文档内容
2011 年湖南省常德市中考数学试卷
一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）|﹣2|的绝对值＝ ．
2．（3分）分解因式：x3﹣4x＝ ．
3．（3分）函数 中自变量x的取值范围是 ．
4．（3分）四边形的外角和＝ ．
5．（3分）如图所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数
的解析式为 ．
6．（3分）质量检测部门抽样检测出某品牌电器产品的次品率为5%，一位经销商现有这种产
品1000件，估计其中次品有 件．
7．（3分）如图，已知 O是△ABC的外接圆，且∠C＝70度，则∠OAB＝ ．
⊙
8．（3分）先找规律，再填数： + ﹣1＝ ， + ﹣ ＝ ， + ﹣ ＝ ， + ﹣ ＝
，则 + ﹣ ＝ ．
二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．20110＝1 B． ＝±9 C．（ ）﹣1＝3 D．24＝16
10．（3分）如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
第1页（共16页）A． B． C． D．
11．（3分）我国以2010年11月1日零时为标准计时点，进行了第六次全国人口普查，查得全
国总人口约为1370000000人，请将总人口用科学记数法表示为（ ）
A．1.37×108 B．1.37×109 C．1.37×1010 D．13.7×108
12．（3分）在平面直角坐标系中， ▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，
2），则顶点D的坐标为（ ）
A．（7，2） B．（5，4） C．（1，2） D．（2，1）
13．（3分）在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同
学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（ ）
A．李东夺冠的可能性较小
B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局
C．李东夺冠的可能性较大
D．李东肯定会赢
14．（3分）已知圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则圆锥的侧面积为（ ）厘米2．
A．48 B．48 C．120 D．60
15．（3分）小华同学利用假期时π间乘坐一大巴去看望在外π 打工的妈妈，出发时π，大巴的油箱
装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行
驶，到目的地时油箱中还剩有 箱汽油，设油箱中所剩汽油量为V升，时间为（t 分钟），则
V与t的大致图象是（ ）
A． B．
第2页（共16页）C． D．
16．（3分）设min{x，y}表示x，y两个数中的最小值，例如min{0，2}＝0，min{12，8}＝8，则关
于x的函数y＝min{2x，x+2}可以表示为（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝2x D．y＝x+2
三、解答题（共10小题，满分72分）
17．（5分）计算：17﹣23÷（﹣2）×3．
18．（5分）解不等式组 ．
19．（6分）先化简，再求值，（ + ）÷ ，其中x＝2．
20．（6分）在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相
同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5．
（1）求口袋中红球的个数；
（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放
回，再找出一个画树状图的方法求甲摸的两个球且得2分的概率．
21．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC．
22．（7分）随着“十一五”期间中央系列强农惠农政策的出台，农民的收入和生活质量及消
费走势发生了巨大的变化，农民的生活消费结构趋于理性化，并呈现出多层次的消费结构，
为了解我市农民消费结构状况，随机调查了部分农民，并根据调查数据，将2008年和
2010年我是农民生活消费支出情况绘成了如下的统计图表：
第3页（共16页）请解答如下问题：
（1）2008年的生活消费，支出总额是多少？支出费用中支出最多的项目是哪一项？
（2）2010年我市农民生活消费支出构成表中a、b、c的值分别是多少？
（3）2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是多少？
23．（8分）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每
千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出
租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3
千米后，每千米的车费是多少元？
24．（8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃．（如图所
示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处观察羊羊们时，发现懒洋洋在大树底下睡懒觉，此
时，测得懒洋洋所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°．
已知AC＝40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒种后能抓到懒羊羊？
（结果精确到个位）．
25．（10分）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O ，O ，P是AB的中点，
1 2
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，在 ， 上分别取点E、F，使∠AO E＝
1
∠BO F，则有结论 △PO E≌△FO P， 四边形PO CO 是菱形，请给出结论 的证明；
2 1 2 1 2
（2）如图2，若（1）①中△ABC是任意三角形②，其他条件不变，则（1）中的两个结论②还成立吗？
