文档内容
方法精讲-数量 4
（讲义+笔记）
主讲教师：李晟
授课时间：2024.06.12
粉笔公考·官方微信理论精讲-数量 4（讲义）
学习任务：
1.课程内容：行程问题、几何问题
2.授课时长：2.5小时
3.对应讲义：第272～278页
4.重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与匀变速运动平均速度公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及问题的计算公式，会用图示来理解
复杂的运动过程
（3）掌握几何问题的基本公式及其运用
（4）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
第六节 行程问题
普通行程：
相对行程：
【例 1】（2024 国考）甲和乙两辆车同时从 A地出发匀速开往 B地，甲车出
发时的速度比乙车快 20%，但乙车行驶 1个小时后速度加快30 千米/小时继续匀
速行驶，又用了 3小时与甲车同时抵达，问 A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【破题点】
【解题过程】
【例 2】（2020 事业单位）甲骑车从 A地前往3千米外的 B地，出发时均匀
加速，骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时。此后均匀减速，到达 B地时的
速度为 20千米/小时。问甲全程用时为多少分钟？
1A.不到 9分30秒 B.9分30秒～10分之间
C.10 分～10分30秒之间 D.超过10分30秒
【破题点】
【解题过程】
【例 3】（2024 广东）小李从山脚开始登顶，匀速走了1 小时后到达一个凉
亭，并在凉亭休息了半小时。继续走 500米后，恰好完成登顶路程的一半。从山
顶沿原路匀速返回时，他走了 1 小时又到了这个凉亭，继续走半小时回到了山
脚。则登顶路程为多少米？
A.2000 B.3000
C.3600 D.4000
【破题点】
【解题过程】
【例 4】（2023 事业单位）甲、乙两人分别同时从相距 18km的A、B两地相
向匀速而行。乙的步行速度为 4km/h，甲携带一个遥控小汽车，在自己出发的同
时将小汽车放在地面上与自己同向匀速行驶，小汽车的行驶速度为 10km/h，遇
到乙后立即掉头向甲的方向行驶，遇到甲后又立即掉头向乙的方向行驶，如此在
甲、乙之间往返行驶直到甲、乙两人相遇。已知两人相遇时小汽车行驶的路程共
计20km，则甲的步行速度为：
A.4km/h B.5km/h
C.6km/h D.7km/h
【破题点】
【解题过程】
【例 5】（2023事业单位）老张在匀速行驶的公交车上看见好友老李正沿相
2反方向匀速行走，2分钟后公交车到站，老张下车后立即去追老李，若老张的追
赶速度是老李步行速度的 3倍，是公交车速度的 1/8，问老张用多少分钟才能追
上老李？
A.18 B.25
C.30 D.36
【破题点】
【解题过程】
【例 6】（2020 重庆选调）甲、乙两人分别以不同速度在周长为 500米的环
形跑道上跑步，甲的速度是 180 米/分钟。若两人从同一地点同时出发，反向跑
步，75秒时第一次相遇；若两人保持各自的速度从同一地点同时出发同向而行，
那么乙第一次追上甲时跑的圈数是多少圈？
A.5 B.5.5
C.6 D.6.5
第七节 几何问题
几何公式：
3【例 1】（2024 联考）某公园绿化管理部门采购了 100片围栏，每片长 1米
且不可弯折。现拆分拟围成5 块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑
拼接间隙，那么这 5块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
A.10 B.12
C.16 D.25
【破题点】
【解题过程】
【例 2】（2024 国考）某公园内的道路如下图所示，其中 AB、BC 分别为正
南北向和正东西向道路，AB、AC 分别长 100 米和 200 米。且△BCD 为正三角形，
如要用直线道路连接 AD，则该道路的长度为多少米？
A.150√3 B.50（√3+1）
C.100√7 D.200√2
【破题点】
【解题过程】
【例 3】（2024 上海）甲到 A市游玩，入住宾馆后问前台服务员：“如果到
附近超市购物的话如何走？”前台对他说：“出门右转步行 1700 米，再左转步
行 700 米就能到达。”他误听成了“出门左转步行 700 米，再右转步行 1700 米
就能到达”。可近似认为相邻街道都互相平行，甲最后到达的地方与超市的直线
距离为多少米？
A.1000 B.2000
4C.2600 D.3400
【破题点】
【解题过程】
【例 4】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形 ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形 DEF 是中央工厂
