23-24学年十六中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州十六中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F 遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景 海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中， 其文字上方的图案是中心对称图形的是( ) A． B． 学 升 C． D． 2．（3分）将抛物线y x2向左平移3个单哥位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为( ) 水 A．y(x3)2 2 B．y(x3)2 2 C．y(x3)2 2 D．y(x3)2 2 3．（3分）下列计算正确的是( ) 1 A． 9 3 B．(a2)2 a4 C．3abab2 D．22  4 4．（3分）关于二次函数y2(x3)2 2的图象，下列叙述正确的是( ) A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线x3 C．当x3时y随x增大而减小 D．图象经过点(2,4) 5．（3分）如图，在ABCD中，A70，将ABCD绕顶点B顺时针旋转到ABCD ，当C D 首次经 1 1 1 1 1 过顶点C时，旋转角为( )度． 第1页（共29页）A．30 B．40 C．45 D．50 6．（3分）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书 面作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书 面作业时长为70min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为( ) A．70(1x2)100 B．70(1x)2 100 C．100(1x)2 70 D．100(1x2)70 7．（3分）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0 的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 8．（3分）二次函数yax2 bxc的图象如图所示，则abc，b2 4ac，abc，4a2bc，这四个式 学 子中，值为正数的有( ) 升 哥 水 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(ab)x2 2cxab0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 10．（3分）小明在研究抛物线y(xh)2 h1(h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是( ) A．无论x取何实数，y的值都小于0 B．该抛物线的顶点始终在直线yx1上 C．当1 x2时，y随x的增大而增大，则h 2 D．该抛物线上有两点A(x ，y )，B(x ，y )，若x x ，x x 2h，则y  y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）文化和旅游部3日公布：2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计约274000000人次，274000000 用科学记数法表示是 ． 第2页（共29页）12．（3分）点M(1,a)和点N(b,2)关于原点对称，则(ab)2020  ． 13．（3分）关于x的一元二次方程(m3)x2 xm2 90有一根为0，则m的值为 ． 14．（3分）二次函数y  x2 x2的图象如图所示，则函数值y0时，x的取值范围是 ． 15．（3分）用承重指数W 衡量水平放置的长方体木板的最大称重量．实验发现：木板承重指数W 与木板 厚度x（厘米）之间满足函数关系式为W kx2(k为常数），当x3时，W 3．选一块厚度为6厘米的木 板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米）， QW W ，当x 时，Q4． 厚 薄 学 升 哥 水 16．（3分）如图，线段AB8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120得到线段BD， 连接CD，在AB的上方作RtDCE，使DCE 90，E 30，点F 为DE的中点，连接AF ，当AF 最 小时，AF  ． 三、简答题（本大题共9题，满分72分） 17．（4分）解方程：x2 2x30． 18．（4分）已知：如图，AB//DE，ABDE，AF DC ．求证：BE． 第3页（共29页）19．（6分）如图，ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3)，C(1,3)． （1）画出ABC 绕点A逆时针旋转90的△ABC ； 2 2 （2）直接写出点B ，C 的坐标． 2 2 学 升 哥 20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2 0有两个实数根x 和x ． 1 2 水 （1）求实数m的取值范围； （2）若x x 1xx ，求m的值． 1 2 1 2 21．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克） 与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元？ 22．（10分）在RtABC中，ABC 90，BAC 30，将ABC 绕点A顺时针旋转一定的角度得到 AED，点B、C的对应点分别是E、D． （1）如图1，当点E恰好在AC 上时，求CDE的度数； （2）如图2，若60时，点F 是边AC 中点，连接DF，EB，延长BF 交AE于G，求证：四边形BFDE 是平行四边形． 第4页（共29页）1 23．（10分）已知函数y| x2 2|，图象与x轴交点为点A，B（点A在点B的左边），完成以下的探究． 2 （1）画出这个二次函数的图象：   x y   学 升 哥 水 （2）若点C 为函数图象上一点，且ABC 的面积为6，结合函数图象，求点C的坐标； （3）当平面内的直线ykx3与这个函数图象有三个公共点时，则k  ． 