第4页（共16页）若成立，请给出证明；
（ 3 ） 如 图 3 ， 若 PC 是 O 的 切 线 ， 求 证 ： AB2 ＝ BC2+3AC2 ．
1
⊙
26．（10分）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求
证：∠CFE＝∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符和条件的
点P的坐标；若没有，请说明理由．
第5页（共16页）2011 年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】根据绝对值的定义；数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值解答
即可．
【解答】解：|﹣2|＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了绝对值的定义，解答时要熟记绝对值只能为非负数，属于基础题．
2．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
3．【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据这一点就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
4．【分析】根据多边形的内角和定理和邻补角的关系即可求出四边形的外角和．
【解答】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）•180°＝360°，
而每一组内角和相邻的外角是一组邻补角，
∴四边形的外角和等于4×180°﹣360°＝360°，
故答案为360°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和多边形的外角和，比较简单．
5．【分析】根据图示知A（1，3），将其代入反比例函数的解析式y＝ （x＞0），求得k值，进而
求出反比例函数的解析式．
【解答】解：设该反比例函数的解析式是y＝ （x＞0）．
∵点A（1，3）在此曲线上，
第6页（共16页）∴3＝k，即k＝3，
∴该反比例函数的解析式为y＝ （x＞0）．
故答案为：y＝ （x＞0）．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．解题时，借用了反比例函数图象
上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
6．【分析】根据题意知检测部门抽样检测出某品牌电器产品的次品率为5%，一位经销商现有
这种产品1000件，则估计其中次品有1000×5%＝50（件）．
【解答】解：1000×5%＝50（件），
故答案为：50．
【点评】本题比较容易，考查根据实际问题进行计算．
7．【分析】根据圆周角定理（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）填空．
【解答】解：∵ O是△ABC的外接圆，
∴∠C＝ ∠AOB ⊙（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠C＝70度，
∴∠AOB＝140°．
∴∠OAB＝（180﹣140）÷2＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了圆周角定理．利用圆周角定理解答问题时，一定要注意是“同弧”或
“等弧”所对的圆周角与圆心角之间的数量关系．
8．【分析】观察这些算式我们可以得到一个规律：每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，
7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是
第几个算式，减数的分母就是几，先由第一个加数的分母是2011，求出是第几个算式，从
而得出答案．
【解答】解：通过观察得：
每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个
算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，
设要求的是第n个算式，
则：1+（n﹣1）×2＝2011，
解得：n＝1006，
第7页（共16页）故答案为： ．
【点评】此题考查的是数字的变化类问题，解题的关键是通过观察找出规律，即每个算式
第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减
数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，求解．
二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】本题涉及负整数指数幂、有理数的乘方、算术平方根、零指数幂4个考点，在计算时，
针对每个考点对各选项依次计算即可．
【解答】解：A、20110＝1，故本选项正确，不符合题意；
B、 ＝9，故本选项错误，符合题意；
C、（ ）﹣1＝3，故本选项正确，不符合题意；
D、24＝16，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、算术平方根、零指数幂的考点，此题比
较容易，易于掌握．
10．【分析】找到从左侧面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一
个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左侧面看得到的视图．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1 370 000 000用科学记数法表示为1.37×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】首先根据题意作图，然后由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，
即可求得顶点D的坐标．
【解答】解：如图：
第8页（共16页）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵ ▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），