区。已知 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中
央工厂区面积的：
A.7 倍 B.6倍
C.5 倍 D.4倍
【破题点】
【解题过程】
【例 5】（2024 事业单位）一条东西向的河流宽 50 米，如下图所示，甲划
船从北岸的 A 点出发，直线航行 130 米后到达南岸的 B 点，然后向左转向 90 度
继续直线行驶，到达河流北岸的 C点，问A、C两点的距离在以下哪个范围内？
A.不到 150米 B.150～160米之间
C.160～170米之间 D.超过170米
【破题点】
5【解题过程】
【例 6】（2023联考）边长为 10厘米的正方形ABCD如下图所示，E为正方
形中的某一点，已知AE长8 厘米，BE长6厘米，问三角形 ADE 的面积为多少平
方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【破题点】
【解题过程】
6课后复盘——理论精讲4
一、知识点检测
1.行程问题的基本公式：________=________*________。
2.匀变速运动平均速度=___________________/__________。
3.相遇（反向）问题的基本公式：_____________________；追及（同向）问
题的基本公式：_____________________。
4.环形第 n次相遇问题的公式：______________；环形第 n次追及问题的公
式：______________。
5.圆形周长=__________，弧长=_______________；三角形面积=__________，
圆形面积=_________，菱形面积=__________________；圆柱体表面积=______，
球 体 表 面 积 =_____________ ； 锥 体 体 积 =______________ ， 球 体 体 积
=________________。
6.三角形的三边关系是___________________；___________________。勾股
7定 理 ： ________________ ， 常 见 的 三 组 特 殊 勾 股 数 有 ____________ 、
______________、________________。特殊三角形的比例关系：30°、60°、90°
对应三边比例=__________________；45°、45°、90°对应三边比例
=________________。
7.底（高）相等的三角形，面积比等于_______________________；相似三
角形，对应边之比等于___________，面积比等于__________________。
二、错题总结
错题 1：
【解题步骤】
错题 2：
【解题步骤】
错题 3：
【解题步骤】
错题 4：
【解题步骤】
错题 5：
【解题步骤】
8理论精讲-数量 4（笔记）
数量关系 理论精讲4
学习任务：
1.课程内容：行程问题、几何问题
2.授课时长：2.5小时
3.对应讲义：第272～278 页
4.重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与匀变速运动平均速度公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及问题的计算公式，会用图示来理解
复杂的运动过程
（3）掌握几何问题的基本公式及其运用
（4）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
第六节 行程问题
三量关系：路程=速度*时间
考查题型：
1.普通行程
2.相对行程
【注意】行程问题：
1.三量关系：路程=速度*时间，即S=vt。三个量任意知道两个，都可以推
出第三个量。行程问题的难度比工程问题的难度要高，没有工程问题那么固定，
变化形式比较多，可以是直线、绕圈、一个人或两个人走、和狗一起走，变化
形式非常多，公式也较多。
2.考查题型：
（1）普通行程：S、V、t给出其中2个量，找等量关系列方程。一般情况
是根据S不变找等量关系，广东 2023、2024年都是考非常基础的列方程解题，
国考近几年也是考普通行程。
（2）相对行程。
9【例 1】（2024 国考）甲和乙两辆车同时从 A地出发匀速开往 B地，甲车出
发时的速度比乙车快 20%，但乙车行驶 1个小时后速度加快30 千米/小时继续匀
速行驶，又用了 3小时与甲车同时抵达，问 A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【解析】1.给了时间、速度之间的关系，三量中，两个量给了具体的信息，
找关系。S 相等，“甲车出发时的速度比乙车快 20%”，设 V =x，则 V =1.2x。
乙 甲
整个过程甲没有变化速度，一共用了 1+3=4小时，S =4*1.2x。乙开始按照x的
甲
