23-24学年华南师大附中普通班九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市天河区华南师大附中普通班九年级（上）月 考数学试卷（10 月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是( ) 2 A． 7 B． 9 C． 12 D． 3 2．（2分）下列计算正确的是( ) 2 6 A． 2 3 5 B．3 2 2 3 C． 3 2  5 D．  3 3 3．（2分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) A．三个内角之比为1:2:3 B．三条边长分别为1， 3，2 学 C．三条边长之比为3:4:5 D．三个内角之比为3:4:5 升 4．（2分）已知关于x的一元二次方程x2 bxc0的两根分别为x 1，x 2，则b与c的值分别为( ) 1 2 哥 A．b3，c2 B．b3，c2 C．b3，c2 D．b3，c2 水 5．（2分）某射击队准备挑选运动员参加射击比赛．下表是其中一名运动员10次射击的成绩（单位：环） : 成绩 7.5 8.5 9 10 频数 2 2 3 3 则该名运动员射击成绩的平均数是( ) A．8.9 B．8.7 C．8.3 D．8.2 6．（2分）关于二次函数y3x2 5，下列说法中正确的是( ) A．图象的开口向上 B．当x1时，y随x的增大而增大 C．图象的顶点坐标是(0,5) D．当x0时，y有最小值是5 7．（2分）已知m为一元二次方程x2 3x20230的根，那么2m2 6m2023的值为( ) A．2023 B．2023 C．0 D．4046 第1页（共31页）8．（2分）如图，函数 yax2 2x1和yaxa(a是常数，且a0)在同一平面直角坐标系的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 9．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是线段AC上一点，连接EB，ED．若 BED的面积等于BEC 的面积，则ABE和CDE的E面积比等于( ) 学 升 哥 A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．9:4 水 10．（2分）如图，抛物线yax2 bxc的对称轴为直线x1，且经过点(3,0)．下列结论： ①abc0； ②若(4,y )和(3,y )是抛物线上两点，则y  y ； 1 2 1 2 ③abc0； ④对于任意实数m，均有am2 bmc 4a． 其中正确的结论的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 第2页（共31页）11．（3分）若二次根式 x3 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 12．（3分）已知方程x2 bx30的一根为3，则方程的另一根为 ． 13．（3分）一组数据6，7，4，7，5，2的中位数是 ；众数是 ． 14．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为 1 y x2 10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F 处要安装两盏警示灯， 40 则这两盏灯的水平距离EF 是 米． 学 15．（3分）如图，在ABC中，C 90，AC BC  2，将ABC 绕点A顺时针方向旋转60到△ABC 升 的位置，连接CB，则CB ． 哥 水 16．（3分）关于二次函数yax2 4ax5(a0)的四个结论：①对任意实数m，都有x 2m与x 2m 1 2 对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且 5 4 4 AB 6，则a ；④若3 x 4，对应的y的整数值有4个，则 a 1或1 a ，其中正确的结论 4 3 3 是 .（填写序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（6分）解方程： （1）4x2 90； （2）2x2 3x50． 18．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F 分别是OA、OC的中点， 第3页（共31页）求证：BE DF ． 19．（6分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱 笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 20．（6分）已知关于x的方程x2 (2k1)xk2 10有两个学实数根x ，x ． 1 2 （1）求实数k的取值范围； 升 （2）若x ，x 满足x2 x2 16xx ，求哥实数k的值． 1 2 1 2 1 2 21．（6分）已知二次函数的顶水点坐标为(1,4)，且图象经过点(2,3)． （1）求这个二次函数的表达式； （2）列表描点画出这个二次函数的图象．   x y   第4页（共31页）22．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种 学 纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13 升 元/个，B种纪念章售价为8元/个． 哥 （1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该水园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个 纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？ 