23-24学年七中九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州七中九年级（上）月考数学试卷（10 月份） 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列函数表达式中，是二次函数的是( ) 1 A．y B．y x2 C．yx2 1 D．y(x3)2 x2 x 2．（3分）若关于x的一元二次方程x2 2xm0有一个解为x1，则m的值为( ) A．1 B．3 C．3 D．4 3．（3分）已知二次函数yx2 4x3，下列结论不正确的是( ) A．图象开口向上 B．图象经过点(0,3) C．对称轴是直线x1 D．与x轴有两个交点 4．（3分）如表是一组二次函数yx2 x3的自变量和函数值的关系，那么方程x2 x30的一个近似 根是( ) 学 x 1 2 3 4 升 y 3 1 3 9 哥 A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5 水 5．（3分）如图所示的是二次函数yax2 bxc的部分图象，由图象可知不等式ax2 bxc0的解集是 ( ) A．1 x5 B．x5 C．x1且x5 D．x1或x5 6．（3分）点A(2,y )，B(0,y )，C(1,y )为二次函数yx2 2x1的图象上的三点，则y ，y ，y 的大 1 2 3 1 2 3 小关系是( ) A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2 7．（3分）记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次 第1页（共23页）函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当 商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是( ) A．y(x60)2 1825 B．y2(x60)2 1850 C．y(x65)2 1900 D．y2(x65)2 2000 8．（3分）已知关于x的方程x2 bxc0的两个根分别是1和3，若抛物线yx2 bx2c与y轴交于点 A，过A作AB y 轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为( ) A．2 B．3 C．1 D．1.5 9．（3分）已知二次函数yax2 bxc(a0)的图象经过第一象限的点(1,b)，则一次函数 ybxac的 图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3 10．（3分）已知抛物线yk(x1)(x )与x轴交于点A，B，与y轴交于点C ，则能使ABC 为等腰三 学 k 角形的抛物线的条数是( ) 升 A．2 B．3 C．4 D．5 哥 二、填空题（每题3分，共18分） 水 11．（3分）方程(n3)x|n|13x3n0是关于x的一元二次方程，n ． 12．（3分）将抛物线y2x2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 ． 13．（3分）二次函数yx2 2x3的图象的顶点坐标为 ． 14．（3分）已知实数a、b满足(a2 b2)2 (a2 b2)20，则a2 b2  ． 15．（3分）若关于x的方程x2 bxc0的两个根为x 1，x 3，则关于x的方程(x2)2 b(x2)c0 1 2 的两个根为 ． 16．（3分）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线ykx3(k 为常数，k 0)上，若ab的最大值为9，则c 的值 为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列方程： （1）x2 2x116． （2）3x(x1)2x2． 第2页（共23页）18．（6分）已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,3)，且经过点B(3,0)． （1）求该二次函数的解析式； （2）判断点C(3,4)、D(1,0)是否在该函数图象上，并说明理由． 19．（6分）已知矩形的周长为40cm矩形，绕它的一条边旋转形成一个圆柱，旋转形成的圆柱的侧面积最 大为多少cm2？（结果保留) 20．（8分）二次函数yx2 bxc(b，c为常数）的图象经过点(2,3)，(3,0)． （1）该二次函数图象与y轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （3）根据图象，当1 x3时，y的取值范围是 ． 学 升 哥 水 21．（8分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2 2(m1)xm2 50的两实数根． 1 2 （1）若(x 1)(x 1)28，求m的值； 1 2 （2）已知等腰ABC 的一边长为7，若x ，x 恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 1 2 22．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2 2mxm2 9该抛物线与x轴交于A，B两点，点A 在点B的左侧，且3OAOB，求m的值． 23．（8分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类 图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元． （1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ （2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售 价不变）；购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按 购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书超过40本，但不超过60 第3页（共23页）本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？ 