速度，后面变为x+30，S =x+（x+30）*3，列式：4*1.2x=x+（x+30）*3→0.8x=90
乙
→x=90/0.8。代入S =4.8x=4.8*（90/0.8）=540，对应A项。【选 A】
甲
【注意】
1.如果从猜题的角度，两个人都走 4 个小时，甲全程速度不变，S =4*V ，
甲 甲
和倍数特性的形式对应，S是 4的倍数。从理论的角度，速度不一定是整数，但
是实际正常做题，速度是整数的情况为绝大多数，猜题不用想太多，通过 4的倍
数排除 B、D项。
2.行程问题，如果求路程，给 v或者t，没有时间，可以结合选项猜题。
【拓展】（2018国考）一辆汽车第一天行驶了 5个小时，第二天行驶了 600
公里，第三天比第一天少行驶 200 公里，三天共行驶了 18 个小时。已知第一天
的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？
A.800 B.900
C.1000 D.1100
【解析】拓展.方法一：三天走的时间为 18 小时，S=18*v，则 S 是 18 的倍
数，18=2*9，如果是 18 的倍数，必定既是 2 的倍数又是 9 的倍数，四个选项都
是2的倍数，9的倍数只有B 项符合。
方法二：第一天+第二天+第三天=总路程，设第一天的平均速度为 v，列式：
5v+600+（5v-200）=18v，可以算出来，也可以根据18的倍数，对应B项。【选
10B】
匀变速运动：平均速度=（V +V ）/2
初 末
【引例】一辆车从甲地行驶到乙地共 80 千米。他先从速度 0 均匀加速到
120km/h，恰好走完全程的一半，再均匀减速到达乙地，到达乙地时速度为 40km/h。
问：该车前半程和后半程的平均速度分别是多少？
注意：如果有多个变速过程，必须每个过程单独计算平均速度。
【注意】匀变速运动：
1.平均速度=（V +V ）/2。
初 末
2.引例：一辆车从甲地行驶到乙地共 80 千米。他先从速度 0 均匀加速到
120km/h，恰好走完全程的一半，再均匀减速到达乙地，到达乙地时速度为 40km/h。
问：该车前半程和后半程的平均速度分别是多少？
答：速度从0加到120，是匀加速的过程，平均速度是（0+120）/2=60；后
面从120 又减速到40，平均速度是（120+40）/2=80。
3.注意：如果有多个变速过程，必须每个过程单独计算平均速度。
【例 2】（2020 事业单位）甲骑车从 A地前往3千米外的 B地，出发时均匀
加速，骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时。此后均匀减速，到达 B地时的
速度为 20千米/小时。问甲全程用时为多少分钟？
A.不到 9分30秒 B.9分30秒～10分之间
C.10 分～10分30秒之间 D.超过10分30秒
【解析】2.开始从A地加速到 30，初始速度为0，之后从 30减到20，两段
都是 1.5 千米，问全程的时间。从 0 到 30，平均速度为 15；从 30 到 20，平均
速 度 为 （ 30+20 ） /2=25 。 t=S/v ， 1.5/15+1.5/25=1/10+0.3/5=6 分 钟
+0.3/5*60=6+3.6=9.6 分钟。9.5 分钟为 9 分钟 30 秒，9.6 分钟超过 9 分钟 30
秒，选择 B项。【选B】
11【注意】等距离平均速度，广东刚考过，强化课会讲解。
行程中的比例关系
路程相等，速度与时间成反比（同一段路走两次）
小李从A到B，用时5小时，B到A用时4小时
时间相等，速度与路程成正比
相同时间，甲走了5千米，乙走了 10千米
速度相等，时间与路程成正比
小李以相同的速度从 A地去 B地用时2小时，从B地去 C地用时3小时
【注意】行程中的比例关系：
1.路程相等，速度与时间成反比（同一段路走两次）。相等的路程，速度越
快，时间越少。如小李从 A 到 B，用时 5 小时，B 到 A 用时 4 小时，路程相同，
时间之比为 5：4，来回的速度之比为 4：5。一道题，如果同一段路走了 2 次，
可以考虑比例关系。
2.时间相等，速度与路程成正比。相同的时间，速度越快，走得越远。相同
时间，甲走了5千米，乙走了 10千米，路程之比为5：10=1：2，则速度之比也
是1：2。
3.速度相等，时间与路程成正比。速度不变，走得越久，走得越远。如小李
以相同的速度从 A 地去 B 地用时 2 小时，从 B 地去 C 地用时 3 小时，速度相等，
时间之比为 2：3，则路程之比为 2：3。
【例 3】（2024 广东）小李从山脚开始登顶，匀速走了 1 小时后到达一个凉
亭，并在凉亭休息了半小时。继续走 500米后，恰好完成登顶路程的一半。从山
顶沿原路匀速返回时，他走了 1 小时又到了这个凉亭，继续走半小时回到了山
12脚。则登顶路程为多少米？
A.2000 B.3000
C.3600 D.4000
【解析】3.走路过程比较曲折，可以画图。山脚下走 1小时到凉亭，休息之
后继续走 500m，完成登顶路程的一半，从山顶原路返回，走 1h到凉亭，继续走