24．（12分）在RtABC中，ACB90，CACB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A， B重合），连接CD，线段CD绕点C 逆时针旋转90，得到线段CE ，过点B作直线l BC，过点E作 EF l，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G． 第5页（共29页）（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系； （2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CGBD 2BC ； S （3）连接DE，CDE的面积记为S ，ABC的面积记为S ，当EF:BC 1:3时，请直接写出 1 的值． 1 2 S 2 25．（12分）已知关于x的二次函数y x2 bxc（实数b，c为常数）． 1 （1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为直线x1，求此二次函数的表达式； 学 （2）若b(k1)，c2k3，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该 抛物线的顶点坐标； 升 （3）记关于x的二次函数y 2x2 xm 哥，若在（1）的条件下，当0 x 1时，总有y y ，求实数m的 2 2 1 取值范围． 水 第6页（共29页）2023-2024 学年广东省广州十六中九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F 遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景 海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中， 其文字上方的图案是中心对称图形的是( ) A． B． 学 升 C． 哥D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的 水 图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以 不是中心对称图形． 选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（3分）将抛物线y x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为( ) A．y(x3)2 2 B．y(x3)2 2 C．y(x3)2 2 D．y(x3)2 2 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【解答】解：将抛物线 y x2先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到新抛物线的表达式是 y(x3)2 2． 故选：A． 第7页（共29页）【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解 题的关键． 3．（3分）下列计算正确的是( ) 1 A． 9 3 B．(a2)2 a4 C．3abab2 D．22  4 【分析】分别根据算术平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则和负整数指数幂的定义进行判断即 可． 【解答】解：A、 9 3，所以A选项不符合题意； B、(a2)2 a4，所以B选项不符合题意； C、3abab2ab，所以C 选项不符合题意； 1 D、22  ，所以D选项符合题意． 4 故选：D． 学 【点评】本题考查了算术平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则和负整数指数幂的定义，熟练掌 升 握运算法则是关键． 哥 4．（3分）关于二次函数y2(x3)2 2的图象，下列叙述正确的是( ) 水 A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线x3 C．当x3时y随x增大而减小 D．图象经过点(2,4) 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：二次函数y2(x3)2 2中，a2， 该函数图象开口向上，对称轴为直线x3，顶点坐标为(3,2)， 当x3时，y随x的增大而增大， 当x2时，y4， 图象经过点(2,4)， 故选项A、B、C错误；选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 5．（3分）如图，在ABCD中，A70，将ABCD绕顶点B顺时针旋转到ABCD ，当C D 首次经 1 1 1 1 1 过顶点C时，旋转角为( )度． 第8页（共29页）A．30 B．40 C．45 D．50 【分析】由旋转的性质可知：ABCD 全等于ABCD ，得出BC BC ，由等腰三角形的性质得出 1 1 1 1 BCC C ，由旋转角ABA CBC ，根据等腰三角形的性质计算即可． 1 1 1 1 【解答】解：ABCD绕顶点B顺时针旋转到ABCD ， 1 1 1 BC BC ， 1 BCC C ， 1 1 学 A70， 升 C C 70， 1 哥 BCC C ， 1 1 水 CBC 18027040， 1 ABA 40， 1 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理， 解题的关键是证明三角形CBC 是等腰三角形． 1 6．（3分）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书 面作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书 面作业时长为70min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为( ) A．70(1x2)100 B．70(1x)2 100 C．100(1x)2 70 D．