1 24．（12分）如图，抛物线y x2 bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C， 2 1 直线 y x2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点． 2 （1）求抛物线的解析式； （2）当抛物线上的点P的在BC下方运动时，求BCP面积的最大值； （3）连接OP，把OCP沿着y轴翻折，使点P落在P的位置，四边形CPOP能否构成菱形，若能，求 出点P的坐标，如不能，请说明理由． 学 升 哥 水 25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bxc(0a10)过点A(1,7ac)，B(x ，4)，C(x ， 1 2 4)，顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设OBE的面积为S ，OCE的面积为S ，S S 4． 1 2 1 2 （1）用含a的式子表示b； （2）求点E的坐标； 4 （3）若直线DE与此抛物线的另一个交点F 的横坐标为 3，求yax2 bxc在2x5时的取值范围 a （用含a的式子表示）． 第4页（共23页）2023-2024 学年广东省广州七中九年级（上）月考数学试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列函数表达式中，是二次函数的是( ) 1 A．y B．y x2 C．yx2 1 D．y(x3)2 x2 x 【分析】根据二次函数的定义，逐个选项判断，即可得出答案． 1 【解答】解：y 中y与x成反比例函数关系， x 选项A不符合题意； y x2中y与x成一次函数关系， 选项B不符合题意； yx2 1中y与x成二次函数关系， 学 选项C符合题意； 升 y(x3)2 x2 6x9，是一次函数定义， 哥 选项D不符合题意； 水 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 2．（3分）若关于x的一元二次方程x2 2xm0有一个解为x1，则m的值为( ) A．1 B．3 C．3 D．4 【分析】把x1代入方程x2 2xm0得12m0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：把x1代入方程x2 2xm0得12m0，解得m3． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次 方程的解． 3．（3分）已知二次函数yx2 4x3，下列结论不正确的是( ) A．图象开口向上 B．图象经过点(0,3) C．对称轴是直线x1 D．与x轴有两个交点 【分析】根据二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点情况判断即可． 第5页（共23页）【解答】解：A、二次函数yx2 4x3，a10， 则图象开口向上，本选项结论正确，不符合题意； B、当x0时， y3， 则图象经过点(0,3)，本选项结论正确，不符合题意； 4 C、对称轴是直线x 2，本选项结论错误，符合题意； 21 D、△(4)2 41340， 与x轴有两个交点，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数图象与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的关系是解题 的关键． 4．（3分）如表是一组二次函数yx2 x3的自变量和函数值的关系，那么方程x2 x30的一个近似 学 根是( ) 升 x 1 2 3 4 哥 y 3 1 3 9 水 A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5 【分析】观察表格可得1更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程x2 x30的一个近似根在2和3之间， 故选：B． 【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 5．（3分）如图所示的是二次函数yax2 bxc的部分图象，由图象可知不等式ax2 bxc0的解集是 ( ) A．1 x5 B．x5 C．x1且x5 D．x1或x5 第6页（共23页）【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解． 【解答】解：抛物线对称轴为直线x2，且抛物线与x轴交于(5,0)， 抛物线与x轴另一交点坐标为(1,0)， 不等式ax2 bxc0的解集是x1或x5， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 6．（3分）点A(2,y )，B(0,y )，C(1,y )为二次函数yx2 2x1的图象上的三点，则y ，y ，y 的大 1 2 3 1 2 3 小关系是( ) A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x1，根据x1时，y随x的增大而 减小，即可得出答案． 【解答】解：yx2 2x1(x1)2， 学 图象的开口向上，对称轴是直线x1， 升 201， 哥 y  y  y ， 水 3 2 1 故选：B． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练 地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 7．