0.5h 到山脚下。山脚到凉亭，路程相等，速度和时间成反比，时间去是 1h，返
回是 0.5h，时间之比为 1：0.5=2：1，则速度之比为 1：2。可以设 v 上山为 x，
v下山为 2x。根据上山、下山路程相等列式：（x+500）*2=1.5*2x→2x+1000=3x
→x=1000，登顶路程代入上山或者下山的式子都可以，为 3000，对应B项。【选
B】
【注意】行程问题，找等量关系，建议用路程相等，路程列式为乘法，表示
速度是除法，乘法更简单一些。
相对行程
（1）直线相遇追及
（2）环形相遇追及
直线相遇：两人同时相向而行
公式：S =S +S =（V+V ）*t
和 甲 乙 1 2
S ：两人共同走的距离
和
13【注意】直线相遇：两人同时相向而行
1.公式：S =S +S =（V +V ）*t。
和 甲 乙 1 2
2.S ：两人共同走的距离。
和
3.比如小男孩和小女孩想要约会，两人同时出发，小男孩速度为 v、小女孩
1
速度为 v，两人同时出发，到相遇，走的时间相同。则两人共同走的 S =S +S
2 和 男 女
=vt+vt=（v+v）t。
1 2 1 2
4.相向而行是一种状态，可能相遇，可能不相遇，两人走的路程相加，等于
两人共同走的路程。
【例 4】（2023 事业单位）甲、乙两人分别同时从相距 18km的A、B两地相
向匀速而行，乙的步行速度为 4km/h，甲携带一个遥控小汽车，在自己出发的同
时将小汽车放在地面上与自己同向匀速行驶，小汽车的行驶速度为 10km/h，遇
到乙后立即掉头向甲的方向行驶，遇到甲后又立即掉头向乙的方向行驶，如此在
甲、乙之间往返行驶直到甲、乙两人相遇。已知两人相遇时小汽车行驶的路程共
计20km，则甲的步行速度为：
A.4km/h B.5km/h
C.6km/h D.7km/h
【解析】4.根据题意画图，给出 AB 路程，相向运动，为相遇问题。基本公
式：S =（v +v ）*t，18=（v +4）*t。小汽车走的时间和人走的时间相同，
和 甲 乙 甲
小汽车和甲同时出发，t =t ，给了小汽车的 S 和 v，则 t =20/10=2 小时，则
车 人 车
人也走了 2 小时，代入公式中，18=（v +4）*2→v +4=9→v =5，对应 B 项。
甲 甲 甲
【选B】
14直线追及：两人同时同向而行
公式：S =S -S =（V-V）*t
差 甲 乙 1 2
S ：追及开始时两人相差的距离（与在哪里追上无关）
差
【注意】直线追及：两人同时同向而行，方向相同。
1.公式：S =S -S =（V -V ）*t。
差 甲 乙 1 2
2.S ：追及开始时两人相差的距离（与在哪里追上无关）。
差
3.小男孩追小女孩，一定是速度快的追速度慢的，假设小男孩走的速度为 v、
1
小女孩的速度为 v，追及是研究最开始相距的 S ，S 是小男孩比小女孩多走的
2 差 差
路程（两人开始的距离），两人同时出发，到追上的时刻，时间 t相同。S =S
差 男
-S =vt-vt=（v-v）t。
女 1 2 1 2
【例 5】（2023事业单位）老张在匀速行驶的公交车上看见好友老李正沿相
反方向匀速行走，2分钟后公交车到站，老张下车后立即去追老李，若老张的追
赶速度是老李步行速度的 3倍，是公交车速度的 1/8，问老张用多少分钟才能追
上老李？
A.18 B.25
C.30 D.36
【解析】5.没有给具体的速度或者路程，可以考虑赋值。“若老张的追赶速
度是老李步行速度的 3 倍”，赋值老李步行速度为 1、老张步行速度为 3。“是
公交车速度的 1/8”，公交车速度为 3÷（1/8）=24。老张和老李沿相反方向匀
速行走，如果题目没有强调夹角，两人就理解为在同一个位置，否则题目无法做。
15两人都走 2 分钟之后开始追，S 为两人各走 2 分钟之后的距离。S =（v -v ）
差 差 张 李
*t，24*2+1*2=（3-1）t→50=2t→t=25，对应B项。【选B】
【注意】行程问题和工程问题一样，没有给具体的路程或者速度，可以根据
比例关系、倍数关系赋值。
环形相遇（同点相向出发）
公式：S =（V+V）*t
和 1 2
相遇 1次，S =1圈
和
相遇 N次，S =N圈
和
每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
【注意】环形相遇（同点相向出发）：
1.公式：S =（V+V）*t。
和 1 2
2.比如两人同时从 A地出发，方向相反，第一次相遇假设在 B地，两人一共
合走了 1圈。在B地相遇之后，如果继续走，还会有第二次、第三次相遇，每一
次相遇，两人都是合走 1圈。
3.相遇 1 次，S =1 圈；相遇 2 次，S =2 圈；相遇 N 次，S =N 圈。每相遇
和 和 和
161次，两人路程和是1圈。
4.每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
环形追及（同点同向出发）
公式：S =（V-V）*t
差 1 2
追上 1次，S =1圈
差
追上 N次，S =N圈