23．（7分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是RtABC和RtBED的边长，显然AE  2c， 我们把关于x的一元二次方程ax2  2cxb0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程 2x2  10x 30是否为“弦系一元二次方程”？ （填“是”或“否” )，并说明 理由； （2）求证：关于x的“弦系一元二次方程” ax2  2cxb0必有实数根； （3）若x1是“弦系一元二次方程” ax2  2cxb0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6 2，求 ABC的面积． 第5页（共31页）24．（8分）已知：正方形ABCD中，MAN 45，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M 、N．当MAN 绕点A旋转到BM DN 时（如图1)，易证BM DN MN ． （1）当MAN 绕点A旋转到BM  DN 时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写 出猜想，并加以证明； （2）当MAN 绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？写出猜 想，并加以证明； （ 3 ） 若 正 方 形 的 边 长 为 4 ， 当 N 运 动 到 DC 边 的 中 点 处 时 ， 求 BM 的 学 升 哥 水 长． 25．（10分）已知二次函数 yx2 bxc的图象与x轴分别交于点A、B(A在左侧），与y轴交于点C ， 若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为(2,0)． （1）原抛物线的函数解析式是 ． （2）如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标； 第6页（共31页）（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M ，使CQM 为等 腰三角形且BQM 为直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 学 升 哥 水 第7页（共31页）2023-2024 学年广东省广州市天河区华南师大附中普通班九年级（上）月 考数学试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是( ) 2 A． 7 B． 9 C． 12 D． 3 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、 7 ，是最简二次根式； B、 9 3，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 学 C、 12  432 3，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 2 23 6 升 D、   ，被开方数不含分母，不是最简二次根式； 3 33 3 哥 故选：A． 【点评】本题考查的是最简二次水根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 2．（2分）下列计算正确的是( ) 2 6 A． 2 3 5 B．3 2 2 3 C． 3 2  5 D．  3 3 【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据 二次根式的乘法法则对C选项进行判断；利用分母有理化对D选项进行判断． 【解答】解：A． 2与 3不能合并，所以A选项不符合题意； B．3 2 2 2 2，所以B选项不符合题意； C． 3 2  6，所以C选项不符合题意； 2 2 3 6 D．   ，所以D选项符合题意； 3 3 3 3 故选：D． 第8页（共31页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是 解决问题的关键． 3．（2分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) A．三个内角之比为1:2:3 B．三条边长分别为1， 3，2 C．三条边长之比为3:4:5 D．三个内角之比为3:4:5 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、三个内角之比为1:2:3，三角形内角和是180， 三个内角分别为30，60，90， 此三角形是直角三角形， 故A不符合题意； B、12 ( 3)2 4，22 4， 12 ( 3)2 22 ， 学 此三角形是直角三角形， 升 故B不符合题意； 哥 C、三条边长之比为3:4:5， 水 设三条边分别为3a，4a，5a， (3a)2 (4a)2 25a2，(5a)2 25a2， (3a)2 (4a)2 (5a)2， 此三角形是直角三角形， 故C不符合题意； D、三个内角之比为3:4:5，三角形内角和是180， 三个内角分别为45，60，75， 此三角形不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内 角和定理是解题的关键． 4．（2分）已知关于x的一元二次方程x2 bxc0的两根分别为x 1，x 2，则b与c的值分别为( ) 1 2 第9页（共31页）A．b3，c2 B．b3，c2 C．b3，c2 D．b3，c2 【分析】由关于x的一元二次方程x2 bxc0的两根分别为x 1，x 2，利用根与系数的关系，即 1 2 可求得b与c的值． 【解答】解：关于x的一元二次方程x2 bxc0的两根分别为x 1，x 2， 1 2 x x b123，x x c122， 1 2 1 2 b3，c2． 