∴顶点D的坐标为（1，2）．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
13．【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一
定不发生，依次分析可得答案．
【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，
A、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
B、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
C、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
D、李东可能会赢，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了概率的意义：反映的只是这一事件发生的可能性的大小，难度较
小．
14．【分析】根据圆锥的侧面积公式＝ lR＝ rl计算．
π
【解答】解：圆锥的侧面面积＝6× × ＝60 ．
π π
故选：D．
【点评】此题主要考查圆锥的侧面面积的计算及勾股定理的运用．解题的关键是正确的运
用公式．
15．【分析】油箱的汽油量依次是：满﹣ 箱﹣满﹣ 箱，以此来判断纵坐标，看是否合适．
【解答】解：A、从图象可知最后纵坐标为0，即油箱是空的，与题意不符，故本选项错误；
第9页（共16页）B、图象没有显示油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油的过程，与题意不符，故本选项错
误；
C、图象显示油箱的油用完以后又加满，与题意不符，故本选项错误；
D、当t为0时，大巴油箱是满的，然后匀速减少至一半，又加满，到目的地是油箱中还剩有
箱汽油，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，
理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
16．【分析】根据题意要求及函数性质，可对每个选项加以论证得出正确选项．
【解答】解：根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定2x和x+2的大小，所以不能
直接表示为，C：y＝2x，D：y＝x+2．
当x＜2时，可得：x+x＜x+2，即2x＜x+2，可表示为y＝2x．
当x≥2时，可得：x+x≥x+2，即2x≥x+2，可表示为y＝x+2．
故选：A．
【点评】此题考查的是一次函数的性质，解题的关键是根据已知和函数性质讨论得出．
三、解答题（共10小题，满分72分）
17．【分析】本题涉及有理数的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，按照有理数的混合运算
法则计算即可得出答案．
【解答】解：17﹣23÷（﹣2）×3
＝17﹣8÷（﹣2）×3
＝17﹣（﹣4）×3
＝17+12
＝29．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟记有理数的混合运算法则，比较简单．
18．【分析】根据不等式的性质求出不等式 和 的解集，根据找不等式组的解集的规律找
出不等式组的解集即可． ① ②
【解答】解：由 得：x＞2，
由 得：x＜3，①
∴②不等式组的解集是2＜x＜3．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识
第10页（共16页）点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
19．【分析】本题涉及分式的化简求值，先将括号里的分式加减，然后乘除，将x＝2代入化简
后的分式，计算即可．
【解答】解：原式＝（ ）× ＝ × ＝ ；
将x＝2代入原式＝ ＝2．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，先乘除约去公分母，再加减，解答此题的关键是
把分式化到最简，然后代值计算，属于基础题．
20．【分析】（1）首先设口袋中红球的个数为x；然后由从中任意摸出一个球，这个球是白色的
概率为0.5，根据概率公式列方程即可求得口袋中红球的个数；
（2）根据题意画树状图，根据题意可得当甲摸得的两个球都是白球或一个黄球一个红球时
得2分，然后由树状图即可求得甲摸的两个球且得2分的概率．
【解答】解：（1）设口袋中红球的个数为x，
根据题意得： ＝0.5，
解得：x＝1，
∴口袋中红球的个数是1个；
（2）画树状图得：
∵摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，
∴当甲摸得的两个球都是白球或一个黄球一个红球时得2分，
∴甲摸的两个球且得2分的概率为： ＝ ．
【点评】此题考查了树状图求概率．注意树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结
果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】（1）由平行四边形的性质得出角相等，再根据相似三角形的判定得出答案；
第11页（共16页）（2）由AB∥CD，得∠DFA＝∠FAB，再由角平分线的定义得出∠DAF＝∠FAB，从而得出
∠DAF＝∠DFA，即DA＝DF，同理得出CE＝CB，由平行四边形的性质得出DF＝EC．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EFM＝∠MAB，∠FEM＝∠MBA，
∴△MEF∽△MBA；
（2）∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DA＝DF，
同理得出CE＝CB，
∴DF＝EC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．
22．【分析】（1）将2008年各项消费相加即可求出支出总额，条形最高的即为最多的．
（2）支出总额减去其他各项即为a的值，c前面的数量除以总额即为c的值，1减去其余各
项的百分比即为b的值．
（3）设2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是x，列出一元二次方程解
答即可．
