23-24学年天河外国语学校九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市天河外国语学校九年级（上）月考数学试卷 （10 月份） 一、单项选择题：（本大题共有8小题，每题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符 合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．（3分）9的算术平方根是( ) A．3 B．9 C．3 D．3 a 3 2．（3分）若  ，则ab( ) 2 b 3 2 A．6 B． C．1 D． 2 3 3．（3分）计算：a(a2)2a( ) A．2 B．a2 C．a2 2a D．a2 2a 4．（3分）若直线ykx(k是常数，k 0)经过第一、第三象限，则k的值可为( ) 学 1 A．2 B．1 C． D．2 升2 5．（3分）下列运算正确的是( ) 哥 A．(2a)2 4a2 B．(ab)2 a2 b2 水 C．(m2)(m2)m2 4 D．(a5)2 a7 6．（3分）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若135，则2的度数等于( ) A．65 B．55 C．45 D．60 7．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚， 称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重 量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙 袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根 据题意得( ) 第1页（共30页）11x9y 10yx8x y A． B． (10yx)(8x y)13 9x1311y 9x11y 9x11y C． D． (10yx)(8x y)13 (8x y)(10yx)13 8．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿ABBC匀速运 动，运动到点C 时停止．设点P的运动路程为x，线段PE 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则 点M 的坐标为( ) 学 A．(4，2 3) B．(4,4) C．(4，2 5) D．(4,5) 升 二、多项选择题：（本题有2个小题，每小题5分，满分共10分.在每小题所给出的四个选项中，不止一 哥 项符合题意，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请将正确选项前的字母代号填 水 涂在答题卡相应位置.） 9．（5分）抛物线yax2 bxc(a，b，c是常数，c0)经过(1,1)，(m,0)，(n,0)三点，且n 3．下列 四个结论正确的是( ) A．b0 B．4acb2 4a C．当n3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t 1 1 D．若关于x的一元二次方程ax2 bxcx有两个相等的实数根，则0m 3 10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F 分别在边DC，BC上，且BF CE，AE平分CAD， 连接DF，分别交AE，AC于点G，M ，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN  AC，垂足为N， 连接PM ．下列结论中正确的是( ) 第2页（共30页）A．AE垂直平分DM B．PM PN 的最小值为3 2 C．CF2 GEAE D．S 6 2 ADM 三、填空题：（本题共6个小题，每题3分，共18分.请将正确答案写在答题卡对应题号后的横线上） 11．（3分）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将 5699万用科学记数法表示为 ． 学 12．（3分）因式分解：ax2 2axa ． 升 13．（3分）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是 ． 哥 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P(5,1)关于y轴对称的点的坐标是 ． 水 2 3 15．（3分）如图，直线ykx2k3(k 为常数，k 0)与x，y轴分别交于点A，B，则  的值是 ． OA OB 16．（3分）如图，在RtABC中，C 90，CACB3，点D在边BC上．将ACD沿AD折叠，使点 C落在点C处，连接BC，则BC的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共有9小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文宇说明、证明 第3页（共30页）过程或演算步骤.） 17．（6分）观察下面的等式： 32 12 81，52 32 82，72 52 83，92 72 84， （1）写出192 172的结果； （2）按上面等式的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并推理说明结论是正 确的． x1 x2 10x25 18．（8分）代数式化简：(2 ) ． x2 x2 4 2x73  19．解不等式组：x1 x1 ．    3 2 20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AE BC于点E，AF CD于点F ，连结EF ． （1）求证：AE AF； （2）若B60，求AEF 的度数． 学 升 哥 水 21．（6分）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100C的温度计测算出这种食 用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油 温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/C 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y （单位：C)与加热的时间t（单位：s)符合初中学习过的某种函数关系，填空： 可能是 函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例” )； （2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式； （3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 第4页（共30页）22．