23-24学年番禺区京师奥园南奥实验学校九年级（上）11月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市番禺区京师奥园南奥实验学校九年级（上） 月考数学试卷（11 月份） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 学 2．（3分）下列事件中，必然事件是( ) A．抛掷一枚骰子，出现4点向上 B．升四边形的内角和为360 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 哥D．明天会下雨 3．（3分）用配方法解一元二次水方程x2 4x10时，此方程可变形为( ) A．(x2)2 1 B．(x2)2 1 C．(x2)2 5 D．(x2)2 5 4．（3分）将二次函数y(x2)2 2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛 物线的解析式为( ) A．y(x3)2 5 B．y(x5)2 5 C．y(x5)2 5 D．y(x5)2 1 3 5．（3分）关于反比例函数y ，下列说法不正确的是( ) x A．点(3,1)在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限 C．当x3时，1 y0 D．当x0时，y随x的增大而减小 k2 1 6．（3分）若点A(1,a)、B(2,b)、C(3,c)在反比例函数y 的图象上，则a、b、c的大小关系是( x ) A．abc B．bac C．acb D．cab 7．（3分）如图，ABC 的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F ，若DEF 53，则A 的度数是( ) 第1页（共27页）A．36 B．53 C．74 D．128 8．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，连接BD．则CBD的度数是( ) A．30 B．45 C．60 D．90 4 9．（3分）如图，反比例函数y  与正比例函数 y  x的图象学相交于点A、B，其中A(2,2)．若y  y ， 1 x 2 1 2 则x的取值范围是( ) 升 哥 水 A．x2 B．0x2或x2 C．x2 D．2x0或x2 10．（3分）如图是二次函数yax2 bxc(a，b，c是常数，a0)图象的一部分，与x轴的交点A在点 (2,0)和(3,0)之间，顶点为(1,3)对于下列结论： ①2ab0； ②abc0； ③3ac8； ④当1 x3时： y0； ⑤若方程|ax2 bxc|1有四个根，则这四个根的和为4． 其中正确的是( ) 第2页（共27页）A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）已知点A(2,1)与点A关于原点对称，则点A坐标为 ． 12．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 ． 13．（3分）在一个不透明的箱子中，装有白球、红球共30个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小 华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是0.2，那么学可以估计盒子中红球的个数是 ． 14．（3分）如图，将AOB绕点O逆时针旋转48后得到△AOB，若AOB15，则AOB ． 升 哥 水 5 15．（3分）如图，A、B两点在双曲线y 上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S 2， 阴影 x 则S S  ． 1 2 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，E是BC上的一动点（不与点B、C重合）．连接 AE，过点D作DF  AE，垂足为F ，则线段BF 长的最小值为 ． 第3页（共27页）三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）解方程：x2 6x80． 18．（4分）如图，在O 中，ABCD，求证：BC ． 19．（6分）北京冬奥会已落下帷幕，但它就像一团火焰，点燃了中国人参与冰雪运动的热情．某校为了解 学生对冰雪运动相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评学．所有问卷全部收回，从中随机抽取若干份 答卷，并统计成绩将结果绘制成如图所示的统计图（均不完整）． 升 请回答下列问题： 哥 （1）补全条形统计图； 水 （2）某班计划在“短道速滑”、“花样滑冰”、“单板滑雪”、“冰壶”四项冰雪运动中任选两项作为板报素 材，求恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的概率． 4 20．（6分）已知抛物线的关系式为y ； x （1）完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象；   x 4 3 2 1 1 2 3 4 第4页（共27页）y   （2）根据图象回答：当0 x2时，y的取值范围是 ． （3）根据图象回答：当y2时，x的取值范围是 ． k 21．（8分）如图，在OABC中，点O为坐标顶点，点A(3,0)，C(1,2)，反比例函数y (k 0)的图象经 学 x 过定C． 升 （1）求k的值及直线OB的函数表达式； 哥 （2）试探究此反比例函数的图象是否经过OABC的中心． 水 22．（10分）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25m． （1）如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长；（用含a的式子表 示） （2）设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为x m，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的 取值范围； （3）试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时AB的长，若不行，请说明理由． 第5页（共27页）23．（10分）如图，在RtABC中，A90，BD平分ABC交CA于D点，O是BC上一点，经过B、 D两点的O分别交BC、BA于点E、F ． （1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：CA与O相切； （3）当BD2 3，ABD30时，求劣弧BD的长． 学 升 哥 水 24．