23-24学年白云中学九年级（上）10月考数学试卷（10月份）（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市白云中学九年级（上）月考数学试卷（10 月 份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选释项中，只有一项是符合 题目要求的．） 1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) 1 A．(x3)2 250 B．xy10 C．x2  y3 20 D．x2x2  x 2．（3分）将方程x2 2x50配方后，原方程变形为( ) A．(x2)2 9 B．(x2)2 9 C．(x1)2 6 D．(x1)2 6 3．（3分）已知函数：①y2x1；②y2x2 1；③y3x3 2x2；④y2x2 x1；⑤yax2 bxc， 其中二次函数的个数为( ) 学 A．1 B．2 C．3 D．4 升 4．（3分）抛物线y(x2)2 3的对称轴是( ) 哥 A．直线x2 B．直线x2 C．直线x3 D．直线x3 水 5．（3分）已知抛物线y(x3)2 1与y轴交于点C ，则点C的坐标为( ) A．(3,6) B．(0,8) C．(0,1) D．(4,0)或(2,0) 6．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如 果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( ) A．x(x1)1892 B．x(x1)18922 C．x(x1)1892 D．2x(x1)1892 7．（3分）已知关于x的一元二次方程(m1)x2 2x10有实数根，则m的取值范围是( ) A．m2 B．m 2 C．m2且m1 D．m 2且m1 8．（3分）对于二次函数y(x3)2 1，下列结论正确的是( ) A．图象的开口向上 B．当x3时，y随x的增大而减小 C．函数有最小值1 D．图象的顶点坐标是(3,1) 9．（3分）若a是关于x的方程3x2 x10的一个根，则20216a2 2a的值是( ) A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 第1页（共19页）y(x0) 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y)，给出如下定义：若y ，则称 y(x 0) 点Q为点P的“可控变点”．例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2)，点(1,3)的“可控变点”为点(1,3)．若 点P在函数yx2 2x3的图象上，则其“可控变点” Q的纵坐标 y关于x的函数图象大致正确的是( ) A． B． C． D． 学 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） x1 升 11．（3分）函数y 中，自变量x的取值范围是 ． 2x6 哥 12．（3分）若A(4,y )，B(1,y )，C(2,y )为二次函数yx2 4x5图象上的三点，则y ，y ，y 的 1 2 3 1 2 3 水 大小关系是 ． 13．（3分）已知点P在抛物线y(x2)2上，设点P的坐标为(x,y)，当0 x 3时，y的取值范围是 ． 14．（3分）如图，有一面积为75m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆 总长为30m，设AB为x m，则可列方程为 ． 15．（3分）某菱形的两条对角线长分别是方程x2 8x40两个根，则这个菱形的面积为 ． 16．（3分）如图，已知抛物线yax2 bxc(a0)的顶点坐标是(2,2)，图象与x轴交于点B(m,0)和点C ， 且点B在点C 的左侧，那么线段BC的长是 .（请用含字母m的代数式表示） 第2页（共19页）三、解答题（本大题共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： （1）4(x1)2 80； （2）2x(x3)x3； （3）x2 10x160 ； （4）2x2 3x10． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 2xk 0，若方程有一根为3，求方程的另一根． 学 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 2mxm2 m0有实数根． （1）求m的取值范围； 升 （2）若该方程的两个实数根分别为x 、哥 x ，且x2 x2 12，求m的值． 1 2 1 2 20．（8分）基公司2019年盈利水 1500万元，到2021年盈利2160万元，假设每年盈利的年增长率相同． （1）求这个增长率； （2）预计2022年盈利多少万元？ 21．（8分）已知抛物线yx2 2x2． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）画出该抛物线； （3）若该抛物线上两点A(x ，y )，B(x ，y )的横坐标满足x x 1，试比较y ，y 的大小． 1 1 2 2 1 2 1 2 22．（8分）已知二次函数y2x2 mxm2． （1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1,0)，求B点坐标． 23．（8分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖 出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出 20件． 第3页（共19页）（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？ （2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由． 24．（8分）已知ABC 的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x2 (2k3)xk2 3k20的两个实数 根，第三边BC的长为5． （1）求证：AB AC； （2）如果ABC 是以BC为斜边的直角三角形，求k的值； （3）填空：当k  时，ABC 是等腰三角形，ABC 的周长为 ． 25．