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2024-2025 学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学
试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转 ，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据
定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2. 用配方法解方程 ，则配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次
项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司，
故选：B．
3. 如图， 中， ， ，以 为圆心、 为半径的圆交 于点 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得 ，再由等腰三
角形的性质求出 ，则 与 互余，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
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学科网（北京）股份有限公司4. 若二次函数 的图象经过点 ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为： ，
∴对称轴为： ，
∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
∵ ，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是
解本题的关键．
5. 抛物线 中，y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 6 8 …
y … 8 18 18 8 …
下列结论中，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 对称轴是直线
C. 当 时，y随x的增大而减小
D. 当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，根据二次函数的对称性求出对称轴是解
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学科网（北京）股份有限公司题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 ，根据表中数
据进而判断开口方向以及增减性即可．
【详解】解：由表可知， 和 时对应的函数值相等，
∴抛物线 对称轴为直线 ，此时抛物线有最大值，
的
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
6. 如图， 是由 绕点 按逆时针方向旋转 得到的．若 ，则 的度数为（
）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．先由旋转得 ， ，则 ，因为 ，
所以 ，代入计算，即可作答．
【详解】解：∵ 是由 绕点 按逆时针方向旋转 得到的，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
7. 如图，已知点 ， ， ， ，连接 ， ，将线段 绕着某一点旋转
一定角度，使其与线段 重合（点 A与点C重合，点 B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的 ， 的垂直平分线的交点
P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点， ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：D．
8. 已知二次函数 的部分图象如图所示，则使得函数值 大于 的自变量 的取值可以是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2
上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，
∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），
当-3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司9. 在 中，点C为弦 的中点，过点C的直径交 于点D，E，如果 ，则
长为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理和勾股定理求得 ，再分类讨论，结合
图形求解即可．
【详解】解：如图1，连接 ，
∵点C为弦 的中点， 是 的直径， ，
∴ ， ，又
∴ ，
∴ ；
同理，如图2，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上， 长为 或 ，
故选：C．
10. 如图，抛物线 与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物
线上位于 x 轴上方的一点，连接 、 ，分别以 、 为边向 外部作正方形 、
，连接 、 ．点P从点A运动到点B的过程中， 与 的面积之和（ ）
A. 先增大后减小，最大面积为8
B. 先减小后增大，最小面积为6
C. 始终不变，面积为6
D. 始终不变，面积为8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线和 x 轴的交点，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明
，得到 ，同理可得： ，即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：令 ，则 或3，
即点A、B的坐标分别为： 、 ，
设点P的横坐标为：m，
分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
则 与 的面积之和 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 点 关于原点对称点的坐标是 ___________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点
是 ，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点 关于原点对称点的坐标是 ．
故答案为： ．
12. 将抛物线 向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式
为________．
【答案】
【解析】
【分析】由平移的规律即可求得答案．
【详解】解：将抛物线 向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函
数解析式为 ，即
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
13. 如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用 长的篱笆围成中间有一道篱笆
的养鸡场，养鸡场的面积最大为______ ．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题为二次函数的应用，由条件可用 表示出鸡场的宽，可用 表示出鸡场的面积 ，再利用二
次函数的性质可求得答案．
【详解】解：设养鸡场的长为 ，则宽为 ，设养鸡场的面积为 ，
根据题意可得 ，
，
抛物线开口向下，
当 时， 有最大值，
即当 时，养鸡场的面积最大，最大值为 ，
故答案为： ．
14. 若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得 ， ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．利用整体代入法是本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司15. 如图，点 是等边 内一点， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针
旋转 得到线段 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】证明 ，即可得到 ， ，根据旋转的性质可知
是等边三角形，则 ，利用勾股定理的逆定理判断 是直角三角形， ，
利用四边形 的面积 等边 面积 面积 面积 的面积
的面积 的面积，进行计算即可判断．
【详解】解：在 和 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
如图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据旋转的性质可知 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， .