故选：C． 【点评】此题考查了根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为 1， x ， x 是方程 1 2 x2  pxq0的两根时，则x x p，xx q． 1 2 1 2 5．（2分）某射击队准备挑选运动员参加射击比赛．下表是其中一名运动员10次射击的成绩（单位：环） : 学 成绩 7.5 8.5 9 10 升 频数 2 2 3 3 哥 则该名运动员射击成绩的平均数是( ) 水 A．8.9 B．8.7 C．8.3 D．8.2 【分析】根据加权平均数公式计算即可． 1 【解答】解：该名运动员射击成绩的平均数是： (7.528.5293103)8.9（环)， 10 故选：A． 【点评】本题考查了加权平均数以及频数分布表，掌握加权平均数的计算公式是解答本题的关键． 6．（2分）关于二次函数y3x2 5，下列说法中正确的是( ) A．图象的开口向上 B．当x1时，y随x的增大而增大 C．图象的顶点坐标是(0,5) D．当x0时，y有最小值是5 【分析】根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：a30， 图象开口向下，有最大值5，图象的对称轴是y轴，顶点(0,5)， 第10页（共31页）故选项A、D、B错误， 当x0时，y随x的增大而减小，故选项C正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．（2分）已知m为一元二次方程x2 3x20230的根，那么2m2 6m2023的值为( ) A．2023 B．2023 C．0 D．4046 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2 3m2023，再2m2 6m变形为2(m2 3m)，然后利用整 体代入的方法计算． 【解答】解：m为一元二次方程x2 3x20230的一个根． m2 3m2023， 2m2 6m2(m2 3m)220234046， 学 2m2 6m20232023． 故选：A． 升 【点评】本题考查了一元二次方程的解：哥能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解． 水 8．（2分）如图，函数 yax2 2x1和yaxa(a是常数，且a0)在同一平面直角坐标系的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【解答】解：A、由一次函数yaxa的图象可得：a0，此时二次函数yax2 2x1的图象应该开口 向下，故选项错误； B、由一次函数yaxa的图象可得：a0，此时二次函数yax2 2x1的图象应该开口向上，对称轴 第11页（共31页）2 x 0，故选项正确； 2a C、由一次函数yaxa的图象可得：a0，此时二次函数yax2 2x1的图象应该开口向上，对称轴 2 x 0，和x轴的正半轴相交，故选项错误； 2a D、由一次函数 yaxa的图象可得：a0，此时二次函数 yax2 2x1的图象应该开口向上，故选 项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数yaxa在不同情况下所 在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 9．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是线段AC上一点，连接EB，ED．若 BED的面积等于BEC 的面积，则ABE和CDE的E面积比等于( ) 学 升 哥 A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．9:4 水 【分析】作DM  AC 于M ，BN  AC于N，由矩形的性质推出ANBCMD(AAS)，得到BN DM ， 由三角形面积公式得到BOE的面积DOE 的面积， 由BED的面积等于BEC 的面积，推出BOC 的面积BOE的面积3，由AOB的面积COB的面 积，得到ABE的面积BOE的面积4，又DCE的面积BCE的面积，即可求出ABE和CDE 的 面积比． 【解答】解：作DM  AC于M ，BN  AC于N， 四边形ABCD是矩形， ABCD，AB//CD，AOOC， BAN DCE， ANBDMC 90， ANBCMD(AAS)， BN DM ， 1 1 BOE 的面积 OEBN ，DOE的面积 OEDM ， 2 2 BOE 的面积DOE 的面积， 第12页（共31页）BED的面积等于BEC 的面积， BEC的面积BOE的面积2， BOC的面积BOE的面积3， AOOC， AOB的面积COB的面积， ABE的面积BOE的面积4， 1 1 BEC的面积 CEBN ，DCE的面积 CEDM ， 2 2 DCE的面积BCE的面积， ABE和CDE的面积比(BOE的面积4):(BOE的面积2)2:1． 故选：A． 学 升 【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到 哥 BOE的面积DOE 的面积，DCE的面积BCE的面积． 水 10．（2分）如图，抛物线yax2 bxc的对称轴为直线x1，且经过点(3,0)．下列结论： ①abc0； ②若(4,y )和(3,y )是抛物线上两点，则y  y ； 1 2 1 2 ③abc0； ④对于任意实数m，均有am2 bmc 4a． 其中正确的结论的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号， 第13页（共31页）判断①；利用二次函数的性质判断②；利用图象得出与x轴的另一交点，进而得出abc0，即可判断 ③，根据函数增减性，判断④． 