23-24学年二中九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（10 月份） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是( ) 1 1 A．ax2 bxc0 B．  2 x2 x C．x2 2x y2 1 D．3(x1)2 2(x1) 2．（3分）用公式法解一元二次方程3x2 2x30时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是( ) A．a3，b2，c3 B．a3，b2，c3 C．a3，b2，c3 D．a3，b2，c3 3．（3分）若x1是关于x的一元二次方程x2 ax2b0的解，则a2b( ) A．2 B．1 C．3 D．6 4．（3分）已知b0，关于x的一元二次方程(x1)2 b的根学的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．升有两个相等的实数根 C．没有实数根 哥D．有两个实数根 5．（3分）下列函数中，y关于x的二次函数的是( ) 水 1 A．yx32x2 3 B．y C．yx2 x D．ymx2 x1 x2 6．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是( ) A．x2 12x B．x2 10 C．x2 2x3 D．x2 2x0 7．（3分）若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2 6x50的两根，则等腰三角形的周长为( ) A．7 B．11 C．12 D．7或11 8．（3分）二次函数yx2 1的图象大致是( ) A． B． C． D． 第1页（共30页）9．（3分）已知a，b是一元二次方程x2 x80的两个实数根，则代数式a2 2ab的值等于( ) A．7 B．8 C．9 D．10 10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC ，D90，AB4，BC 6，BAD30．动点P沿 路径ABCD从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH  AD，垂足为 H ．设点P运动的时间为x（单位：s)，APH 的面积为y，则y关于x的函数图象大致是( ) 学 A． 升 哥 水 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 第2页（共30页）11．（3分）二次函数y(x1)2，顶点为( ， )；当x1时，y随x的增大而 ．（填“增大” 或“减小” ) 12．（3分）如果将抛物线yx2 2向下平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式是 ． 13．（3分）在一次酒会上，每两个都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为 ． 14．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2 4x10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 15．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与 3月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件．如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快 递总件数将达到 万件． 16．（3分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C(0,4)在y轴上，则下列结论： ①抛物线的解析式是yx2 4； ②若函数值y0，则x的取值范围是x2或x2； 学 ③若点P为抛物线上的一点，且S 4，则点P的坐标为( 6,2)或( 6,2)； PAB 升 ④连接BC，D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点P，则DP有最大值为1． 哥 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 水 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（6分）解下列方程： （1）225x2 160； （2）2x2 3x10； （3）x2 13x3． 1 18．（6分）已知二次函数y x2，解答下列问题： 2 （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； （2）判断点(2,4)是否在这个函数图象上，说明理由； （3）求当y4时对应的函数图象上的点的坐标（写详细过程）． 第3页（共30页）19．（6分）如图，B，E，C，F 在一条直线上，已知AB//DE，AC//DF，BE CF，连接AD．求 证：四边形ABED是平行四边形． 20．（6分）如图①所示，P为抛物线y x2在第一象限内的一点，点A的坐标为(4,0)． 学 （1）设点P的坐标为(x,y)，试求出AOP(O为坐标原点）的面积S与点P的横坐标x之间的函数关系式； （ 2 ） 在 图 ② 所 给 的 网 格 图 中 建 立 平 面升直 角 坐 标 系 ， 并 画 出 S 关 于 x 的 函 数 图 哥 水 象． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2 (k1)xk30． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形ABCD的对角线长为AC  23，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩 形ABCD的周长． 22．（8分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m 宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 第4页（共30页）23．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上，如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)中 恰有三个点在二次函数 yax2(a为常数且a0)的图象上． （1）直接写出a的值； （2）如图1，点P、Q在二次函数图象上，且在y轴异侧，连接PQ交y轴于点A(0,4)，S 4 6，设 POQ 点P、Q的横坐标x ，x (x x )为一元二次方程x2 2mxm0的两个根，求m的值； 1 2 1 2 （3）如图2，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD y轴，求菱形的边长． 学 升 哥 24．（12分）在菱形ABCD中，AB6，D60， 水 （1）菱形的面积是 ； （2）如图1，连接BD，点M 是BD上的一个动点，以CM 为边向右作等边三角形CME，在点M 从点D 到点B的运动过程中，求点E所经过的路径长； （3）若N为CD边上的三等分点，将ADN 沿AN翻折得到AFN ，直线NF 交直线BC于点P，请画出 图形，直接写出CP的长． 1 25．（12分）已知直线ykx2k3(k 0)与抛物线 y (x2)2相交于A、B两点（点A在点B的左侧）． 2 （1）不论k取何值，直线ykx2k3必经过定点P，直接写出点P的坐标； 1 （2）如图，已知B、C两点关于抛物线y (x2)2的对称轴对称． 2 ①求证：直线AC必经过一定点； 第5页（共30页）②当m x m1时，y的最大值与最小值的差为2，求m的值． 学 升 哥 水 第6页（共30页）2023-2024 学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是( ) 1 1 A．ax2 bxc0 B．  2 x2 x C．x2 2x y2 1 D．3(x1)2 2(x1) 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A．当a0时，ax2 bxc0不是关于x的一元二次方程，故本选项不合题意； B．该方程是分式方程，故本选项不合题意； C．该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 学 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一升个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫 一元二次方程． 哥 2．（3分）用公式法解一元二次方水程3x2 2x30时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是( ) A．a3，b2，c3 B．a3，b2，c3 C．a3，b2，c3 D．a3，b2，c3 【分析】首先找出a、b、c的值，进一步比较得出答案即可． 【解答】解：3x2 2x30， a3，b2，c3． 故选：D． 【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前 面的符号． 3．（3分）若x1是关于x的一元二次方程x2 ax2b0的解，则a2b( ) A．2 B．1 C．3 D．6 【分析】把x1代入方程x2 ax2b0可得a2b的值． 【解答】解：把x1代入方程x2 ax2b0得1a2b0， 所以a2b1． 第7页（共30页）故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解． 4．（3分）已知b0，关于x的一元二次方程(x1)2 b的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【分析】根据直接开平方法可得当(x1)2 b，b0时，不能开平方，进而得出答案． 【解答】解：(x1)2 b中b0， 没有实数根， 故选：C． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数， 学 先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 5．（3分）下列函数中，y关于x的二次函数的是( 升 ) 1 A．yx32x2 3 B．y 哥 C．yx2 x D．ymx2 x1 x2 【分析】根据二次函数的定义求水解即可． 【解答】解：A、是三次函数，故A不符合题意； B、最高次是不是2，故B不符合题意； C、是二次函数，故C 符合题意； D、m0时是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键． 6．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是( ) A．x2 12x B．x2 10 C．x2 2x3 D．x2 2x0 【分析】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式△b2 4ac可求出各方程的根的判别式△的值， 取△0的选项即可得出结论． 【解答】解：A．x2 12x， 变形为x2 2x10， a1，b2，c1， 第8页（共30页）△b2 4ac(2)2 4110， 方程x2 12x有两个相等的实数根，选项A符合题意； B．