文档内容
2012年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a+a＝a2 C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm
C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm
4．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2
6．（3分）不等式x﹣2＞1的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞3 C．x＜3 D．x＜﹣1
7．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
8．（3分）为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全
国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本
是（ ）
A．2000名师生对“三创”工作的知晓情况
B．从中抽取的100名师生
C．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况
D．100
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
第1页（共27页）9．（3分）分解因式：x2﹣4＝ ．
10．（3分）一元一次方程3x﹣6＝0的解是 ．
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则这个菱形的边长为 ．
12．（3分）按照《联合国海洋法公约》的规定，我国管辖的海域面积约为3000000平方千米，
3000000平方千米用科学记数法表示为 平方千米．
13．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1＝60°，则∠2＝ 度．
14．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还
需添加一个条件 （只需写一个）．
15．（3分）圆锥底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，则这个圆锥的侧面积为 cm2（结
果保留 ）．
16．（3分）π元旦晚会上，九年级（1）班43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺
卡，放进一个纸箱里充分摇匀后，小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡
的概率是 ．
三、解答题（共6小题，每小题6分，满分36分）
17．（6分）计算： ．
第2页（共27页）18．（6分）解方程组 ．
19．（6分）作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A B C ．
1 1 1
20．（6分）已知反比例函数的图象与直线y＝2x相交于A（1，a），求这个反比例函数的解析式．
21．（6分）我市启动”阳光体育“活动以后，各中小学体育活动精彩纷呈，形式多样．某校数
学兴趣小组为了解本县八年级学生最喜爱的体育运动项目，对全县八年级学生进行了跳
绳、踢毽子、球类、跳舞等运动项目最喜爱人数的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图
第3页（共27页）两个不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该县5000名八年级学生中，大约有多少名学生最喜爱球
类运动．
22．（6分）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期
来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的
坡角∠F＝30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
第4页（共27页）四、证明题（共1小题，满分8分）
23．（8分）已知：点P是 ▱ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交
DC于点F．求证：AE＝CF．
五、应用题（共1小题，满分8分）
24．（8分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100
个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式
（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪
几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
六、综合题（共2小题，每小题10分，满分20分）
第5页（共27页）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）阅读下列材料：
我们知道，一次函数y＝kx+b的图象是一条直线，而y＝kx+b经过恒等变形可化为直
第6页（共27页）线的另一种表达形式：Ax+By+C＝0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P
（m ，n）到直线l：Ax+By+C＝0的距离（d）计算公式是：d＝ ．
例：求点P（1，2）到直线y＝ x﹣ 的距离d时，先将y＝ 化为5x﹣12y﹣2
＝0，再由上述距离公式求得d＝ ＝ ．
解答下列问题：
如图2，已知直线y＝﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2﹣4x+5
上的一点M（3，2）．
（1）求点M到直线AB的距离．
（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及
△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．
第7页（共27页）2012 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a+a＝a2 C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除
法．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项法则；幂的乘方，底数不变指
数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、a+a＝2a，故本选项错误；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项正确；
D、a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性
质，理清指数的变化是解题的关键．
3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm
C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，
第8页（共27页）进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能够组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、2+3＝5，不能组成三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个
数的和是否大于第三个数．
4．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得：有3列小正方形第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第
3列有1个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时不但要具有丰富的数学知识，而且还应
有一定的生活经验．
5．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
6．（3分）不等式x﹣2＞1的解集是（ ）
第9页（共27页）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．x＜3 D．x＜﹣1
【考点】C6：解一元一次不等式．