（12分）已知抛物线ymx2 (12m)x13m与x轴相交于不同的两点A、B （1）求m的取值范围； （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标； 1 （3）当 m 8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值 4 及相对应的m值． 25．（12分）如图，O 为RtABC的外接圆，ACB90，BC 4 3，AC 4，点D是O 上的动点， 且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求O的半径； 第6页（共27页）（2）当CD4 2 时，求ACD的度数； （3）设AD的中点为M ，在点D的运动过程中，线段CM 是否存在最大值？若存在，求出CM 的最大值； 若不存在，请说明理由． 学 升 哥 水 第7页（共27页）2023-2024 学年广东省广州市番禺区京师奥园南奥实验学校九年级（上） 月考数学试卷（11 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． 学 C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行升判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，不哥是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 水 C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（3分）下列事件中，必然事件是( ) A．抛掷一枚骰子，出现4点向上 B．四边形的内角和为360 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．明天会下雨 【分析】根据必然事件的概念选择即可． 【解答】A、抛掷一枚骰子，出现4点向上是随机事件，故选项错误，不符合题意； B、四边形的内角和为360是必然事件，故选项正确，符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故选项错误，不符合题意； D、明天会下雨是随机事件，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 第8页（共27页）【点评】此题考查了必然事件的概念，解题的关键是掌握必然事件的概念（必然事件是一定要发生的事件）． 3．（3分）用配方法解一元二次方程x2 4x10时，此方程可变形为( ) A．(x2)2 1 B．(x2)2 1 C．(x2)2 5 D．(x2)2 5 【分析】方程移项，配方变形后得到结果，即可作出判断． 【解答】解：一元二次方程x2 4x10， 移项得：x2 4x1， 配方得：x2 4x45， 变形得：(x2)2 5． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（3分）将二次函数y(x2)2 2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛 学 物线的解析式为( ) 升 A．y(x3)2 5 B．y(x5)2 5 C．y(x5)2 5 D．y(x5)2 1 哥 【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 水 【解答】解：将二次函数 y(x2)2 2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到 的抛物线的解析式为： y(x23)2 23，即y(x5)2 1， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3 5．（3分）关于反比例函数y ，下列说法不正确的是( ) x A．点(3,1)在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限 C．当x3时，1 y0 D．当x0时，y随x的增大而减小 【分析】利用反比例函数的性质可解． 【解答】解：当k 0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 3 反比例函数y 的图象分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． x 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键． 第9页（共27页）k2 1 6．（3分）若点A(1,a)、B(2,b)、C(3,c)在反比例函数y 的图象上，则a、b、c的大小关系是( x ) A．abc B．bac C．acb D．cab 【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b、c的大小，本题得以解决． k2 1 【解答】解：反比例函数y 中，k2 10， x 函数的图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小， k2 1 点A(1,a)、B(2,b)、C(3,c)在反比例函数 y 的图象上， x 点A(1,a)在第三象限，B(2,b)、C(3,c)在第一象限， acb， 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质 学 解答． 7．（3分）如图，ABC 的内切圆圆O与AB，BC，升 CA分别相切于点D，E，F ，若DEF 53，则A 的度数是( ) 哥 水 A．36 B．53 C．74 D．128 【分析】连接 OD 、 OF ，由切线的性质得 ODAOFA90 ，再根据圆周角定理求得 DOF 2DEF 106，则A360ODAOFADOF 74，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OD、OF ， O分别与AB、AC相切于点D、点F ， ABOD，AC OF， ODAOFA90， DEF 53， DOF 2DEF 253106， A360ODAOFADOF 360909010674， 第10页（共27页）故选：C． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆、切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，正确地作出 所需要的辅助线是解题的关键． 8．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，连接BD．则CBD的度数是( ) 学 A．30 B．45 C．60 D．90 升 【分析】根据正六边形的内角和求得BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论． 哥 (62)180 【解答】解：在正六边形ABCDEF 中，BCD 120，BC CD， 水 6 1 CBD (180120)30， 2 故选：A． 