【解答】解：二次函数的图象开口向上， a0， 二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， c0， 对称轴是直线x1， b  1， 2a b2a0， abc0，故①正确； (4,y )关于直线x1的对称点的坐标是(2,y )， 1 1 又当x1时，y随x的增大而增大，23， 学 y  y ，故②错误； 升 1 2 抛物线的对称轴为直线x1，且过点哥(3,0)， 抛物线与x轴另一交点为(1,0)． 水 当x1时，yabc0，故③错误； 当x1时，yabc0，b2a， c3a， 抛物线的对称轴为直线x1， 当x1时，y有最小值， am2 bmc abc(m为任意实数）， am2 bmc 4a，故④正确， 故结论正确有2个． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题 的关键．重点把握抛物线的对称性． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11．（3分）若二次根式 x3 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x 3 ． 第14页（共31页）【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：二次根式 x3在实数范围内有意义， x3 0，解得x 3． 故答案为：x 3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是关键． 12．（3分）已知方程x2 bx30的一根为3，则方程的另一根为 1 ． 【分析】设方程的另一根为m，根据根与系数的关系可得3m3，即可确定另一个根． 【解答】解：设方程的另一根为m， 方程x2 bx30的一根为3， 3m3， 解得m1， 方程的另一个根为1， 学 故答案为：1． 升 【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 哥 13．（3分）一组数据6，7，4，7，5，2的中位数是 5.5 ；众数是 ． 【分析】根据中位数和众数的定水义进行计算． 【解答】解：将这组数据按照由小到大的顺序进行排列为：2，4，5，6，7，7， 56 所以中位数为： 5.5，众数为：7． 2 故答案为：5.5；7． 【点评】本题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是关键． 14．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为 1 y x2 10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F 处要安装两盏警示灯， 40 则这两盏灯的水平距离EF 是 8 5 米． 第15页（共31页）1 【分析】令y8，即y x2 108，求出x值，进而求解． 40 1 【解答】解：令y8，即y x2 108， 40 解得：x4 5 ， 则EF 4 5(4 5)8 5 （米)． 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单． 15．（3分）如图，在ABC中，C 90，AC BC  2，将ABC 绕点A顺时针方向旋转60到△ABC 的位置，连接CB，则CB 31 ． 学 升 哥 【分析】连接BB，根据旋转的性质可得AB AB，判断出ABB是等边三角形，根据等边三角形的三条 边都相等可得ABBB，然后利水用“边边边”证明ABC和△BBC全等，根据全等三角形对应角相等可 得ABCBBC，延长BC交AB于D，根据等边三角形的性质可得BD AB，利用勾股定理列式求 出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、CD，然后根据BC BDCD计 算即可得解． 【解答】解：如图，连接BB， ABC绕点A顺时针方向旋转60得到△ABC， AB AB，BAB60， ABB是等边三角形， ABBB， 在ABC和△BBC中， ABBB  ACBC，  BCBC ABC△BBC(SSS)， ABCBBC， 第16页（共31页）延长BC交AB于D， 则BD AB， C 90，AC BC  2， AB ( 2)2( 2)2 2， 3 BD2  3 ， 2 1 CD 21， 2 BCBDCD 31． 故答案为： 31． 学 升 哥 【点评】本题考查了旋转的性质水，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形 的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 16．（3分）关于二次函数yax2 4ax5(a0)的四个结论：①对任意实数m，都有x 2m与x 2m 1 2 对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且 5 4 4 AB 6，则a ；④若3 x 4，对应的y的整数值有4个，则 a 1或1 a ，其中正确的结论 4 3 3 是 ①②④ .（填写序号） 【分析】①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断x 2m与x 2m对应的两个点是关于直线x2 1 2 对称，从而得出判断； ②根据二次函数yax2 4ax5直接判断结论是错误的； ③设A(n,0)，B(p,0)，且n p，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示AB长，再根据已 知条件分两种情况分别讨论，最终得出a 1或a0； ④根据已知条件分两种情况分别讨论，当a0时，若3 x 4，y随x的增大而增大，得3a5 y 5， 第17页（共31页）4 再根据y的整数值有4个，得1 a ；当a0时，若3 x 4，y随x的增大而减小，方法和第一种情况 3 4 类似，求出 a 1，从而得出最终结论． 