【专题】11：计算题．
【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并即可得解．
【解答】解：x﹣2＞1，
x＞1+2，
x＞3．
故选：B．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，本题需要注意移项要改变符号．
7．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式
是解题的关键．
8．（3分）为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全
国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本
是（ ）
A．2000名师生对“三创”工作的知晓情况
B．从中抽取的100名师生
C．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况
D．100
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本确定出样
本，然后即可选择答案．
【解答】解：根据样本的定义，这项调查中的样本是：从中抽取的100名师生对“三创“工
第10页（共27页）作的知晓情况．
故选：C．
【点评】本题考查了总体、个体、样本，是概念题，需要注意，不论总体还是样本都要指明
“考察的对象”，这也是此类题目最容易出错的地方．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）分解因式：x2﹣4＝ （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】44：因式分解．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：
两项平方项，符号相反．
10．（3分）一元一次方程3x﹣6＝0的解是 x ＝ 2 ．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】11：计算题．
【分析】根据一元一次方程的解法，移项，系数化为1即可得解．
【解答】解：移项得，3x＝6，
系数化为1得，x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了移项解一元一次方程，是基础题，注意移项要变号．
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则这个菱形的边长为 5 ．
【考点】KQ：勾股定理；L8：菱形的性质．
【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，根据菱形的对角线互相平分且互相垂
直，即可得AC⊥BD，OA＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，然后在Rt△AOB中，利用勾股定理即
第11页（共27页）可求得这个菱形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝5．
即这个菱形的边长为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握菱形的对角线互相
平分且互相垂直定理的应用是解此题的关键．
12．（3分）按照《联合国海洋法公约》的规定，我国管辖的海域面积约为3000000平方千米，
3000000平方千米用科学记数法表示为 3×1 0 6 平方千米．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于3000000有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
【解答】解：3 000 000＝3×106．
故答案为：3×106．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
13．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1＝60°，则∠2＝ 12 0 度．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】11：计算题．
第12页（共27页）【分析】根据平行线的性质得∠1＝∠3＝60°，再根据邻补角的定义得∠2+∠3＝180°，则
∠2＝180°﹣60°＝120°．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
而∠1＝60°，
∴∠3＝60°，
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣60°＝120°．
故答案为120．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了邻补角的定义．
14．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还
需添加一个条件 此题答案不唯一，如∠ ADE ＝∠ C 或∠ AED ＝∠ B 或 AD ： AC ＝ AE ： AB
或 AD • AB ＝ AE • AC 等 （只需写一个）．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得可以添加∠ADE＝
∠C或∠AED＝∠B；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可
得D可以添加AD：AC＝AE：AB或AD•AB＝AE•AC，继而求得答案．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），
当AD：AC＝AE：AB或AD•AB＝AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角
第13页（共27页）对应相等的两个三角形相似），
∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B
或AD：AC＝AE：AB或AD•AB＝AE•AC等．
故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD：AC＝AE：AB或
AD•AB＝AE•AC等．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，难度不大，注意掌握有两角对应
相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
15．（3分）圆锥底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，则这个圆锥的侧面积为 2 7 cm2（结
果保留 ）． π
【考点】πMP：圆锥的计算．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的
面积公式求得扇形的面积即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为3cm，
∴圆锥的底面圆的周长＝2 •3＝6 ，
π π
∴圆锥的侧面积＝ •6 •9＝27 （cm2）．
π π
故答案为：27 ．
【点评】本题考π查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥
的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S＝ lR，（l为弧
长）．
16．（3分）元旦晚会上，九年级（1）班43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺
卡，放进一个纸箱里充分摇匀后，小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡
的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
【专题】16：压轴题．
【分析】先算出九年级（1）班贺卡的总张数，再根据有老师7人，结合概率公式即可求出答
案．
【解答】解：∵43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡，
第14页（共27页）∴新年贺卡的总数是43+7＝50（张），
又∵有7名老师，
∴小红摸到老师写的贺卡的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
三、解答题（共6小题，每小题6分，满分36分）