（8分）如图，在ABC 中，AB AC 13cm，BC 10cm，ADBC于点D，动点P从点A出发以1cm/s 的速度沿线段AD向终点D运动．设动点运动时间为t， （1）求AD的长； （2）当PDC的面积为15cm2时，求t的值； （3）动点M 从点C 出发以2cm/s的速度在射线CB上运动．点M 与点P同时出发，且当点P运动到终点 学 1 D时，点M 也停止运动．是否存在t，使得S  S ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明 PMD 升12 ABC 理由． 哥 水 第4页（共19页）2023-2024 学年广东省广州市白云中学九年级（上）月考数学试卷（10 月 份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选释项中，只有一项是符合 题目要求的．） 1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) 1 A．(x3)2 250 B．xy10 C．x2  y3 20 D．x2x2  x 【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程；由此问 题可求解． 【解答】解：A、(x3)2 250，是一元二次方程，故符合题意； B、xy10，含有两个未知数，故不符合题意； 学 C、x2  y3 20，含有两个未知数，故不符合题意； 升 1 D、x2x2  ，不是整式方程，故不符合题意； 哥 x 故选：A． 水 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（3分）将方程x2 2x50配方后，原方程变形为( ) A．(x2)2 9 B．(x2)2 9 C．(x1)2 6 D．(x1)2 6 【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项． 【解答】解：x2 2x50， x2 2x5， x2 2x151， (x1)2 6， 故选：C． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3．（3分）已知函数：①y2x1；②y2x2 1；③y3x3 2x2；④y2x2 x1；⑤yax2 bxc， 其中二次函数的个数为( ) 第5页（共19页）A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数定义：一般地，形如yax2 bxc(a、b、c是常数，a0)的函数，叫做二次函 数进行分析即可． 【解答】解：②④是二次函数，共2个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握yax2 bxc(a、b、c是常数，a0)是二次函 数，注意a0这一条件． 4．（3分）抛物线y(x2)2 3的对称轴是( ) A．直线x2 B．直线x2 C．直线x3 D．直线x3 【分析】直接根据顶点式的特点可直接写出对称轴． 【解答】解：因为抛物线解析式 y(x2)2 3是顶点式，顶点坐标为(2,3)，所以对称轴为直线x2． 学 故选：B． 升 【点评】主要考查了求抛物线的对称轴的方法． 哥 5．（3分）已知抛物线y(x3)2 1与y轴交于点C ，则点C的坐标为( ) 水 A．(3,6) B．(0,8) C．(0,1) D．(4,0)或(2,0) 【分析】y轴上的点的横坐标为0，所以把x0代入二次函数式即可求解． 【解答】解：当x0时，y(03)2 18， 所以抛物线y(x3)2 1与y轴交点C的坐标是(0,8)． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与y轴交点的坐标中横坐标为0，与x轴 交点的坐标中纵坐标为0． 6．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如 果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( ) A．x(x1)1892 B．x(x1)18922 C．x(x1)1892 D．2x(x1)1892 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是 x(x1)张，即可列出方程． 第6页（共19页）【解答】解：全班有x名同学， 每名同学要送出(x1)张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是x(x1)1892． 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张 是解题关键． 7．（3分）已知关于x的一元二次方程(m1)x2 2x10有实数根，则m的取值范围是( ) A．m2 B．m 2 C．m2且m1 D．m 2且m1 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△ 0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围． 【解答】解：关于x的一元二次方程(m1)x2 2x10有实数根， 学 m10 升  ， 22 41(m1)0 哥 解得：m 2且m1． 水 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△ 0，找 出关于m的一元一次不等式组是解题的关键． 8．（3分）对于二次函数y(x3)2 1，下列结论正确的是( ) A．图象的开口向上 B．当x3时，y随x的增大而减小 C．函数有最小值1 D．图象的顶点坐标是(3,1) 【分析】根据题目中的二次函数解析式和二次函数的性质可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：二次函数y(x3)2 1， a10，该抛物线开口向下，对称轴是直线x3，顶点为(3,1)， 函数有最大值1，当x3时，y随x的增大而增大， 故A、B、C不正确，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 第7页（共19页）9．