100(1x2)70 【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长2022年上学期每天书面作业平均时长(1该校这两 学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设根据题意得：100(1x)2 70． 第9页（共29页）故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 7．（3分）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0 的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质． 【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1． 故选：B． 学 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的 升 取值即可． 哥 8．（3分）二次函数yax2 bxc的图象如图所示，则abc，b2 4ac，abc，4a2bc，这四个式 水 子中，值为正数的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的性质，对a、b、c的值进行判断．利用二次函数图象与x轴的交点个数，对判 别式b2 4ac进行判断，将特殊值代入解析式，对abc和abc进行判断即可． 【解答】解：（1）abc0，理由是： 抛物线开口向上，a0， 抛物线交y轴负半轴，c0， b 又对称轴交x轴的正半轴， 0，而a0，得b0， 2a abc0； 第10页（共29页）（2）b2 4ac0，理由是： 抛物线与x轴有两个交点，b2 4ac0； （3）abc0，理由是： 由图象可知，当x1时，y0；而当x1时，yabc．即abc0； （4）4a2bc0，理由是： 由图象可知，当x2时，y0；而当x1时， yabc．即abc0． 综上所述，abc，b2 4ac，abc，abc这四个式子中，值为正数的有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，同时结合了不等式的运算，此题是一道结论开放 性题目，难度系数比较大． 学 9．（3分）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(ab)x2 2cxab0的根的情况是( ) 升 A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 哥 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 水 【分析】求出△(2c)2 4(ab)(ab)4c2 4(ab)2，只要说明这个式子的值的符号，问题可求解．根 据三角形的三边关系即可判断． 【解答】解：△(2c)2 4(ab)2 4[c2 (ab)2]4(abc)(cab)， 根据三角形三边关系，得abc0，cab0， △0， 该方程没有实数根． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对 (2c)2 4(ab)(ab)进行因式分解． 10．（3分）小明在研究抛物线y(xh)2 h1(h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是( ) A．无论x取何实数，y的值都小于0 B．该抛物线的顶点始终在直线yx1上 C．当1 x2时，y随x的增大而增大，则h 2 第11页（共29页）D．该抛物线上有两点A(x ，y )，B(x ，y )，若x x ，x x 2h，则y  y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴方程，进而求解． 【解答】解：y(xh)2 h1， 抛物线开口向下，顶点坐标为(h,h1)，对称轴为直线xh， 抛物线最大值为yh1，选项A错误， 设hx，则h1x1， 抛物线顶点在直线yx1上，选项B错误． x h时，y随x增大而增大， h 2时，若x2，则y随x增大而增大，选项C正确． 抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线xh， 当x x ，x x 2h时，A(x ，y )与对称轴的距离大于点B(x ，y )与对称轴的距离， 1 2 1 2 1 1 2 2 学 y  y ，选项D错误． 1 2 升 故选：C． 哥 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及 不等式的关系． 水 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）文化和旅游部3日公布：2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计约274000000人次，274000000 用科学记数法表示是 2.74108 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1 |a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数 变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10时，n是正整 数；当原数的绝对值1时，n是负整数． 【解答】解：2740000002.74108． 故答案为：2.74108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1 |a|10，n为 整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（3分）点M(1,a)和点N(b,2)关于原点对称，则(ab)2020  1 ． 【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则b10，a20， 第12页（共29页）从而得出a，b，推理得出结论． 【解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， b10，a20， 即：b1且a2， (ab)2020 (21)2020 1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单． 