17．（6分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】根据a0＝1（a≠0）、负整数指数幂、tan45°＝1和乘方的定义得到原式＝2+1﹣
2×1+1，再进行乘法运算得到原式＝2+1﹣2+1，然后进行加减运算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣2×1+1
＝2+1﹣2+1
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减
运算．也考查了a0＝1（a≠0）、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
18．（6分）解方程组 ．
【考点】86：解一元一次方程；98：解二元一次方程组．
【专题】11：计算题．
【分析】 + 得到方程3x＝6，求出x的值，把x的值代入 得出一个关于y的方程，求
出方程的①解即②可． ②
【解答】解： ，
+ 得：3x＝6，
①解得②x＝2，
将x＝2代入 得：2﹣y＝1，
解得：y＝1．②
第15页（共27页）∴原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组的应用，关键是把二元一次方程
组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．
19．（6分）作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A B C ．
1 1 1
【考点】P7：作图﹣轴对称变换．
【专题】2B：探究型．
【分析】分别作A、B、C三点关于直线MN的对称点A′、B′、C′，连接A′、B′、C′即
可．
【解答】解：如图所示：
过点A作AD⊥MN，延长AD使AD＝A D；
1
①过点B作BE⊥MN，延长BE使B
1
E＝BE；
②过点C作CF⊥MN，延长CF使CF＝C
1
F；
③连接A
1
、B
1
、C
1
即可得到△ABC关于直线MN对称的△A
1
B
1
C
1
．
④
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，画一个图形的轴对称图形时，一般的方法是：
由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
①
第16页（共27页）直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，
②得到线段的另一端点，即为对称点；
连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
20．（③6分）已知反比例函数的图象与直线y＝2x相交于A（1，a），求这个反比例函数的解析式．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题．
【分析】设反比例函数的解析式为y＝ （k≠0），先把A（1，a）代入y＝2x可得a＝2，则可
确定A点坐标为（1，2），然后把A（1，2）代入y＝ 可计算出k的值，从而确定反比例函数
的解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝ （k≠0），
把A（1，a）代入y＝2x得a＝2，
则A点坐标为（1，2），
把A（1，2）代入y＝ 得k＝1×2＝2，
所以反比例函数的解析式为y＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象
的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
21．（6分）我市启动”阳光体育“活动以后，各中小学体育活动精彩纷呈，形式多样．某校数
学兴趣小组为了解本县八年级学生最喜爱的体育运动项目，对全县八年级学生进行了跳
绳、踢毽子、球类、跳舞等运动项目最喜爱人数的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图
两个不完整的统计图．
第17页（共27页）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 20 0 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该县5000名八年级学生中，大约有多少名学生最喜爱球
类运动．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据：跳绳人数÷跳绳的百分数，得出共调查的学生数；
（2）由调查的学生数﹣30﹣20﹣80﹣10，得出跳舞人数，补全条形统计图；
（3）用5000×喜爱球类的百分数，得出结论．
【解答】解：（1）共调查的学生数为30÷15%＝200，
故答案为：200；
（ 2 ） 跳 舞 人 数 为 200﹣ 30﹣ 20﹣ 80﹣ 10 ＝ 60 ， 补 全 图 形 如 图 所 示 ；
第18页（共27页）（3）估计该县5000名八年级学生中，最喜爱球类运动的学生大约有5000× ＝2000．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（6分）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期
来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的
坡角∠F＝30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】16：压轴题．
【分析】可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽
AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF
的长；根据AF＝EF﹣AE，即可得出AF的长度．
【解答】解：∵Rt△ABE中，∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．
∴AE＝BE＝20米，
Rt△BEF中，BE＝20，∠F＝30°，
∴EF＝BE÷tan30°＝20 ．
∴AF＝EF﹣AE＝20 ﹣20≈15
第19页（共27页）即AF的长约为15米．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形
有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．
四、证明题（共1小题，满分8分）
23．（8分）已知：点P是 ▱ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交
DC于点F．求证：AE＝CF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易得∠PAE＝∠PCF，由点P是 ▱ABCD的对角线
AC的中点，可得PA＝PC，又由对顶角相等，可得∠APE＝∠CPF，即可利用ASA证得
△PAE≌△PCF，即可证得AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠PAE＝∠PCF，
∵点P是 ▱ABCD的对角线AC的中点，
∴PA＝PC，
在△PAE和△PCF中，
，
∴△PAE≌△PCF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意
掌握数形结合思想的应用，注意能利用ASA证得△PAE≌△PCF是解此题的关键．
五、应用题（共1小题，满分8分）
24．（8分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100
个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式
第20页（共27页）（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪
几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排
球共100个，已知篮球每个80元，排球每个20元可列出函数式．
（2）先设出购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍和购买两种球的总费用
及单价，列出不等式组，解出x的值，即可得出答案；
（3）根据（2）得出的篮球和排球的个数，再根据它们的单价，即可求出总费用，再进行比较，
即可得出更合算的方案．
【解答】解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，