【解答】解：（1）支出总额为2370+360+1060+390+420+400＝5000，食品支出最多；
（2）a＝6050﹣605﹣2630﹣521﹣1380﹣430＝484，
c＝605÷6050＝0.1，
b＝1﹣0.43﹣0.09﹣0.23﹣0.07﹣0.1＝0.08；
（3）设2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是x，由题意得
5000×（1+x）2＝6050，
解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（舍去），
答：2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率10%．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
第12页（共16页）是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23．【分析】首先根据题意设出未知数，找出其中的相等关系： 出租车走了11千米，付了17
元； 出租车走了23千米，付了35元，列出方程组，解①出得到答案．
【解答②】解：设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得：
，
解得： ，
答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意，找出合适的等
量关系，列出方程组．
24．【分析】分别在直角三角形中表示出BD，利用锐角三角函数求得CD的长即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴ ，则BD＝ CD，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝60°，
∴ ，
即 ，
解得：CD＝20，
∴t＝ ≈ ＝7秒，
故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是选择正确的边角关系．
25．【分析】（1）可证明△APO 与△BPO 全等，则∠AO P＝∠BO P，再根据已知可得出EO
1 2 1 2 1
＝FO ，PO ＝PO ，则△PO E≌△FO P，可先证明四边形PO CO 是平行四边形，再证明
2 1 2 1 2 1 2
CO ＝CO ，即可得出四边形PO CO 是菱形；
1 2 1 2
（2）由已知得出 成立，而 只是平行四边形；
（3）直角三角形A①PC中，设AP②＝c，AC＝a，PC＝b，则c2＝a2+b2；AB2＝4c2＝4（a2+b2），过
第13页（共16页）点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．则CD＝a，BD＝2b．BC2＝a2+4b2，由此得证．
【解答】解：（1）∵P、O 、O 分别为AB、AC、BC的中点，
1 2
∴AP＝BP，AO ＝BO ，PO BC，PO AC，
1 2 1 2
∴四边形PO CO 是平行四边形，
1 2
∵AC＝BC，∴PO ＝PO ，
1 2
∴四边形PO CO 是菱形；
1 2
（2）∵P为AB中点，∴AP＝BP，
又O 为AC中点，∴O P为△ABC的中位线，
1 1
∴O P＝O B＝ BC，同理可得O P＝AO ＝ AC，
1 2 2 1
∴△AO P≌△BO P（SSS），
1 2
∴∠AO P＝∠BO P，又∠AO E＝∠BO F，
1 2 1 2
∴∠AO P+∠AO E＝∠BO P+∠BO F，即∠PO E＝∠FO P，
1 1 2 2 1 2
又∵O A＝O E＝O P，且PO ＝BO ＝FO ，
1 1 2 1 2 2
∴△PO E≌△FO P；
1 2
但四边形PO CO 不是菱形；
1 2
（3）Rt△APC中，设AP＝c，AC＝a，PC＝b，
∴c2＝a2+b2；AB2＝4c2＝4（a2+b2），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．
∴CD＝a，BD＝2b，BC2＝a2+4b2，
∴BC2+3AC2＝a2+4b2+3a2＝4（a2+b2），
∴AB2＝BC2+3AC2．
【点评】本题综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用
全等的性质解决相关问题是解决本题的关键．
第14页（共16页）26．【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物
线解析式；
（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的
解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可；
（3）存在．由∠CFE＝∠AFE＝∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根
据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝ x2﹣4x+6；
（2）证明：设直线AC的解析式y＝mx+n，
将A、C两点坐标代入，得 ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+6，
∵y＝ x2﹣4x+6＝ （x﹣4）2﹣2，
∴D（4，﹣2），E（4，4），
∵F与E关于D对称，
∴F（4，﹣8），则直线AF的解析式为y＝﹣ x+6，CF的解析式为y＝ x﹣22，
∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（ ，0），（ ，0），
第15页（共16页）∵4﹣ ＝ ﹣4，
∴两个交点关于抛物线对称轴x＝4对称，
∴∠CFE＝∠AFE；
（3）解：存在．
设P（0，d），则AP＝|6﹣d|，AF＝ ＝2 ，
FD＝﹣2﹣（﹣8）＝6，CF＝ ＝ ，
∵∠PAF＝∠CFD，
∴点P位于点A的下方，
当△AFP∽△FDC时， ＝ ，即 ＝ ，解得d＝﹣ ，
当△AFP∽△FCD时， ＝ ，即 ＝ ，解得d＝﹣2，
∴P点坐标为（0，﹣ ）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛
物线的对称性，相似三角形的知识解题．
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