2019年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
（1）当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k （ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】C
x3
【解析】x  0时，有xtanx ，故k  3
3
 3
（2）曲线y xsinx2cosx (  x )的拐点坐标为（ ）
2 2
  3 3
(A) ( , ) (B) (0,2) (C) (,2) (D) ( , )
2 2 2 2
【答案】C
【解析】ysinxxcosx2sinx xcosxsinx，
ycosxxsinxcosxxsinx，
令y0得x 0或x，
当xU(0,)，y0，故(0,2)不是拐点；
当x时，y0；当x时，y0，故(,2)为拐点.
（3）下列反常积分发散的是（ ）
(A)   xexdx (B)   xex2 dx (C)  arctanx dx (D)   x dx
0 0 0 1x2 0 1x2
【答案】D
 x 1
【解析】 dx ln(1x2)  ，故选项D正确；
0 1x2 2 0
选项A：  xexdx(2)1；选项B：  xex2dx 1   ex2dx2  1 ；
0 0 2 0 2
arctanx  1 2
选项C： dx arctanxdarctanx (arctanx)2   .
0 1x2 0 2 0 8
（4）已知微分方程yaybycex的通解为y(C Cx)exex，则a,b,c依次为（ ）
1 2
(A) 1,0,1 (B) 1,0,2 (C) 2,1,3 (D) 2,1,4
【答案】D
【解析】由通解形式可得，(C C x)ex是对应齐次方程的解，故是1其二重特征值，所以其特
1 2
1 / 9征方程为(1)2 0，即2210，所以a2,b1；再将特解ex带入原方程可得c 4
（5）已知积分区域D{(x,y) x  y 
2
}， I
1
 x2  y2dxdy ， I
2
sin x2  y2dxdy ，
D D
I
3
(1cos x2  y2)dxdy ，试比较I
1
,I
2
,I
3
的大小（ ）
D
(A) I  I  I (B) I  I  I
3 2 1 1 2 3
(C) I  I  I (D) I  I  I
2 1 3 2 3 1
【答案】A
2 
【解析】在区域D上，x2  y2  ，令 x2  y2 ，则0u ，所以有sin x2  y2  x2  y2 ；
4 2
令 f(u)1cosusinu，则 f(u)sinucosu，
  
故当0u ， f(u)0；当 u ， f(u)0；
4 4 2

而 f(0) f( )0，所以 f(u)0，即1cosu sinu，得到1cos x2  y2 sin x2  y2
2
综合对比可得，I  I  I .
3 2 1
f(x)g(x)
(6) 函数 f(x),g(x)的二阶导函数在x a处连续，则lim 0是两条曲线 y  f(x)，
xa (xa)2
y  g(x)在x a对应的点处相切及曲率相等的（ ）
(A)充分非必要条件 (B)充分必要条件
(C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
【答案】A
f(a)
【解析】（充分性）由泰勒公式可得： f(x) f(a) f(a)(xa) (xa)2o(xa)2；
2
g(a)
g(x) g(a)g(a)(xa) (xa)2 o(xa)2
2
f(x)g(x)
则lim 0，可得 f(a)g(a)， f(a)g(a)， f(a)g(a)，由此可得在x a处相切。
xa (xa)2
y
由曲率公式 k  3 可得两曲线在x a处曲率相同.
1y22
 
（必要性）若函数y  f(x)，y  g(x)在x a处相切可得 f(a)g(a)， f(a)g(a)；
2 / 9f(a) g(a)
k  
由曲率相等 3 3 ，可得： f(a)g(a)
 1[f(a)]2
2
 1[g(a)]2
2
f(x)g(x)
但若 f(a)g(a)，有lim  f(a)不一定为0，故必要性不一定成立.
xa (xa)2
（7）设 A是4阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组Ax 0的基础解系中只有2个向量，则A*
的秩是（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】A
【解析】因为Ax0的基础解系中只有2个向量，故有nr(A)2，即r(A)422，又因为
n, r(A)n