y＝20x+80（100﹣x）＝8000﹣60x；
（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100﹣x），根据题意得：
，
解得：23≤x≤25，
因为x是正整数，
所以x只能取25，24，23，
当买排球25个时，篮球的个数是75个，
当买排球24个时，篮球的个数是76个，
当买排球23个时，篮球的个数是77个，
所以有3种购买方案．
（3）根据（2）得：
当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80＝6500（元），
当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20+76×80＝6560（元），
当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23×20+77×80＝6620（元），
所以采用买排球25个，篮球75个时更合算．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂
第21页（共27页）题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
六、综合题（共2小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，
再由对称轴公式x＝﹣ 求出对称轴；
（2）如答图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，
利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而求出点M的坐标；
（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：
若BC∥AP ，确定梯形ABCP ．此时P 为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程
1 1 1
①即可求得点P 的坐标；
1
若AB∥CP ，确定梯形ABCP ．此时P 位于第四象限，先确定CP 与x轴交点N的坐标，
2 2 2 2
②然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 的坐标．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，
∴ ，解得a＝﹣ ，b＝ ，c＝3，
第22页（共27页）∴抛物线的解析式为：y＝ x2+ x+3；
其对称轴为：x＝﹣ ＝1．
（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x＝1，
可知点B、C是关于对称轴x＝1的对称点．
如答图1所示，连接AC，交对称轴x＝1于点M，连接MB，
则MA+MB＝MA+MC＝AC，根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（4，0），C（0，3），
∴ ，解得k＝﹣ ，b＝3，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣ x+3，
令x＝1，得y＝ ，
∴M点坐标为（1， ）．
（3）结论：存在．
如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
若BC∥AP ，此时梯形为ABCP ．
1 1
①由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P
1
即为所求．
抛物线解析式为：y＝ x2+ x+3，令y＝0，解得x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴P （﹣2，0）．
1
∵P A＝6，BC＝2，
1
∴P A≠BC，
1
∴四边形ABCP 为梯形；
1
若AB∥CP ，此时梯形为ABCP ．
2 2
②设CP
2
与x轴交于点N，
∵BC∥x轴，AB∥CP ，
2
∴四边形ABCN为平行四边形，
第23页（共27页）∴AN＝BC＝2，
∴N（2，0）．
设直线CN的解析式为y＝kx+b，则有：
，
解得k＝ ，b＝3，
∴直线CN的解析式为：y＝ x+3．
∵点P 既在直线CN：y＝ x+3上，
2
又在抛物线：y＝ x2+ x+3上，
∴ x+3＝ x2+ x+3，化简得：x2﹣6x＝0，
解得x ＝0（舍去），x ＝6，
1 2
∴点P 横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为﹣6，∴P （6，﹣6）．
2 2
∵ ▱ABCN，
∴AB＝CN，而CP ≠CN，
2
∴CP ≠AB，
2
∴四边形ABCP 为梯形．
2
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯
形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，﹣6）．
第24页（共27页）【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函
数）的解析式、轴对称﹣最短路线问题以及梯形的定义与应用等知识点，属于代数几何综
合题，有一定的难度．第（3）问为存在型问题，注意P点不止一个，此处为易错点．
26．（10分）阅读下列材料：
我们知道，一次函数y＝kx+b的图象是一条直线，而y＝kx+b经过恒等变形可化为直
线的另一种表达形式：Ax+By+C＝0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P
（m，n）到直线l：Ax+By+C＝0的距离（d）计算公式是：d＝ ．
例：求点P（1，2）到直线y＝ x﹣ 的距离d时，先将y＝ 化为5x﹣12y﹣2
＝0，再由上述距离公式求得d＝ ＝ ．
第25页（共27页）解答下列问题：
如图2，已知直线y＝﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2﹣4x+5
上的一点M（3，2）．
（1）求点M到直线AB的距离．
（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及
△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】FI：一次函数综合题；HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题；21：阅读型．
【分析】（1）将直线AB的解析式y＝﹣ x﹣4转化为直线的另一种表达方式4x+3y+12＝
0，由阅读材料中提供的点到直线的距离公式，即可求出M点到直线AB的距离；
（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a2﹣4a+5），然后利
用点到直线的距离公式表示出P点到直线AB的距离d，由二次函数y＝3a2﹣8a+27中根
的判别式小于0，得到此二次函数与x轴没有交点且开口向上，得到函数值恒大于0，根据
正数的绝对值等于它本身进行化简，然后根据二次函数求最值的方法求出y＝3a2﹣8a+27
的最小值，以及此时a的值，进而确定出d的最小值以及此时P的坐标，再由直线AB的解
析式，令x＝0和y＝0求出对应的y与x的值，确定出OA与OB的长，在直角三角形AOB
中，利用勾股定理求出AB的长，由底AB乘以高d的最小值除以2，即可得出△PAB面积
的最小值．
【解答】解：（1）将直线AB变为：4x+3y+12＝0，
又M（3，2），
则点M到直线AB的距离d＝ ＝6；
（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a2﹣4a+5），
∵y＝3a2﹣8a+27中，△＝64﹣12×27＝﹣260＜0，
∴y＝3a2﹣8a+27中函数值恒大于0，
∴点M到直线AB的距离d＝ ＝ ，
第26页（共27页）又函数y＝3a2﹣8a+27，当a＝ 时，y ＝ ，
min
∴d ＝ ＝ ，此时P坐标为（ ， ）；
min
又y＝﹣ x﹣4，令x＝0求出y＝﹣4，令y＝0求出x＝﹣3，
∴OA＝3，OB＝4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝ ＝5，
∴S△PAB 的最小值为 ×5× ＝ ．
【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与
图形性质，二次函数与坐标轴的交点，以及点到直线的距离公式，其中理解题中的阅读材
料，灵活运用点到直线的距离公式是解本题的关键．
第27页（共27页）