13．（3分）关于x的一元二次方程(m3)x2 xm2 90有一根为0，则m的值为 3 ． 【分析】把x0代入方程(m3)x2 xm2 90得m2 90，解得m 3，m 3，然后根据一元二 1 2 次方程的定义确定m的值． 【解答】解：把x0代入方程(m3)x2 xm2 90得m2 90，解得m 3，m 3， 1 2 学 而m30， 升 所以m的值为3． 哥 故答案为3． 【点评】本题考查了一元二次方水程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解．也考查了一元二次方程的定义． 14．（3 分）二次函数 y  x2 x2的图象如图所示，则函数值 y0时， x的取值范围是 1 x2 ． 【分析】根据 y 0时，对应x的值，再求函数值y0时，对应x的取值范围． 【解答】解：根据抛物线与x轴两交点坐标为(1,0)，(2,0) 故当函数值 y0时，对应x的取值范围上是：1 x2． 故答案为：1 x2． 【点评】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题． 第13页（共29页）15．（3分）用承重指数W 衡量水平放置的长方体木板的最大称重量．实验发现：木板承重指数W 与木板 厚度x（厘米）之间满足函数关系式为W kx2(k为常数），当x3时，W 3．选一块厚度为6厘米的木 板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米）， QW W ，当x 3 5 时，Q4． 厚 薄 【分析】先由木板承重指数W 与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设W kx2(k 0)．将x3时，W 3 学 1 代入，求出k  ，即可得出W 与x的函数关系式；再设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为(6x)厘米， 3 升 1 将W  x2代入QW W ，化简即可得到Q与x的函数关系式；最后根据Q是W 的3倍，列出方程 厚 薄 薄 3 哥 1 4x123 x2，求解即可． 3 水 【解答】解：设W kx2(k 0)， 当x3时，W 3， 1 39k，解得k  ， 3 1 W 与x的函数关系式为W  x2； 3 设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为(6x)厘米， 1 1 QW W  (6x)2  x2 4x12， 厚 薄 3 3 Q与x的函数关系式为Q4x12； 令Q44x12，解得x2 【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，求出W 与x的函数关系式是解题 的关键． 16．（3分）如图，线段AB8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120得到线段BD， 连接CD，在AB的上方作RtDCE，使DCE 90，E 30，点F 为DE的中点，连接AF ，当AF 最 第14页（共29页）小时，AF  4 3 ． 【分析】连接CF ，证明ACF 为直角三角形，根据勾股定理列出AF2 CF2 AC2，设BC x，则AC 8x， 建立关于x的二次函数关系式，求出x2时，AF 最小，再求出顶角是120的三角形BCD的面积即可． 【解答】解：连接CF，则CF DF EF ， EDC 90E 60， FCD60． 1 DCB (180120)30， 2 学 FCBFCDDCB603090， 升 ACF 是直角三角形． 哥 设BC x，则AC 8x，BC  BD x，CDCF  3x，由勾股定理得： 水 AF  AC2 FC2  (8x)2 ( 3x)2  2 (x2)2 12 ． 当x2时，AF 有最小值，最小值为4 3． 故答案为：4 3． 【点评】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120的等腰三角形面积的计算，建立二次函 数关系式是本题的突破口． 三、简答题（本大题共9题，满分72分） 17．（4分）解方程：x2 2x30． 【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答． 第15页（共29页）【解答】解：原方程可以变形为(x3)(x1)0 x30或x10 x 3，x 1． 1 2 【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于 一次项系数． 18．（4分）已知：如图，AB//DE，ABDE，AF DC ．求证：BE． 【分析】由AF DC ，得AC DF ，由AB//DE ，得AD，即可证ABCDEF(SAS)，故BE． 【解答】证明：AF DC， 学 AF CF DCCF ，即AC DF ， 升 AB//DE， 哥 AD， 在ABC 和DEF 中， 水 ABDE  AD，  AC DF ABCDEF(SAS)， BE． 【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理． 19．（6分）如图，ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3)，C(1,3)． （1）画出ABC 绕点A逆时针旋转90的△ABC ； 2 2 （2）直接写出点B ，C 的坐标． 2 2 第16页（共29页）【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． 【解答】解：（1）如图，△AB C 即为所求． 2 2 学 升 哥 水 （2）由图可得，点B (2,4)，C (2,2)． 2 2 【点评】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2 0有两个实数根x 和x ． 1 2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x x 1xx ，求m的值． 1 2 1 2 【分析】（1）由一元二次方程 x2 (2m1)xm2 0 的两个实数根，根据根的判别式的意义得到△ b2 4ac 0，解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系x x (2m1)，xx m2，代入代数式求出m的值即可． 