∴ 面积为 ，
作 于 ，则 ，
∴ ，
∴等边 面积为 ，
∴四边形 的面积为 ，
∵ ，
∴四边形 的面积 的面积 的面积，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，
解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
16. 已知 ，抛物线 顶点在线段 上运动，形状保持不变，
与 轴交于 两点 在 的右侧），下列结论：① ；②当 时，一定有 随 的增大而增
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学科网（北京）股份有限公司大；③当四边形 为平行四边形时． ；④若点 横坐标的最小值为 ，则点 横坐标的最大
值为3．其中正确的是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据顶点在线段 上抛物线与 轴的交点坐标为 可以判断出 的取值范围，得到①正确；
当顶点运动到 轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令 ，利用根与系数的关系与顶点
的纵坐标求出 的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得 ，然后列出方
程求出 的值，即可判断③正确；当顶点在 点时， 能取到最小值，当顶点在 点时， 能取得最大值，
然后根据二次函数的对称性求出此时点 的横坐标，判断出④正确．
【详解】解： 点 ， 的坐标分别为 和 ，
线段 与 轴的交点坐标为 ，
又 抛物线的顶点在线段 上运动，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
， 顶点在 轴上时取“ ” ，故①正确；
抛物线的顶点在线段 上运动，开口向上，
当 时，一定有 随 的增大而增大，故②错误；
令 ，则 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司根据顶点坐标公式， ，
，即 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
解得 ，故③正确；
若点 的横坐标最小值为 ，则此时对称轴为直线 ， 点的横坐标为 ，则 ，
抛物线形状不变，当对称轴为直线 时， 点的横坐标为3，
点 的横坐标最大值为3，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系
数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在 轴上的情况．
三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的
平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ．
18. 如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
（1）请画出与 关于原点 成中心对称的图形 ，并写出 坐标；
（2）若 以点 为旋转中心逆时针旋转 后得到的图形为 ，在网格中画出旋转后的图形．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作关于原点对称的轴对称图形，作旋转图形，理解对称图形和旋转图形的作法是解答
关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据关于原点对称的点的坐标得到 ， ， 的坐标，顺次连接求解；
（2）根据旋转的性质分别求出 ， 的坐标，顺次连接各点即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 为求，由图可知 ．
【小问2详解】
解：由题意画图如下， 为所求作的图形．
19. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出 ，把字母和数代入求出 的取
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学科网（北京）股份有限公司值范围；
（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出 的值．
【小问1详解】
解： ，
∵有两个不相等的实数，
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
∵方程的两个根为 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去）．
即： ．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程
的两根时， ， ．
20. 如图， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
（1）求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题．
（1）由垂径定理得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接 ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ 为 的弦，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
为 的弦，
∴ ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司设 的半径是r，
，
解得 ，
∴ 的半径是5．
21. 如图，已知抛物线过 与 且有最小值 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）抛物线与 轴交于点 ，在抛物线上存在一点 使 的面积为24，求出点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质
（1）根据 与 的坐标可得对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，进而利用待定
系数法把 代入二次函数 中，即可算出 的值，进而得到函数解析式是
；
（2）首先求出 、 两点坐标，计算出AB的长，再设 ， ，根据 的面积为 可以计算出
的值，然后再利用二次函数解析式计算出 的值即可得到 点坐标．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：∵ 与 在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设函数的解析式为 ，
将 代入得，
∴
解得 ，
∴函数的解析式 ，即 ；
【小问2详解】
解： 当 时， ，
解得： ；
， ，
．
设 ，
的面积为 ，
，
解得： ，
当 时， ，
解得： 或 ，
或 ；
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司方程无解，舍去．
故 或 ．
22. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连
接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
的
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD 长．
【答案】（1）证明见解析（2） -1
【解析】
【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出 ACF≌ ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥D△E，根据△等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平
行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断 ABE为等腰直角三角形，所以
BE=❑√2AC=❑√2，于是利用BD=BE﹣DE求解． △
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
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学科网（北京）股份有限公司（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=❑√2AC=❑√2，
∴BD=BE﹣DE= ．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
23. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且
不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一
次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使
文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册 的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单
价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式．
（2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解．
（3）总利润=单件利润 销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值．
【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得 ，
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x＝25，x＝35(舍去)．
1 2
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w ＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
最大
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这
是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点．
24. 已知正方形 ，将线段 绕点 旋转α(0°<α<90°)得到线段 ，连接 ．
（1）如图1，当点 在正方形 的内部时，若 平分 ，则 °；
（2）当点 在正方形 的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求 的度数；
②作 的平分线 交 于点 ．交 的延长线于点 ，连接 ．用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）①图见解析， ；② ，证明见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由旋转的性质得出 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，可求出结果；
（2）①由题意可画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案；
②过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
【小问1详解】
解： 将线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，
，
四边形 是正方形，
，
平分 ，
，
，
，
∴ ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①补全图形如图2，
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学科网（北京）股份有限公司将线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，
② ，
证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图3，
平分 ，
垂直平分 ，
由①知， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 和] 中，
，
，
，
，
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于
点 ，其对称轴为直线 ．
（1）求该抛物线的函数解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）已知点D为第二象限抛物线上一点，连接 ，若 ，求点D的坐标；
（3）将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线 平移，得到新的图象M，图象
M与线段 只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）m的范围是 或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明 ，得到 ，进而求解；
（3）当顶点为 时，图象 恰好过点 、 ，当抛物线与直线 相切时，联立抛物线与直线
解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：点 为第二象限抛物线上一点，设BD交 轴于 ，如图 ：
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学科网（北京）股份有限公司在 中，令 得 ，
解得： 或 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，
第29页/共31页
学科网（北京）股份有限公司由 ， 设直线 解析式为： ，
则 ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ；
联立 ，
解得： 或 (舍去)，
；
【小问3详解】
解：抛物线的函数解析式为： ，顶点为 ，
将图象 沿直线 平移，由 ，C(0,−3)同上可得直线 解析式为 ；
将抛物线沿 轴翻折后顶点为(1,4)，
顶点运动的轨迹为 ，
图象 的顶点坐标为 ，
则图象 对应的函数解析式为： ，
当图象 过点 时，
第30页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，解得 或 ；
当图象 过点C(0,−3)时，
，解得 或 ；
当顶点为 时，图象 恰好过点 、 ；
当抛物线与线段 相切时，
联立 和抛物线的表达式得： ，
即 ；
令 得： ，此时，
的范围是 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，全等三角形的判定与
性质，二次函数与一次函数综合．
第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
