EC=AE÷tan60°=6÷√3=2√3

口诀应用：

线段垂直平分线，常向两端把线连。

第五招：阅读理解型——"新定义，不要慌，转化思想帮你忙"

【秘招口诀】

新定义，不要慌，转化思想帮你忙。

阅读理解题考查学习能力和知识迁移能力。角平分线性质定理的证明过程，就是"转化思想"的典范。

1.证明角平分线性质定理的关键步骤：

需要证明 BD:DC = AB:AC

△ABD与△ADC不相似 →转化！

过C作CE∥AD交BA延长线于E

得到BD:DC = AB:AE

只需证AE=AC → 用等腰三角形判定

因为CE∥AD → ∠1=∠3；AD平分∠BAC → ∠1=∠2；所以∠2=∠3 → AE=AC

核心思想：

转化思想——把不会的转化成会的，把不相似的转化成相似的。

【跟踪训练5】三角形形状判定

题目：阅读解题过程，判断三角形形状。已知a²c²-b²c²=a⁴-b⁴。

·错因分析：

第③步出错：当a²=b²时，不能两边同时除以(a²-b²)

正确结论：直角三角形或等腰三角形

教训：用角平分线定理、勾股定理时，分类讨论不能忘！

角平分线解题方法涉及的数学核心素养

1. 逻辑推理（课标对应：推理能力、证明意识）

"三线合一"的证明、角平分线性质定理的证明，都是严谨的演绎推理。

2. 转化思想（课标对应：数学思想方法）

"能够将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题"

角平分线性质定理的证明：把"不相似"转化为"相似"，把"BD:DC"转化为"AB:AE"，再证AE=AC。

3. 模型观念（课标对应：模型思想）

"角平分线+平行线→等腰三角形"、"角平分线+垂线→全等"——这些都是固定的几何模型，识破它们就能快速解题。

4. 阅读理解能力（课标对应：信息获取能力）

角平分线性质定理的阅读题、三角形形状判断的阅读题——考查从文字中提取数学信息的能力。

角平分线考点在大型考试中的常考形式及创新考向

常考形式

创新考向

1. 阅读理解型（如角平分线性质定理）

给出证明过程，让回答问题。考查学习能力。

2. 新定义型（如"特征三角形""角平分线分对边成比例"）

现场学习新定理，现场应用。

3. 多解探究型（如三角形形状判定）

一题多解，考查分类讨论思想。

4. 跨章节综合型（角平分线+勾股定理+相似）

知识串联，考查综合能力。

1.考场实战要点

垂直平分线→ 连端点：这是第一反应！连接中垂线上的点和端点，出等腰三角形。

角平分线→ 作垂线：到两边距离相等，出全等或面积相等。

角平分线+平行线 → 等腰：经典模型！∠1=∠2，平行→∠2=∠3，所以∠1=∠3→等腰。

角平分线+垂直（三线合一）：等腰三角形顶角的角平分线=底边中线=底边高。

角平分线分对边成比例：BD:DC=AB:AC，这个结论考试直接用！

阅读题→ 找思想方法：通常考"转化思想"，注意"分类讨论"。

结语

角分线，真厉害，两边距离一样快。垂直分线更霸气，两端等距不偏心。见到角分作垂线，见到中垂连两端。角分平行出等腰，三线合一是经典。比例定理要记牢，对边分比等于邻边。转化思想是灵魂，阅读理解也不难！

从今天起，角平分线就是你的"得分密码"！