（3分）记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次 函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当 商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是( ) A．y(x60)2 1825 B．y2(x60)2 1850 C．y(x65)2 1900 D．y2(x65)2 2000 【分析】设二次函数的解析式为：yax2 bxc，根据题意列方程组即可得到结论． 【解答】解：设二次函数的解析式为：yax2 bxc， 当x55，75，80时，y1800，1800，1550， 第7页（共23页）552a55bc1800  752a75bc1800，  802a80bc1550  a2  解得b260 ，  c6450 y与x的函数关系式是y2x2 260x64502(x65)2 2000， 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确的列方程组是解题的关键． 8．（3分）已知关于x的方程x2 bxc0的两个根分别是1和3，若抛物线yx2 bx2c与y轴交于点 A，过A作AB y 轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为( ) A．2 B．3 C．1 D．1.5 学 【分析】方程x2 bxc0的两个根分别是1和3，可以得到抛物线yx2 bxc与x轴的交点为(1,0)， 升 (3,0)，然后即可得到b、c的值，从而可以得到抛物线yx2 bx2c的解析式，然后求出点A和点B的 哥 坐标，即可得到AB的值． 水 【解答】解：方程x2 bxc0的两个根分别是1和3， 抛物线yx2 bxc与x轴的交点为(1,0)，(3,0)， 1bc0  ， 93bc0 b2 解得 ， c3 yx2 bx2cx2 2x6， 当x0时，y6， 当y6时，6 x2 2x6，得x 0，x 2， 1 2 点A的坐标为(0,6)，点B的坐标为(2,6)， AB202， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关 第8页（共23页）键是求出b、c的值． 9．（3分）已知二次函数yax2 bxc(a0)的图象经过第一象限的点(1,b)，则一次函数 ybxac的 图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据二次函数yax2 bxc(a0)的图象经过第一象限的点(1,b)，可以判断b0和ac异号．再 根据一次函数的性质即可求解． 【解答】解：点(1,b)在第一象限． b0． b0． 二次函数yax2 bxc(a0)的图象经过第一象限的点(1,b)． babc． 学 ac0． a0． 升 ac0． 哥 一次函数ybxac的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 水 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识．关键在于 判断b、ac的正负性． 3 10．（3分）已知抛物线yk(x1)(x )与x轴交于点A，B，与y轴交于点C ，则能使ABC 为等腰三 k 角形的抛物线的条数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】求出A，C的坐标，画出图形即可解决问题； 3 【解答】解： yk(x1)(x )(x1)(kx3)， k 所以，抛物线经过点A(1,0)，C(0,3)， AC OA2 OC2  10， 3 点B坐标为( ，0)， k 第9页（共23页）观察图象可知，满足条件的点B有4个， 所以，能使ABC 为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题 的关键，注意分情况讨论． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）方程(n3)x|n|13x3n0是关于x的一元二次方程，n 3 ． 学 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2 bxc升0(a，b，c是常数且a0)，把方程化为一般形式， 根据二次项系数不等于0，即可求得n哥的值． 【解答】解：方程(n3)x|n|1水3x3n0是一元二次方程， |n|12，且n30，即n3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2 bxc0(a，b，c是常数 且a0)，特别要注意a0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12．（3分）将抛物线y2x2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 y2x2 3 ． 【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案． 【解答】解：抛物线y2x2向下平移3个单位， 抛物线的解析式为y2x2 3． 故答案为：y2x2 3． 【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左 加右减，上加下减． 第10页（共23页）13．（3分）二次函数yx2 2x3的图象的顶点坐标为 (1,4) ． 【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【解答】解：yx2 2x3 (x2 2x11)3 (x1)2 4， 顶点坐标为(1,4)． 故答案为：(1,4)． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解题的关键． 14．（3分）已知实数a、b满足(a2 b2)2 (a2 b2)20，则a2 b2  2 ． 【分析】设a2 b2  x，则原方程化为x2 x20，求出x的值，再求出a2 b2的值即可． 