x2 10， a1，b0，c1， △b2 4ac02 41140 ， 方程x2 10没有实数根，选项B不符合题意； C．x2 2x3， 变形为x2 2x30， a1，b2，c3， △b2 4ac(2)2 41(3)160， 方程x2 2x3有两个不相等的实数根，选项C不符合题意； D．x2 2x0， 学 a1，b2，c0， 升 △b2 4ac(2)2 41040， 哥 方程x2 2x0有两个不相等 水 的实数根，选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当△0时，方程有两个不相等的实数根；②当△0时，方程 有两个相等的实数根；③当△0时，方程无实数根”是解题的关键． 7．（3分）若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2 6x50的两根，则等腰三角形的周长为( ) A．7 B．11 C．12 D．7或11 【分析】本题要先通过解方程求出等腰三角形的两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰 和底的长，进而求出三角形的周长． 【解答】解：解方程x2 6x50，得x 5，x 1； 1 2 当底为5，腰为1时，由于115，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； 等腰三角形的底为1，腰为5； 三角形的周长为15511． 故选：B． 【点评】此题是一元二次方程的解法结合几何图形性质的应用，结果要结合三角形三边关系来检验，是一 第9页（共30页）道难度适中的综合题． 8．（3分）二次函数yx2 1的图象大致是( ) A． B． C． D． 【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可． 【解答】解：二次函数 yx2 1中， a10，图象开口向上，顶点坐标为(0,1)， 学 符合条件的图象是B． 升 故选：B． 哥 【点评】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键． 水 9．（3分）已知a，b是一元二次方程x2 x80的两个实数根，则代数式a2 2ab的值等于( ) A．7 B．8 C．9 D．10 b c 【分析】根据根与系数的关系可得ab 1，ab 8，将a2 2ab变形为a(a1)(ab)， a a 再前面括号中的a用1b替换得abab，最后将ab，ab的值代入计算即可求解． 【解答】解：a，b是一元二次方程x2 x80的两个实数根， 1 8 ab 1，ab 8， 1 1 a1b， a2 2ab a2 a(ab) a(a1)(ab) a(1b1)(ab) abab 81 第10页（共30页）7． 故选：A． 【点评】本题主要考查根与系数的关系的关系、代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解 题关键． 10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC ，D90，AB4，BC 6，BAD30．动点P沿 路径ABCD从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH  AD，垂足为 H ．设点P运动的时间为x（单位：s)，APH 的面积为y，则y关于x的函数图象大致是( ) 学 升 A． 哥 水 B． C． 第11页（共30页）D． 【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解． 【解答】解：①当点P在AB上运动时， 1 1 1 3 3 y AHPH  APsinAAPcosA x2  x2，图象为二次函数； 2 2 2 4 8 ②当点P在BC上运动时，如图， 学 1 由①知，BH ABsinA4 2，同理AH2 3， 2 升 1 1 则y AHPH  (2 3x4)22 34x，为一次函数； 哥 2 2 ③当点P在CD上运动时， 水 1 同理可得：y (2 36)(462x)(3 3)(12x)，为一次函数； 2 故选：D． 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关 键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）二次函数y(x1)2，顶点为( 1 ， )；当x1时，y随x的增大而 ．（填“增大” 或“减小” ) 【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y(x1)2的示意图如下： 第12页（共30页）抛物线y(x1)2的对称轴为直线x1，由图象可以看出： 顶点坐标为：(1,0)， 当x1时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 故答案为：(1,0)，减小． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答简单明了． 12．（3分）如果将抛物线yx2 2向下平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式是 yx2 1 ． 学 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 升 【解答】解：抛物线yx2 2向下平移 哥 3个单位， 抛物线的解析式为yx2 2水3，即yx2 1． 故答案为：yx2 1． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|． 13．（3分）在一次酒会上，每两个都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为 7 ． 