差
本质：每追上一次，两人走的路程差是一圈（速度快的人比速度慢的人多走
了1圈）
【注意】环形追及（同点同向出发）：
1.公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
2.比如长跑比赛，会出现套圈。速度快的人套速度慢的人 1圈，相当于追上
1次。
3.追上 1次，S =1圈；追上 2次，多走2圈；追上N次，S =N圈。
差 差
4.比如甲和乌龟比赛，甲的速度比乌龟快很多，甲一开始就跑到前面去，第
一次追上乌龟，环形追及，是从身后追上。追上乌龟，比乌龟多走的路程为 1圈。
5.环形的题目，经常一道题同时考追及和相遇，追上一次，多走 1圈；相遇
17一次，共走 1圈。
【例 6】（2020 重庆选调）甲、乙两人分别以不同速度在周长为 500米的环
形跑道上跑步，甲的速度是 180 米/分钟。若两人从同一地点同时出发，反向跑
步，75秒时第一次相遇；若两人保持各自的速度从同一地点同时出发同向而行，
那么乙第一次追上甲时跑的圈数是多少圈？
A.5 B.5.5
C.6 D.6.5
【解析】6.前面是相遇，后面是追及，同时有相遇和追及。求的是乙跑的圈
数，一圈 500 米，如果走 1000 米，是 2 圈；如果是 1500 米，是 3 圈，用路程
/500即可。圈数=S /500=v *t/500，做题任务是表示乙的速度和追上所用时间。
乙 乙
行程问题，时间单位不一致要统一单位，建议把小单位变成大单位。有 m/min
和 75s，75s 转化为 min，数会变小，75/60=5/4min（尽量用分数，分数可以约
分）。相遇问题，基本公式：S =（v +v ）*t，500=（180+v ）*（5/4）→2000=
和 甲 乙 乙
（180+v ）*5→400=180+v →v =220。追及问题，基本公式：S =（v -v ）
乙 乙 乙 差 乙 甲
t，追上一次，多走 1 圈，乙追上甲一次，S 为 500，500=（220-180）t→
差
t=500/40=25/2。则圈数=S /500=v *t/500=220*（25/2）÷500=110*25/500=5.5，
乙 乙
对应B项。【选 B】
【注意】考试中可能只考相遇或者追及，则题目不难。
【注意】行程问题：
1.普通行程：
18（1）路程=速度*时间（S=v*t）。
（2）匀变速的平均速度=（初速度+末速度）/2。
2.相对行程：
（1）相遇、追及：
①相遇（反向）：S =v *t。
和 和
②追及（同向）：S =v *t。
差 差
（2）环形运动：
①环形第 n次相遇：n圈=v *t。
和
②环形第 n次追及：n圈=v *t。
差
3.如果还想拔高，补充课程中有行程问题的高难度课程，学有余力可以听，
如果是应对广东省考，这部分足够了。
第七节 几何问题
【注意】几何公式：几何需要讲的东西不多，主要记住公式。
1.周长：
（1）正方形：4a；长方形：2*（a+b）。
（2）圆形：2πR，其中 R是半径，π≈3.14。
（3）弧长：2πR*n°/360°。如图所示，圆心是O，要求 AB的长度（是圆
周长的一部分），假设圆心角是 n°，相当于占了圆的 n°/360°，圆的周长为
2πr，那么 AB=（n°/360°）*2πr。
192.面积：
（1）正方形：a²；长方形：ab。
（2）三角形：ah/2；圆形：πR2，其中R是半径。
（3）扇形：πR2*n°/360°，与弧长一样，相当于占圆面积的占比为 n°
/360°。
（4）梯形：（a+b）*h/2。
（5）菱形（对角线互相垂直的平行四边形，最特殊的菱形是正方形）：对
角线乘积/2。
3.表面积：
（1）正方体：6a²；长方体：2*（ab+bc+ac）。
（2）圆柱体：2πR²+2πR*h。如图所示，圆柱体表面积=上、下两个圆+侧
面积，其中上、下两个圆面积=2πr²，把侧面展开，是一个长方形，长是 2πr，
宽是h，则侧面积=2πr*h。
（3）球体（考的少）：4πR²。
4.体积：
（1）正方体：a³；长方体：abc。
（2）柱体：底面积*高=Sh；椎体（无论是什么锥体）：（1/3）*Sh。
（3）球体（考的少）：（4/3）*πR³。
■学习内容：
➢公式运用
20➢三角形相关
【注意】学习内容：两个角度学习。
1.公式运用：直接套公式。
2.三角形相关：考的最多。
【例 1】（2024 联考）某公园绿化管理部门采购了 100片围栏，每片长 1米
且不可弯折。现拆分拟围成5 块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑
拼接间隙，那么这 5块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
A.10 B.12
C.16 D.25
【解析】1.“某公园绿化管理部门采购了 100片围栏，每片长 1米且不可弯
折”，总长=100米；“5块周长相等且互不相邻的矩形”，则每块的周长=100/5=20。