【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题 的关键． 4 9．（3分）如图，反比例函数y  与正比例函数 y  x的图象相交于点A、B，其中A(2,2)．若y  y ， 1 x 2 1 2 则x的取值范围是( ) A．x2 B．0x2或x2 C．x2 D．2x0或x2 【分析】由题意可求点B坐标，根据图象可求解． 第11页（共27页）4 【解答】解：反比例函数y  与正比例函数y  x的图象相交于点A、B，其中A(2,2)． 1 x 2 点B坐标为(2,2)， 由图象可知，若y  y ，则x的取值范围是 x2或x2， 1 2 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 10．（3分）如图是二次函数yax2 bxc(a，b，c是常数，a0)图象的一部分，与x轴的交点A在点 (2,0)和(3,0)之间，顶点为(1,3)对于下列结论： ①2ab0； ②abc0； ③3ac8； ④当1 x3时： y0； 学 ⑤若方程|ax2 bxc|1有四个根，则这四个根的和为4． 升 其中正确的是( ) 哥 水 A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤ 【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． b 【解答】解： 1， 2a 2ab0，故①正确； 与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴为直线x1， 与x轴的另一个交点B在点(1,0)和(0,0)之间， 当x1时，yabc0，故②正确； 2ab0， 第12页（共27页）b2a， abc0， 3ac0，故③错误； 函数图象与x轴的交点没有具体说明交点的坐标， 当1 x3时，y0不一定成立，故④错误； 方程|ax2 bxc|1的四个根分别为ax2 bxc1和ax2 bxc1的根， 抛物线yax2 bxc关于直线x1对称， 抛物线与直线y1的交点的横坐标之和为2， 抛物线与直线 y1的交点横坐标之和为2， 方程|ax2 bxc|1的四个根的和为4，故⑤正确． 正确的是①②⑤， 学 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次升函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解 答本题的关键是明确题意，利用二次函数哥的性质和数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分，共 水18分） 11．（3分）已知点A(2,1)与点A关于原点对称，则点A坐标为 (2,1) ． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P(x,y)， 进而得出答案． 【解答】解：点A(2,1)与点A关于坐标原点对称， 点A的坐标为(2,1)． 故答案为：(2,1)． 【点评】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 12．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 12 ． 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积234212． 故答案为：12． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等 于圆锥的侧面扇形的弧长． 13．（3分）在一个不透明的箱子中，装有白球、红球共30个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小 第13页（共27页）华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是0.2，那么可以估计盒子中红球的个数是 6个 ． 【分析】用总个数乘以红球的频率即可． 【解答】解：估计盒子中红球的个数是300.26（个)， 故答案为：6个． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动， 并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近 似值就是这个事件的概率． 14．（3分）如图，将AOB绕点O逆时针旋转48后得到△AOB，若AOB15，则AOB 33 ． 学 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可． 升 【解答】解：将AOB绕点O按逆时针方向旋转48后得到△AOB， 哥 AOA48，AOBAOB15， 水 AOBAOAAOB481533， 故答案为：33． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出AOA48，AOBAOB15是解题关 键． 5 15．（3分）如图，A、B两点在双曲线y 上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S 2， 阴影 x 则S S  6 ． 1 2 【分析】根据比例系数k 的几何意义得到S S S  5，由S 2得S S 3，然后计算 1 阴影 2 S阴影 阴影 1 2 S S ． 1 2 第14页（共27页）【解答】解：根据题意得S S S  5， 1 阴影 2 S阴影 而S 2， 阴影 所以S S 3， 1 2 所以S S 6． 1 2 故答案为6． k 【点评】本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y x 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂 1 线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变． 2 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，E是BC上的一动点（不与点B、C重合）．连接 AE，过点D作DF  AE，垂足为F ，则线段BF 长的最小值为 2 134 ． 学 升 哥 水 【分析】首先证明点F 的运动轨迹是以AD为直径的O，连接OB，OF ．利用三角形的三边关系即可得 出结论； 【解答】解：如图， AE DF ， AFD90， 点F 的运动轨迹是以AD为直径的O，连接OB，OF ． 四边形ABCD是矩形， BAO90， AB6，AO4， 第15页（共27页）1 OB AB2 AO2 2 13，FO AD4， 2 BF OBOF ， BF的最小值为2 134， 故答案为2 134． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻 找点F 的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）解方程：x2 6x80． 