r(A*)1, r(A)n1，所以r(A*)0

0, r(A)n1

（8）设 A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若A2  A  2E 且 A 4，则二次型xTAx的规
范形为（ ）
(A)
y2y2y2
(B)
y2y2y2
(C)
y2y2y2
(D)
y2y2y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】C
【解析】设矩阵 A 的特征值为，由A2  A  2E 可得，2  2，解得1,2，
又因为 A 4，故 A 的3个特征值为1,2,2，所以二次型xTAx的规范形为y2y2y2 .
1 2 3 1 2 3
二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9.lim(x2x)x  .
x0
【答案】
4e2
【解析】lim(x2x) 2 x ex li  m 0 (x2x1) 2 x e22ln2 4e2
x0
xtsint 3
10.曲线 在t  对应点处切线在y轴的截距为 .
y1cost 2
3
【答案】 2
2
3 3 dy dy/dt sint
【解析】当t  时，x +1, y1，y   1
2 2 dx dx/dt 1cost t 3 
2
3 3 3
故切线方程为y11(x 1)，即yx 2，令x0，y 2
2 2 2
3 / 9y2 z z
11.设函数 f(u)可导，z yf( )，则2x y  .
x x y
y2
【答案】yf( )
x
z y2 y2 y3 y2 z y2 y2 2y y2 2y2 y2
【解析】  yf( )( ) f( )，  f( )yf( )  f( ) f( )
x x x2 x2 x y x x x x x x
z z  y3 y2   y2 2y2 y2  y2
则2x y 2x f( )yf( ) f( ) yf( )
x y  x2 x   x x x  x

12.设函数ylncosx(0 x )的弧长为 .
6
ln3
【答案】
2
    ln3
【解析】s6 1y2dx6 1tan2xdx6secxdxln secxtanx 6 
0 0 0 0 2
xsint2 1
13.已知函数 f(x)x dt，则 f(x)dx .
1 t 0
cos11
【答案】
4
【解析】设F(x)
xsint2
dt，故有
1
f(x)dx
1
xF(x)dx
1

1
F(x)dx2 
1
x2F(x) 1 
1

1
x2F(x)dx
1 t 0 0 2 0 2 0 2 0
1 1 sinx2 1 1 1 cos11
  x2 dx  xsinx2dx cosx2 1 
2 0 x 2 0 4 0 4
 1 1 0 0 
 
2 1 1 1
 
14.已知矩阵A ，A 表示 A 中元素(i, j)的代数余子式，则A A  .
 3 2 2 1 ij 11 12
 
 0 0 3 4 
【答案】4
1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 1 1 1
【解析】A A  A    1 2 1  0 1 0 4
11 12 3 2 2 1 3 1 2 1
0 3 4 0 3 4
0 0 3 4 0 0 3 4
三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
x2

15.设函数y f(x)是微分方程yxye 2 满足条件y(0)0的特解。
（1）求y f(x)；
（2）求曲线y y(x)的凹凸区间及拐点。
4 / 9x2

【答案】（1）y xe 2 ；（2）凸区间为(, 3)(0, 3)，凹区间为( 3,0)( 3,)，
3 3
 
拐点为( 3, 3e 2)，(0,0)，( 3, 3e 2)
x2 x2 x2 x2 x2
xdx  xdx   
【解析】（1） y(x)e (e 2 e dxC)e 2 (e 2 e2 dxC)e 2 (xC)，
x2

因为y(0)0，得C 0，所以y xe 2 ；
x2 x2 x2
  
（2）由（1）有ye 2 xe 2 (x)(1x2)e 2 ，
x2 x2 x2
  
y2xe 2 (1x2)e 2 (x)(x33x)e 2 ，令y0得x0, 3，
当x 3或0 x 3时，y0
当 3  x0或x 3时，y0
所以凸区间为(, 3)(0, 3)，凹区间为( 3,0)( 3,)，
3 3
 
