23-24学年天省实验学校九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市天河区天省实验学校九年级（上）月考数学 试卷（10 月份） 一、选择题（单选，本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）二次函数yax2 bxc的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为( ) A．(1,3) B．(0,1) C．(0,3) D．(2,1) 2．（3分）一元二次方程x2 2x70用配方法可变形为( ) 学 A．(x1)2 8 B．(x2)2 11 C．(x1)2 8 D．(x2)2 11 升 3．（3分）将二次函数y5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析 哥 式为( ) 水 A．y5(x3)2 2 B．y5(x3)2 2 C．y5(x3)2 2 D．y5(x3)2 2 4．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000 亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A．5000(12x)7500 B．5000(1x)7500 C．5000(1x)2 7500 D．50005000(1x)5000(1x)2 7500 5．（3分）关于x的方程(x1)2 3(x1)2的根的情况是( ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 6．（3分）已知点A(1,y )，B(2,y )，C(2,y )在抛物线y(x1)2 n上，则下列结论正确的是( ) 1 2 3 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 3 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 第1页（共27页）7．（3分）在同一平面直角坐标系内，二次函数yax2 bxb(a0)与一次函数yaxb的图象可能是( ) A． 学 B． 升 哥 水 C． D． 8．（3分）若函数yx2 2xm与x轴没有交点，则一次函数y(m1)xm1的图象不经过第( )象 限． A．一 B．二 C．三 D．四 9．（3分）如图，已知ABC 的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1)，若二次函数 yx2 bx1的图 象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是( ) 第2页（共27页）A．b 1 B．b1 C．b 2 D．b2 10．（3分）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开了序幕．32支球队的激烈角逐吸 引着全世界亿万球迷的目光．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻 的鹰眼系统预测画面（如图1)和截面示意图（如图2)，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球离地面高度h （单位：m)与足球被踢出后经过的时间t（单位：s)之间的关系如表：  t/s 0 1 2 3 4 5 6 7  h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 学 升 哥 水 下列结论不正确的是( ) 9 A．足球飞行路线的对称轴是直线t 2 B．足球在第9秒时落地 C．足球距离地面的最大高度为20米 D．足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）若关于x的一元二次方程x2 xm0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 12．（3分）二次函数yx2 (b2)xb的顶点在y轴上，则b ． 1 13．（3分）如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数y x2，在正常水位 25 时水面宽AB30米，当水位上升5米时，则水面宽CD 米． 第3页（共27页）14．（3分）如图，抛物线y ax2与直线y bxc的两个交点坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，则y y ，x 1 2 1 2 的取值范围是 ． 15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为学(0,2) ，点 B 的坐标为(4,2) ．若抛物线 3 1 y (xh)2 k(h、k为常数）与线段AB交于C升、D两点，且CD AB，则k的值为 ． 2 2 哥 水 16．（3分）二次函数yax2 bxc(a，b，c为常数，a0)的图象如图所示，下列结论：①abc0； ②2ab0；③ab m(amb)；④8ac0；⑤a:b:c1:2:3，其中正确的结论有 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（4分）解方程：(x2)2 2x4． 18．（4分）已知关于x的方程(k1)x2 k2x10的一个根是1，求k的值；如果方程还有其他的根，请 第4页（共27页）予求出． 19．（6分）设二次函数yax2 bx1(a0，是实数）．已知函数值和自变量x的部分对应取值如表所示：   x 1 0 1 2 3 y  4 1 0 m n  （1）求此二次函数的解析式． （2）m ，n ，并在图中画出二次函数的图象． （3）当0x3时，则y的取值范围为 ． 学 20．（6分）加强劳动教育，落实五育并举．为培养学生的劳动实践能力，学校计划在长为12m．宽为9m的 升 矩形土地正中间建一座矩形的劳动实践大棚，并使大棚的占地面积为88m2．建成后，大棚外围留下宽度都 哥 相同的区域，这个宽度应设计为多少米？ 水 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 (m3)x3m0． （1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB1，AC、BC的长是此方程的两个根，求m的值． 