【分析】设参加酒会的人数为x人，利用碰杯的总次数参加酒会的人数（参加酒会的人数1)2，列 出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 1 根据题意得： x(x1)21， 2 整理得：x2 x420， 解得：x 7，x 6（不符合题意，舍去）， 1 2 即参加酒会的人数为7人． 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第13页（共30页）14．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2 4x10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a4 且a0 ． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a0且△(4)2 4a(1)0，然后求出a的范 围后对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得a0且△(4)2 4a(1)0， 解得a4且a0， 故答案为：a4且a0． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根与△b2 4ac有如下关系：当 △0时，方程有两个不相等的实数根；当△0时，方程有两个相等的实数根；当△0时，方程无实数 根． 15．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与 学 3月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件．如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快 递总件数将达到 13.31 万件． 升 【分析】设该公司每月的投递总件数的平哥均增长率为x，结合题意依据增长模型a(1x)2 b建立方程，求 得增长率，从而可求解． 水 【解答】解：设该公司每月的投递总件数的平均增长率为x， 根据题意得：10(1x)2 12.1， 解得：x 0.1或x 2.1（不合题意，舍去）， 1 2 按此平均速度增长，则该公司4月份投递的快递总件数将达到：12.1(10.1)13.31（万件）， 故答案为：13.31． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，一般形式为a(1x)2 b，a为起始时间的有关 数量，b为终止时间的有关数量．根据数量关系得出关于x的一元二次方程是解题的关键． 16．（3分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C(0,4)在y轴上，则下列结论： ①抛物线的解析式是yx2 4； ②若函数值y0，则x的取值范围是x2或x2； ③若点P为抛物线上的一点，且S 4，则点P的坐标为( 6,2)或( 6,2)； PAB ④连接BC，D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点P，则DP有最大值为1． 第14页（共30页）其中正确的结论有 ①②④ （填写所有正确结论的序号）． 【分析】根据题意可设抛物线的解析式为yax2 4，再将点A的坐标代入求得a1，以此可判断①；令 y0 ， 求 出 点 B 的 坐 标 为 (2,0) ， 观 察 函 数 图 象 可 判 断 ② ； 设 点 P(t,t2 4) ， 则 1 1 S  AB| y | 4|t2 4|4，解出t 值即可判断③；利用待定系数求得直线 BC 的解析式为 PAB 2 P 2 y2x4，进而设(m,2m4)，则P(m,m2 4)，于是DP2m4(m2 4)m2 2m(m1)2 1，根 据二次函数的性质即可得出DP的最大值，以此判断④． 学 【解答】解：抛物线的顶点C(0,4)在y轴上， 升 可设抛物线的解析式为ya(x0)2 4ax2 4， 哥 由题图可知，抛物线过点A(2,0)， 水 04a4， 解得：a1， 抛物线的解析式为yx2 4，故①正确； 令yx2 4中的 y0，得x2 40， 解得：x 2，x 2， 1 2 点B的坐标为(2,0)， 由函数图象可知，若函数值 y0，则x的取值范围是x2或x2，故②正确； 设点P(t,t2 4)， 由A(2,0)，B(2,0)，得AB4， 1 S  AB| y |， PAB 2 P 1  4|t2 4|4， 2 第15页（共30页）解得：t  2或t  6， 点P的坐标为( 2,2)或( 2,2)或( 6,2)或( 6,2)，故③错误； 如图， 设直线BC的解析式为ykxb， 2kb0 则 ， b4 学 k 2 升 解得： ， b4 哥 直线BC的解析式为y2x4， 水 设点D的坐标为(m，2m4)(0 m 2)，则P(m,m2 4)， DP2m4(m2 4)m2 2m(m1)2 1， 10， 当m1时，DP有最大值1，故④正确． 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析 式、二次函数与x轴的交点坐标、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用所学知识 解决问题是解题关键． 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（6分）解下列方程： （1）225x2 160； （2）2x2 3x10； 第16页（共30页）（3）x2 13x3． 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解比较简便； （2）利用公式法求解比较简便； （3）移项把方程化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解（十字相乘法）法求解比较简便． 