2019年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析 一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目 要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． （1）当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】C x3 【解析】x  0时，有xtanx ，故k  3 3  3 （2）曲线y xsinx2cosx (  x )的拐点坐标为（ ） 2 2   3 3 (A) ( , ) (B) (0,2) (C) (,2) (D) ( , ) 2 2 2 2 【答案】C 【解析】ysinxxcosx2sinx xcosxsinx， ycosxxsinxcosxxsinx， 令y0得x 0或x， 当xU(0,)，y0，故(0,2)不是拐点； 当x时，y0；当x时，y0，故(,2)为拐点. （3）下列反常积分发散的是（ ） (A)   xexdx (B)   xex2 dx (C)  arctanx dx (D)   x dx 0 0 0 1x2 0 1x2 【答案】D  x 1 【解析】 dx ln(1x2)  ，故选项D正确； 0 1x2 2 0 选项A：  xexdx(2)1；选项B：  xex2dx 1   ex2dx2  1 ； 0 0 2 0 2 arctanx  1 2 选项C： dx arctanxdarctanx (arctanx)2   . 0 1x2 0 2 0 8 （4）已知微分方程yaybycex的通解为y(C Cx)exex，则a,b,c依次为（ ） 1 2 (A) 1,0,1 (B) 1,0,2 (C) 2,1,3 (D) 2,1,4 【答案】D 【解析】由通解形式可得，(C C x)ex是对应齐次方程的解，故是1其二重特征值，所以其特 1 2 1 / 9征方程为(1)2 0，即2210，所以a2,b1；再将特解ex带入原方程可得c 4 （5）已知积分区域D{(x,y) x  y  2 }， I 1  x2  y2dxdy ， I 2 sin x2  y2dxdy ， D D I 3 (1cos x2  y2)dxdy ，试比较I 1 ,I 2 ,I 3 的大小（ ） D (A) I  I  I (B) I  I  I 3 2 1 1 2 3 (C) I  I  I (D) I  I  I 2 1 3 2 3 1 【答案】A 2  【解析】在区域D上，x2  y2  ，令 x2  y2 ，则0u ，所以有sin x2  y2  x2  y2 ； 4 2 令 f(u)1cosusinu，则 f(u)sinucosu，    故当0u ， f(u)0；当 u ， f(u)0； 4 4 2  而 f(0) f( )0，所以 f(u)0，即1cosu sinu，得到1cos x2  y2 sin x2  y2 2 综合对比可得，I  I  I . 3 2 1 f(x)g(x) (6) 函数 f(x),g(x)的二阶导函数在x a处连续，则lim 0是两条曲线 y  f(x)， xa (xa)2 y  g(x)在x a对应的点处相切及曲率相等的（ ） (A)充分非必要条件 (B)充分必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A f(a) 【解析】（充分性）由泰勒公式可得： f(x) f(a) f(a)(xa) (xa)2o(xa)2； 2 g(a) g(x) g(a)g(a)(xa) (xa)2 o(xa)2 2 f(x)g(x) 则lim 0，可得 f(a)g(a)， f(a)g(a)， f(a)g(a)，由此可得在x a处相切。 xa (xa)2 y 由曲率公式 k  3 可得两曲线在x a处曲率相同. 1y22   （必要性）若函数y  f(x)，y  g(x)在x a处相切可得 f(a)g(a)， f(a)g(a)； 2 / 9f(a) g(a) k   由曲率相等 3 3 ，可得： f(a)g(a)  1[f(a)]2 2  1[g(a)]2 2 f(x)g(x) 但若 f(a)g(a)，有lim  f(a)不一定为0，故必要性不一定成立. xa (xa)2 （7）设 A是4阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组Ax 0的基础解系中只有2个向量，则A* 的秩是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】A 【解析】因为Ax0的基础解系中只有2个向量，故有nr(A)2，即r(A)422，又因为 n, r(A)n  r(A*)1, r(A)n1，所以r(A*)0  0, r(A)n1  （8）设 A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若A2  A  2E 且 A 4，则二次型xTAx的规 范形为（ ） (A) y2y2y2 (B) y2y2y2 (C) y2y2y2 (D) y2y2y2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 【答案】C 【解析】设矩阵 A 的特征值为，由A2  A  2E 可得，2  2，解得1,2， 又因为 A 4，故 A 的3个特征值为1,2,2，所以二次型xTAx的规范形为y2y2y2 . 1 2 3 1 2 3 二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 2 9.lim(x2x)x  . x0 【答案】 4e2 【解析】lim(x2x) 2 x ex li  m 0 (x2x1) 2 x e22ln2 4e2 x0 xtsint 3 10.曲线 在t  对应点处切线在y轴的截距为 . y1cost 2 3 【答案】 2 2 3 3 dy dy/dt sint 【解析】当t  时，x +1, y1，y   1 2 2 dx dx/dt 1cost t 3  2 3 3 3 故切线方程为y11(x 1)，即yx 2，令x0，y 2 2 2 2 3 / 9y2 z z 11.