笔记《可视化微分几何和形式》-序幕的习题-2026.8.23

序幕的习题

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习题3：

在R²的第一象限上任取一点(a,b)，令L是经过点(a,b)的直线，A是x轴、y轴和L围成的三角形的面积。

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(i) 利用通常的微积分方法求出使得A最小的L的位置，并证明Amin=2ab。

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画图如下：

根据相似三角形的比例，有：

(x-a)/x=b/y。

所以 y=b/(1-a/x)。

A=xy/2=xb/(1-a/x)/2=b/2*x²/(x-a)。

A的导数=b/2*[x(x-2a)/(x-a)²]。

A的导数的导数=b/2*[2a²/(x-a)³]>0 (x>a时)。

所以，A的导数，随着x的增加，是不断变大的。

所以，当A的导数=0时，可以得到一个极小值。

即 x=2a 时，A有一个极小值。

此时 Amin = b/2*4a²/(2a-a) = 2ab。

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(ii) 利用牛顿的推理，在不计算的情况下，立即求出其解。

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先画一条L。

观察L旋转一个小的角度δθ时，面积A的变化。

当L顺时针旋转时。

A的面积变化 = 红边三角形的面积 - 绿边三角形的面积。

当δθ→0时，红边三角形 和 绿边三角形 都最终等于 扇形。

所以，红边三角形的面积 ≍ δθ × 红边长。

绿边三角形的面积 ≍ δθ × 绿边长。

所以，δA ≍ δθ × ( 红边长 - 绿边长 )。

观察 L 顺时针旋转时，红边长 和 绿边长 的关系。

当 L 顺时针旋转时，红边越来越长，绿边越来越短。

一开始绿边是比红边长的。

δA ≍ δθ × ( 红边长 - 绿边长 ) < 0 。

A的面积越来越小。

随着红边变长，绿边变短。

最终会出现 红边长>绿边长。

即 δA ≍ δθ × ( 红边长 - 绿边长 ) > 0 。

A的面积越来越大。

所以，当 δA=0 时，A的面积是最小的。

此时，δA ≍ δθ × ( 红边长 - 绿边长 ) = 0 。

红边长 = 绿边长。

红边 和 绿边 分别有一个直角小三角形，它俩是全等三角形。

所以有：x=2a，y=2b。

所以，Amin = xy/2 = 2ab。