1 2 1 2 【解答】解：（1）△(2m1)2 4m2 4m2 4m14m2 4m1， 第17页（共29页）△ 0， 4m1 0， 1 m ． 4 1 故实数m的取值范围为m ； 4 （2）由题意可得： x x (2m1)12m，xx m2， 1 2 1 2 又x x 1xx ， 1 2 1 2 12m1m2， m2 2m0， 解得m 0，m 2， 1 2 1 又m ， 学 4 m0． 升 【点评】此题主要考查了一元二次方程根哥与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形 相结合解题是一种经常使用的解题方法． 水 21．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克） 与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为ykxb(k 0)，将表中数据(55,70)、(60,60)代入得： 55kb70  ， 60kb60 k 2 解得： ． b180 第18页（共29页）y与x之间的函数表达式为y2x180； （2）设当天的销售利润为600元，则： 600(x50)(2x180) 6002(x70)2 800， 20， 当x60或80，利润是600元．． 答：当销售单价定为利润是60元或，80元/千克时，利润是600元． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关 系是解题的关键． 22．（10分）在RtABC中，ABC 90，BAC 30，将ABC 绕点A顺时针旋转一定的角度得到 AED，点B、C的对应点分别是E、D． （1）如图1，当点E恰好在AC上时，求CDE的度数； 学 （2）如图2，若60时，点F 是边AC中点，连接DF，EB，延长BF 交AE于G，求证：四边形BFDE 升 是平行四边形． 哥 水 【分析】（1）由旋转得AD AC，通过等腰三角形及直角三角形导出CDE； （2）由旋转及点F 为斜边中线得DE BF ，再添加辅助线证明DE//BF，从而得到四边形BFDE是平行 四边形． 【解答】（1）解：如图1， 第19页（共29页）ABC 90，BAC 30， ACB60． ABC绕点A顺时针旋转得到ADE，点E恰好在AC上， CA AD，EADBAC 30， 1 ACDADC  (18030)75． 2 EDAACB60， 学 CDE ADCEDA15． 升 （2）证明：点F 是边AC中点，ABC 90， 哥 1 1 AF  AC ，BF  AC ， 2 2 水 AF BF ， ABF BAC 30， BAC 30，ABC 90， 1 BC  AC， 2 ABC绕点A顺时针旋转60得到ADE， BAE CAD60，CBDE，DEAABC 90， DEBF ． 如图2，BGE GBABAG90， 第20页（共29页）BGE DEA， BF //ED， 四边形BFDE为平行四边形． 【点评】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，解题关键是掌握直角三角形的性质，斜边上的中线长 度等于斜边长度的一半，30所对直角边长度为斜边长度的一半． 1 23．（10分）已知函数y| x2 2|，图象与x轴交点为点A，B（点A在点B的左边），完成以下的探究． 2 （1）画出这个二次函数的图象：   x 4 y   学 升 哥 水 （2）若点C 为函数图象上一点，且ABC 的面积为6，结合函数图象，求点C的坐标； （3）当平面内的直线ykx3与这个函数图象有三个公共点时，则k  ． 【分析】（1）依次对x进行取值，并求出相应的函数值，填入表格，再将表格中的点在平面直角坐标系中 描出，并连线即可． （2）利用数形结合的思想即可解决问题． （3）利用数形结合的思想即可解决问题． 【解答】解：（1）当x4时，y6； 5 当x3时，y ； 2 当x2时，y0； 第21页（共29页）3 当x1时，y ； 2 当x0时，y2； 3 当x1时，y ； 2 当x2时，y0； 5 当x3时，y ； 2 当x4时，y6． 5 3 3 5 故答案为：4，6，3， ，2，0，1， ，0，2，1， ，2，0，3， ，4，6． 2 2 2 2 二次函数图象如图所示： 学 升 哥 水 （2）由（1）可知， A点坐标为(2,0)，B点坐标为(2,0)， 所以AB2(2)4． 又因为ABC 的面积为6， 1 则 ABy 6， 2 c 所以 y 3． c 显然 y3与函数图象有两个交点， 1 且都在抛物线 y x2 2上， 2 第22页（共29页）1 则 x2 23， 2 解得x  10,x  10 ． 1 2 所以点C的坐标为( 10 ，3)或( 10 ，3)． （3）由一次函数的表达式为ykx3可知， 一次函数经过定点(0,3)． 学 升 哥 水 1 当直线ykx3与抛物线y x2 2只有一个交点时， 2 这条直线与这个函数图象有三个公共点， 1 此时 x2 2kx3有两个相等的实数根， 2 则x2 2kx20， 所以(2k)2 420， 解得k  2． 当直线ykx3经过点(2,0)或点(2,0)时， 这条直线与这个函数图象有三个公共点， 则2k30或2k30， 3 3 解得k  或 ． 2 2 3 综上所述：k的值为 2或 ． 2 第23页（共29页）3 故答案为： 2或 ． 2 【点评】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及 巧用数形结合的思想是解题的关键． 24．（12分）在RtABC中，ACB90，CACB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A， B重合），连接CD，线段CD绕点C 逆时针旋转90，得到线段CE ，过点B作直线l BC，过点E作 EF l，垂足为点F ，直线EF 交直线OC于点G． 学 （1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系； 升 （2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CGBD 2BC ； 哥 S （3）连接DE，CDE的面积记为S ，ABC的面积记为S ，当EF:BC 1:3时，请直接写出 1 的值． 