（8分）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情 况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C ：合 格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）这次学校抽查的学生人数是 ； （2）将条形图补充完整； 学 （3）扇形统计图中C 组对应的扇形圆心角度数是 ； 升 （4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数． 哥 水 23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)x3m2 m0． （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； x x 5 （2）若x ，x 是方程的两个实数根，且 2  1  ，求m的值． 1 2 x x 2 1 2 24．（8分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计 算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有 哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出 第5页（共30页）两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家 电的件数． 25．（8分）如图，抛物线yax2 bx3与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两点．交y轴于点C ． （1）求抛物线的解析式； 1 （2）抛物线上是否存在一点P，使得S  S ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说 PBC 2 ABC 明理由． 学 26．（8分）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若ABa，BC b，由勾股定理，得AC2 a2 b2同 升 理BD2 a2 b2，故AC2 BD2 2(a2 b2)． 哥 【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若ABa，BC b，则上述结论是否依然成立？请加 以判断，并说明理由． 水 【拓展提升】如图3，已知BO为ABC的一条中线，ABa，BC b，AC c． a2 b2 c2 求证：BO2   ． 2 4 【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB8，BC 12，点P在边AD上，则PB2 PC2的最小值 为 ． 第6页（共30页）2023-2024 学年广东省广州市天河外国语学校九年级（上）月考数学试卷 （10 月份） 参考答案与试题解析 一、单项选择题：（本大题共有8小题，每题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符 合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．（3分）9的算术平方根是( ) A．3 B．9 C．3 D．3 【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：9的算术平方根是3， 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型． a 3 2．（3分）若  ，则ab( ) 学 2 b 3 升 2 A．6 B． C．1 D． 2 3 哥 【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案． a 3 水 【解答】解：  ， 2 b ab6． 故选：A． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 3．（3分）计算：a(a2)2a( ) A．2 B．a2 C．a2 2a D．a2 2a 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案． 【解答】解：原式a2 2a2a a2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（3分）若直线ykx(k是常数，k 0)经过第一、第三象限，则k的值可为( ) 1 A．2 B．1 C． D．2 2 【分析】正比例函数ykx(k是常数，k 0)的图象经过第一、三象限，则k 0． 第7页（共30页）【解答】解：直线ykx(k是常数，k 0)经过第一、第三象限， k 0． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键． 5．（3分）下列运算正确的是( ) A．(2a)2 4a2 B．(ab)2 a2 b2 C．(m2)(m2)m2 4 D．(a5)2 a7 【分析】分别对四个选项进行分析． 【解答】解：(2a)2 4a2，所以A错误； (ab)2 a2 2abb2，所以B错误； (m2)(m2)m2 4，所以C正确； 学 (a5)2 a10，所以D错误． 升 故选：C． 哥 【点评】本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公 水 式，难度不大． 6．（3分）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若135，则2的度数等于( ) A．65 B．55 C．45 D．60 【分析】过直角顶点C作CA//DF，则CA//EG，根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：过点C作CA//DF， 1ACF ， 135， ACF 35， 第8页（共30页）DF //EG， CA//EG， ACG2， FCG90， ACG255． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质并灵活运用． 学 7．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚， 升 称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重 哥 量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙 袋轻了13两（袋子重量忽略不计水），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根 据题意得( ) 11x9y 10yx8x y A． B． (10yx)(8x y)13 9x1311y 9x11y 9x11y C． D． (10yx)(8x y)13 (8x y)(10yx)13 【分析】根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲 袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等， 9x11y； 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两， (10yx)(8x y)13． 9x11y 根据题意可列方程组 ． (10yx)(8x y)13 第9页（共30页）故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次 方程组是解题的关键． 8．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿ABBC匀速运 动，运动到点C 时停止．设点P的运动路程为x，线段PE 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则 点M 的坐标为( ) A．(4，2 3) B．(4,4) C．(4，2 5) D．(4,5) 学 【分析】根据图2确定M 点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE 的长度，然后求值即可． 升 【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大， 哥 当点P在边BC上时，y的值逐渐减小， 水 M 点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE 的长度， 1 1 AB4，EC ED AB 42， 2 2 BE BC2 CE2  42 22 2 5， M(4，2 5)， 故选：C． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M 点的坐标与正方形的边之间的关系． 二、多项选择题：（本题有2个小题，每小题5分，满分共10分.在每小题所给出的四个选项中，不止一 项符合题意，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请将正确选项前的字母代号填 涂在答题卡相应位置.） 9．（5分）抛物线yax2 bxc(a，b，c是常数，c0)经过(1,1)，(m,0)，(n,0)三点，且n 3．下列 四个结论正确的是( ) A．b0 B．4acb2 4a 第10页（共30页）C．当n3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t 1 1 D．若关于x的一元二次方程ax2 bxcx有两个相等的实数根，则0m 3 【分析】根据图象经过(1,1)，c0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧判断出抛物线 的开口向下，即a0，再把(1,1)代入yax2 bxc得：abc1即可判断A；先得出抛物线的对称轴 4acb2 在直线x1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点(1,1)的右侧，得出 1，根据4a0，利用不等式的 4a 性质即可得出4acb2 4a，即可判断B；先得出抛物线的对称轴在直线x1.5的右侧，得出(1,1)到对称 轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，a0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可判断C ； 根据方程有两个相等的实数解，得出△(b1)2 4ac0，把(1,1)代入 yax2 bxc得abc1，即 c 1 1 1bac，求出ac，根据根与系数的关系得出mn 1，即n ，根据n 3，得出 3，求出m a m m 的取值范围，即可判断D，从而得出答案． 学 【解答】解：A、图象经过(1,1)，c0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛 物线与x轴的交点都在(1,0)的左侧， 升 (n,0)中n 3， 哥 抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧， 水 抛物线的开口一定向下，即a0， 把(1,1)代入yax2 bxc得：abc1，即b1ac， a0，c0， b0，故A错误，不符合题意； c B、a0，b0，c0， 0， a 方程ax2 bxc0的两个根的积大于0，即mn0， n 3， m0， mn  1.5，即抛物线的对称轴在直线x1.5的右侧， 2 抛物线的顶点在点(1,1)的右侧， 4acb2  1， 4a 4a0， 第11页（共30页）4acb2 4a，故B正确，符合题意； C、m0， mn 当n3时， 1.5， 2 抛物线对称轴在直线x1.5的右侧， (1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离， a0，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， t 1，故C 正确，符合题意； D、方程ax2 bxcx可变为ax2 (b1)xc0， 方程有两个相等的实数解， △(b1)2 4ac0， 学 把(1,1)代入yax2 bxc得abc1，即1bac， 升 (ac)2 4ac0，即a2 2acc2 4ac0， 哥 (ac)2 0， 水 ac0，即ac， (m,0)，(n,0)在抛物线上， m，n为方程ax2 bxc0的两个根， c mn 1， a 1 n ， m n 3， 1  3， m 1 0m ，故D正确，符合题意； 3 综上所述，正确的有：B、C、D， 故选：BCD． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标特征，待定系数法，数形结合法，抛 物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的 第12页（共30页）性质与二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F 分别在边DC，BC上，且BF CE，AE平分CAD， 连接DF，分别交AE，AC于点G，M ，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN  AC，垂足为N， 连接PM ．下列结论中正确的是( ) A．AE垂直平分DM B．PM PN 的最小值为3 2 学 C．CF2 GEAE D．S 6 2 ADM 升 【分析】根据正方形的性质证得ADE DCF，再利用ASA证明AGM AGD，即可得出AE垂直平 哥 分DM ，即可判断A；连接BD与AC 交于点O，交AG于点H ，连接HM ，当点P与点H 重合时，PM PN 水 的值最小，最小值为DO 的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出DO2 2 ，即可判断B；证明 DEG∽ADE，根据相似三角形的性质即可判断C；先求出AM 的长，再根据三角形面积公式计算即可 得出答案从而判断D． 【解答】解：A、四边形ABCD是正方形， ADDC BC，ADC DCB90， BF CE， BCBF DCCE ，即CF DE ， 在ADE和DCF中， ADDC  ADEDCF ，  DE CF ADEDCF(SAS)， DAE CDF ， CDF ADG90， 第13页（共30页）DAEADG90， AGD90， AGM 90， AGM AGD， AE平分CAD， MAGDAG， AG AG， AGM AGD(ASA)， GM GD， AGM AGD90， AE 垂直平分DM ，故A正确，符合题意； B、如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H ，连接HM ， 学 升 哥 水 四边形ABCD是正方形， AC BD，即DO AM ， AE垂直平分DM ， HM HD， 当点P与点H 重合时，PM PN 的值最小， 此时PM PN HM HOHDHODO，即PM PN 的最小值为DO的长， 正方形ABCD的边长为4，  AC BD4 2， 1 DO BD2 2，即PM PN 的最小值为2 2，故B错误，不符合题意； 2 C、AE垂直平分DM ， 第14页（共30页）DGE 90， ADC 90， DGE ADC， DEGAED， DEG∽ADE， DE GE   ，即DE2 GEAE ， AE DE 由A知，CF DE ， CF2 GEAE，故C正确，符合题意； D、AE垂直平分DM ， AM  AD 4， DO2 2 ， 1 1 S  AM DO 42 2 4 2 ，故D错误，不符合学题意； ADM 2 2 综上所述，正确的有A、C ， 升 故选：AC． 哥 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分 水 线的判定与性质、最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三、填空题：（本题共6个小题，每题3分，共18分.请将正确答案写在答题卡对应题号后的横线上） 11．（3分）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将 5699万用科学记数法表示为 5.699107 ． 【分析】科学记数法的表示形式为“a10n”的形式，其中1 |a|10，n为整数．确定n的值时，要看把 原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此解答即可． 【解答】解：5699万569900005.699107． 故答案为：5.699107． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为“a10n”的形式，其中1 |a|10， n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键． 12．（3分）因式分解：ax2 2axa a(x1)2 ． 【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式． 第15页（共30页）【解答】解：ax2 2axa a(x2 2x1) a(x1)2． 故答案为：a(x1)2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 13．（3分）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是 5 ． 【分析】根据题意可得：x的值只能是1，5，7中的一个，再由中位数是6，可得x7，即可求解． 【解答】解：一组数据1，x，5，7有唯一众数， x的值只能是1，5，7中的一个， 中位数是6， x7， 学 1 平均数是 (1757)5． 4 升 故答案为：5． 哥 【点评】本题考查的是众数，中位数，平均数的含义，理解概念并灵活应用是解本题的关键． 14．（3分）在平面直角坐标系水 xOy中，点P(5,1)关于y轴对称的点的坐标是 (5,1) ． 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案． 【解答】解：关于y轴对称， 横坐标互为相反数，纵坐标不变， 点P(5,1)关于y轴对称的点的坐标是(5,1)． 故答案为：(5,1)． 【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相 反数，纵坐标不变是解题的关键． 2 3 15．（3分）如图，直线ykx2k3(k 为常数，k 0)与x，y轴分别交于点A，B，则  的值是 OA OB 1 ． 第16页（共30页）2 3 【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出  的值． OA OB 【解答】解：直线ykx2k3， 2k3 当x0时， y2k3；当y0时，x ； k 2k3 点A的坐标为( ，0)，点B的坐标为(0,2k3)， k 2k3 OA ，OB2k3， k 2 3   OA OB 学 2 3   2k3 2k3 升 k 哥 2k 3   2k3 2k3 水 2k3  2k3 1， 故答案为：1． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点 A和点B的坐标，利用数形结合的思想解答． 16．（3分）如图，在RtABC中，C 90，CACB3，点D在边BC上．将ACD沿AD折叠，使点 C落在点C处，连接BC，则BC的最小值为 3 23 ． 【分析】由折叠性质可知AC  AC3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 第17页（共30页）【解答】解：C 90，CACB3，  AB AC2 BC2 3 2， 由折叠的性质可知AC  AC3， BC ABAC， 当A、C、B三点在同一条直线时，BC取最小值，最小值即为BC ABAC3 23， 故答案为3 23． 【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质 及三角形的三边不等关系是解题的关键． 三、解答题：（本大题共有9小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文宇说明、证明 过程或演算步骤.） 17．（6分）观察下面的等式： 学 32 12 81，52 32 82，72 52 83，92 72 84， 升 （1）写出192 172的结果； （2）按上面等式的规律归纳出一个一般的哥结论（用含n的等式表示，n为正整数），并推理说明结论是正 确的． 水 【分析】（1）先根据算式猜想、归纳该组等式的规律，再代入求解； （2）先根据第（1）题的变式进行归纳、证明． 【解答】解：（1）32 12 (211)2 (211)2 81， 52 32 (221)2 (221)2 82， 72 52 (231)2 (231)2 83， 92 72 (241)2 (241)2 84，  192 172 (291)2 (291)2 8972； （2）由第（1）题可得，(2n1)2 (2n1)2 8n， (2n1)2 (2n1)2 [(2n1)(2n1)][(2n1)(2n1)] 第18页（共30页）(2n12n1)(2n12n1) 4n2 8n， (2n1)2 (2n1)2 8n． 【点评】此题考查了算式规律问题的解决能力，关键是能根据前几个算式准确归纳出该类算式的规律． x1 x2 10x25 18．（8分）代数式化简：(2 ) ． x2 x2 4 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可． 2(x2)(x1) (x2)(x2) 【解答】解：原式  x2 (x5)2 2x4x1 (x2)(x2)   x2 (x5)2 x5 (x2)(x2)   x2 (x5)2 x2  学 x5 【点评】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘升除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2x73 哥  19．解不等式组：x1 x1 ．    3 2 水 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀可得不等式组的解集． 【解答】解：由2x73得：x2， x1 x1 由  得：x5， 3 2 则不等式组的解集为2x5． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小 取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AE BC于点E，AF CD于点F ，连结EF ． （1）求证：AE AF； （2）若B60，求AEF 的度数． 第19页（共30页）【分析】（1）欲证明AE AF，只需要证得ABEADF 即可； （2）根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形， AB AD，BD． 又AE BC 于点E，AF CD于点F ， AEBAFD90， 学 在ABE与ADF 中， 升 BD  AEBAFD． 哥  AB AD 水 ABEADF(AAS)． AE AF ； （2）解：四边形ABCD是菱形， BBAD180． 而B60， BAD120． 又AEB90，B60， BAE 30． 由（1）知ABEADF ， BAE DAF 30． EAF 120303060． AEF 是等边三角形． AEF 60． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，全等三角 第20页（共30页）形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当 的判定条件． 21．（6分）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100C的温度计测算出这种食 用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油 温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/C 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y （单位：C)与加热的时间t（单位：s)符合初中学习过的某种函数关系，填空： 可能是 一次 函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例” )； （2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式； 学 （3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 升 哥 水 【分析】（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律，分析即可解答； （2）直接利用待定系数法即可求解； （3）将t 110代入（2）求得的函数解析式中即可求解． 【解答】解：（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20C， 故锅中油温y与加热的时间t可能是一次函数关系； 故答案为：一次； （2）设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为yktb(k 0)， b10 将点(0,10)，(10,30)代入得， ， 10kb30 第21页（共30页）k 2 解得： ， b10 y2t10； （3）当t 110时， y211010230， 经过推算，该油的沸点温度是230C． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次 函数的解析式是解题关键． 22．（8分）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情 况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C ：合 格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）这次学校抽查的学生人数是 40人 ； （2）将条形图补充完整； 学 （3）扇形统计图中C 组对应的扇形圆心角度数是 ； （4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人升数． 哥 水 【分析】（1）用A等级的人数除以A等级的人数所占的百分比即可得到总人数； （2）用（1）的结论分别减去其它三个等级的人数可得C等级的人数，进而补全条形图； （3）用360乘C组所占比例可得答案； （4）全校2200人乘样本中不合格的人数所占比例即可得到结论． 【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是：1230%40（人)， 故答案为：40人； （2）C 等级的人数为：401214410（人)， 补全条形图如下： 第22页（共30页）10 （3）360 90， 40 故答案为：90； 4 （4）2200 220（人)， 40 答：估计该校不合格的人数约220人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目学的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的 百分比大小． 升 23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)x3m2 m0． 哥 （1）求证：无论m为何值，方 水 程总有实数根； x x 5 （2）若x ，x 是方程的两个实数根，且 2  1  ，求m的值． 1 2 x x 2 1 2 【分析】（1）由判别式△(4m1)2 0，可得答案； x x 5 （2）根据根与系数的关系知x x 2m1，xx 3m2 m，由 2  1  进行变形直接代入得到 1 2 1 2 x x 2 1 2 5m2 7m20，求解可得． 【解答】（1）证明：△[(2m1)]2 41(3m2 m) 4m2 4m112m2 4m 16m2 8m1 (4m1)2 0， 方程总有实数根； （2）解：由题意知，x x 2m1，xx 3m2 m， 1 2 1 2 第23页（共30页）x x x2 x 2 (x x )2 5  2  1  1 2  1 2 2 ， x x xx xx 2 1 2 1 2 1 2 (2m1)2 5  2 ，整理得5m2 7m20， 3m2 m 2 2 解得m1或m ． 5 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程ax2 bxc0(a0) 的两根时， 1 2 b c x x  ，xx  ．也考查了根的判别式． 1 2 a 1 2 a 24．（8分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计 算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有 哪几种购买方案？ 学 （3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出 升 两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家 哥 电的件数． 【分析】（1）设A种家电每件进水价为x元，则B种家电每件进价为(x100)元，利用数量总价单价， 结合用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同，可列出关于x的分式方程，解 之经检验后，可得出A种家电每件的进价，再将其代入(x100)中，可求出B种家电每件的进价； （2）设购进A种家电a件，则购进B种家电(100a)件，根据“总金额不超过53500元，且A种家电不 超过67件”，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出 各购买方案； （3）设这10件家电中包含m件B种家电，则包含(10m)件A种家电，分a65，a66及a67三种 情况考虑，利用总利润销售单价销售数量进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m 的值，再结合m为正整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为(x100)元， 10000 12000 根据题意得：  ， x x100 解得：x500， 经检验，x500是所列方程的解，且符合题意， x100500100600． 第24页（共30页）答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元； （2）设购进A种家电a件，则购进B种家电(100a)件， 500a600(100a) 53500 根据题意得： ， a 67 解得：65 a 67， 又a为正整数， a可以为65，66，67， 该商场共有3种购买方案， 方案1：购进A种家电65件，B种家电35件； 方案2：购进A种家电66件，B种家电34件； 方案3：购进A种家电67件，B种家电33件； （3）设这10件家电中包含m件B种家电，则包含(10m)件A种家电， 学 当a65时，600[65(10m)]750(35m)50065600355050 ， 14 升 解得：m ， 3 哥 m为正整数， 14 水 m 不符合题意，舍去； 3 当a66时，600[66(10m)]750(34m)50066600345050 ， 13 解得：m ， 3 m为正整数， 13 m 不符合题意，舍去； 3 当a67时，600[67(10m)]750(33m)50067600335050 ， 解得：m4． 答：这10件家电中包含4件B种家电． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3） 找准等量关系，正确列出一元一次方程． 25．