文档内容
C H A O G E J I A O Y U
2026数量拿分稳稳班
第5节课（第五章 几何问题）
主讲老师： 高 照第五章 几何问题
考情：超级高频题型
特点：技巧性特别强：做、量、猜
最佳策略：识别、记忆
需要图形意识，图形意识，学会画图，建立图形意识。1.几何公式
2.三角形
3.最短路径
第五章 几何问题
4.几何最值
5.同比例放缩
6.几何最优构造（手工操作题）几何公式n°
弧长= 2πr
360°多边形内角和=（n-1）×180°长方体：
体对角线= 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
2 ≈1.414 、 3 ≈1.732 5 ≈2.236【例1】（2025联考）高速公路某路段转向处靠近居民楼，为减少噪声需设置隔音板（如下图所示），
安装隔音板范围为公路转向处的一段圆曲线（即从点A至点B圆弧），测控人员在过点A、B的两条切
线的交点C处，测得从A到B转角α为60°，若此圆曲线的半径OA=1km，则这段隔音板的安装长度为：
π
A. km
4
π
B. km
2
2π
C. km
3
3π
D. km
4
小技巧：出现切线，直角90°来了。【例2】（2025国考）一个长方体零件最大面的面积是最小面的3倍，次大面的面积是最大、最小面
9
面积平均值的 。问该零件最小面的长是其宽的多少倍？
16
7
A.
3
7
B.
6
8
C.
3
4
D.
3
注：画个图更清晰，得会画啊。【例3】（2025联考）某三层高的露天平台每层可视作圆柱体（如下图所示）。已知每层高5米，下
层直径100米，中层直径80米，上层直径68米，现要对平台的外表面进行清洁维护，共需要维护多
少平方米？
A.3740π
B.5256π
C.6240π
D.6496π【例4】（2025上海）公园打算修建一个横截面为月牙形（如图所示）的柱体水池养观赏鱼，其中大
圆的半径为4米，小圆内部为休息区，其半径为2米，水池深2米，等到水池修建好，需要注入大约
（ ）立方米的水。
A.57
B.64
C.76
D.88（1）直角三角形
（2）正六边形
三角形 （3）坐标构造
（4）三角形同底或者同高（长方形）
（5）相似三角形三角形三角形
1、普通三角形：
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
2、特殊三角形：直角三角形、等边三角形勾股定理相关
常考点：a2+b2=c2、特殊角三角形三边关系
1.特殊勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13） 、（7、24、25）
2、边长的放缩
注：几何问题中，出现平方加和的条件，直接想勾股定理（ a2+b2=c2 ）勾股定理相关
3.特殊角三角形三边关系
3 1 1
1
30° 45°
2 2
（1）两直角边相等
（1）短直角边是斜边的一半
（2）长直角边是短直角边的 3倍 （2）斜边是直角边的 2倍
2 ≈1.414 、 3 ≈1.732 5 ≈2.2364、等边三角形 边长：a
3
高： a
2
3
2
面积: S = a
45、
正六边形:由6个等边三角形构成
特性：对称性6、圆中的直角
① 不在同一直线的三个点确定一个圆
② 圆的直径所对的角是直角（ 90°）
注：圆上最远的两个点构成直径【例5】（2025浙江）一块直角梯形空地ABCD如右图所示，其中AD=AC=2AB。现准备在图中三角
形区域ABC建设特色生态园，并在图中与两条边相切的圆形区域建设特色花坛。已知D点到圆上任一
点最短距离为AB长度的一半，那么特色生态园与特色花坛的面积比值在以下哪个范围？
A.小于1
B.1-1.5
C.1.5-2
D.大于2【例6】（2025上海）在一个宁静的村庄里有三座古老的瞭望塔，分别位于村庄的A、B、C处，且由
三条笔直的公路连接，这三条公路恰好构成一个以AC为底边的等腰三角形。村民们发现，塔C到塔A、
B的距离之比恰为2: 5，且塔C到公路AB的最短距离为4公里，那么塔B、C之间的距离为（ ）公里。
A.2
B.5
C.2 5
D.5 5【例7】（2024江苏）如图所示，ABCDEF是一个边长为2的正六边形，圆O是△ACE的内切圆，则圆
O的面积是（ ）。
A.𝜋
B.2𝜋
5𝜋
C.
4
3𝜋
D.
2（3）坐标构造【例8】（2025山东事业单位）某巡逻船在休渔期开展常规海上检查，在海域m点发现其东南方向的
n点有一艘渔船正匀速向正北方向行驶，巡逻船在m点立即沿东偏南30度方向按照与渔船相同的速度
行驶四海里后相遇，m与n之间的距离多少海里?
