第二章 正文+习题（1）

这一章的正文没有什么需要特别总结的，主要就是引入了相似和圆幂两个概念。

说到底，就是用一些长度计算的方法来弥补导角的缺陷。

计算了边长比例，就可以导相似；计算了线段乘积，就可以导共圆和圆幂。

同时，蒙日定理 也揭示了另一种证明三线共点的方法，就是寻找三个圆的根轴即可。

这里比较特殊的技巧就是 “点圆” 和 “证明两点到同一点距离相等”。

“点圆” 书里面已经提及过了，“证明两点到同一点距离相等” 这件事一般要么是去证明 “” 或者 ：前者就是去说明对于 ，点  和  对于它的幂相等；后者就是说明  在  和  的根轴上。

其余的书上已经写得很详尽了，不赘述了。

我们直接来看习题：

证明：显然 ，， 三点共线（同理另外两组），，， 也三点共线（同理另外两组）。

而

所以 ，同理另外两组，证毕。

证明：记四个切点为 ，，，，则易证

所以 ，同理另外几组。

所以

证毕。

我们再证明一下其逆定理。

证明：假设四边形  满足对边之和相等，现在做一个圆与其中三条边相切。

（这个圆一定存在，比如就像图中  的旁切圆）

不妨这个圆与 ，， 相切（如图），此时再过  做这个圆的切线，与  交于点 。

所以此时四边形  是圆外切四边形，由 Pitot 定理 可得它的对边之和相等。

所以此时

所以

所以

但是 “三角形两边之差小于第三边”，所以 ，， 三点共线。

所以 。

从而四边形  是圆外切四边形。

分析：三个圆就要联想到 蒙日定理，这道题就是它的逆用。

证明：

证毕。

证明：

• (a)：

所以  在  上，同理它也在  上。

• (b)：

注意到

也就是说  是一个定角，而  是一个定线段，“定弦定角” 说明  在一个定圆  上。（由 正弦定理 易证）

而 ，所以  过  的中点 （与 ， 不在同一侧）。

因为  是个定圆，所以  是个定点，即  恒过定点 。

证明：记  为 ， 为 。

因为

所以  与  相切。

同理  与  相切。

下证 ：

若 ，则  应该为它们的根轴。

而 ，所以  到两个圆的幂相等，因此  也应该在根轴  上。

但是这显然不成立！

因此必须有 ，从而这四个点在同一个圆上，即

证毕。

分析：证明这种六点共圆一般两种方法：第一种是直接找圆心，第二种是证明三组相邻边上的四点共圆，再证明这三个圆重合即可。

无论如何，由对称性，我们都可以只看一个角里面的情况就够了。

简化问题是很重要的步骤！

证明：由对称性，只研究 ，，， 四点的情况。

设 ，则

而

所以

从而 ，， 三点共线。

所以

所以

接下来就有两种处理方法了：

【法一】：

所以此时  的圆心为  和  的垂直平分线的交点。

而  的中点就是  的中点，另一个同理。

所以 “ 和  的垂直平分线的交点” 也就是 “ 和  垂直平分线的交点”，也就是  的外心 。

所以

同理也就应有另外两组，所以可得

所以 ，，，，， 六点都在以  为圆心的圆上。

【法二】：

所以同理应该总共有三组共圆：

如果这三个圆互不相同，那么可得这三个圆的根轴分别为 ，，。

而由 蒙日定理，这三条直线要么交于一点，要么两两互相平行，但是现在并不满足任意一种情况！

所以至少有两个圆是重合的，而只要有两个圆重合，，，，，， 这六点就会共圆。