又y( 3) 3e 2，y( 3) 3e 2，y(0)0，
3 3
 
所以拐点为( 3, 3e 2)，(0,0)，( 3, 3e 2).
3x6
16.求不定积分 dx
(x1)2(x2x1)
3x6 2 3 2x1
【解析】由于   
(x1)2(x2x1) x1 (x1)2 x2x1
 2 3 2x1  1 1 2x1
故原积分可化为：    dx2 dx3 dx dx
 x1 (x1)2 x2x1 x1 (x1)2 x2x1
3 1
2ln x1  d(x2x1)
x1 x2x1
3
2ln x1 ln(x2x1)C
x1
1
x2
17.已知y(x)满足微分方程 yxy  e2 ，且有 y(1) e .
2 x
（1）求y(x)
（2）D{(x,y)1 x2,0 y y(x)}，求平面区域D 绕x轴旋转成的旋转体体积.
xdx  1 x2 xdx 
【解析】（1）y(x)e  e2e dxC
 
2 x
 
5 / 9x2
 1 
x2
e2

 dxC

e2 ( x C)
 2 x 
x2
又因为 y(1) e ，故C 0所以
y  xe2
2
（2）V  2   xe x 2 2   dx 2 xex2 dx   2 ex2 dx2   ex2 2  (e4 e)
1   1 2 1 2 1 2
 
x y
18.已知平面区域D{(x,y) x  y,(x2y2)3  y4}，计算二重积分  dxdy
x2 y2
D
x
【解析】(x2  y2)3  y4的极坐标方程r sin2，由对称性可得：  dxdy0
x2  y2
D
x y y rsin  sin2
所以  dxdy dxdy2 rdrd22d rsindr
x2  y2 x2  y2 r  0
D D D 4
1
  
 2sin5d2(1cos2)2dcos2(12cos2cos4)dcos
  
4 4 4
2 1  43
=(cos cos3 cos5) 2  2
3 5  120
4
19.nN*，S
n
是 f(x)exsinx(0 xn)的图像与x轴所围图形的面积求S
n
，并求 l
n
i

m

S
n
n  2
【解析】面积S  exsinx dx  exsinxdx exsinxdx
0 0 
n1 (k1) n1 (k1) n1 1 (k1)
 ex sinx dx(1)k exsinxdx(1)k[ ex(cosxsinx)]
k k 2
k0 k0 k0 k
1 n1
 (1)k1[e(k1)(1)k1ek(1)k]
2
k0
1 n1 1 n1 1 1e(n1)
 [e(k1)ek] (1e)ek  (1e)
2 2 2 1e
k0 k0
1 1e(n1) 1 1 1 e1
所以limS  (1e)lim  (1e)  
n n 2 n 1e 2 1e 2 e1
2u 2u u u
20.已知函数u(x,y)满足2 2 3 3 0，求a,b的值，使得在变换
x2 y2 x y
u(x,y)v(x,y)eaxby下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.
u v
【解析】  eaxby v(x,y)aeaxby
x x
，
6 / 9u v
 eaxby v(x,y)beaxby
y y
2u 2v v
 eaxby 2a eaxby v(x,y)a2eaxby
x2 x2 x
，
2u 2v v
 eaxby 2b eaxby v(x,y)b2eaxby
y2 y2 y
2u 2u u
带入已知条件2 2 3 0
x2 y2 y
2v v  2v v 
得：2