3 4a 【解答】解：①二次函数对称轴为直线x 2， 2a 2m2m  2， 2 2m与2m关于直线x2对称， 对任意实数m，都有x 2m与x 2m对应的函数值相等， 1 2 ①正确； ②对称轴为直线x2，与y轴的交点为(0,5)， 抛物线也过点(4,5)， 无论a取何值，抛物线一定过两个定点(0,5)和(4,5)， ②正确； 学 ③若抛物线与x轴交于不同两点A，B， 升 设A(n,0)，B(p,0)，且n p， 哥 n， p是方程ax2 4ax50的两个不同的根， 水 5 n p4，np ， a 20 AB pn (n p)2 4np  16 ， a AB 6， 20 16 36， a 当a0时，解不等式得a 1， 当a0时，解不等式得a 1， 综上所述：a 1或a0， 若抛物线与x轴交于不同两点， 16a220a0， 5 a0或a ， 4 5 综上所述：a 1或a ， 4 ③错误； 第18页（共31页）④当a0时，若3 x 4，y随x的增大而增大， 当x3时，y9a12a53a5， 当x4时，y16a16a55， 3a5 y 5， y的整数值有4个， 93a5 8， 4 1 a ， 3 当a0时，若3 x 4，y随x的增大而减小， 5 y 3a5， y的整数值有4个， 2 3a51， 4  a 1， 学 3 4 4 综上所述： a 1或1 a ， 升 3 3 ④正确． 哥 故答案为：①②④． 水 【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元 一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题 关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（6分）解方程： （1）4x2 90； （2）2x2 3x50． 9 【分析】（1）先变形得到x2  ，然后利用直接开平方法求解． 4 （2）将方程左边分解因式后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求 出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：（1）4x2 90， 9 x2  ， 4 第19页（共31页）3 3 所以x  ，x  ． 1 2 2 2 （2）2x2 3x50， 分解因式得：(x1)(2x5)0， 可得：x10或2x50， 5 解得：x 1，x  ． 1 2 2 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法和因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解 题的关键． 18．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F 分别是OA、OC的中点， 求证：BE DF ． 学 【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出升 OAOC，OBOD，利用中点的意义得出OEOF， 从而利用平行四边形的判定定理“对角哥线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形， 从而得出BE DF ． 水 【解答】证明：连接BF 、DE，如图所示： 四边形ABCD是平行四边形 OAOC，OBOD E 、F 分别是OA、OC的中点 1 1 OE  OA，OF  OC 2 2 OE OF 四边形BFDE是平行四边形 BEDF ． 【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平 第20页（共31页）分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形． 19．（6分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱 笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设出AD的长，表示出AB的长，利用长方形面积公式列方程解答，再据墙的最大可用长度 为11米即可； 学 （2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判别式进行判定即可． 升 【解答】解：（1）设AD的长为x米，则AB为(243x)米，根据题意列方程得， 哥 (243x)x45 ， 水 解得x 3，x 5； 1 2 当x3时，AB243x2491511，不符合题意，舍去； 当x5时，AB243x911，符合题意； 答：AD的长为5米． （2）不能围成面积为60平方米的花圃． 理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米， 于是有(243y)y60， 整理得y2 8y200， △(8)2 420160， 这个方程无实数根， 不能围成面积为60平方米的花圃． 【点评】此题的关键是利用长方形的面积计算公式列方程解答问题，注意结合图形． 第21页（共31页）20．（6分）已知关于x的方程x2 (2k1)xk2 10有两个实数根x ，x ． 1 2 （1）求实数k的取值范围； （2）若x ，x 满足x2 x2 16xx ，求实数k的值． 1 2 1 2 1 2 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△4k5 0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x x 12k、x x k2 1，将其代入x2 x2 (x x )2 2x x 16x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 中，解之即可得出k的值． 