（3分）若a是关于x的方程3x2 x10的一个根，则20216a2 2a的值是( ) A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到3a2 a1，再把20216a2 2a变形为20212(3a2 a)，然 后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：a是关于x的方程3x2 x10的一个根， 3a2 a10， 3a2 a1， 20216a2 2a20212(3a2 a) 202121 2019． 故选：D． 学 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解．利用整体代入的方法计算可简化计算． 升 哥 y(x0) 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y)，给出如下定义：若y ，则称 y(x 0) 水 点Q为点P的“可控变点”．例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2)，点(1,3)的“可控变点”为点(1,3)．若 点P在函数yx2 2x3的图象上，则其“可控变点” Q的纵坐标 y关于x的函数图象大致正确的是( ) A． B． C． D． 【分析】画出函数yx2 2x3的图象，根据“可控变点”的定义找出y关于x的函数图象，由此即可 得出结论． 【解答】解：画出函数 yx2 2x3的图象，如图所示． 第8页（共19页）将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y关于x的函数图象． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义．本题属于基 础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象的变换找出图形是关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） x1 11．（3分）函数y 中，自变量x的取值范围是 x3 ． 2x6 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 学 【解答】解：由题意得，2x60， 解得x3． 升 故答案为：x3． 哥 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 水 （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．（3分）若A(4,y )，B(1,y )，C(2,y )为二次函数yx2 4x5图象上的三点，则y ，y ，y 的 1 2 3 1 2 3 大小关系是 y  y  y ． 1 2 3 【分析】根据二次函数的增减性求解即可． 【解答】解：yx2 4x5(x2)2 9， 又a1， 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x2， A(4,y )，B(1,y )，C(2,y )为二次函数yx2 4x5图象上的三点，且412， 1 2 3 又当x2时，函数值y随自变量x的增大而增大， y  y  y ， 1 2 3 第9页（共19页）故答案为：y  y  y ． 1 2 3 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性判定函数值的大小是解答的关键． 13．（3 分）已知点P 在抛物线 y(x2)2 上，设点P 的坐标为(x,y)，当0 x 3时， y的取值范围是 0 y 4 ． 【分析】根据自变量得取值范围，把x0和x3代入抛物线y(x2)2计算出y的值，因为对称轴为直 线x2，所当x2时函数有最小值，y0，即可得出答案． 【解答】解：抛物线y(x2)2的对称轴是直线x2， 当x2时y最小，最小值是0， 0 x 3， 当x2时y最小，最小值是0， 当x0时，y最大，最大值为y4， 学 y的取值范围为：0 y 4． 升 故答案为：0 y 4． 哥 【点评】本题主要考查二次函数图象点的坐标特征，根据题意由自变量的取值范围确定函数值时解决本题 的关键． 水 14．（3分）如图，有一面积为75m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆 总长为30m，设AB为x m，则可列方程为 x(303x)75 ． 【分析】先根据题意得到BC的长，再根据长方形的面积公式列方程即可． 【解答】解：设垂直墙的边长为AB为x m，BC为(303x)m， 则x(303x)75， 故答案为：x(303x)75． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 15．（3分）某菱形的两条对角线长分别是方程x2 8x40两个根，则这个菱形的面积为 2 ． 【分析】设菱形的对角线长为a、b，先根据一元二次方程根与系数的关系得到ab4，再根据菱形的面 第10页（共19页）积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【解答】解：设菱形的对角线长为a、b， 菱形的两条对角线长分别是方程x2 8x40两个根，且△(8)2 414480， ab4， 1 这个菱形的面积为 ab2． 2 故答案为：2． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数 b c 的关系：设一元二次方程ax2 bxc0(a0)的两个根为x 、x ，则x x  ，xx  ． 1 2 1 2 a 1 2 a 16．（3分）如图，已知抛物线yax2 bxc(a0)的顶点坐标是(2,2)，图象与x轴交于点B(m,0)和点C ， 且点B在点C 的左侧，那么线段BC的长是 42m .（请用含字母m的代数式表示） 学 升 哥 水 【分析】根据抛物线的轴对称性质解答． 【解答】解：抛物线yax2 bxc(a0)的顶点坐标是(2,2)， 抛物线的对称轴是直线x2． 点B(m,0)和点C关于直线x2对称， 点C 的坐标是(4m,0)． BC 4mm42m． 故答案为：42m． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题时，充分利用了抛物线的轴对称性 质，属于中考常考题型． 第11页（共19页）三、解答题（本大题共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： （1）4(x1)2 80； （2）2x(x3)x3； （3）x2 10x160 ； （4）2x2 3x10． 