【解答】解：(a2 b2)2 (a2 b2)20， 学 升 设a2 b2  x，则原方程化为x2 x20， 解得：x2或1， 哥 当x2时，a2 b2 2， 水 当x1时，a2 b2 1， 不论a、b为何值，a2 b2都不能为负数， 此时不符合题意，舍去， 即a2 b2 2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键． 15．（3分）若关于x的方程x2 bxc0的两个根为x 1，x 3，则关于x的方程(x2)2 b(x2)c0 1 2 的两个根为 x 1，x 1 ． 1 2 【分析】根据题意可得x21或x23，解方程即可求解． 【解答】解：关于x的方程x2 bxc0的两个根为x 1，x 3， 1 2 关于x的方程(x2)2 b(x2)c0的两个根满足x21或x23， 解得x 1，x 1． 1 2 第11页（共23页）故答案为：x 1，x 1． 1 2 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 16．（3分）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线ykx3(k 为常数，k 0)上，若ab的最大值为9，则c的值为 2 ． ak3b① 【 分 析 】 由 点 A(a,b) ， B(4,c) 在 直 线 ykx3 上 ， 可 得  ， 即 得 4k3c② 3 9 1 aba(ak3)ka2 3ak(a )2  ，根据ab的最大值为9，得k  ，即可求出c2． 2k 4k 4 【解答】解：点A(a,b)，B(4,c)在直线ykx3上， ak3b①  ， 4k3c② 3 9 由①可得：aba(ak3)ka2 3ak(a )2  ， 2k 4k 学 ab的最大值为9， 9 升 k 0， 9， 4k 哥 1 解得k  ， 4 水 1 1 把k  代入②得：4( )3c， 4 4 c2， 故答案为：2． 【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最 值． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列方程： （1）x2 2x116． （2）3x(x1)2x2． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2 2x116， (x1)2 16， 第12页（共23页）x14， x 5，x 3． 1 2 （2）3x(x1)2x2， 3x(x1)2(x1)0， (x1)(3x2)0， x10或3x20， 2 x 1，x  ． 1 2 3 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法 有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 18．（6分）已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,3)，且经过点B(3,0)． （1）求该二次函数的解析式； （2）判断点C(3,4)、D(1,0)是否在该函数图象上，并说明理学由． 【分析】（1）设顶点式ya(x2)2 3，然后把B点升坐标代入求出a的值即可； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征进哥行判断． 【解答】解：（1）设该二次函数水的解析式为ya(x2)2 3， 把B(3,0)代入得a(32)2 30， 解得a3， 所以改二次函数的解析式为 y3(x2)2 3； （2）点C(3,4)不在该函数图象；D(1,0)在该函数图象上． 理由如下： 当x3时，y04， 所以点C(3,4)不在该函数图象上； 当x1时，y3(12)2 30， 所以点D(1,0)在该函数图象上． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题 目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图 象上点的坐标特征． 第13页（共23页）19．（6分）已知矩形的周长为40cm矩形，绕它的一条边旋转形成一个圆柱，旋转形成的圆柱的侧面积最 大为多少cm2？（结果保留) 【分析】设矩形的一边是a cm，则另一条边是(20a)cm．根据圆柱的侧面积底面周长高，得圆柱的 侧面积2a(20a)，再根据二次函数即可求其最值． 【解答】解：设矩形的一边是a cm，则另一条边是(20a)cm． 则圆柱的侧面积2a(20a)2a2 40a， 40 当a 10时，圆柱的侧面积最大，最大值为200， 2(2) 故矩形的长和宽都是10cm时，所形成的圆柱的侧面积最大，即为200cm2． 【点评】此题综合考查了圆柱的侧面积公式和二次函数的最值问题，解答本题的关键是明确题意，利用二 次函数的性质解答． 20．（8分）二次函数yx2 bxc(b，c为常数）的图象经过点(2,3)，(3,0)． 学 （1）该二次函数图象与y轴的交点坐标为 (0,3) ，顶点坐标为 ； 升 （2）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； 哥 （3）根据图象，当1 x3时，y的取值范围是 ． 水 【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，就可以求得该二次函数图象与y轴的交点坐标和顶 点坐标； （2）根据函数解析式，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象，可以得到当1 x3时，y的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数yx2 bxc(b，c为常数）的图象经过点(2,3)，(3,0)， 第14页（共23页）42bc3  ， 93bc0 b2 解得 ， c3 该函数的解析式为yx2 2x3， yx2 2x3(x1)2 4， 当x0时， y3， 该二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,3)，顶点坐标为(1,4)， 故答案为：(0,3)，(1,4)； （2）yx2 2x3(x3)(x1)(x1)2 4， 该函数的顶点为(1,4)，过点(0,3)，(1,3)，(1,0)，(3,0)， 学 函数图象如图所示； （3）由图象可知，当1 x3时，y的取值范围是升 0 y4， 故答案为：0 y4， 哥 水 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21．