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习题1-2的后半部分，从第5题到第10题，综合运用完全平方公式、根式化简、有理化这些工具，最后还有一道几何题用到了半圆中的射影定理。
这6道题的跨度很大，从代数恒等式到无理数的性质，再到几何应用，但底层的方法和前面学的完全一致——灵活运用乘法公式和代数变形。
第5题：完全平方公式与代数式求值
第5题，已知埃克斯加歪等于3，埃克斯平方加歪平方等于5，求埃克斯乘歪的值，还有埃克斯分之歪加歪分之埃克斯的值。
第一问用完全平方公式——埃克斯加歪的平方等于埃克斯平方加2倍埃克斯歪加歪平方。代入3的平方等于9，埃克斯平方加歪平方等于5，所以9等于5加2倍埃克斯歪，解得埃克斯歪等于2。
第二问，埃克斯分之歪加歪分之埃克斯，先通分。
通分后分母是埃克斯乘歪等于2，分子是歪平方加埃克斯平方等于5。所以结果是2分之5。
解题要点：已知两数和与平方和求积，完全平方公式是核心工具。对称式分式的求值，先通分再代入已知量。
第6题：数学判断题
第6题是判断题，5个选项逐一分析。
选项诶——若埃大于比则埃西大于比西。这个结论只在西大于等于0时成立。如果西是负数，不等号要反向，所以错误。选项比——根号下埃平方等于埃的绝对值。这是根式的基本性质，对任意实数成立，正确。
选项西——2分之埃加比大于等于根号下埃比。这个不就是算术不等式吗？
算术不等式有一个重要前提——埃和比必须都是非负实数。而题目没有说明这个条件，所以结论不一定成立，错误。选项迪——两个无理数的和一定还是无理数。反例：根号2加负根号2等于0，是有理数，所以错误。选项伊——若埃的绝对值大于比的绝对值，则埃大于比。反例：埃等于负5，比等于3，负5的绝对值5大于3的绝对值3，但负5小于3，所以错误。只有选项比正确，选比。
解题要点：判断题需要特别留意条件限制——算术不等式要求非负、不等式乘除要注意符号、无理数运算结果可能是有理数。举反例是判断错误选项最有效的方法。
第7题：双重根式与倒数对称式
第7题，设埃克斯等于根号下5加2倍根号6，求埃克斯加埃克斯分之1、埃克斯平方加埃克斯平方分之1、埃克斯立方加埃克斯立方分之1。
先把双重根式化简。根号下5加2倍根号6，找两个数和为5、积为6——3和2。所以等于根号3加根号2。
第一问，根号3加根号2加根号3加根号2分之1。这个怎么有理化？
根号3加根号2分之1，分子分母同乘根号3减根号2，分母用平方差得3减2等于1，分子是根号3减根号2，结果就是根号3减根号2。加上前面的根号3加根号2，合并得2倍根号3。
第二问和第三问就用倒数对称式的公式了。
对。第二问，埃克斯平方加埃克斯平方分之1等于括号埃克斯加埃克斯分之1的平方减2，代入2倍根号3，平方得12，减2得10。第三问，埃克斯立方加埃克斯立方分之1等于括号埃克斯加埃克斯分之1的立方减3乘括号埃克斯加埃克斯分之1，2倍根号3的立方等于24倍根号3，减3乘2倍根号3等于6倍根号3，结果是18倍根号3。
解题要点：双重根式化简是第一步，也是关键一步——只有先得到埃克斯的精确值，才能进行后续的有理化和公式求值。
第8题：黄金分割比
第8题介绍了一个特殊数字——φ等于2分之1加根号5，读作斐。它就是黄金分割比0.618。
第一问，计算φ平方减φ减1。直接代入计算：2分之1加根号5的平方等于4分之1加2倍根号5加5，减去2分之1加根号5，再减1。通分后分母为4，分子为6加2倍根号5减2减2倍根号5减4，结果为0。有趣的是，φ本身满足φ平方等于φ加1。
第二问，φ减φ分之1。
解法一直接计算——φ减φ分之1等于2分之1加根号5减去1加根号5分之2。有理化后得1。解法二更巧妙——由第一问φ平方减φ减1等于0，可得φ平方减1等于φ，所以φ减φ分之1等于φ分之φ平方减1等于φ分之φ等于1。比直接计算快捷得多。
解题要点：黄金分割比φ满足φ²=φ+1，这个性质可以推导出很多简洁结论。先用代数变形找到恒等关系，往往比直接代入计算更高效。
第9题：根式方程
第9题，根号2等于1加2加埃克斯分之1，求埃克斯。
移项得根号2减1等于2加埃克斯分之1。两边取倒数，2加埃克斯等于根号2减1分之1。分母有理化，根号2减1分之1等于根号2加1。所以2加埃克斯等于根号2加1，解得埃克斯等于根号2减1。
解题要点：根式方程的解法——把含根号的部分移到一边，取倒数或平方消去根号。注意分母有理化是保持精确值的必要步骤。
第10题：半圆中的射影定理
第10题是一道几何应用题——圆形烤肉盘直径AB等于40公分，被十等分，支架等距垂直排列，求CD的长度。
直径40公分，十等分，每一份4公分。看图可知点D到A的距离是7等分，28公分；到B的距离是3等分，12公分。三角形ACB是直角三角形，AB是直径，所以角ACB等于90度。根据半圆中的射影定理——CD平方等于AD乘BD，等于28乘12等于336。所以CD等于根号336，化简为4倍根号21，约等于18.3公分。
解题要点：半圆中直径所对的圆周角是90度，由此可引出一系列相似三角形关系。垂线段长的平方等于两段乘积——这个结论和算术不等式的几何意义完全一致。
梳理一下核心要点：
好，全部题目讲完了。按题型梳理一下方法：
第一，代数式求值与恒等变形——第5题、第7题和第8题。核心是灵活运用完全平方公式和完全立方公式，把已知条件转化为所求表达式的形式。第7题结合了双重根式化简，第8题展现了恒等关系比直接计算更高效。
第二，数学判断与反例法——第6题。判断一个结论是否正确，最重要的是关注条件限制——算术不等式有非负要求，不等式乘除要注意符号，无理数运算结果不一定还是无理数。举反例是快速排除错误选项的有效策略。
第三，根式方程与有理化——第9题。分母有理化是保持精确值的核心技巧，移项后取倒数也是重要思路。
第四，几何中的代数方法——第10题。用射影定理将几何问题转化为代数计算，两边取乘积再开方。这也是1-2节式和运算的综合应用——从乘法公式到根式化简，全部派上用场。
从第5题到第10题，我们看到了代数工具在不同场景中的灵活运用——求值、判断、化简、解方程、几何测量。这些方法虽然各有不同，但底层的数学语言是一致的：用乘法公式建立联系，用根式和分式表达精确结果。这正是第一单元"数与式"想要传达的核心能力！