eaxby 2a eaxby v(x,y)a2eaxby

2

eaxby 2b eaxby v(x,y)b2eaxby

x2 x  y2 y 
v  v 
+3

eaxby v(x,y)aeaxby

+3

eaxby v(x,y)beaxby

=0
x  y 
2v 2v v v
整理得：2(  )(4a3) (34b) (2a2 2b2 3a3b)v(x,y)0
x2 y2 x y
3 3
由题意可得上式不含v(x,y)的一阶偏导数，所以4a30,34b0，即：a ,b
4 4
1
21.已知函数 f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且 f(0)0， f(1)1， f(x)dx1，证明：
0
（1）存在(0,1)，使得 f()0
（2）存在(0,1)，使得 f()2
x
【解析】（1）令F(x) f(t)dt，易知F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，由拉格朗日中值定理可
0
得：存在c(0,1)使得F(1)F(0)F(c)，即 f(c)1
对 f(x)在[c,1]上使用罗尔定理可得，存在(c,1)(0,1)，使得 f()0
（2）令G(x) f(x)x2，分别在[0,c],[c,1]上应用拉格朗日中值定理可得：存在(0,c)， (c,1)使
1 2
得G(c)G(0)G()c；G(1)G(c)G()(1c)
1 2
c2 1
即：G() ；G()1c
1 c 2
在[,]上对G(x)再次使用拉格朗日中值定理可得：
1 2
G()G()G()( )
2 1 2 1
c2 1
1c
整理可得 G()G() c c1
G() f()2 2 1   0
    c( )
2 1 2 1 2 1
7 / 9故有 f()2.
1 1  1   1   0   1 
           
22.已知向量组（I）  1 ,  0 ,  2 ，（II）  1 ,  2 ,  3 ，
1   2   3   1   2   3  
 4   4   a2 3   a3   1a   a2 3 
           
若向量组（I）和向量组（II）等价，求a的值，并将用,,线性表示.
3 1 2 3
【解析】（1）因为向量组（I）和向量组（II）等价，
所以有r(,,)r(,,)r(,,,,,)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 0 1 
 
对其初等行变换有：(,,,,,) 1 0 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3  
 4 4 a2 3 a3 1a a2 3 
 
1 1 1 1 0 1 
 
 0 1 1 0 2 2
 
 0 0 a2 1 a1 1a a2 1 
 
① 若a1，有r(,,)r(,,)r(,,,,,)3，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
所以向量组（I）和向量组（II）等价
② 若a1，有r(,,)r(,,)r(,,,,,)2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
所以向量组（I）和向量组（II）等价
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 3 
     
（2）① 当a1，因为(,,,) 1 0 2 3  0 1 1 2  0 1 1 2 ，
1 2 3 3      
     
4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0
     
所以 k(2,1,1)T (3,2,0)T ，kR，即 (32k)(k2) k,kR.
3 3 1 2 3
1 1 1 1  1 1 1 1 1 0 0 1 
     
② 当a1，(,,,) 1 0 2 3  0 1 1 2  0 1 0 1
1 2 3 3      
 4 4 a2+3 a2+3   0 0 1 1   0 0 1 1 
     
所以  
3 1 2 3
2 2 1  2 1 0
   
23.已知矩阵A 2 x 2 与B 0 1 0 相似.
   
   
0 0 2 0 0 y
   
（1）求x,y
（2）求可逆矩阵P使得P1APB.
【解析】（1）由于A与B相似，根据相似性质，有： A  B ，tr(A)tr(B)；
8 / 9即：2(2x4)2y，2x221 y
解得x 3,y 2；
（2）B是上三角矩阵，则B的特征值为1,2,2，又因为A和B相似，则A的特征值也为1,2,2
对矩阵A：
当  2 时，解(2EA)x 0得 (1,2,0)T ；
1 1
当1时，解(EA)x0得 (2,1,0)T ；
1 2
当 2时，解(2E A)x 0 得 (1,2,4)T ；
3 3
对矩阵B：
当2时，解(2EB)x0得 (1,0,0)T ；
1 1
当1时，解(EB)x0得  (1,3,0)T ；
1 2
当 2时，解(2EB)x0得 (0,0,1)T ；
3 3
2 
 
令P (,,)，则P1AP  1 ；
1 1 2 3 1 1  
 2
 
2 
 
令P (,,)，则P1AP  1 ；
2 1 2 3 2 2  
 2
 
1 1 1
 
P1AP  P1AP ，则PP1APP1  B；故P  P P1  2 1 2 .
1 1 2 2 2 1 1 2 1 2  
 0 0 4 
 
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