考研数学公式大全(线性代数)_数学一真题+解析[87-25]_考研数学公式大全

线性代数公式大全 第一章行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A 和a 的大小无关； ij ij ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：M (1)ijA A (1)ijM ij ij ij ij 4. 设n行列式D： n(n1) 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D ，则D (1) 2 D； 1 1 n(n1) 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D ，则D (1) 2 D； 2 2 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D ，则D D； 3 3 将D主副角线翻转后，所得行列式为D ，则D  D； 4 4 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； n(n1) ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 ； ③、上、下三角行列式（ ◥  ◣ ）：主对角元素的乘积； n(n1) ④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积(1) 2 ； A O A C C A O A ⑤、拉普拉斯展开式：   A B 、  (1)m(cid:0)n A B C B O B B O B C ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 52n 6. 对于n阶行列式 A ，恒有：EA n (1)kS nk ，其中S 为k 阶主子式； k k k1 7. 证明 A 0的方法： ①、 A  A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)n； ⑤、证明0是其特征值； 第二章 矩阵 1. A是n阶可逆矩阵：  A 0（是非奇异矩阵）；  r(A)n（是满秩矩阵）  A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax0有非零解；  bRn，Axb总有唯一解；  A与E等价；  A可表示成若干个初等矩阵的乘积；  A的特征值全不为0；  ATA是正定矩阵；  A的行（列）向量组是Rn的一组基；  A是Rn中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵A：AA*  A*A A E 无条件恒成立； 3. (A1)* (A*)1 (A1)T (AT)1 (A*)T (AT)* 53(AB)T BTAT (AB)* B*A* (AB)1 B1A1 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： A  1   A 若A  2 ，则：       A  s Ⅰ、 A  A A  A ； 1 2 s A1   1  A1 Ⅱ、A1   2 ；        A1  s A O 1 A1 O  ②、    ；（主对角分块） O B  O B1  O A 1  O B1 ③、    ；（副对角分块） B O A1 O  A C 1 A1 A1CB1 ④、    ；（拉普拉斯） O B  O B1  A O 1  A1 O  ⑤、    ；（拉普拉斯） C B B1CA1 B1  54第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 E O 1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F  r  ；  O O mn 等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)A(cid:0) B； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） r a) 若(A,E)(cid:0)(E,X)，则A可逆，且X  A1； c ②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)； r ③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(cid:0)(E,x)，则A可逆，且x A1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；   1    ②、  2 ，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；    i i      n  1  1  1      ③、对调两行或两列，符号E(i, j)，且E(i,j)1  E(i,j)，例如： 1  1 ；          1  1 551  1   1   1   1 ④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))1 E(i( ))，例如： k  (k 0)；   k  k     1   1   1 k 1 1 k     ⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1 E(ij(k))，如： 1  1 (k 0)；          1  1  5. 矩阵秩的基本性质： ①、0r(A )min(m,n)； mn ②、r(AT)r(A)； ③、若A(cid:0) B，则r(A)r(B)； ④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※） ⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※） ⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX 0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)r(B)n ⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n； 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； 1 a c   ②、型如 0 1 b 的矩阵：利用二项展开式；     0 0 1 n 二项展开式：(ab)n C0an C1an1b1Cmanmbm Cn1a1bn1Cnbn  Cmambnm ； n n n n n n m0 注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项； 56n(n1)(nm1) n! Ⅱ、Cm   C0 Cn 1 n 1(cid:0)2(cid:0)3(cid:0)(cid:0)m m!(nm)! n n n Ⅲ、组合的性质：Cm Cnm Cm Cm Cm1 Cr 2n rCr nCr1； n n n1 n n n n n1 r0 ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： n r(A)n  ①、伴随矩阵的秩：r(A*)1 r(A)n1；  0 r(A)n1 A A ②、伴随矩阵的特征值： (AX X,A*  A A1A*X  X)；   ③、A*  A A1、 A*  An1 8. 关于A矩阵秩的描述： ①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0； 9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则： ①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10. 