水1 2 S 2 【分析】（1）连接BE ，由ACB90，CACB，得A45，根据线段CD绕点C逆时针旋转90， 得到线段CE，有CDCE ，DCE 90，可得BCEACD(SAS)，从而BE AD，ACBE 45， 知BEF是等腰直角三角形，BE  2EF ，故AD 2EF； （2）由ACB90，CACB，O为AB的中点，得COB90，AB 2BC，证明CEGDCA(AAS)， 得CG AD，根据ADBD AB ，即得CGBD 2BC ； （3）由EF:BC 1:3，设EF m，则BC  AC 3m，分两种情况：当D在线段AB上时，延长AC 交GF 于K，由CEG DCA，得GE  AC 3m，而四边形BCKF 是矩形，有KF BC 3m，CKG90， 1 1 5m2 根 据 勾 股 定 理 可 得 CE2 CK2 KE2 m2 (2m)2 5m2 ， 故 S  CDCE CE2  ， 1 2 2 2 1 9m2 S 5 S 17 S  ACBC  ，即得 1  ；当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，同理可得 1  ． 2 2 2 S 9 S 9 2 2 【解答】（1）解：AD 2EF，理由如下： 连接BE ，如图： 第24页（共29页）ACB90，CACB， A45， 线段CD绕点C逆时针旋转90，得到线段CE， CDCE，DCE 90， BCE 90BCDACD， BCEACD(SAS)， BE AD，ACBE 45， 学 直线l BC， 升 EBF 45， 哥 BEF 是等腰直角三角形， 水 BE  2EF， AD 2EF ； （2）证明：如图， ACB90，CACB，O为AB的中点， COB90，AB 2BC， BFG90， G360COBOBF BFG45A， BC 直线l，EF 直线l， BC//GF ， 第25页（共29页）CEGBCE ， BCE 90BCDACD， CEGACD， CE CD， CEGDCA(AAS)， CG AD， ADBD AB， CGBD 2BC； （3）解：由EF:BC 1:3，设EF m，则BC  AC 3m， 当D在线段AB上时，延长AC交GF 于K，如图： 学 升 哥 水 由（2）知CEGDCA， GE  AC 3m， CBF BFE BCK 90， 四边形BCKF 是矩形， KF BC 3m，CKG90， KE KF EF 2m， GK GEKE m， G45， CK GK m， CE2 CK2 KE2 m2 (2m)2 5m2， 1 1 5m2 S  CDCE CE2  ， 1 2 2 2 AC BC 3m， 1 9m2 S  ACBC  ， 2 2 2 第26页（共29页）S 5  1  ； S 9 2 当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图： 同理可得BC  AC EG3m， FGEGEF 2m， TF BC 3m， TGTF FGm， 学 ACB90，CACB，O为AB的中点， 升 AOC 45， 哥 BC//EF， ETC 90， 水 CT TGm， CE2 CT2 TE2 m2 (m3m)2 17m2， 17m2 S  ， 1 2 S 17  1  ； S 9 2 S 5 17 综上所述， 1 的值为 或 ． S 9 9 2 【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三 角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 25．（12分）已知关于x的二次函数y x2 bxc（实数b，c为常数）． 1 （1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为直线x1，求此二次函数的表达式； （2）若b(k1)，c2k3，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该 抛物线的顶点坐标； 第27页（共29页）（3）记关于x的二次函数y 2x2 xm，若在（1）的条件下，当0 x 1时，总有y y ，求实数m的 2 2 1 取值范围． 【分析】（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c的 值，根据二次函数的对称轴可得b的值，由此即 可 得； k1 1 3 11 k1 （2）由b(k1)，c2k3得出y (x )2  k2  k ，从而得到顶点的横坐标为： ， 1 2 4 2 4 2 1 3 11 1 顶点的纵坐标为： k2  k ，即 (k3)2 5 从而得到当k 3时，顶点移动到最高处，此时抛物 4 2 4 4 线的顶点坐标为(2,5)； （3）先根据y  y 可得x2 3xm40 令y x23xm4，再根据二次函数的性质列出不等式， 2 1 3 求解即可得． 【解答】解：（1）将点(0,4)代入y x2 bxc 得：c4， 1 二次函数的对称轴为直线x1， 学 b  1 解得b2， 升 2 则此二次函数的表达式为y x2 2x4；哥 1 （2）b(k1)，c2k3 水， k1 k1 k1 1 3 11 y  x2 (k1)x2k3 x2 (k1)x( )2 ( )2 2k3(x )2  k2  k ， 1 2 2 2 4 2 4 k1 顶点的横坐标为： ， 2 1 3 11 顶点的纵坐标为： k2  k ， 4 2 4 1 即 (k3)2 5， 4 当k 3 时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为(2,5)； （3）由（1）可知，y x2 2x4， 1 由y  y 得2x2 xmx2 2x4， 2 1 即x2 3xm40， 令y x2 3xm4， 3 3 它的对称轴是直线x 且开口向上， 2 第28页（共29页）在0 x 1内，y 随x的增大而增大， 3 要使得当0 x 1时，总有y  y ， 2 1 即y x2 3xm40， 3 则只需当x0时，y 0即可， 3 因此有m4 0， 解得m 4． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，化顶点式等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:25:26；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第29页（共29页）