22．（10分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件)与 每件的销售单价x（元)满足一次函数关系：y2x140(x40)． （1）当x50时，总利润为 元； （2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； （3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 23．（10分）已知抛物线y x2 mxn，直线y kxb，y 的对称轴与y 交于点A(1,5)，点A与y 的 1 2 1 2 1 顶点B的距离是4． 第5页（共27页）（1）求y 的解析式； 1 （2）若y 随着x的增大而增大，且y 与y 都经过x轴上的同一点，求y 的解析式． 2 1 2 2 24．（12分）如图，抛物线yax2 bxc(a0)与x轴交于A(2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)， 连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当PCBABC 时，求点P的坐标． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M(t ，3)(t 0)在二次函数yax2 bx3的图象上． 学 （1）当t 4时，求抛物线的对称轴； 升 t （2）若点N( 1，2)在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答： 3 哥 ①当这个函数的最小值为2时，求二次函数的解析式； 水 ②当t x t1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围． 第6页（共27页）2023-2024 学年广东省广州市天河区天省实验学校九年级（上）月考数学 试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（单选，本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）二次函数yax2 bxc的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为( ) A．(1,3) B．(0,1) C．(0,3) D．(2,1) 【分析】根据抛物线与x轴的两个交点坐标确定对称轴后即可学确定顶点坐标． 【解答】解：观察图象发现图象与x轴交于点(1,0)和(3,0)， 升 对称轴为x2， 哥 顶点坐标为(2,1)， 水 故选：D． 【点评】考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度 不大． 2．（3分）一元二次方程x2 2x70用配方法可变形为( ) A．(x1)2 8 B．(x2)2 11 C．(x1)2 8 D．(x2)2 11 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，即可确定出结果． 【解答】解：一元二次方程x2 2x70用配方法可变形为(x1)2 8， 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．（3分）将二次函数y5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析 式为( ) A．y5(x3)2 2 B．y5(x3)2 2 C．y5(x3)2 2 D．y5(x3)2 2 第7页（共27页）【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y5x2的图象先向右平移3个单位所得函数的解析 式为：y5(x3)2； 由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y5(x2)2的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为： y5(x3)2 2． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 4．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000 亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A．5000(12x)7500 B．5000(1x)7500 学 C．5000(1x)2 7500 升 D．50005000(1x)5000(1x)2 7500 哥 【分析】根据题意可得等量关系水：2018年的快递业务量(1增长率）22020年的快递业务量，根据等量 关系列出方程即可． 【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：5000(1x)2 7500， 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的 量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1x)2 b． 5．（3分）关于x的方程(x1)2 3(x1)2的根的情况是( ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系求出△的值，再与0进行比较，即可得出答案． 【解答】解：方程(x1)2 3(x1)2化为一般形式为：x2 x40， △b2 4ac(1)2 41(4)170， 第8页（共27页）有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△0方程有两个不相等 的实数根；△0方程有两个相等的实数根；△0方程没有实数根． 6．