设函数 f(u)可导，z yf( )，则2x y  . x x y y2 【答案】yf( ) x z y2 y2 y3 y2 z y2 y2 2y y2 2y2 y2 【解析】  yf( )( ) f( )，  f( )yf( )  f( ) f( ) x x x2 x2 x y x x x x x x z z  y3 y2   y2 2y2 y2  y2 则2x y 2x f( )yf( ) f( ) yf( ) x y  x2 x   x x x  x  12.设函数ylncosx(0 x )的弧长为 . 6 ln3 【答案】 2     ln3 【解析】s6 1y2dx6 1tan2xdx6secxdxln secxtanx 6  0 0 0 0 2 xsint2 1 13.已知函数 f(x)x dt，则 f(x)dx . 1 t 0 cos11 【答案】 4 【解析】设F(x) xsint2 dt，故有 1 f(x)dx 1 xF(x)dx 1  1 F(x)dx2  1 x2F(x) 1  1  1 x2F(x)dx 1 t 0 0 2 0 2 0 2 0 1 1 sinx2 1 1 1 cos11   x2 dx  xsinx2dx cosx2 1  2 0 x 2 0 4 0 4  1 1 0 0    2 1 1 1   14.已知矩阵A ，A 表示 A 中元素(i, j)的代数余子式，则A A  .  3 2 2 1 ij 11 12    0 0 3 4  【答案】4 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 【解析】A A  A    1 2 1  0 1 0 4 11 12 3 2 2 1 3 1 2 1 0 3 4 0 3 4 0 0 3 4 0 0 3 4 三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. x2  15.设函数y f(x)是微分方程yxye 2 满足条件y(0)0的特解。 （1）求y f(x)； （2）求曲线y y(x)的凹凸区间及拐点。 4 / 9x2  【答案】（1）y xe 2 ；（2）凸区间为(, 3)(0, 3)，凹区间为( 3,0)( 3,)， 3 3   拐点为( 3, 3e 2)，(0,0)，( 3, 3e 2) x2 x2 x2 x2 x2 xdx  xdx    【解析】（1） y(x)e (e 2 e dxC)e 2 (e 2 e2 dxC)e 2 (xC)， x2  因为y(0)0，得C 0，所以y xe 2 ； x2 x2 x2    （2）由（1）有ye 2 xe 2 (x)(1x2)e 2 ， x2 x2 x2    y2xe 2 (1x2)e 2 (x)(x33x)e 2 ，令y0得x0, 3， 当x 3或0 x 3时，y0 当 3  x0或x 3时，y0 所以凸区间为(, 3)(0, 3)，凹区间为( 3,0)( 3,)， 3 3   又y( 3) 3e 2，y( 3) 3e 2，y(0)0， 3 3   所以拐点为( 3, 3e 2)，(0,0)，( 3, 3e 2). 3x6 16.求不定积分 dx (x1)2(x2x1) 3x6 2 3 2x1 【解析】由于    (x1)2(x2x1) x1 (x1)2 x2x1  2 3 2x1  1 1 2x1 故原积分可化为：    dx2 dx3 dx dx  x1 (x1)2 x2x1 x1 (x1)2 x2x1 3 1 2ln x1  d(x2x1) x1 x2x1 3 2ln x1 ln(x2x1)C x1 1 x2 17.已知y(x)满足微分方程 yxy  e2 ，且有 y(1) e . 2 x （1）求y(x) （2）D{(x,y)1 x2,0 y y(x)}，求平面区域D 绕x轴旋转成的旋转体体积. xdx  1 x2 xdx  【解析】（1）y(x)e  e2e dxC   2 x   5 / 9x2  1  x2 e2   dxC  e2 ( x C)  2 x  x2 又因为 y(1) e ，故C 0所以 y  xe2 2 （2）V  2   xe x 2 2   dx 2 xex2 dx   2 ex2 dx2   ex2 2  (e4 e) 1   1 2 1 2 1 2   x y 18.已知平面区域D{(x,y) x  y,(x2y2)3  y4}，计算二重积分  dxdy x2 y2 D x 【解析】(x2  y2)3  y4的极坐标方程r sin2，由对称性可得：  dxdy0 x2  y2 D x y y rsin  sin2 所以  dxdy dxdy2 rdrd22d rsindr x2  y2 x2  y2 r  0 D D D 4 1     2sin5d2(1cos2)2dcos2(12cos2cos4)dcos    4 4 4 2 1  43 =(cos cos3 cos5) 2  2 3 5  120 4 19.nN*，S n 是 f(x)exsinx(0 xn)的图像与x轴所围图形的面积求S n ，并求 l n i  m  S n n  2 【解析】面积S  exsinx dx  exsinxdx exsinxdx 0 0  n1 (k1) n1 (k1) n1 1 (k1)  ex sinx dx(1)k exsinxdx(1)k[ ex(cosxsinx)] k k 2 k0 k0 k0 k 1 n1  (1)k1[e(k1)(1)k1ek(1)k] 2 k0 1 n1 1 n1 1 1e(n1)  [e(k1)ek] (1e)ek  (1e) 2 2 2 1e k0 k0 1 1e(n1) 1 1 1 e1 所以limS  (1e)lim  (1e)   n n 2 n 1e 2 1e 2 e1 2u 2u u u 20.