【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x20或x60，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：(x2)(x4)0， x20或x40， 学 所以x 2，x 4． 1 2 升 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为 哥 两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降水次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 18．（4分）如图，在O 中，ABCD，求证：BC ． 【分析】由于ABCD，所以ABCD，故AOBCOD，进而证明即可． 【解答】证明：在O 中，ABCD， ABCD， AOBCOD， OAOB，OC OD， 1 在AOB中，B90 AOB， 2 第16页（共27页）1 在COD中，C 90 COD， 2 BC． 【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据ABCD，得出AOBCOD． 19．（6分）北京冬奥会已落下帷幕，但它就像一团火焰，点燃了中国人参与冰雪运动的热情．某校为了解 学生对冰雪运动相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评．所有问卷全部收回，从中随机抽取若干份 答卷，并统计成绩将结果绘制成如图所示的统计图（均不完整）． 请回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）某班计划在“短道速滑”、“花样滑冰”、“单板滑雪”、“冰壶”四项冰雪运动中任选两项作为板报素 材，求恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的概率． 学 升 哥 水 【分析】（1）由70分的人数及其所占百分比可得总人数；用总人数乘以得90分人数所占比例即可； （2）将四项冰雪运动分别记作甲、乙、丙、丁，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结 果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）本次随机调查的答卷数量为1020%50（份)， 90分的人数为5020%10（人)， 补全图形如下： （2）将四项冰雪运动短道速滑”、“花样滑冰”、“单板滑雪”、“冰壶”分别记作甲、乙、丙、丁， 画树状图得： 一共有12种等可能的结果，其中恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的有2种结果， 第17页（共27页）2 1 恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的概率为  ． 12 6 学 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适 合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上升完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实 验．用到的知识点为：概率所求情况数哥与总情况数之比． 4 20．（6分）已知抛物线的关系水式为y ； x （1）完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象；   x 4 3 2 1 1 2 3 4 y   （2）根据图象回答：当0x2时，y的取值范围是 y2 ． （3）根据图象回答：当y2时，x的取值范围是 ． 第18页（共27页）【分析】（1）根据函数解析式可以将表格补充完整，然后描点、连线即可得出图象； （2）根据函数图象，写出y的取值范围即可； （3）根据函数图象，写出x的取值范围即可． 【解答】解：（1）表格完成如下：   x 4 3 2 1 1 2 3 4 y  1  4 2 4 4 2 4 1  3 3 画出函数图象如图所示： 学 升 哥 水 （2）由图象可得：当0x2时，y的取值范围是y2， 故答案为：y2； （3）由图象可得：当y2时，x的取值范围是x2或x0， 故答案为：x2或x0． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、画反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象与性质， 采用数形结合的思想是解此题的关键． k 21．（8分）如图，在OABC中，点O为坐标顶点，点A(3,0)，C(1,2)，反比例函数y (k 0)的图象经 x 过定C． （1）求k的值及直线OB的函数表达式； （2）试探究此反比例函数的图象是否经过OABC的中心． 第19页（共27页）【分析】（1）将C点代入反比例函数解析式即可求出k，根据平行四边形的性质可求出B点坐标，再用待 定系数法求直线OB的解析式即可； （2）先根据中点坐标公式求出平行四边形的中心坐标，然后代入反比例函数解析式即可确定． k 【解答】解：（1）将点C(1,2)代入反比例函数y ， x 得k 2， A(3,0)， OA3， 学 在OABC中，OA//BC，且OABC， 升 点B坐标是(4,2)， 哥 设直线OB的解析式：ykx， 水 代入B(4,2)， 得4k 2， 1 解得k  ， 2 1 直线OB解析式是：y x； 2 （2）OABC 的中心就是OB中点，且OB的中点坐标(2,1)， 2 将x2代入 y ， x 可得 y1， 反比例函数的图象经过OABC的中心． 【点评】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式以及平行四边形的性 质是解题的关键． 22．（10分）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25m． （1）如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长；（用含a的式子表 示） 第20页（共27页）（2）设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为x m，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的 取值范围； （3）试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时AB的长，若不行，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意可知BC (402x)m，然后根据矩形面积可进行求解； （3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 40a 1 【解答】解：（1）由题意得：AB (20 a)m； 2 2 学 （2）由题意得：S x(402x)2x2 40x， 升 0402x 25， 哥 7.5 x20； 水 （3）这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2， 理由如下：由（2）可知：2x2 40x250， 化简得x2 20x1250， △b2 4ac40041251000， 该方程无实数解， 即这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数 的应用是解题的关键． 