（8分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2 2(m1)xm2 50的两实数根． 1 2 （1）若(x 1)(x 1)28，求m的值； 1 2 （2）已知等腰ABC 的一边长为7，若x ，x 恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 1 2 【分析】（1）根据判别式的意义可得m 2，再根据根与系数的关系得x x 2(m1)，xx m2 5，接 1 2 1 2 着利用(x 1)(x 1)28得到m2 52(m1)128，解得m 6，m 4，于是可得m的值为6； 1 2 1 2 第15页（共23页）（2）分类讨论：若x 7时，把x7代入方程得4914(m1)m2 50，解得m 10，m 4，当m10 1 1 2 时，由根与系数的关系得x x 2(m1)22，解得x 15，根据三角形三边的关系，m10舍去；当m4 1 2 2 时，x x 2(m1)10，解得x 3，则三角形周长为37717；若x x ，则m2，方程化为 1 2 2 1 2 x2 6x90，解得x  x 3，根据三角形三边的关系，m2舍去． 1 2 【解答】解：（1）根据题意得△4(m1)2 4(m2 5) 0，解得m 2， x x 2(m1)，xx m2 5， 1 2 1 2 (x 1)(x 1)28，即xx (x x )128， 1 2 1 2 1 2 m2 52(m1)128， 整理得m2 2m240，解得m 6，m 4， 1 2 学 而m 2， m的值为6； 升 （2）当腰长为7时，则x7是一元二次哥方程x2 2(m1)xm2 50的一个解， 水 把x7代入方程得4914(m1)m2 50， 整理得m2 14m400，解得m 10，m 4， 1 2 当m10时，x x 2(m1)22，解得x 15，而7715，故舍去； 1 2 2 当m4时，x x 2(m1)10，解得x 3，则三角形周长为37717； 1 2 2 当7为等腰三角形的底边时，则x x ，所以m2，方程化为x2 6x90，解得x  x 3，则337， 1 2 1 2 故舍去， 所以这个三角形的周长为17． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程ax2 bxc0(a0) 的两根时， 1 2 b c x x  ，xx  ．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． 1 2 a 1 2 a 22．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2 2mxm2 9该抛物线与x轴交于A，B两点，点A 在点B的左侧，且3OAOB，求m的值． 【分析】利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可． 第16页（共23页）【解答】解：令y0，得x2 2mxm2 90， 解得：x m3，x m3， 1 2 A(m3,0)，B(m3,0)， OA|m3|，OB|m3|， 3OAOB， 3|m3||m3|， 3 解得：m6或 ， 2 3 故m的值为6或 ． 2 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，两点间距离公式，绝对值的性质等，是一道基础题． 23．（8分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类 图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元． 学 （1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ 升 （2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售 哥 价不变）；购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按 购买50本时的单价销售．社区水计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书超过40本，但不超过60 本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？ 【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，根据题中等量关系列二元一次方程 组求解即可； （2）设科技类图书的购买数量为m 本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为 (100m)本，分30 m 40，40m 50及50m 60三种情况考虑，利用总价单价数量，即可得出w 关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征（或二次函数的性质及二次 函数图象上点的坐标特征），可求出w的取值范围，取其最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元， 2x3y154 根据题意得 ， 4x5y282 x38 解得 ， y26 答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元； 第17页（共23页）（2）设科技类图书的购买数量为m 本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为 (100m)本． ①当30 m 40时，w38m26(100m)12m2600 ， 120， w随m的增大而增大， 2960 w 3080； ②当40m 50时，w[38(m40)]m26(100m)(m26)2 3276， 10， 当m26时，w随m的增大而减小， 2700 w3080； ③当50m 60时，w[38(5040)]m26(100m)2m2600 ， 20， 学 w随m的增大而增大， 升 2700w 2720． 