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专练 38 空间向量及其运算
授课提示：对应学生用书81页
[基础强化]
一、选择题
1．在平行六面体ABCD－ABC D 中，向量⃗D A，⃗D C，⃗A C 是( )
1 1 1 1 1 1 1 1
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案：C
解析：∵ ⃗A C ＝AC，
1 1
又AC，DA，DC共面，
1 1
∴AC， ⃗D A， ⃗D C共面，即： ⃗A C ， ⃗D A， ⃗D C共面．
1 1 1 1 1 1
2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为(
)
A． B．－2
C．0 D．或－2
答案：B
解析：∵a∥b，∴b＝λa，得m＝－2.
3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是( )
A．6 B．2 C．36 D．2
答案：A
解析：|PQ|＝
＝＝＝6.
4．如图所示，在平行六面体ABCD－ABC D 中，M为AC 与BD 的交点，若AB＝
1 1 1 1 1 1 1 1
a，AD＝b，⃗AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A.－a＋b＋c
B．a＋b＋c
C．－a－b＋c
D．a－b＋c
答案：A
解析： 由题意知BM＝BA＋ ⃗AA ＋ ⃗A M＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.
1 1
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，
则实数λ等于( )A． B． C． D．
答案：D
解析：∵a，b，c共面，∴c＝xa＋yb.
∴(7，5，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，
∴得
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA＝
a，PB＝b，PC＝c，则BE＝( )
A.a－b＋c
B．a－b－c
C．a－b＋c
D．a－b＋c
答案：C
解析：∵E为PD的中点，∴BE＝
＝(－PB＋BD)
＝(－PB＋PA－PB＋PC－PB)
＝－PB＋PA＋PC
＝a－b＋c
7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
答案：B
解析：∵|a|＝＝，设b＝(－1，1，0)，|b|＝，a·b＝－1<0，故A不正确；对于B，设c
＝(1，－1，0)，a·c＝1，|c|＝.∴cos 〈a，c〉＝＝，
∴〈a，c〉＝60°，同理可得C、D不正确．
8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且a⊥(a＋b)，则y的值为( )
A．6 B．10 C．12 D．14
答案：C
解析：a＋b＝(－2，y－1，5)，∵a⊥(a＋b)，
∴－2×2－(y－1)＋3×5＝0，得y＝12.
9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD
的中点，则AE·AF＝( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
答案：C
解析：依题意，
点E，F为BC，AD的中点，如图所示，AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝
(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
二、填空题
10．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________．
答案：3
解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，∴|λa＋b|＝＝，∴17＋2λ2－2λ＝29，
∴λ＝3或λ＝－2(舍).
11．在空间直角坐标系中，以点 A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的
△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
答案：2
解析：由题意得AB·AC＝0，|AB|＝|AC|，
又AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4，3，－6)
∴得x＝2.
12．在三棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝
c，则MN＝________．
答案：(b＋c－a)
解析：MN＝ON－OM
＝(OB＋OC)－OA
＝(b＋c－a)
[能力提升]
13．已知长方体ABCD－ABC D 中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
1 1 1 1
A.⃗AD1·⃗B1C
B．⃗BD1·AC
C．AB·⃗AD1
D．⃗BD1·BC
答案：D
14．在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为
1 1 1 1
CC ，AD的中点，则异面直线OE与FD 所成角的余弦值为( )
1 1
A． B．
C． D．
答案：B
解析：∵OE＝ ⃗AC ＝(AB＋AD＋ ⃗AA )，
1 1
⃗FD1＝AD＋ ⃗AA ，
1
∴OE·⃗FD ＝(AB＋AD＋⃗AA1)·( eq ¿(1,2) eq ¿(AD,¿¿6(→)) ＋⃗AA )＝
1 1
(AB·AD＋AB·＋ ⃗AA ＋AD2＋AD·＋ ⃗AA ＋ ⃗AA ·AD＋ ⃗AA 2 ＝3.
1 1 1 1而|OE|＝ ＝，|FD|＝，
1
eq ¿(OE,¿¿6(→)) ·⃗FD
∴cos 〈OE， ⃗FD 〉＝ 1 ＝.
1 | eq ¿(OE,¿¿6(→)) |⃗FD |
1
15．如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长
为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． B．
C．1 D．
答案：D
解析：∵BD＝BF＋FE＋ED，
∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2(BF·FE＋FE·ED＋ED·BF)＝1＋1＋1＋2(0＋0－)＝3－.
∴|BD|＝.
16.
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，
VN＝VD，则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案：平行
解析：设VA＝a，VB＝b，
VC＝c，
则VD＝a＋c－b，
PM＝b－c，
PN＝VD－VC＝a－b＋c，
∴VA＝PM＋PN，∴VA，PM，PN共面，
又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