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可； 【解答】解：（1）原方程化为(x1)2 2， 学 开方，得x1 2， 升  x 1 2，x 1 2； 1 2 哥 （2）原方程化为2x(x3)(x3)0，即(x3)(2x1)0， x30或2x10， 水 1 x 3，x  ； 1 2 2 （3）移项，得x2 10x16， 配方，得x2 10x251625， 即(x5)2 9， 开方，得x53， x 8，x 2； 1 2 （4）a2，b3，c1， △32 42(1)170， 3 17  x ， 4 17 3 17 3  x  ，x  ． 1 4 2 4 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法及其步骤，正确求解是解答的关键． 第12页（共19页）18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 2xk 0，若方程有一根为3，求方程的另一根． 【分析】设该方程的另一个根为x，根据一元二次方程的根与系数关系求解即可． 【解答】解：设该方程的另一个根为x，根据题意，得3x2， 解得x1， 该方程的另一根为1． 【点评】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与 b c 系数的关系：设一元二次方程ax2 bxc0(a0)的两个根为x 、x ，则x x  ，x x  ． 1 2 1 2 a 1 2 a 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 2mxm2 m0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x 、x ，且x2 x2 12，求m的值． 1 2 1 2 【分析】（1）根据判别式的意义得到△(2m)2 4(m2 m) 0，然后解关于m的不等式即可； 学 （2）根据根与系数的关系得到x x 2m，xx m2 m，利用整体代入的方法得到m2 m60，然 1 2 1 2 升 后解关于m的方程即可． 哥 【解答】解：（1）根据题意得△(2m)2 4(m2 m) 0， 水 解得m 0． 故m的取值范围是m 0； （2）根据题意得x x 2m，xx m2 m， 1 2 1 2  x2 x2 (x x )2 2x x 12， 1 2 1 2 1 2 (2m)2 2(m2 m)12，即m2 m60， 解得m 2，m 3（舍去）． 1 2 故m的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程ax2 bxc0(a0) 的两根时， 1 2 b c x x  ，x x  ． 1 2 a 1 2 a 20．（8分）基公司2019年盈利1500万元，到2021年盈利2160万元，假设每年盈利的年增长率相同． （1）求这个增长率； （2）预计2022年盈利多少万元？ 第13页（共19页）【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据（1）中增长率列式求解即可． 【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x， 根据题意，得1500(1x)2 2160， 解得x 0.220%，x 2.2（不合题意，舍去）， 1 2 答：每年盈利的年增长率为20%； （2）根据题意，2160(120%)2592（元)， 答：预计2022年盈利2592元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键． 21．（8分）已知抛物线yx2 2x2． （1）该抛物线的对称轴是 直线x1 ，顶点坐标是 ； 学 （2）画出该抛物线； 升 （3）若该抛物线上两点A(x ，y )，B(x ，y )的横坐标满足x x 1，试比较y ，y 的大小． 1 1 2 2 1 2 1 2 哥 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）根据抛物线顶点式作图．水 （3）由抛物线对称轴及开口方向可得x1时，y随x增大而减小，进而求解． 【解答】解：（1）yx2 2x2(x1)2 3， 抛物线对称轴为直线x1，顶点坐标为(1,3)， 故答案为：直线x1，(1,3)． （2）如图， 第14页（共19页）（3）抛物线开口向下，对称轴为直线x1， x1时，y随x增大而减小． x  x 1时， y  y ． 1 2 2 1 学 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式 升 的关系． 哥 22．（8分）已知二次函数y2x2 mxm2． 水 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1,0)，求B点坐标． 【分析】（1）依题意可得△9m2得出△ 0，可得出二次函数图象与x轴总有公共点； （2）把已知坐标代入可得m值，然后把m的值及y0代入二次函数可求出点B的坐标． 【解答】解：（1）当二次函数图象与x轴相交时， 2x2 mxm2 0， △(m)2 42(m2)9m2， m2 0， △ 0． 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； （2）把(1,0)代入二次函数关系式，得02mm2， 第15页（共19页）m 2，m 1， 1 2 当m2时，二次函数关系式为：y2x2 2x4， 令y0，得：2x2 2x40 ， 解得：x1或2， 二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是：(1,0)，(2,0)； 又A点坐标为(1,0)，则B(2,0)； 1 当m1时，同理可得：B( ，0)． 2 【点评】利用二次函数与x轴的交点特征，转化为求△b2 4ac进行解答即可． 23．（8分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖 出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出 20件． 学 （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？ 