（3分）已知点A(1,y )，B(2,y )，C(2,y )在抛物线y(x1)2 n上，则下列结论正确的是( ) 1 2 3 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 3 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y(x1)2 3的开口向下，对称轴为直线x1，然后根据二 次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：y(x1)2 n， 抛物线开口向下，函数的对称轴为x1， 当x1，y随x的增大而增大；当x1，y随x的增大而减小；且距x1距离越远，y越小， 学 112， 升 y  y ， 1 2 哥 |1(2)|1|11|2， 水 y  y ， 3 1 y  y  y ． 3 1 2 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二 次函数的性质． 7．（3分）在同一平面直角坐标系内，二次函数yax2 bxb(a0)与一次函数yaxb的图象可能是( ) A． 第9页（共27页）B． C． 学 升 哥 D． 水 【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函 数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故A错误； B、二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故B错误； C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故C正确； 第10页（共27页）D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图 象经过的象限是解题的关键． 8．（3分）若函数yx2 2xm与x轴没有交点，则一次函数y(m1)xm1的图象不经过第( )象 限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】由二次函数 yx2 2xm与x轴没有交点，可知△0，得出m1，然后根据m 的取值判定 m1，m1的取值即可． 学 【解答】解：二次函数yx2 2xm与x轴没有升交点， △0，即44m0， 哥 m1， 水 m10，m10， 一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键， 9．（3分）如图，已知ABC 的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1)，若二次函数 yx2 bx1的图 象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是( ) A．b 1 B．b1 C．b 2 D．b2 b 【分析】由对称轴x 1时，二次函数yx2 bx1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即 2 第11页（共27页）可求解． 【解答】解：抛物线yx2 bx1与y轴的交点为(0,1)， C(2,1)， b 对称轴x 1时，二次函数 yx2 bx1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， 2 b 2， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图象上点的坐标特征求b得取值范围是解题 的关键． 10．（3分）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开了序幕．32支球队的激烈角逐吸 引着全世界亿万球迷的目光．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻 的鹰眼系统预测画面（如图1)和截面示意图（如图2)，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球离地面高度h （单位：m)与足球被踢出后经过的时间t（单位：s)之间的关学系如表：  t/s 0 1 2 3 升4 5 6 7  h/m 0 8 14 哥18 20 20 18 14 水 下列结论不正确的是( ) 9 A．足球飞行路线的对称轴是直线t 2 B．足球在第9秒时落地 C．足球距离地面的最大高度为20米 D．足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降 【分析】根据表格中的数据和图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由表格可得， 45 9 足球飞行路线的对称轴是直线t   ，故选项A正确，不符合题意； 2 2 9 足球在第 29秒时落地，故选项B正确，不符合题意； 2 第12页（共27页）足球距离地面的最大高度超过20米，故选项C错误，符合题意； 足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1 11．（3分）若关于x的一元二次方程x2 xm0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 4 【分析】利用根的判别式的意义得到△12 4m0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得△12 4m0， 1 解得m ， 4 1 即m的值为 ． 4 1 故答案为： ． 4 学 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根与△b2 4ac有如下关系：当 升 △0时，方程有两个不相等的实数根；当△0时，方程有两个相等的实数根；当△0时，方程无实数 哥 根． 水 12．（3分）二次函数yx2 (b2)xb的顶点在y轴上，则b 2 ． 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解． 【解答】解：yx2 (b2)xb0， (b2) b2 抛物线的对称轴为直线x  ， 2 2 b2 当抛物线的顶点在y轴上时， 0， 2 解得b2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 1 13．（3分）如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数y x2，在正常水位 25 时水面宽AB30米，当水位上升5米时，则水面宽CD 20 米． 