已知函数u(x,y)满足2 2 3 3 0，求a,b的值，使得在变换 x2 y2 x y u(x,y)v(x,y)eaxby下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式. u v 【解析】  eaxby v(x,y)aeaxby x x ， 6 / 9u v  eaxby v(x,y)beaxby y y 2u 2v v  eaxby 2a eaxby v(x,y)a2eaxby x2 x2 x ， 2u 2v v  eaxby 2b eaxby v(x,y)b2eaxby y2 y2 y 2u 2u u 带入已知条件2 2 3 0 x2 y2 y 2v v  2v v  得：2  eaxby 2a eaxby v(x,y)a2eaxby  2  eaxby 2b eaxby v(x,y)b2eaxby  x2 x  y2 y  v  v  +3  eaxby v(x,y)aeaxby  +3  eaxby v(x,y)beaxby  =0 x  y  2v 2v v v 整理得：2(  )(4a3) (34b) (2a2 2b2 3a3b)v(x,y)0 x2 y2 x y 3 3 由题意可得上式不含v(x,y)的一阶偏导数，所以4a30,34b0，即：a ,b 4 4 1 21.已知函数 f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且 f(0)0， f(1)1， f(x)dx1，证明： 0 （1）存在(0,1)，使得 f()0 （2）存在(0,1)，使得 f()2 x 【解析】（1）令F(x) f(t)dt，易知F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，由拉格朗日中值定理可 0 得：存在c(0,1)使得F(1)F(0)F(c)，即 f(c)1 对 f(x)在[c,1]上使用罗尔定理可得，存在(c,1)(0,1)，使得 f()0 （2）令G(x) f(x)x2，分别在[0,c],[c,1]上应用拉格朗日中值定理可得：存在(0,c)， (c,1)使 1 2 得G(c)G(0)G()c；G(1)G(c)G()(1c) 1 2 c2 1 即：G() ；G()1c 1 c 2 在[,]上对G(x)再次使用拉格朗日中值定理可得： 1 2 G()G()G()( ) 2 1 2 1 c2 1 1c 整理可得 G()G() c c1 G() f()2 2 1   0     c( ) 2 1 2 1 2 1 7 / 9故有 f()2. 1 1  1   1   0   1              22.已知向量组（I）  1 ,  0 ,  2 ，（II）  1 ,  2 ,  3 ， 1   2   3   1   2   3    4   4   a2 3   a3   1a   a2 3              若向量组（I）和向量组（II）等价，求a的值，并将用,,线性表示. 3 1 2 3 【解析】（1）因为向量组（I）和向量组（II）等价， 所以有r(,,)r(,,)r(,,,,,) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 0 1    对其初等行变换有：(,,,,,) 1 0 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3    4 4 a2 3 a3 1a a2 3    1 1 1 1 0 1     0 1 1 0 2 2    0 0 a2 1 a1 1a a2 1    ① 若a1，有r(,,)r(,,)r(,,,,,)3， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 所以向量组（I）和向量组（II）等价 ② 若a1，有r(,,)r(,,)r(,,,,,)2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 所以向量组（I）和向量组（II）等价 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 3        （2）① 当a1，因为(,,,) 1 0 2 3  0 1 1 2  0 1 1 2 ， 1 2 3 3             4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0       所以 k(2,1,1)T (3,2,0)T ，kR，即 (32k)(k2) k,kR. 3 3 1 2 3 1 1 1 1  1 1 1 1 1 0 0 1        ② 当a1，(,,,) 1 0 2 3  0 1 1 2  0 1 0 1 1 2 3 3        4 4 a2+3 a2+3   0 0 1 1   0 0 1 1        所以   3 1 2 3 2 2 1  2 1 0     23.已知矩阵A 2 x 2 与B 0 1 0 相似.         0 0 2 0 0 y     （1）求x,y （2）求可逆矩阵P使得P1APB. 【解析】（1）由于A与B相似，根据相似性质，有： A  B ，tr(A)tr(B)； 8 / 9即：2(2x4)2y，2x221 y 解得x 3,y 2； （2）B是上三角矩阵，则B的特征值为1,2,2，又因为A和B相似，则A的特征值也为1,2,2 对矩阵A： 当  2 时，解(2EA)x 0得 (1,2,0)T ； 1 1 当1时，解(EA)x0得 (2,1,0)T ； 1 2 当 2时，解(2E A)x 0 得 (1,2,4)T ； 3 3 对矩阵B： 当2时，解(2EB)x0得 (1,0,0)T ； 1 1 当1时，解(EB)x0得  (1,3,0)T ； 1 2 当 2时，解(2EB)x0得 (0,0,1)T ； 3 3 2    令P (,,)，则P1AP  1 ； 1 1 2 3 1 1    2   2    令P (,,)，则P1AP  1 ； 2 1 2 3 2 2    2   1 1 1   P1AP  P1AP ，则PP1APP1  B；故P  P P1  2 1 2 . 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2    0 0 4    9 / 9