高中数学 | 一道“旋转函数”新定义题的解法探究

摘要： 本题以“函数图像绕原点旋转后仍为函数图像”为背景，引入“ 旋转函数”的新定义，并依次考查直线的旋转、对数函数的角度最值以及含参函数的参数范围。三个小问形式不同，核心却完全一致：设原图像上的点旋转后成为，则旋转曲线能否通过竖直线检验，只取决于新横坐标是否关于原参数单射。本文先从旋转公式推出这一充要判据，再借助单调性和导数完成各问：不是“ 旋转函数”；第问中的最大值为；第问中的取值范围为。文章特别辨析与两个边界，并总结“坐标变换—单射判定—导数定号”的通用解题链条。

关键词： 旋转函数；坐标变换；单射；单调性；导数；参数范围

问题引入与核心转化

新定义题往往把熟悉知识包裹在陌生语言中。“旋转函数”看似要求直接想象旋转后的整条曲线，实质是在问：旋转后的曲线能否通过任意一条竖直线的检验。函数图像的本质是“每一个横坐标至多对应一个纵坐标”，因此解题的着眼点不应是新纵坐标如何变化，而应是不同原横坐标会不会旋转到同一个新横坐标。

若把原图像上的点记为，把旋转后的点记为，那么只要准确写出，几何问题就会转化为一元函数的单射或单调性问题。这种先翻译新定义、再寻找熟悉模型的做法，体现了波利亚所强调的“把未知问题化归为已知问题”的思想[2]。

本题的教学价值还在于两个边界：导数在一点等于零，并不妨碍函数严格单调；允许，也不等于在该点有定义。若只套用“导数大于零”或机械使用正切函数，很容易漏掉正确端点。

题目呈现

在平面直角坐标系中，如果将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称为“ 旋转函数”。

判断函数是否为“ 旋转函数”，并说明理由；

已知函数是“ 旋转函数”，求的最大值；

若函数是“ 旋转函数”，求的取值范围。

旋转坐标与统一判定准则

点绕原点逆时针旋转后的坐标为。因此，原图像上的点旋转后满足

旋转是平面上的一一变换，所以两个不同的原图像点不可能旋转成同一个点。于是，若却有，对应的新纵坐标必不相同，旋转后的曲线便不能成为函数图像；反之，若关于是单射，每一个新横坐标至多对应一个点，旋转曲线就是某个函数的图像。因此得到本题的核心判据：

本题各函数的定义域都是区间，且连续，所以“单射”等价于“严格单调”。若可导，则

当时，还可写成。高中教材中用导数研究函数单调性的基本方法[1]，在这里正好承担了竖直线检验的代数化任务。需要注意：且不在任何区间上恒为零，就足以推出严格递增；不必强求导数处处大于零。

直线、对数函数与前两问

第问中，取、。旋转后的横坐标为

所有点旋转后的横坐标都等于零，所得曲线是一条竖直直线，不能表示为。所以不是“ 旋转函数”。从几何上看，原直线与轴的夹角为，再逆时针旋转后恰与轴重合，这与坐标计算完全一致。

方法评注： 判断旋转后的直线是否为函数图像，不能只说“旋转后仍是直线”。竖直直线也是直线，却不是通常意义下关于的函数图像。最稳妥的判断是检查新横坐标是否退化为常数。

第问中，，定义域为。先讨论，令。由，可得

若，则对任意都有，故，新横坐标严格递增，旋转后的曲线是函数图像。特别地，当时，分子为，在定义域内仍始终为正，因此端点可以取得。

若，令，则在上为负，在上为正。此时先减后增，在极小值两侧会出现相同的新横坐标，旋转曲线不能通过竖直线检验。因此，在正切值有定义的角度中，恰有，从而

这里还要处理题目允许的特殊角。此时，它在上严格递减，所以确实也是“ 旋转函数”。但是没有定义，不属于“ 的取值”。完整地说，可行角集合为，而有定义的正切值集合为。

方法评注： 本问不能只求方程，还要判断导数是否在定义域内变号；也不能因为题设含有，就把无定义的当作一个可比较的数值。定义域与边界应分别核查。

参数函数、第三问及拓展

第问取。由于，旋转后的横坐标及其导数为

记。因为，所以在处取得最小值，且当时趋于，从而

另一方面，当时，，所以若严格单调，只可能严格递增，不可能严格递减。故应使对一切成立，也就是对一切成立。

当时，由可知无上界，条件不成立；当时条件显然成立；当时，的最大值在时取得，最大值为，因此必须且只须，即。综上，

端点需要单独说明。此时，等号仅在处成立；在任意非退化区间内，导数不可能恒为零，故仍严格递增，端点应保留。若，则，而在两端又为正，必然发生折返；若，则从左端的正值最终变为负值，同样发生折返。因此区间外的参数确实都不合题意。

上述方法可以推广。对于定义在区间上的可导函数，研究其绕原点旋转后是否仍为函数图像，可以依次完成三步：写出；把图像判定转化为的单射性；再研究的符号。若穿过临界斜率，新横坐标通常会发生折返；若始终位于临界斜率同一侧，则旋转曲线通常仍是函数图像。函数图像与坐标变换的结合，有助于学生把代数表示、几何直观和映射观点联系起来[3]。

教学中可先让学生用竖直线检验观察第问，再追问“旋转后哪一个量必须一一对应”，由此自然生成；随后用第问训练“导数变号与折返”，最后用第问完成“函数值域控制参数”的提升。常见错误主要有四类：只研究新纵坐标；把误当成唯一标准；漏掉；忽略无定义。这样的设问顺序既体现特殊到一般，也能让同一判据在不同函数模型中反复迁移。

结语

“ 旋转函数”虽然是一个新定义，但其数学核心是熟悉的函数单值性。将图像上的点参数化并实施旋转后，问题统一为新横坐标是否单射；在连续、可导的情形下，又可继续转化为单调性和导数符号问题。这条“旋转坐标—横坐标单射—导数定号”的主线贯穿三问，并得到结论。

更重要的是，本题说明：处理新定义题时，应先把文字条件翻译成准确的数学判据，再选择导数、值域等常规工具；处理参数端点时，应回到“严格单调”与“表达式有定义”本身，而不能依赖机械口诀。这样既能保证解答严谨，也能把一道综合题转化为可复用的研究范式。

参考文献

[1] 人民教育出版社课程教材研究所. 普通高中教科书·数学选择性必修第二册 [M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法 [M]. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[3] Gelfand I M, Glagoleva E G, Shnol E E. Functions and Graphs [M]. Mineola: Dover Publications, 2002.