A.2 2
B.2 3
C.4 2
D.4 3【例9】（2024广东）甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到乙位于它的北偏西30°方
向，甲、乙相距6千米；甲观测到丙位于它的正西方向，甲、丙相距6千米，则乙与丙之间的距离为
（ ）千米。
A.3
B.4
C.5
D.6三角形同底或者同高（长方形）
三角形同底或者同高
考法：多个面积
方法：底相同，面积之比等于高之比【例10】（2025四川）一块正方形花圃如下图所示。现将其划分为4个矩形，分别种植A、B、C、D
2
四种作物。已知B、C的种植面积比为14：9，B、C的种植面积之和比A的种植面积大 ，则D的种植
21
面积是A的：
1
A.
3
2
B.
5
2
C.
7
3
D.
11【例11】（2025国考）某厂区如图所示，其中ABCD为矩形，ABEF为直角梯形，AB与DE相交于G
点，其中阴影区域ADGF为涉密区域。已知AD、AF、AB长度分别为240米、150米、100米，问涉
密区域的面积为多少万平方米？
A.1.2
B.1.3
C.1.4
D.1.5【例12】（2025浙江）一块四边形田地ABCD如下图所示，已知△AOD、△AOB和△COD的面积分别
为9平方千米、15平方千米和12平方千米，CD长8千米。问B点到CD的距离为多少千米？
A.6
B.7
C.8
D.9相似三角形
（1）两个角相等，三角形相似。
（2）对应边成比例。【例13】（2024全国事业单位联考）一条东西向的河流宽50米，如下图所示。甲划船从北岸的A点
出发，直线航行130米后到达南岸的B点，然后向左转向90度继续直线行驶，到达河流北岸的C点。
问A、C两点的距离在以下哪个范围内？（ ）
A.不到150米
B.150～160米之间
C.160～170米之间
D.超过170米最短路径
考查方式：求AB两点到直线距离之和最短
解题原理：两点之间，线段最短
解题技巧：两点异侧，直接连线
两点同侧，镜面对称后连线
B
A【例14】（2024国考）甲、乙两个联络站相距10千米。一条道路与甲、乙联络站连线相平行，且与
两联络站连线的垂直距离为12千米。现需紧邻该道路建一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距
离之和最小为多少千米？
A.20
B.22
C.24
D.26几何最值几何最值理论(一)
立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。（ 原理）
立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。（ 原理）几何最值理论（二）
（1）平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大；（ 原理）
（2）平面图形中，面积一定，越接近于圆，周长越小。（ 原理）
特殊矩形：
（1）四边形周长一定时，正方形面积最大。
（2）四边形面积一定时，正方形周长最小。【例15】（2024联考）某公园绿化管理部门采购了100片围栏，每片长1米且不可弯折。现拆分拟围
成5块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这5块区域的最大与最小面积
最多可相差多少平方米？
A.10
B.12
C.16
D.25同比例放缩
若将一个图形尺度变为原来的N倍，则
1、对应角度不变
2、周长变为原来的N倍，增长了N-1倍
3、面积变为原来的N2倍，增长了N2-1倍
4、体积变为原来的N3倍，增长了N3-1倍【例16】（2025联考）一个空的倒置的圆锥形容器，倒入1瓶固定容量的水后，水的高度恰好为容
器高度的一半。若要使容器盛满水，则需要再倒入水的瓶数为：
A.5瓶
B.7瓶
C.8瓶
D.10瓶【例17】（2025联考）妈妈将一个圆锥形冰淇淋（如下图所示，顶面是半径为3厘米的平面）将距
离顶面三分之一高的位置平行切开，下面那块给小安，上面那块给小凡，那么小安吃的冰淇淋份量是
小凡的多少倍？
8
A.
27
19
B.
27
19
C.
8
8
D.