问这 5 块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米，假设长和宽分别为 a、
b，则 a+b=10，最大面积：a=b→5*5=25，最小面积：a 与 b 差值最大→9*1=9，
所求=25-9=16，对应C项。【选 C】
【注意】和定最值：
1.若 a+b=定值，则当a=b 时，a*b最大；a与b差值越大，a*b越小。
2.例：已知 a+b=10（a、b 都是正整数），则 a*b 的最大值是 5*5=25，a*b
的最小值是 1*9=9。
【例 2】（2024联考）甲、乙两个圆柱容器底面积之比为 3：4，分别盛有7
厘米高和 10 厘米高的液体，现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容
器内液体的高度相等，问甲容器内液面上升至：
21A.9 厘米 B.12厘米
C.15 厘米 D.19厘米
【解析】2.问甲容器内液面上升至多少厘米，求的是最终的高度。往圆柱容
器注入液体，圆柱体积=S*h，“甲、乙两个圆柱容器底面积之比为 3：4”，可以
赋值为 3、4，“现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容器内液体的高
度相等”，本题求的是高度，就不要在高度找等量关系，根据“同样多的液体”
列式，注入的=总的液体-已有的，V =3h-3*7，V =4h-4*10，列式：3h-3*7=4h-
甲 乙
40，解得 h=19。【选D】
➢三角形三边关系
1.任意三角形：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2.直角三角形：勾股定理：a²+b²=c²
常考勾股数：（3、4、5）、（5、12、13）、（7、24、25）
3.特殊角三角形三边关系
【注意】三角形三边关系：
1.任意三角形：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2.等边三角形：三条边都一样。
3.直角三角形：
22（1）勾股定理：a²+b²=c²。
（2）常考勾股数：（3、4、5）、（5、12、13）、（7、24、25），其中前
两组考的最多。
①如果一个三角形的三边关系为 3：4：5，那么一定是直角三角形。如果一
个直角三角形，其中两边之比为 3：4，那么另外一条边肯定是 5份。
②（3、4、5）：扩大2倍，是（6、8、10），扩大3倍，是（9、12、15）。
③（5、12、13）：近几年考的也比较多。
4.特殊角三角形三边关系：
（1）30°角的直角三角形：30°角对应的直角边是斜边的一半，三边关系
为 1：√3：2。如图所示，如果知道短直角边为 50，那么另外两条边为 50√3、
100。
（2）等腰直角三角形：三边关系为 1：1：√2。
【例 3】（2024 国考）某公园内的道路如下图所示，其中 AB、BC 分别为正
南北向和正东西向道路，AB、AC 分别长 100 米和 200 米。且△BCD 为正三角形，
如要用直线道路连接 AD，则该道路的长度为多少米？
A.150√3 B.50（√3+1）
23C.100√7 D.200√2
【解析】3.“AB、BC分别为正南北向和正东西向道路”，说明 AB⊥BC；“AB、
AC 分别长 100 米和 200 米”，在一个直角三角形中，AB=100、AC=200，是 1：2
的关系，那么∠ACB=30°。“△BCD为正三角形（等边三角形）”，那么CD=BC=100√3，
∠DCB=60°，则∠ACD=90°，AD是直角三角形的斜边。不是特殊的，直接用勾股
定理，AD²=AC²+CD²=40000+30000=70000，则 AD=√70000=√10000∗7=100√7。
【选C】
【例 4】（2024广东）甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到
乙位于它的北偏西 30°方向，甲、乙相距 6 千米；甲观测到丙位于它的正西方
向，甲、丙相距 6千米，则乙与丙之间的距离为多少千米？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】4.“甲观测到乙位于它的北偏西 30°方向”，如果没有给图，需要
自己画图，出现正南、正北等，按照上北、下南、左西、右东画图，先找到正北
的方向，再偏西 30°，甲乙=6 千米；“甲观测到丙位于它的正西方向”，甲丙
=6 千米，问乙与丙之间的距离为多少千米。一个等腰三角形，出现 60°（∠乙
甲丙），那么一定是等边三角形，则所有边都是6。【选D】
24【例 5】（2024 上海）甲到 A市游玩，入住宾馆后问前台服务员：“如果到
附近超市购物的话如何走？”前台对他说：“出门右转步行 1700 米，再左转步
行 700 米就能到达。”他误听成了“出门左转步行 700 米，再右转步行 1700 米
就能到达”。可近似认为相邻街道都互相平行，甲最后到达的地方与超市的直线
距离为多少米？
A.1000 B.2000
C.2600 D.3400