（8分）如图，抛物线yax2 bx3与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两点．交y轴于点C ． （1）求抛物线的解析式； 第25页（共30页）1 （2）抛物线上是否存在一点P，使得S  S ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说 PBC 2 ABC 明理由． 【分析】（1）把A(3,0)，B(1,0)两点，代入抛物线yax2 bx3，解方程组即可得到抛物线的解析式； （2）分别求得A、B、C 的坐标，与BC的解析式y3x3；作PE//x轴交BC于E，设点P的横坐标 t2 2t 1 为t，分别求得P点坐标为(t,t2 2t3)与E点坐标为( ，t2 2t3)；然后利用S  S 列 3 PBC 2 ABC 方程解答即可． 学 【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两点，代入抛物线yax2 bx3得： 升 (3)2a3b30  ， 哥 ab30 水 a1 解得： ； b2 抛物线的解析式为yx2 2x3； （2）存在，理由如下： A(3,0)，B(1,0)， AB4， 抛物线yax2 bx3与y轴交于点C， 令x0，则y3， C 点坐标为(0,3)，OC 3， 1 1 SABC  ABOC  436， 2 2 1 S  S 3； PBC 2 ABC 作PE//x轴交BC于E，如图： 第26页（共30页）设BC的解析式为：ykxb，将B、C 代入得： kb0  ， 3b k 3 解得： ， b3 BC的解析式为： y3x3； 设点P的横坐标为t，则P(t,t2 2t3)， 学 t2 2t 则E的纵坐标为：3x3t22t3，解得：x升， 3 E( t2 2t ，t2 2t3)； 哥 3 t2 2t t2 t 水 PE t ， 3 3 1 t2 t S   33， PBC 2 3 解得：t 2或3； P点纵坐标为：(2)2 2(2)33；或（3）22（3）312， 点P的坐标为(2,3)或(3,12)． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的 应用． 26．（8分）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若ABa，BC b，由勾股定理，得AC2 a2 b2同 理BD2 a2 b2，故AC2 BD2 2(a2 b2)． 【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若ABa，BC b，则上述结论是否依然成立？请加 以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知BO为ABC的一条中线，ABa，BC b，AC c． 第27页（共30页）a2 b2 c2 求证：BO2   ． 2 4 【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB8，BC 12，点P在边AD上，则PB2 PC2的最小值为 200 ． 【分析】【阅读理解】根据矩形对角线相等可得AC BD，最后由勾股定理可得结论； 【探究发现】首先作AE BC于E，DF BC于F ，根据全等三角形判定的方法，判断出ABE DCF， 即 可 判 断 出 AE DF ， BE CF ； 然 后 根 据 勾 股 定 理 ， 可 得 AC2  AE2 (BCBE)2 ， BD2 DF2 (BCBE)2，AB2  AE2 BE2，再根据ABDC，AD BC ，即可推得结论； 学 【拓展提升】根据平行四边形的判定定理得到四边形 ABCE 是平行四边形，由【探究发现】，可得 升 BE2 AC2 2AB2 2BC2，于是得到结论； 【尝试应用】过P作PH BC 于H ，根据哥矩形的性质得到ABPH CD8，APBH ，PDCH ，设 BH  x，CH 12x，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 水 【解答】【阅读理解】解：如图1， 四边形ABCD是矩形， ABC 90，AC BD， AC2  AB2BC2 ， ABa，BC b， AC2 BD2 2(AB2 BC2)2a2 2b2； 【探究发现】解：上述结论依然成立， 理由：如图②，作AE BC于E，DF BC于F ， 四边形ABCD是平行四边形， 第28页（共30页）AB//DC，且ABDC， ABE DCF ， 在ABE和DCF中， ABE DCF  AEBDFC 90，  ABDC ABEDCF(AAS)， AEDF，BE CF， 在RtACE中，由勾股定理，可得 AC2  AE2 CE2  AE2 (BCBE)2①， 在RtBDF中，由勾股定理，可得 BD2 DF2 BF2 DF2 (BCCF)2 DF2 (BCBE)2②， 学 由①②，可得 升 AC2 BD2  AE2 DF2  2BC2  2BE2  2AE2  2BC2  2BE2 ， 哥 在RtABE中，由勾股定理，可得 水 AB2  AE2 BE2， AC2 BD2 2AE2 2BC2 2BE2 2(AE2 BE2)2BC2 2AB2 2BC2 2a2 2b2； 【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BOOE， BO是AC边上的中线， AOCO， 又AOCO， 四边形ABCE是平行四边形， 由【探究发现】，可得BE2 AC2 2AB2 2BC2， BE 2BO， BE2 4BO2， 第29页（共30页）ABa，BC b，AC c， 4BO2 c2 2a2 2b2， a2 b2 c2  BO2   ． 2 4 【尝试应用】解：过P作PH BC于H ， 则四边形APHB和四边形PHCD是矩形， ABPH CD8，APBH ，PDCH ， 设BH  x，CH 12x， PB2 PC2 PH2 BH2 PH2 CH2 82 x2 82 (12x)2 2x2 24x2722(x6)2 200， 学 故PB2 PC2的最小值为200， 升 故答案为：200． 哥 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用， 水 以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:23:48；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 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