第13页（共27页）【分析】根据正常水位时水面宽AB30米，求出当x15时y9，再根据水位上升5米时y4，代入 解析式求出x即可． 【解答】解：AB30米， 1 当x15时，y 152 9， 25 当水位上升5米时，y4， 1 1 把y4代入y x2得：4 x2， 25 25 解得x10， 此时水面宽CD20米， 学 故答案为：20． 升 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值． 哥 14．（3分）如图，抛物线y ax2与直线y bxc的两个交点坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，则y y ，x 1 水2 1 2 的取值范围是 2 x 1 ． 【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【解答】解：由图象可知，直线 y bxc(b0)在抛物线y ax2(a0)的上方时，2 x 1， 2 1 当y y 时，x的取值范围是2 x 1， 1 2 故答案为：2 x 1． 【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0,2) ，点 B 的坐标为(4,2) ．若抛物线 第14页（共27页）3 1 7 y (xh)2 k(h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD AB，则k的值为 ． 2 2 2 【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的 值，本题得以解决． 【解答】解：点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)， AB4， 3 1 抛物线y (xh)2 k(h、k为常数）与线段AB交于C 、D两点，且CD AB， 2 2 学 CD2， 设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c2,2) 升， 2c2 h c1， 哥 2 3 水 抛物线y [x(c1)]2 k， 2 3 把点C(c,2)代入得，2 [c(c1)]2 k ， 2 7 解得，k  ， 2 7 故答案为 ． 2 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二 次函数的性质解答． 16．（3分）二次函数yax2 bxc(a，b，c为常数，a0)的图象如图所示，下列结论：①abc0； ②2ab0；③ab m(amb)；④8ac0；⑤a:b:c1:2:3，其中正确的结论有 ①④⑤ ． 第15页（共27页）【分析】根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图 象与x轴的交点个数可确定△；根据当x2时，y0；抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，即可 得出结论． 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线与y轴交于正半轴， c0， 抛物线对称轴在y轴右侧， b0， abc0，故①正确； b 二次函数的对称轴是直线x1，即二次函数的顶点的横坐标为x 1， 2a 2ab0，故②错误； 学 根据图示知，当x1时，有最大值abc； 升 所以ab m(amb)(m1)，故③错误； 哥 b2a， 水 可将抛物线的解析式化为：yax2 2axc(a0)， 由函数的图象知：当x2时，y0， 即4a(4a)c8ac0，故④正确； 二次函数的图象和x轴的一个交点是 二次函数的图象和x轴的一个交点是(1,0)，对称轴是直线x1， 另一个交点的坐标是(3,0)， 设yax2 bxca(x3)(x1)ax2 2ax b2a，c3a， a:b:ca:(2a):(3a)1:2:3，⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系以及二次函 数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 第16页（共27页）17．（4分）解方程：(x2)2 2x4． 【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【解答】解：(x2)2 2x4， (x2)2 2(x2)0， (x2)(x4)0， 则x20或x40， 解得x 2，x 4． 1 2 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（4分）已知关于x的方程(k1)x2 k2x10的一个根是1，求k的值；如果方程还有其他的根，请 予求出． 学 【分析】由题意得k1k210，即k2 k20 升 ，解可得k的值，验证可得k的值，将k的值代入可得 原方程，解可得答案． 哥 【解答】解：由题意，(k1)x2 k2x10的一个根是1， 水 分析有k1k210，即k2 k20， 解得k 2，k 1， 1 2 当k 2时，原方程化为：3x2 4x10， 1 x 1，x  ， 1 2 3 1 另一根是x  ． 2 3 【点评】本题考查一元二次方程根的运用，注意增根与失根的情况，此时要进行验证． 19．（6分）设二次函数yax2 bx1(a0，是实数）．已知函数值和自变量x的部分对应取值如表所示：   x 1 0 1 2 3 y  4 1 0 m n  （1）求此二次函数的解析式． （2）m 1 ，n ，并在图中画出二次函数的图象． （3）当0x3时，则y的取值范围为 ． 第17页（共27页）【分析】（1）由表格可知抛物线过(1,4)，(1,0)，然后运用待定系数法即可完成解答； （2）分别将x2，x3代入函数解析式求得m、n的值，然后再运用描点法画出函数图象即可； （3）先求得函数的最值，然后再求出x0，x3的函数值，然后比较即可解答． ab14 【解答】解：（1）根据题意得 ， ab10 a1 解得 ， b2 所以抛物线解析式为yx2 2x1； 学 升 （2）当x2时，yx2 2x11，即m1； 哥 当x3时，yx2 2x14，即n4， 水 如图， 故答案为：1，4． （3）yx2 2x1(x1)2， 该函数图象开口向上，对称轴是直线x1，离对称轴越近函数值越小， 又0 x3，当x1时，函数值为y0；当x3时，函数值为 y4； 当0 x3时，y的取值范围为0 y4． 