19几何最优构造（手工操作题）【例18】（2025江苏）某单位在边长为200米的正方形广场上组织一场招聘会，计划安排若干名工
作人员提供咨询服务，每名工作人员入场后将分别随机站在一个位置上，其服务半经不超过50 2米。
若要确保咨询服务全覆盖，则至少需要安排工作人员：
A.4名
B.5名
C.6名
D.7名【例19】（2025四川）某工匠计划在700×115厘米的钢板上裁剪若干大小为70×40厘米的钢片，且
在裁剪时，每块钢片之间还应保留至少5厘米的间隔。问最多能裁剪出多少块？
A.23
B.24
C.25
D.26梳理：专项拔高练习五【练习1】（2025联考）某农科所将一块上底长为20米的直角梯形状实验田划分为4个完全相同的区
域（如下图所示），种上4个不同品种的玉米，产量分别为110、115、125和130千克。那么，该实
验田玉米的平均产量为多少千克/平方米？
A.0.6
B.0.8
C.1
D.1.25【练习2】（2025联考）某黄金首饰店的回收活动规则为：按当日金价的75%回收，回收后若置换店
里的黄金首饰则不收取任何额外费用，若要将一个底面直径和高均为6cm的圆锥形实心黄金首饰回
收，并置换为球形实心黄金首饰，将该圆锥形首饰分割成体积相等的两个部分，其截面半径与该球形
首饰的直径相等（如下图所示）。那么圆锥形首饰可置换该款球形首饰的数量为：
A.4个
B.6个
C.8个
D.9个
猜题思维，敢猜。【练习3】（2025上海）某公司研发一款饮料瓶，一开始瓶身为圆柱，高h=10cm，底面半径
r=5cm。为了更为美观，则以上底面为球的大圆做一个半球，轴截面如图所示。则瓶子的体积约为
3 3
（ ）cm 。（精确到1cm ）
A.1440
B.1047
C.930
D.865【练习4】（2025全国事业单位）有长为150mm，直径分别为90mm和120mm的两根铜柱，以此
4
3
为原料最多可以熔铸直径为100mm的铜球多少个？（球体积= πr ）（ ）
3
A.3
B.5
C.8
D.11【练习5】（2024联考）A、D两地设有通信基站（如下图所示），发射信号范围分别是以A、D为圆
心，AE和DB为半径的圆形区域，小林从B地出发，沿与DB垂直的BA方向匀速行进，步行速度为4千
米/小时，那么步行约多少分钟后小林的手机能够重新接收到信号？（ 5 ≈ 2.23）
A.8
B.10
C.12
D.14【练习6】（2024天津事业单位）平面做一个边长为3的正方形，再以这个正方形的对角线为边做第二
个正方形，再以第二个正方形的对角线为边做第三个正方形，以此类推，第11个正方形的面积为（ ）。
A.2048
B.3072
C.8192
D.9216
45°、45°、90等腰直角三角形：斜边是直角边的 2倍【练习7】（2022联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500米处。兔子和乌龟
同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5倍。兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错
了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑
了多少米？
A.600
B.1200
C.2400
D.3000【练习8】（2020国考）部队前哨站的雷达监测范围为100千米。某日前哨站侦测到正东偏北
30°100千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150千米处的部队立
即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机
速度是可疑无人机的多少倍？
2
A. 5
3
4
B. 3
3
C. 3 + 1
D.3 3 − 1【练习9】（2025天津）某矩形农场ABCD如图所示，矩形区域ADEF为生产区，矩形区域BCEF为休
闲区。现连接BD将两区域打通，与EF相交于O点。已知AF和FE的长度分别为600米和400米，问
COD围成的三角形阴影区域面积为多少万平方米？
A.12
B.15
C.16
D.18【练习10】（2023联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC区域内建设
新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF是中央工厂区，已知BD：DE：EC=1：2：3，F为AE
的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：
A.7倍
B.6倍
C.5倍
D.4倍【练习11】（2025江苏）借景是古典园林建筑常用的构景手段之一，已知某景区中轴线（在同一水
平面）上有两座相距200米的建筑物，其中一座建筑物为平顶，高度为23.7米；另一座建筑物为顶尖，
高度为133.7米，其中顶尖的部分高度为22米。若身高为1.7米的小王从中轴线上某处看向平顶建筑
物时，发现恰好能够看到尖顶建筑物的整个尖顶部分（如图所示）。则小王所站位置和平顶建筑物的
直线距离为（ ）。
A.30米
B.40米
C.50米
D.60米【练习12】（2019四川下）如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆
锥组成，下面的圆锥内装有细沙，计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要
1小时，则细沙高度下降一半所需的时间是：
A.30分钟
B.45分钟
C.47.5分钟
D.52.5分钟【练习13】（2023联考）某餐馆承诺25分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上
都有一个装满后正好25分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的过程中发现沙漏
内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未上菜，这位顾客将享受免单
服务？
A.不到3分钟
B.3-4分钟之间
C.4-5分钟之间
D.超过6分钟【练习14】（2024联考）气象学中，24小时内降落在某面积上的雨水深度叫做日降雨量（不考虑渗
漏、蒸发、流失等损耗，单位：mm），将日降雨量记为w，其等级划分如下：小雨（0.1≤ω＜10），
中雨（10≤ω＜25），大雨（25≤ω＜50），暴雨（50≤ω＜100）。某地某日用一个圆锥形容器接
了24小时的雨水（如下图所示），则该地日降雨量等级是：
A.暴雨
B.大雨
C.中雨
D.小雨作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）抓住问题，根据题干条件，判定考的是什么几何性质。
2：计算2遍：做、量、猜。
预习：第六章 经济问题学习就是，再等一等，再忍一忍，
要练习，反复练习，无数次的练习，
练习到举手投足间，尽是从容，
练习到人人觉得你，天生如此，
练习到别人觉得你，没费什么力气
坚定的学，拼命的学
真正理解什么是：温故而知新
未来皆是惊喜。