线性方程组Axb的求解： ①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1  a x a x a x b  ①、  21 1 22 2 2n n 2 ；    a x a x a x b m1 1 m2 2 nm n n 57a a  a  x  b  11 12 1n 1 1      a a  a x b ②、 21 22 2n  2    2   Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）                 a a  a x  b  m1 m2 mn m m x  b  1 1     x b ③、a a  a  2 （全部按列分块，其中  2）； 1 2 n           x  b  n n ④、a x a x a x （线性表出） ⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数） 1 1 2 2 n n 第四章 向量组的线性相关性 1. m个n维列向量所组成的向量组A：,,, 构成nm矩阵A(,,, )； 1 2 m 1 2 m T  1  T m个n维行向量所组成的向量组B：T,T,,T构成mn矩阵B  2 ； 1 2 m       T  m 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关  Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出  Axb是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示  AX B是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵A 与B 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P 例14) mn ln 101 4. r(ATA)r(A)；(P 例15) 101 585. n维向量线性相关的几何意义： ①、线性相关  0； ②、,线性相关  ,坐标成比例或共线（平行）； ③、,,线性相关  ,,共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若,,, 线性相关，则,,,, 必线性相关； 1 2 s 1 2 s s1 若,,, 线性无关，则,,, 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 1 2 s 1 2 s1 若r 维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A（个数为r ）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s(二版P 定理7)； 74 向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P 定理3） 86 向量组A能由向量组B线性表示  AX B有解； r(A)r(A,B)（P 定理2） 85 向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P 定理2推论） 85 8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P,P,,P，使A PP P ； 1 2 l 1 2 l r ①、矩阵行等价：A~B PAB（左乘，P可逆） Ax0与Bx0同解 c ②、矩阵列等价：A~B AQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~ B PAQB（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵A 与B ： mn ln ①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； ②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 59③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若A B C ，则： ms sn mn ①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT 为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、ABx0 只有零解Bx0只有零解； ②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解； 12. 设向量组B :b,b ,,b 可由向量组A :a ,a ,,a 线性表示为：（P 题19结论） nr 1 2 r ns 1 2 s 110 (b,b ,,b )(a ,a ,,a )K （B AK ） 1 2 r 1 2 s 其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：r r(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r ；充分性：反证法） 注：当r s时，K为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵A ，存在Q ，AQE r(A)m、Q的列向量线性无关；（P ） mn nm m 87 ②、对矩阵A ，存在P ，PAE r(A)n、P的行向量线性无关； mn nm n 14. ,,, 线性相关 1 2 s 存在一组不全为0的数k ,k ,,k ，使得k k k 0成立；（定义） 1 2 s 1 1 2 2 s s x  1   x  (,,,)  2 0有非零解，即Ax0有非零解； 1 2 s      x  s  r(,,,)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 1 2 s 15. 设mn的矩阵A的秩为r ，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S 的秩为：r(S)nr； 16. 若*为Axb的一个解，,,, 为Ax0的一个基础解系，则*,,,, 线性无关；（P 题33结论） 1 2 nr 1 2 nr 111 60第五章 相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵 ATAE或A1  AT（定义），性质： 1 i j ①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTa  (i,j1,2,n)； i j 0 i  j ②、若A为正交矩阵，则A1  AT也为正交阵，且 A 1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a ,a ,,a ) 1 2 r b a ； 1 1 [b,a ] b a  1 2 (cid:0)b 2 2 [b,b] 1 1 1  [b,a ] [b ,a ] [b ,a ] b a  1 r (cid:0)b  2 r (cid:0)b  r1 r (cid:0)b ; r r [b,b] 1 [b ,b ] 2 [b ,b ] r1 1 1 2 2 r1 r1 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价  A经过初等变换得到B；  PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型； ②、A与B合同 CTAC B，其中可逆；  xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似  P1AP B； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C为正交矩阵，则CTAC B  A(cid:0) B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定：  A的正惯性指数为n； A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC E ；  A的所有特征值均为正数； A的各阶顺序主子式均大于0；a 0, A 0；(必要条件) ii 61