【解答】解：（1）关于x的方程x2 (2k1)xk2 10有两个实数根x ，x ， 1 2 △(2k1)2 4(k2 1)4k5 0， 5 解得：k ， 4 5 实数k的取值范围为k ． 4 学 升 （2）关于x的方程x2 (2k1)xk2 10有两个实数根x ，x ， 1 2 哥 x x 12k ，x x k2 1． 1 2 1 2 水 x2 x2 (x x )2 2x x 16x x ， 1 2 1 2 1 2 1 2 (12k)2 2(k2 1)16(k2 1)，即k2 4k120， 解得：k 2或k 6（不符合题意，舍去）． 实数k的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别 式，找出△4k5 0；（2）根据根与系数的关系结合x2 x2 16xx ，找出关于k的一元二次方程． 1 2 1 2 21．（6分）已知二次函数的顶点坐标为(1,4)，且图象经过点(2,3)． （1）求这个二次函数的表达式； （2）列表描点画出这个二次函数的图象．   x y   第22页（共31页）【分析】（1）由待定系数法即可求解； 学 （2）取点描点绘制函数图象即可． 升 【解答】解：（1）由题意得，函数的表达式为：ya(x1)2 4， 哥 将(2,3)代入上式得：3a(21)2 4， 水 解得：a1， 故抛物线的表达式为： y(x1)2 4； （2）取点如下：   x 1 0 1 2 3 y  0 3 4 3 0  描点绘制函数图象如下： 第23页（共31页）【点评】本题考查的是用待定系数法求函数表达式，题目难度不大． 学 22．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种 升 纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13 哥 元/个，B种纪念章售价为8元/个． （1）每个A种纪念章和每个B 水种纪念章的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个 纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，根据“每个A种纪念章的 进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同”，可列出 关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个A种纪念章，则购进(400m)个B种纪念章，利用进货总价进货单价进货数量，结 合进货总价不超过2800元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这400个纪 念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，利用总利润每个的销售利润销售数量（购进数量），可得 出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元， x y4 根据题意得： ， 6x10y 第24页（共31页）x10 解得： ． y6 答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元； （2）设购进m个A种纪念章，则购进(400m)个B种纪念章， 根据题意得：10m6(400m) 2800， 解得：m 100． 设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，则w(1310)m(86)(400m)， 即wm800， 10， w随m的增大而增大， 当m100时，w取得最大值，最大值100800900，此时400m400100300． 答：当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元． 学 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2 升）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系 式． 哥 23．（7分）如图是证明勾股定理水时用到的一个图形，a、b、c是RtABC和RtBED的边长，显然AE  2c， 我们把关于x的一元二次方程ax2  2cxb0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程 2x2  10x 30是否为“弦系一元二次方程”？ 是 （填“是”或“否” )，并说 明理由； （2）求证：关于x的“弦系一元二次方程” ax2  2cxb0必有实数根； （3）若x1是“弦系一元二次方程” ax2  2cxb0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6 2，求 ABC的面积． 【分析】（1）根据“弦系一元二次方程”的定义判断即可． 第25页（共31页）（2）证明△ 0． （3）想办法求出ab的值可得结论． 【解答】（1）解：a 2 ，b 5，c 3， a2 b2 c2， a，b，c能构成直角三角形， 方程 2x2  10x 30是否为是弦系一元二次方程”． 故答案为：是． （2）证明：根据题意，得△( 2c)2 4ab2c2 4ab， a2 b2 c2， △2c2 4ab2(a2 b2)4ab2(ab)2 0， 学 弦系一元二次方程必有实数根； 升 哥 水 （3）解：当x1时，有a 2xb0，即ab 2c， 2a2b 2c6 2， 3 2c6 2， c2， a2 b2 4，ab2 2 ， (ab)2 a2 b2 2ab， ab2， 1 S  ab1． ABC 2 【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，“弦系一元二次方程”的定义，根的判别式等知识， 解题的关键是理解“弦系一元二次方程”的定义，灵活运用所学知识解决问题． 