【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识点，正确求得二次函 数解析式是解答本题的关键． 第18页（共27页）20．（6分）加强劳动教育，落实五育并举．为培养学生的劳动实践能力，学校计划在长为12m．宽为9m的 矩形土地正中间建一座矩形的劳动实践大棚，并使大棚的占地面积为88m2．建成后，大棚外围留下宽度都 相同的区域，这个宽度应设计为多少米？ 【分析】设这个宽度应设计为x m，则矩形大棚的长为(122x)m，宽为(92x)m，根据大棚的面积为88m2， 即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：设这个宽度应设计为x m，则矩形大棚的长为(122x)m，宽为(92x)m， 由题意得：(122x)(92x)88， 解得x0.5或x10， 学 因为当x10时，122x80，不符题意，舍去， 升 所以这个宽度应设计为0.5m． 哥 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 水 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 (m3)x3m0． （1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB1，AC、BC的长是此方程的两个根，求m的值． 【分析】（1）证明△0即可； （2）根据ABC 是等腰三角形分类讨论即可． 【解答】（1）证明：△(m3)2 41(3m) m2 6m912m m2 6m9 (m3)2 0， 无论m取何值，此方程必有实数根； （2）解：当AB1为腰时，则AC或BC有一条边为腰， x2 (m3)x3m0的解为1， 1(m3)3m0， 第19页（共27页）解得：m1， m1时原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在， m1不合题意，应舍去， 当AB1为底时，则AC，BC为腰， 方程x2 (m3)x3m0有两个相等的实数根， △(m3)2 0， 解得m3， 综上所述，m的值3． 【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别 式的求法是解题的关键． 22．（10分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件)与 每件的销售单价x（元)满足一次函数关系：y2x140(x学40)． （1）当x50时，总利润为 400 元； 升 （2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； 哥 （3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 水 【分析】（1）根据题意先求出当x50时的销售量，再求出利润即可； （2）每件进价是40元，销售单价为x元，则每件利润为(x40)元，从而根据利润等于每件的利润乘以销 售量可得w关于x的函数关系式； （3）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得x的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式， 根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【解答】解：（1）当x50时，销售量为y25014040（件)， 利润为：(5040)40400（元)， 故答案为：400； （2）由题意得： w y(x40) (2x140)(x40) 2x2220x5600， w与x的函数关系式为w2x2 220x5600(x40)， 故答案为：w2x2220x5600； 第20页（共27页）（3）y 38， 2x140 38， 解得：x 51． w2x2220x5600 2(x55)2 450， 对称轴为x55，抛物线开口向下， 当x 55时，w随x的增大而增大， x 51， 当x51时，w有最大值，最大值为：2512 220515600418． 销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解 题的关键． 学 23．（10分）已知抛物线y x2 mxn，直线y kxb，y 的对称轴与y 交于点A(1,5)，点A与y 的 1 2 升1 2 1 顶点B的距离是4． 哥 （1）求y 的解析式； 1 水 （2）若y 随着x的增大而增大，且y 与y 都经过x轴上的同一点，求y 的解析式． 2 1 2 2 【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y 的解析式； 1 （2）分两种情况讨论：当y 的解析式为y x2 2x时，抛物线与x轴的交点(0,0)或(2,0)，y 经过(2,0) 1 1 2 和A，符合题意； 当y x2 2x8时，解x2 2x80求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y 随着x的 1 2 增大而增大，求得 y 与y 都经过x轴上的同一点(4,0)，然后根据待定系数法求得即可． 1 2 【解答】解：（1）抛物线y x2 mxn，直线y kxb，y 的对称轴与y 交于点A(1,5)，点A与y 1 2 1 2 1 的顶点B的距离是4． B(1,1)或(1,9)， m 4(1)nm2  1， 1或9， 2(1) 4(1) 解得m2，n0或8， 第21页（共27页）y 的解析式为y x2 2x或y x2 2x8； 1 1 1 （2）①当y 的解析式为y x2 2x时，抛物线与x轴交点是(0,0)和(2,0)， 1 1 y 的对称轴与y 交于点A(1,5)， 1 2 y 与y 都经过x轴上的同一点(2,0)， 1 2 kb5 把(1,5)，(2,0)代入得 ， 2kb0 k 5 解得 ， b10 y 5x10． 2 ②当y x2 2x8时，解x2 2x80得x4或2， 1 学 y 随着x的增大而增大，且过点A(1,5)， 2 升 y 与y 都经过x轴上的同一点(4,0)， 1 2 哥 kb5 把(1,5)，(4,0)代入得 水， 4kb0  5 k    3 解得 ；  b 20  3 5 20 y  x ． 