【解答】解：（1）225x2 160， 移项，得225x2 16， 15x4． 4 x ． 15 4 4 x  ，x  ． 1 15 2 15 （2）2x2 3x10， 这里a2，b3，c1， △b2 4ac9817． 学 b b2 4ac 升 x 2a 哥 3 17  4 水 3 17 3 17 x  ，x  ． 1 4 2 4 （3）x2 13x3， 移项，得x2 3x40， (x4)(x1)0． x40或x10． x4或x1． x 4，x 1． 1 2 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握求解一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、 公式法的一般步骤，是解决本题的关键． 1 18．（6分）已知二次函数y x2，解答下列问题： 2 （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； （2）判断点(2,4)是否在这个函数图象上，说明理由； （3）求当y4时对应的函数图象上的点的坐标（写详细过程）． 第17页（共30页）【分析】（1）根据抛物线的解析式作出完整图象即可； （2）把点B(1,6)代入函数解析式，能满足解析式的点就在此函数图象上； （3）把y4代入函数解析式，解方程求得x的值即可． 【解答】解：（1）已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分如图； 1 1 （2）把点(2,4)代入 y x2，则4 (2)2， 2 2 故点(2,4)不在这个函数图象上； 1 （3）当y4时，则 x2 4， 学 2 升 解得x2 2， 哥 当y4时对应的函数图象上的点的坐标为(2 2 ，4)和(2 2，4)． 水 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，以及函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图 象经过的点必能满足解析式． 19．（6分）如图，B，E，C，F 在一条直线上，已知AB//DE，AC//DF，BE CF，连接AD．求 证：四边形ABED是平行四边形． 【分析】证出ABCDEF(ASA)，得出ABDE，再结合AB//DE ，即可证出四边形ABED是平行四 第18页（共30页）边形． 【解答】证明：AB//DE，AC//DF， BDEF ，ACBF ． BE CF ， BECE CF CE， BC EF． 在ABC 和DEF 中， BDEF  BC EF ，  ACBF ABCDEF(ASA)， ABDE ． 又AB//DE， 学 四边形ABED是平行四边形． 升 【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三 哥 角形的性质证出ABDE是解题的关键． 水 20．（6分）如图①所示，P为抛物线y x2在第一象限内的一点，点A的坐标为(4,0)． （1）设点P的坐标为(x,y)，试求出AOP(O为坐标原点）的面积S与点P的横坐标x之间的函数关系式； （ 2 ） 在 图 ② 所 给 的 网 格 图 中 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 并 画 出 S 关 于 x 的 函 数 图 象． 【分析】（1）首先用x表示出点P的纵坐标，然后利用三角形的面积计算方法确定AOP的面积S与x的 关系式即可； （2）利用S 2x2画出函数的图象即可． 第19页（共30页）【解答】解：（1）P为抛物线yx2在第一象限内的一点，点A的坐标为(4,0)， 设点P的坐标为(x,y)． OA4，AOP的高为yx2， 1 AOP的面积S与x的关系式为：S  4y2y2x2； 2 （2）由（1）可知S 2x2， 画出函数S 2x2图象如图： 学 升 哥 【点评】本题考查了二次函数的 水 图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用x表示出三 角形的高． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2 (k1)xk30． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形ABCD的对角线长为AC  23，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩 形ABCD的周长． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用整体思想求出ABBC即可解决问题． 【解答】证明：（1）由题知， [(k1)]2 4(k3) k2 2k14k12 k2 2k13 (k1)2 12， 第20页（共30页）因为(k1)2 0， 所以(k1)2 12 120， 故无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 解：（2）因为矩形ABCD的对角线AC长为 23， 则由勾股定理得， AB2 BC2 23． 又矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根， 则ABBC k1，ABBC k3． 又(ABBC)2  AB2 2ABBCBC2， 则(k1)2 2(k3)23， 解得k 4， 学 又k 4时，ABBC 30， 升 故舍去， 哥 所以k 4． 水 则ABBC 415， 所以矩形ABCD的周长为：2510． 【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题 的关键． 22．