23．（10分）如图，在RtABC中，A90，BD平分ABC交CA于D点，O是BC上一点，经过B、 D两点的O分别交BC、BA于点E、F ． （1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：CA与O相切； （3）当BD2 3，ABD30时，求劣弧BD的长． 第21页（共27页）【分析】（1）线段BD的垂直平分线与BC的交点即为圆心O； （2）连接OD，根据角平分线的定义，可得BDOABD，从而证明AB//OD，得到OD AC ，即可CA 与O相切； （3）求出BOD120，设BD的中点为G，则OGBD，在RtBOG中求出BO2，即可求劣弧BD的 4 长 ． 3 【解答】（1）解：如图： 学 升 哥 水 （2）证明：连接OD， OBOD， OBDODB， BD是ABC的平分线， ABDDBO， BDOABD， AB//OD， BAC 90， ODC 90， OD AC， D点在圆O上， CA与O相切； （3）解：ABD30， 第22页（共27页）由（2）可知BDODBO30， BOD120， 设BD的中点为G，则OGBD， BD2 3， 在RtBOG 中，BG 3，GBO30， BO2， 1202 4 劣弧BD的长  ． 180 3 学 升 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌哥握圆的切线的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质是 解题的关键． 水 24．（12分）已知抛物线ymx2 (12m)x13m与x轴相交于不同的两点A、B （1）求m的取值范围； （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标； 1 （3）当 m 8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值 4 及相对应的m值． 【分析】（1）根据题意得出△(12m)2 4m(13m)(14m)2 0，得出14m0，解不等式即可； （2）ym(x2 2x3)x1，故只要x2 2x30，那么y的值便与m无关，解得x3或x1（舍去， 此时 y0，在坐标轴上），故定点为(3,4)； 1 1 1 1 31 （3）由|AB||x x |得出|AB|| 4|，由已知条件得出 4，得出0| 4| ，因此|AB|最 A B m 8 m m 8 1 31 8 大时，| 4| ，解方程得出m8，或m （舍去），即可得出结果． m 8 63 【解答】（1）解：抛物线ymx2 (12m)x13m与x轴相交于不同的两点A、B， 第23页（共27页）△b2 4ac(12m)2 4m(13m)(14m)2 0， 14m0， 1 m ， 4 1 m的取值范围为m0且m ； 4 （2）证明：抛物线ymx2 (12m)x13m， ym(x2 2x3)x1， 抛物线过定点说明在这一点y与m无关， 显然当x2 2x30时，y与m无关， 解得：x3或x1， 当x3时，y4，定点坐标为(3,4)； 学 当x1时，y0，定点坐标为(1,0)， P不在坐标轴上， 升 P(3,4)； 哥 （3）解： |AB||x x | b24a 水 c  (12m)24m(13m)  14m4m24m12m2  (14m)2 | 14m || 1 4| ， A B |a| |m| m2 m2 m m 1  m 8， 4 1 1  4， 8 m 31 1  40， 8 m 1 31 0| 4| ， m 8 1 31 |AB|最大时，| 4| ， m 8 8 解得：m8，或m （舍去）， 63 31 当m8时，|AB|有最大值 ， 8 此时ABP的面积最大，没有最小值， 1 1 31 31 则面积最大为： |AB| y   4 ． 2 P 2 8 4 【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等 知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键． 第24页（共27页）25．（12分）如图，O 为RtABC的外接圆，ACB90，BC 4 3，AC 4，点D是O 上的动点， 且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求O的半径； （2）当CD4 2 时，求ACD的度数； （3）设AD的中点为M ，在点D的运动过程中，线段CM 是否存在最大值？若存在，求出CM 的最大值； 若不存在，请说明理由． 学 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可． （2）连接OC，OD，证明OCA60，OCD 升 45，可得结论． （3）如图2中，连接OM ，OC．证明O哥M  AD，推出点M 的运动轨迹以AO为直径的J ，连接CJ ， JM ．求出CJ ．JM ，根据CM水CJ JM 2 32，可得结论． 【解答】解：（1）如图1中， AB是直径， ACB90， AC 4，BC 4 3， AB AC2BC2  42 (4 3)2  8， O的半径为4． 第25页（共27页）（2）如图1中，连接OC，OD． CD4 2，OC OD4， CD2 OC2 OD2， COD90， OCD45， AC OC OA， AOC是等边三角形， ACO60， ACDACODCO604515． （3）如图2中，连接OM ，OC． 学 升 哥 水 AM MD， OM  AD， 点M 的运动轨迹以AO为直径的J ， 连接CJ ，JM ． AOC是等边三角形，AJ OJ ， CJ OA， CJ  AC2 AJ2 2 3， CM CJ JM 2 32， CM 的最大值为2 32． 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形 的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M 的运动轨迹， 第26页（共27页）属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:22:13；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第27页（共27页）