2 3 3 【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根 据题意求得顶点坐标是解题的关键． 24．（12分）如图，抛物线yax2 bxc(a0)与x轴交于A(2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)， 连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当PCBABC 时，求点P的坐标． 第22页（共27页）【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作DE//y轴交BC于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可 得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x轴于 点H ，设HBHC m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H 坐标可求；利用待 定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标． 【解答】解：（1）抛物线yax2 bxc(a0)与x轴交于A(2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)， 4a2bc0  64a8bc0，  c4 学  1 a  4  升  3 解得：b ，  2 哥 c4   水 1 3 抛物线的表达式为y x2  x4； 4 2 （2）如图，过点D作DE//y轴交BC于点E，交x轴于点F ， B(8,0)，C(0,4)， 1 直线BC解析式为y x4， 2 1 3 设D(m, m2  m4)， 4 2 第23页（共27页）1 则E(m, m4)， 2 D为抛物线上第一象限内一点， 1 3 1 1 DE DF EF ( m2  m4)( m4) m2 2m， 4 2 2 4 1 1 DCB面积 8DE 4( m2 2m)m2 8m(m4)2 16， 2 4 当m4时，DCB面积最大，最大值为16； （3）①当点P在BC上方时，如图， 学 PCBABC， 升 PC//AB， 哥 点C ，P的纵坐标相等， 水 点P的纵坐标为4， 1 3 令y4，则 x2  x44， 4 2 解得：x0或x6， P(6,4)； ②当点P在BC下方时，如图， 设PC交x轴于点H ， 第24页（共27页）PCBABC， HC HB． 设HBHC m， OH OBHB8m， 在RtCOH中， OC2 OH2 CH2， 42 (8m)2 m2， 解得：m5， OH 3， H(3,0)． 设直线PC的解析式为ykxn， n4  ， 学 3kn0 升  4 k  解得： 3， 哥  n4 4 水 y x4， 3  4 y x4   3  ，  y 1 x2  3 x4  4 2  34 x  x 0   2 3 解得： 1 ， ， y 1 4  y  100  2 9 34 100 P( ， )． 3 9 34 100 综上所述，点P的坐标为(6,4)或( ， )． 3 9 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的 特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应 线段的长度是解题的关键． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M(t ，3)(t 0)在二次函数yax2 bx3的图象上． （1）当t 4时，求抛物线的对称轴； 第25页（共27页）t （2）若点N( 1，2)在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答： 3 ①当这个函数的最小值为2时，求二次函数的解析式； ②当t x t1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围． b 【分析】（1）把(4,3)代入yax2 bx3求出a与b的等量关系，再根据对称轴为直线x 求解． 2a t （2）①由函数最小值为2，N( 1，2)可得抛物线顶点坐标与开口方向，再由抛物线经过(0,3)，(t,3)可 3 得抛物线对称轴，进而求出t．再将M ，N两点坐标代入解析式求解．②分类讨论抛物线开口方向，通过 t 对称轴为直线x 可得t的取值范围，再由抛物线经过点M ，N可得t的取值范围，从而求解． 2 【解答】解：（1）把(4,3)代入yax2 bx3得316a4b3， b4a， b 4a 抛物线对称轴为直线x  2． 2a 2a 学 （2）①函数最小值为2， t 升 点N( 1，2)为抛物线顶点，且抛物线开口向上， 3 哥 把x0代入yax2 bx3得y3， 水 抛物线与y轴交点坐标为(0,3)， 点M(t,3)在抛物线上， t 抛物线对称轴为直线x ， 2 t t  1 ， 3 2 解得t 6， 336a6b3 把(6,3)，(3,2)代入yax2 bx3得 ， 29a3b3  1 a   9 解得 ，  b 2  3 1 2 y x2  x3． 9 3 t ②抛物线yax2 bx3的对称轴为直线x ， 2 第26页（共27页）t 当a0时，x 时y随x增大而增大， 2 t 即t1 ，解得t 2， 2 t M(t,3)，N( 1，2)在抛物线上， 3 t t t  t 1 ， 2 3 2 解得t3， 3t 2． t 当a0时，x 时y随x增大而增大， 2 t t ， 2 解得t 0， t M(t,3)，N( 1，2)在抛物线上， 3 学 t t t t | 1 |， 2 3 2 升 t t t 当t 6时，t   1， 哥 2 2 3 解得t3． 水 t 6． t t t 当t6时，t  1 ， 2 3 2 3 解得t ， 2 3  t6． 2 3 综上所述，3t 2或t ． 2 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式 的关系，通过分类讨论求解． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:23:29；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 第27页（共27页）