升 （2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由． 哥 【分析】（1）设每件童服装应降价x元，根据单件利润销售量总利润列方程求解即可； （2）根据题意列一元二次方程水，利用根的判别式判断根的情况即可得出结论． 【解答】解：（1）设每件童服装应降价x元， 根据题意，得(8050x)(20020x)7500 ， 整理，得x2 20x750， 解得x 5，x 15， 1 2 尽可能让利于顾客， x15， 答：每件童服装应降价15元； （2）该店铺每周不可能盈利10000元，理由为： 设该店铺每周可能盈利10000元，则(8050x)(20020x)10000 ， 整理，得x2 20x2000， △(20)2 42004000， 所列方程没有实数根， 故该店铺每周不能盈利10000元． 第16页（共19页）【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键． 24．（8分）已知ABC 的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x2 (2k3)xk2 3k20的两个实数 根，第三边BC的长为5． （1）求证：AB AC； （2）如果ABC 是以BC为斜边的直角三角形，求k的值； （3）填空：当k  k 6或7 时，ABC 是等腰三角形，ABC的周长为 ． 【分析】（1）AB AC；就是要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△0， 而△(2k3)2 4(k2 3k2)1，所以△0； （2）要得到ABC 是以BC为斜边的直角三角形，即要有BC2  AC2 AB2，然后根据根与系数的关系用k 表示AC2 AC2，得到k的方程，解方程，再根据题意取舍即可； （3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB AC，②ABBC，③BC  AC ；后两种情况相 同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值． 学 【解答】（1）证明：△(2k3)2 4(k2 3k2)升1， △0， 哥 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根， 水 即AB AC； （2）解：当ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB2 AC2 BC2 又BC 5，两边AB、AC 的长是关于x的一元二次方程x2 (2k3)xk2 3k20的两个实数根． AB2  AC2  25，ABAC (2k 3)，ABAC k23k 2， 由(ABAC)2 2ABAC25 (2k3)2 2(k2 3k2)25 k2 3k100，(k2)(k5)0， k 2或k 5 1 2 又ABAC (2k 3)0 k 2舍去 1 k 5； 第17页（共19页）（3）ABC是等腰三角形； 当AB AC时，△b2 4ac0， (2k3)2 4(k2 3k2)0 解得k不存在； 当ABBC时，即AB5， 5 AC(2k3)，5AC k2 3k 2， 解得k 6或7， AC 4或6 ABC的周长为14或16． 即当k 6或7时，ABC 是等腰三角形，ABC 的周长为14或16． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2 bxc0(a0，a，b，c为常数）的根的判别式△b2 4ac．当 学 △0，方程有两个不相等的实数根；当△0，方程有两个相等的实数根；当△0，方程没有实数根．同 时考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和一升元二次方程的解法． 25．（8分）如图，在ABC 中，AB AC 1哥3cm，BC 10cm，ADBC于点D，动点P从点A出发以1cm/s 的速度沿线段AD向终点D运动．设动点运动时间为t， 水 （1）求AD的长； （2）当PDC的面积为15cm2时，求t的值； （3）动点M 从点C 出发以2cm/s的速度在射线CB上运动．点M 与点P同时出发，且当点P运动到终点 1 D时，点M 也停止运动．是否存在t，使得S  S ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明 PMD 12 ABC 理由． 1 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到BDCD BC 5cm，再利用勾股定理求解即可； 2 （2）先根据题意得到PD(12t)cm，再根据三角形的面积公式列方程求解即可； 第18页（共19页）（3）假设存在，求得S 5，再分点M 在线段CD上和点M 在射线DB上两种情况，利用三角形的面 PDM 积公式列一元二次方程求解即可． 【解答】解：（1）在ABC 中，AB AC 13cm，BC 10cm，ADBC， 1  BDCD BC 5cm，ADC 90， 2  AD AB2 BD2  132 52 12(cm)； （2）由题意，APtcm，PD(12t)cm， 1 由S  5(12t)15得t 6(s)， PDC 2 故当PDC的面积为15cm2时，t的值为6s； 1 1 （3）假设存在，使得S   10125(cm2)， PDM 12 2 若点M 在线段CD上，即0 t 2.5时，DM (52t)cm， 1 则S  (12t)(52t)5， 学 PDM 2 升 整理得2t2 29t500 ，解得t 2，t 12.5（舍去）； 1 2 哥 当点M 在射线DB上时，即2.5t 12时，DM (2t5)cm， 1 水 则S  (12t)(2t5)5， PDM 2 整理，得2t2 29t700， 29 281 29 281 解得t  ，t  ，都符合题意， 1 4 2 4 29 281 29 281 综上，满足条件的t值为2或 或 ． 4 4 【点评】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意， 掌握动点问题的解题方法，注意需分类讨论求解． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:25:36；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 第19页（共19页）