24．（8分）已知：正方形ABCD中，MAN 45，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M 、N．当MAN 绕点A旋转到BM DN 时（如图1)，易证BM DN MN ． 第26页（共31页）（1）当MAN 绕点A旋转到BM  DN 时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写 出猜想，并加以证明； （2）当MAN 绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？写出猜 想，并加以证明； （ 3 ） 若 正 方 形 的 边 长 为 4 ， 当 N 运 动 到 DC 边 的 中 点 处 时 ， 求 BM 的 长． 【分析】（1）结论：BM DN MN ，证得B 、E 、M 三点共线即可得到AEM ANM ，从而证得 学 ME MN，可得结论； （2）结论：DN BM MN ．首先证明ADQA 升 BM ，得DQBM ，再证明AMN AQN(SAS)，得 MN QN ，可得结论； 哥 （3）由勾股定理可求解． 水 【解答】解：（1）BM DN MN ． 理由如下：如图2，把ADN 绕点A顺时针旋转90，得到ABE， ABE ADN 90，AE  AN ，BE DN ， ABEABC 180， 点E，点B，点C三点共线， EAM 90NAM 904545， 又NAM 45， 在AEM 与ANM 中， 第27页（共31页）AE  AN  EAM NAM ，  AM  AM AEM ANM(SAS)， ME MN ， ME BEBM DN BM ， DN BM MN ； （2）DN BM MN ． 理由如下：在线段DN 上截取DQBM ， 在ADQ与ABM 中， AD AB  ADQABM ，  DQBM 学 ADQABM(SAS)， 升 DAQBAM ， 哥 QAN MAN ． 在AMN和AQN中， 水 AQ AM  QAN MAN ，  AN  AN AMN AQN(SAS)， MN QN， DN BM MN ； （3）如图4， 正方形的边长为4，点N是BC的中点， 第28页（共31页）CN DN 2， DN BM MN ， MN 2BM ， MN2 CN2 MC2， (2BM)2 4(4BM)2， 4 BM  ． 3 学 【点评】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知 升 识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 哥 25．（10分）已知二次函数 yx2 bxc的图象与x轴分别交于点A、B(A在左侧），与y轴交于点C ， 水 若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为(2,0)． （1）原抛物线的函数解析式是 yx2 6x5 ． （2）如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M ，使CQM 为等 腰三角形且BQM 为直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将函数yx2 bxc的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得抛物线 第29页（共31页）的顶点坐标为(2,0)，则函数yx2 bxc的顶点坐标为(3,4)，即可求解； 1 （2）由S  PM OB，即可求解； PBC 2 （3）分①如图，CMQ为等腰三角形、BMQ为直角三角形；②如图，CMQ为等腰三角形、BMQ为 直角三角形两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将二次函数yx2 bxc的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度， 所得的抛物线的顶点坐标为(2,0)， 二次函数yx2 bxc的顶点坐标为(3,4)， 二次函数解析式为：y(x3)2 4x2 6x5， 故答案为：yx2 6x5； （2）如图，过点P作PM  x轴，交BC于点M ， 学 升 哥 水 二次函数yx2 6x5的图象与x轴交于A，B两点，交y轴于点C， 当x0时， y5，当y0时，x2 6x50， 解得：x 5，x 1， 1 2 点C 坐标为(0,5)，点A坐标(1,0)，点B坐标(5,0)， 直线BC解析式为：yx5， 设点P(a,a2 6a5)，则点M(a,a5)， 1 5 5 125 S  (a5a2 6a5)5 (a )2  ， PBC 2 2 2 8 5 125 当a 时，PBC 面积的最大值为 ， 2 8 5 15 点P( ， )； 2 4 第30页（共31页）（3）存在，理由： ①如图，CMQ为等腰直角三角形（点Q、O重合）、BMQ为直角三角形， 设点M 的坐标为(m,5m)，Q的坐标为(0,0)， 5 5 OBOC 5，则点M( ， )； 2 2 ②如图，CMQ为等腰三角形、BMQ为直角三角形， 学 升 哥 水 设点M 的坐标为(m,5m)，Q的坐标为(m,0)， MQ2 (5m)2，CM2 m2 m2， 由MQ2 CM2，解得：m5 25， 故点M 的坐标为(5 25，105 2)； 5 5 故：点M 的坐标：( , )或(5 25，105 2)． 2 2 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:26:51；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 第31页（共31页）