【解析】5.左转、右转与正东、正北一个道理，“出门右转步行 1700 米，
再左转步行 700 米就能到达”，如图所示，AB=1700，再往上走一点，BC=700，
超市应该在 C 点；“出门左转步行 700 米，再右转步行 1700 米就能到达”，
AD=700，右转应该往上走，DE=1700，问甲最后到达的地方与超市的直线距离为
多少米，即求 CE。构造直角三角形，从 C 点做 ED 的垂线交于 F 点，则 FD=700，
CF=2400，EF=1000，EC是直角三角形的斜边，不可能比直角边短，则 EC＞2400，
排除A、B项；两边之和必然大于第三边，则 EC＜3400，选择 C项。【选C】
【注意】可以考虑勾股数，两条直角边是 1000 和 2400，是 5：12 的关系，
25在一个直角三角形中，一条直角边是 5、另一条直角边是 12，则斜边是 13，是
（5、12、13）这组勾股数。1000→对应5份，说明1份=200，则斜边为13*200=2600。
➢三角形面积比例
1.底（高）相同的三角形，面积之比等于高（底）之比
2.相似三角形，对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【注意】三角形面积比例：
1.底（高）相同的三角形，面积之比等于高（底）之比。
2.相似三角形，对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
1.两三角形高相同，面积之比等于底之比
两三角形底相同，面积之比等于高之比
【注意】等底（高）三角形：
1.结论：
（1）两三角形高相同，面积之比等于底之比。
（2）两三角形底相同，面积之比等于高之比。
2.如图所示，从 A点做BC 的高，做垂线就可以；
从 A点做BC的高，需要做在 BC的延长线上。
3.如图所示，△A和△B等高，假设底边分别为a和b，S =1/2*a*h，S=1/2*b*h，
A B
因为这两个三角形的高相等，则S/S=（1/2*a*h）÷（1/2*b*h）=a/b，即两三
A B
26角形高相同，面积之比等于底之比。
【例 6】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形 ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形 DEF 是中央工厂
区。已知 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中
央工厂区面积的：
A.7 倍 B.6倍
C.5 倍 D.4倍
【解析】6.问新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的多少倍，即求 S
△ABC
和 S 这两个三角形面积的倍数关系。△ABC 分为三个部分，分别为△ABD、△
△DEF
ADE 和△AEC，这三个三角形存在等高，那么面积之比=底边之比；已知 BD：DE：
EC=1：2：3，那么面积之比也是 1：2：3，假设 S =1份、S =2份、S =3份，
△ABD △ADE △AEC
则 S =1+2+3=6 份。F 为 AE 的中点，从 D 点向 AE 做高，则△DEF 和△DFA 的高
△ABC
相同，又 AF：EF=1：1，则面积之比为 1：1，S =2 份，则 S =1 份，所以 S
△ADE △DEF △
/S =6 份/1份=6，对应B 项。【选 B】
ABC △DEF
272.相似三角形，对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【注意】相似三角形：三个角（或两个角）相等的三角形，属于相似三角形。
1.对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.如图所示，AB∥CD，则∠A=∠D，∠B=∠C，∠AOB=∠COD，那么△ABO∽△
DCO，注意写相似的时候，一定要角和角对应（A 和 D 对应，B 和 C 对应，O 和 O
对应）。对应边（高）之比等于相似比，假设相似比=AB/DC=AO/DO=BO/CO=h /h=x，
1 2
S =（1/2）*AB*h，S =（1/2）*CD*h，所以 S /S =（AB/CD）*（h/h）
△ABO 1 △DCO 2 △ABO △DCO 1 2
=x²，即面积比等于相似比的平方。如果 AB=2，CD=3，那么面积之比为（2/3）*
（2/3）=4/9。
3.考查方式：
28（1）出现平行（图1）。
（2）如果直角三角形出现斜边的高（图 2），会考虑相似，△ABC、△DBA、
△DAC都是相似的。
【例 7】（2024 事业单位联考）一条东西向的河流宽 50 米，如下图所示，
甲划船从北岸的 A 点出发，直线航行 130 米后到达南岸的 B 点，然后向左转向
90度继续直线行驶，到达河流北岸的 C点，问A、C两点的距离在以下哪个范围
内？
A.不到 150米 B.150～160米之间