哥 综上，当30 m 60时，w的最小值为2700． 答：社区至少要准备2700元购水书款． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解答的关键． 1 24．（12分）如图，抛物线y x2 bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C， 2 1 直线 y x2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点． 2 （1）求抛物线的解析式； （2）当抛物线上的点P的在BC下方运动时，求BCP面积的最大值； （3）连接OP，把OCP沿着y轴翻折，使点P落在P的位置，四边形CPOP能否构成菱形，若能，求 出点P的坐标，如不能，请说明理由． 第18页（共23页）【分析】（1）先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论； 1 3 1 1 （2）过点 P 作 PG//y 轴交 BC 于点G ，设 P(t ， t2  t2，则G(t, t2)，则 PG t2 2t ， 2 2 2 2 S (t2)2 4，再求解即可； BCP （3）由翻折得，点P、P关于y轴对称，可得OC 垂直平分PP，当PP垂直平分OC时，四边形CPOP 1 3 能构成菱形，则点P的纵坐标为1，代入y x2  x2求出x的值，即可求解． 学 2 2 1 【解答】解：（1）对于直线y x2， 升 2 令x0，则y2， 哥 C(0,2)， 水 1 令y0，则0 x2， 2 x4， B(4,0)， 1 84bc0 将点B，C坐标代入抛物线y x2 bxc中，得 ， 2 c2  3 b  2，  c2 1 3 抛物线的解析式为y x2  x2； 2 2 （2）过点P作PG//y轴交BC于点G， 第19页（共23页）1 3 1 设P(t， t2  t2，则G(t, t2)， 2 2 2 1 1 3 1 PG t2 t2  t2 t2 2t， 2 2 2 2 1 1 S  4( t2 2t)(t2)2 4， BCP 2 2 当t 2时，S 的值最大，最大值为4； BCP （3）如图， 学 升 哥 水 由翻折得，点P、P关于y轴对称， OC垂直平分PP， 当PP垂直平分OC时，四边形CPOP能构成菱形， 点P的纵坐标为1， 1 3 当y1时，1 x2  x2， 2 2 3 17 x ， 2 3 17 3 17 四边形CPOP能构成菱形，点P的坐标为( ，1)或( ，1)． 2 2 【点评】本题是二次函数综合题，考查一次函数的应用、翻折变换，菱形的判定和性质等知识，解题的关 键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bxc(0a10)过点A(1,7ac)，B(x ，4)，C(x ， 1 2 第20页（共23页）4)，顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设OBE的面积为S ，OCE的面积为S ，S S 4． 1 2 1 2 （1）用含a的式子表示b； （2）求点E的坐标； 4 （3）若直线DE与此抛物线的另一个交点F 的横坐标为 3，求yax2 bxc在2x5时的取值范围 a （用含a的式子表示）． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由三角形面积关系，可得BE CE2，由对称轴为x3，可求BC中点M 的坐标 (3,4)，由线段的数量关系，可求EM 1，可求解； （3）先求出点F 坐标，点D坐标可求直线DF解析式，可得点E坐标，可求DE解析式，可得c9a，由 二次函数的性质可求解． 【解答】解：（1）抛物线yax2 bxc(0a10)过点A(1,7ac)， 学 7acabc， b6a； 升 （2）如图1，当点B在点C 的左边时，设哥BC的中点为M ， 水 B(x ，4)，C(x ，4)，线段BC上有一点E， 1 2 1 1 S  BE42BE，S  CE42CE， 1 2 2 2 S S 4． 1 2 2CE42BE， BE CE2， b6a， 第21页（共23页）抛物线yax2 6axc， 6a 对称轴为x 3， 2a BC的中点M 坐标为(3,4)， BE BM EM ，CE CM EM ，BM CM ，BE CE2， EM 1， 点E(4,4) 当点B在点C 的右边时，设BC的中点为M ， 学 升 哥 同理可求点E(2,4)， 水 综上所述：点E(4,4)或(2,4)； 4 （3）直线DE与抛物线G:yax2 6axc的另一个交点F 的横坐标为 3， a 4 4 16 ya( 3)2 6a( 3)c 9ac， a a a 4 16 点F( 3， 9ac)， a a 点D是抛物线的顶点， 点D(3,9ac)， 直线DF的解析式为：y4x12c9a ， 点E坐标为(4,4)， 又点D(3,9ac)， 直线DE解析式为：y(49ac)x4c36a12， 直线DE与直线DF是同一直线， 449ac， c9a， 第22页（共23页）抛物线解析式为：yax2 6ax9a， 2x5， 当x3时，y 0，当x5时， y 4a， min max 0 y4a． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积公式，一次函数图象的性质，求 出c9a是本题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:25:04；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第23页（共23页）