（8分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m 宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注 意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案． 第21页（共30页）【解答】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得： x(332x2)150， 解得：x 10，x 7.5， 1 2 当x 10时，332x21518， 1 当x 7.5时332x22018，（舍去）， 2 则养鸡场的宽是10m，长为15m． （2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得： x(332x2)200 ， 整理得：2x2 35x2000， △(35)2 42200122516003750， 学 因为方程没有实数根， 升 所以围成养鸡场的面积不能达到200m2． 哥 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系， 列出方程是解题的关键，注意宽水的取值范围． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上，如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)中 恰有三个点在二次函数 yax2(a为常数且a0)的图象上． （1）直接写出a的值； （2）如图1，点P、Q在二次函数图象上，且在y轴异侧，连接PQ交y轴于点A(0,4)，S 4 6，设 POQ 点P、Q的横坐标x ，x (x x )为一元二次方程x2 2mxm0的两个根，求m的值； 1 2 1 2 （3）如图2，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD y轴，求菱形的边长． 【分析】（1）在yax2中，令x0得 y0，即知(0,2)不在二次函数yax2(a为常数，且a0)的图象 第22页（共30页）上，用待定系数法可得a1； （2）由 S 4 6 可得 x x 2 6 ，利用根与系数的关系得 x x 2m ，， x x m ，则 POQ 2 1 2 1 2 1 (x x)2 (x x)2 4x x 24，代入即可求出m的值； 2 1 2 1 2 1 （3）设BC交y轴于E，设菱形的边长为2t ，可得B(t,t2)，故AE AB2 BE2  3t，D(2t,t2  3t) ， 3 2 3 代入 y x2得t2  3t 4t2，可解得t  ，故菱形的边长为 ． 3 3 【解答】解：（1）在yax2中，令x0得y0， (0,0)在二次函数yax2(a为常数，且a0)的图象上，(0,2)不在二次函数yax2(a为常数，且a0)的 图象上， 四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)中恰有三个点在二次函数yax2(a为常数，且a0)的图象上， 二次函数yax2(a为常数，且a0)的图象上的三个点是(0,0)，(1,1)，(1,1)， 学 把(1,1)代入yax2得：a1， 升 故a的值为1； 哥 水 （2）点A(0,4)， OA4， 1 S  OA(x x )4 6， POQ 2 2 1 x x 2 6 ， 2 1 点P、Q的横坐标x ，x (x x )为一元二次方程x2 2mxm0的两个根， 1 2 1 2 x x 2m，，x x m， 2 1 2 1 则(x x)2 (x x)2 4x x (2m)2 4m24， 2 1 2 1 2 1 解得m3或2， 点P、Q在二次函数图象上，且在y轴异侧， x ，x (x x )异号， 1 2 1 2 m的值为2； 第23页（共30页）（3）设BC交y轴于E，如图： 设菱形的边长为2t ，则ABBC CD AD2t， B，C 关于y轴对称， BE CE t， B(t,t2)， OE t2， 学 AE AB2 BE2  3t， 升 OAOE AE t2  3t， 哥 D(2t,t2  3t)， 水 把D(2t,t2  3t) 代入yx2得： t2  3t 4t2， 3 解得t  或t 0（舍去）， 3 2 3 菱形的边长为 ． 3 【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用，涉及待定系数法，根与系数的关系，三角形的面 积，菱形的性质等知识点，熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想是解题的关键． 24．（12分）在菱形ABCD中，AB6，D60， （1）菱形的面积是 18 3 ； （2）如图1，连接BD，点M 是BD上的一个动点，以CM 为边向右作等边三角形CME，在点M 从点D 到点B的运动过程中，求点E所经过的路径长； （3）若N为CD边上的三等分点，将ADN 沿AN翻折得到AFN ，直线NF 交直线BC于点P，请画出 图形，直接写出CP的长． 第24页（共30页）【分析】（1）由直角三角形的性质可求CH 的长，由菱形的面积公式可求解； （2）由菱形的面积公式可求BD的长，由“SAS ”可证DCM ACE，可得DM  AE，即可求解； （3）分两种情况讨论，由角平分线的性质可求QE的长，由勾股定理可求n，m的值，由相似三角形的性 质可求解． 