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专练 29 数列的概念
授课提示：对应学生用书61页
[基础强化]
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1，，，，…，
答案：B
解析：A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
2．已知a＝，那么数列{a}是( )
n n
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案：B
解析：∵a －a＝－
n＋1 n
＝＝，又n∈N*，
∴＞0，
即：a －a＞0，∴a ＞a，∴{a}为递增数列．
n＋1 n n＋1 n n
3．在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第( )
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
答案：C
解析：数列可化为，，，，，…，
∴a＝＝，
n
由＝2＝，得n＝26.
4．已知数列{a}满足：a＝1，a ＝则a＝( )
n 1 n＋1 6
A．16 B．25
C．28 D．33
答案：C
解析：当n＝1时，a ＝1＋3＝4；当n＝2时，a ＝2×4＋1＝9；当n＝3时，a ＝9＋3
2 3 4
＝12；当n＝4时，a＝2×12＋1＝25；当n＝5时，a＝25＋3＝28.故选C.
5 6
5．已知数列{a}，a＝－2n2＋λn.若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
n n
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
答案：A
解析：由题意得a －a ＝－2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋2n2－λn＝－4n－2＋λ＜0恒成立，∴
n＋1 n
－4－2＋λ＜0，∴λ＜6.
6．已知数列{a}满足a＝2，a ＝(n∈N*)，则a ＝( )
n 1 n＋1 2 021
A．2 B．－3
C．－ D．
答案：A
解析：∵a＝2，∴a＝＝－3，a＝＝－，a＝＝，a＝＝2＝a，…
1 2 3 4 5 1
∴{a}为周期数列，且周期T＝4，∴a ＝a＝2.
n 2 021 1
7．设数列{a}满足a＝a，a ＝(n∈N*)，若数列{a}是常数列，则a＝( )
n 1 n＋1 nA．－2 B．－1
C．0 D．(－1)n
答案：A
解析：因为数列{a}是常数列，所以a＝a ＝＝，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故
n 2
选A.
8．在数列{a}中，a＝2，a ＝a＋ln ，则a＝( )
n 1 n＋1 n n
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
答案：A
解析：由a ＝a＋ln 得
n＋1 n
a －a＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
n＋1 n
∴当n≥2时，a－a＝ln 2－ln 1，a－a＝ln 3－ln 2，…，a－a ＝ln n－ln (n－1)，
2 1 3 2 n n－1
∴a－a＝ln n，
n 1
∴a＝ln n＋a＝2＋ln n，
n 1
又当n＝1时，a＝2＝2＋ln 1符合上式．
1
∴a＝2＋ln n．
n
9．(多选)下面四个说法中错误的是( )
A．数列{}的第k项为1＋
B．数列的项数是无限的
C．数列的通项公式的表达式是唯一的
D．数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7}
答案：BCD
解析：根据数列的表示方法可知，求数列的第k项就是将k代入通项公式，经验证知
A正确；数列的项数可能是有限的，也可能是无限的，并且数列的通项公式的表达式不是
唯一的，故B，C不正确；集合中的元素具有无序性，而数列中每一个数的位置都是确定
的，故D不正确．故选BCD.
二、填空题
10．数列{a}满足a＝17，a＝a ＋2n－1(n≥2，n∈N*)，则的最小值是________．
n 1 n n－1
答案：8
解析：∵a＝17，a＝a ＋2n－1(n≥2，n∈N*)，
1 n n－1
∴a－a ＝2n－1，
n n－1
∴a－a＝3，a－a＝5，a－a＝7，…，
2 1 3 2 4 3
a－a ＝2n－1(n≥2，n∈N*)
n n－1
以上各式相加得，a－a＝3＋5＋7＋…＋2n－1，
n 1
整理得，a＝17＋＝n2＋16(n≥2，n∈N*).
n
又当n＝1时，a＝17也适合上式，∴a＝n2＋16，
1 n
∴＝n＋≥2＝8(当且仅当n＝4时取“＝”).
11．设数列{a}满足a ＝1，且a －a ＝n＋1(n∈N*)，则数列{a}的通项公式为a ＝
n 1 n＋1 n n n
________．
答案：
解析：由a －a＝n＋1，∴当n≥2时，a－a＝1＋1＝2，
n＋1 n 2 1
a－a＝2＋1＝3，a－a＝3＋1＝4，…，a－a ＝n－1＋1＝n，
3 2 4 3 n n－1
∵a－a＝，∴a＝(n≥2)，
n 1 n
又当n＝1时a＝1也适合上式，∴a＝.
1 n
[能力提升]
12．数列{a}中，a＝1，a ＝2a＋1，则其通项公式为________．
n 1 n＋1 n
答案：a＝2n－1
n
解析：由a ＝2a＋1得a ＋1＝2(a＋1)，
n＋1 n n＋1 n
∴＝2，∴{a＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
n
∴a＋1＝(a＋1)·2n－1＝2n，
n 1
∴a＝2n－1.
n