C.160～170米之间 D.超过170米
【解析】7.“甲划船从北岸的 A 点出发，直线航行 130 米后到达南岸的 B
点”，则AB=130；“然后向左转向 90度继续直线行驶”，即∠ABC=90°；“一
条东西向的河流宽 50 米”，即河流的宽度为 50。如图所示，从 B 点向 AC 做垂
线交于 D点，则BD=50，联想到勾股数（5、12、13），则AD=120。问A、C 两点
的距离在以下哪个范围内，即求 AC，只需算出CD即可。没有其他信息，只能考
虑相似（直角三角形中，出现斜边的高），△BCD∽△ABD，对应边之比等于相似
比，则CD/BD=BD/AD，那么CD=BD*BD/AD=50*50/120=2500/120=20+，选项是范围，
不需要精确计算，所以 AC=120+20+=140+，不到150，对应A 项。【选A】
29【例 8】（2023联考）边长为 10厘米的正方形ABCD如下图所示，E为正方
形中的某一点，已知AE长8 厘米，BE长6厘米，问三角形 ADE 的面积为多少平
方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【解析】8.“边长为10 厘米的正方形ABCD如下图所示”，即 AB=10，“已
知AE长 8厘米，BE长6厘米”，出现6、8、10，则∠AEB=90°，问三角形ADE
的面积为多少平方厘米。
方法一：连接对角线 BD、AC，发现 S 比 S 的 1/4 多一点点，
△ADE ABCD
S /4=10*10/4=25，则S 比 25多一点，排除A项；只比1/4 多一点点，而44
ABCD △ADE
和48都接近一半，排除，考试给的都是标准图形，选择 B项。
30方法二：相似。要求三角形 ADE的面积，从E点作高，交 DA于F，则S =
△ADE
（1/2）*EF*AD=5*EF。∠AEB=90°，出现直角，从E点作高，交 AB于G，则EF=AG，
直角三角形出现斜边的高，任意两个直角三角形是相似的，△AGE∽△AEB，则
AG/AE=AE/AB，那么AG=AE*AE/AB=8*8/10=6.4，所以S =5*6.4=32，对应B项。
△ADE
方法三：全等（在相似的基础上，再找到一条边相等即可）。如图所示，从
D点作高，交AE于F点，S =（1/2）*DF*AE=4*DF。AD=AB=10，因为∠①+∠②
△ADE
=90°，∠①+∠③=90°，说明∠②=∠③，又∠DFA=AEB=90°，所以△ADF≌△
BAE，那么 DF=AE=8，S =4*8=32，对应B项。【选B】
△ADE
31【注意】几何问题：
1.公式运用：公式是基础，必须记住。正方形、长方形、三角形、圆，考的
最多，圆柱、圆锥也考的比较多一些。
2.三角形相关：
（1）勾股定理：
①基础：a²+b²=c²。
②特殊勾股数：（3、4、5）、（5、12、13），（6、8、10）是（3、4、5）
扩大2倍。
③特殊三角形三边关系。
（2）相似三角形。
【练习 1】（2023广东）小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小
时20千米，那么将准时到达。如果骑车的速度为每小时 24 千米，那么将提早5
分钟到达。则甲镇到乙镇的距离为（ ）千米。
A.8 B.10
C.12 D.16
32【解析】练习 1.与讲义例 1 相似，找等量关系，两个角度都可以。
方法一：路程相等。“如果骑车的速度为每小时 20千米，那么将准时到达”，
假设时间为 t 小时，“提早 5 分钟到达”，5 分钟=1/12 小时，则时间=t-1/12，
列式：20*t=24*（t-1/12），解得 t=0.5，所求=20*0.5=10。
方法二：时间差。t-t=5 分钟=1/12小时，列式：S/20-S/24=1/12，但是计
1 2
算需要通分。对于行程问题，尽量从路程找等量关系，因为乘法解方程更好解。
【选B】
【练习 2】（2021 广东）如图所示，周长为 24 米的平行四边形绿化地被划
分为三块区域，两边为三角形的花坛，中间为矩形的草地。已知 a、b、c长度之
比为4：2：√3，则矩形草地的面积为（ ）平方米。
A.6 B.6√3
C.12 D.12√3
【解析】练习2.做题一定要养成好习惯，只要遇到直角三角形，三边关系很
重要。“周长为 24 米的平行四边形绿化地被划分为三块区域”，A+B=12；“已
知a、b、c长度之比为4：2：√3”，4份+2份=6份→对应12，1份=2，那么a、
b、c边长分别为8、4、2√3，其中 4：2√3=2：√3，或者用勾股定理，可以求出
33底边短边的长度为 2，8-2=6，所求=6*2√3=12√3。【选D】
预习范围（P198～P203） 下节课18：50开始答疑
第八节：排列组合与概率问题
第九节：容斥原理问题
预习要求：尽量做一遍，不会的题目要熟悉每道题的题干
【答案汇总】
行程问题 1-5：ABBBB；6：B
几何问题 1-5：CDCDC，6-8：BAB
34遇见不一样的自己
Be your better self
35