【解答】解：（1）如图2，过点C作CH  AB于H ， 学 四边形ABCD是菱形， 升 BD60，ABBC 6， 哥 CH  AB， 水 BCH 30， 1 BH  BC 3，CH  3BH 3 3， 2 菱形ABCD的面积 ABCH 63 318 3， 故答案为：18 3； （2）如图1，连接AC，AE， ABC ADC 60，ABBC 6CD AD， ADC是等边三角形， CD AC 6，ACD60， 第25页（共30页）ACBD 菱形ABCD的面积 18 3， 2 BD6 3， CME是等边三角形， CM CE，MCE 60ACD， DCM ACE， DCM ACE(SAS)， AEDM ， 点E所经过的路径长为BD的长， 点E所经过的路径长为6 3； （3）四边形ABCD是边长为6的菱形，ABC 60， CD AD6，DABC 60， 学 由翻折得AF  AD6，FEDE，FAEDAE ， 1 升 如图3，DE  CD2，则FE DE 2，CE 4， 3 哥 设DQ2n，AQ62n， QE AQ 水   ， EF AF AQEF 1 QE   (62n)， AF 3 作QI CD于点I ，则DIQEIQ90 ， DQI 30， 1 DI  DQn，EI 2n， 2 IQ2 DQ2 DI2 (2n)2 n2 3n2， IQ2 EI2 QE2， 1 3n2 (2n)2 [ (62n)]2， 3 3 解得n  ，n 0（不符合题意，舍去）， 1 8 2 DQ//CP， DQE∽CPE， 第26页（共30页）DQ DE 2 1     ， CP CE 4 2 3 3 CP2DQ4n4  ， 8 2 2 如图4，DE EF  CD4，则CE 2， 3 设DQ2m，则AQ62m， QE AQ   ， EF AF EF 2 QE  AQ (62m)， AF 3 作QJ CD交CD的延长线于点J，则J 90， JDQADC60， DQJ 30， 1 DJ  DQm，EJ 4m， 2 学 QJ2 DQ2 DJ2 (2m)2 m2 3m2， 升 QJ2 EJ2 QE2， 哥 2 3m2 (4m)2 [ (62m)]2， 3 水 6 解得m  ，m 0（不符合题意，舍去）， 1 5 2 DQ//CP， DQE∽CPE， DQ DE 4    2， CP CE 2 1 6 CP DQm ， 2 5 3 6 综上所述，CP的长为 或 ． 2 5 第27页（共30页）【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， 折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 25．（12分）已知直线ykx2k3(k 0)与抛物线 y (x2)2相交于A、B两点（点A在点B的左侧）． 2 （1）不论k取何值，直线ykx2k3必经过定点P，直接写出点P的坐标； 1 （2）如图，已知B、C两点关于抛物线y (x2)2的对称轴对称． 2 ①求证：直线AC必经过一定点； 学 ②当m x m1时，y的最大值与最小值的差为2，求m的值． 升 哥 水 【分析】（1）将ykx2k3变形为yk(x2)3，则可得出点P的坐标； （2）①设A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，直线AC:ymxn，联立直线ykx2k3(k 0)与 A B B B C C 1 抛物线y (x2)2，得关于x的一元二次方程，由韦达定理表示出x x 42k①，x x 4k②；联 2 A B A B 1 立直线 AC:ymxn 与抛物线 y (x2)2 ，得关于 x 的一元二次方程，由韦达定理表示出 2 x x 42m③，x x 42n④，由B，C 关于直线x2对称，得出x x 4⑤，由②④及①③ A C A C B C ⑤分别表示出x ，从而得出关于m与n的关系式，变形即可得出答案； A ②分三种情况讨论：当当m x m1在对称轴的左侧时，当m x m1在对称轴的右侧时，当m x m1在 对称轴的两侧时，分别求出m的值即可． 【解答】解：（1）ykx2k3k(x2)3， 直线ykx2k3必经过定点(2,3)， 第28页（共30页）点P的坐标为(2,3)； （2）①证明：设A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，直线AC:ymxn， A B B B C C  1 y (x2)2 联立 2 ，  ykx2k3 1 得 x2 (2k)x2k10， 2 x x 42k①，x x 4k2②， A B A B  1 y (x2)2 联立 2 ，  ymxn 1 得 x2 (2m)x2n0， 2 x x 42m③，x x 42n④， A C A C B，C 关于直线x2对称， 学 x x 4⑤， 升 B C 由②④，得4x 4k2n2， 哥 A 水 由①③⑤得，x 2km， A 84k4m4k2n2， n2m3， ymx2m3m(x2)3， 当x2时， y3， 过定点(2,3)； 1 ② y (x2)2， 2 抛物线开口向上，对称轴为直线x2，函数有最小值0， ①当m x m1在对称轴的左侧时即m1时： y的最大值与最小值的差2， 1 1  (m2)2  (m12)2 2， 2 2 整理的2m1， 1 解得m ． 2 第29页（共30页）②当m x m1在对称轴的右侧时即m2时： y的最大值与最小值的差2， 1 1  (m12)2  (m2)2 2， 2 2 7 解得m 2 ③当m x m1在对称轴的两侧时即1m2时， y的最大值与最小值的差2，最小值为0． 1 1  (m2)2 2或 (m12)2 2， 2 2 1 解 (m2)2 2得：m 0，m 4（不在范围舍去）， 2 1 2 1 解 (m12)2 2得：m 1（不在范围舍去），m 3（不在范围舍去）， 2 3 4 1 7 综上所述，m的值为 或 ． 2 2 学 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了直线过定点的计算与证明、直线与抛物线的交点坐标、解题的 关键是理解二次函数的增减性，准确计算． 升 哥 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:25:44；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 水 第30页（共30页）