文档内容
2013年山东省聊城市中考数学试卷
一.选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．（3分）（﹣2）3的相反数是（ ）
A．﹣6 B．8 C． D．
2．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数
法表示为（ ）
A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6
3．（3分）如图是由几个相同的小立方块组成的三视图，小立方块的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列命题中的真命题是（ ）
A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
6．（3分）下列事件：
在足球赛中，弱队战胜强队．
①抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上．
②任取两个正整数，其和大于1
③长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形．
④ 第1页（共19页）其中确定事件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，
使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长（ ）
A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1： ，则AB的长为（
）
A．12米 B．4 米 C．5 米 D．6 米
10．（3分）某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其
中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约
有（ ）
A．50人 B．64人 C．90人 D．96人
11．（3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的
面积为a，则△ACD的面积为（ ）
第2页（共19页）A．a B． C． D． a
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2经过平移得到抛物线y＝ x2﹣2x，其
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．（3分）若x ＝﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则方程的另一个根x ＝
1 2
．
14．（3分）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆
锥的底面半径为 cm．
15．（3分）某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县
区学校的D，E，F，G，H五个队，如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中个抽取一
个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是 ．
16．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到
△ACE，那么线段DE的长度为 ．
第3页（共19页）17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方
向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A（0，1），A（1，1），A（1，0），A（2，0），…那
1 2 3 4
么点A （n为自然数）的坐标为 （用n表示）．
4n+1
三、解答题（本题共八个小题，共69分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
18．（7分）计算： ．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：
AE＝CE．
20．（8分）小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，如图是他们投标成
绩的统计图．
第4页（共19页）（1）根据图中信息填写下表
平均数 中位数 众数
小亮 7
小莹 7 9
（2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．
21．（8分）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将
某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价
后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多
少元？
22．（8分）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙
DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短
墙高DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角
为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
23．（8分）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝
的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数的解析式．
第5页（共19页）24．（10分）如图，AB是 O的直径，AF是 O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C
作DA的平行线与AF⊙相交于点F，CD＝⊙ ，BE＝2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是 O的切线．
⊙
25．（12分）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出
其最小周长；如果不存在，请给予说明．
第6页（共19页）2013 年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．【分析】先根据有理数乘方的定义求出（﹣2）3，再根据只有符号不同的两数叫做互为相反
数解答．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴（﹣2）3的相反数是8．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及相反数，弄清题意是解本题的关键．
2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0025＝2.5×10﹣6；
故选：D．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【分析】根据三视图的知识，可判断该几何体有两列两行，底面有3个正方形，第二层有1
个．
【解答】解：综合三视图可看出，底面有3个小立方体，第二层应该有1个小立方体，因此
小立方体的个数应该是3+1＝4个．
故选：B．
【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和
左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
4．【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示
出来，即可得出选项．
【解答】解： ，
∵解不等式 得：x＞1，
①
第7页（共19页）解不等式 得：x≤2，
∴不等式②组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键
是能正确在数轴上表示不等式组的解集．
5．【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可．
【解答】解：A、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；
B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选
项错误；
C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；
D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握
相关定理是解题关键．
6．【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解： 在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，不是确定事件，故 错误；
抛掷1枚硬①币，硬币落地时正面朝上是随机事件，不是确定事件，故 错①误；
②任取两个正整数，其和大于1是必然事件，是确定事件，故 正确；②
③长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形是不可能事③件，是确定事件，故 正
④确． ④
综上可得只有 正确，共2个．
故选：B． ③④
【点评】本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随
机事件．
7．【分析】根据圆的周长公式分别求出半径变化前后的钢丝长度，进而得出答案．
【解答】解：设地球半径为：rcm，
则地球的周长为：2 rcm，
假设沿地球赤道绕紧π一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，
第8页（共19页）故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2 （r+16）cm，
∴钢丝大约需要加长：2 （r+16）﹣2πr≈100（cm）＝102（cm）．
故选：A． π π
【点评】此题主要考查了圆的周长公式应用以及科学记数法等知识，根据已知得出图形变
化前后的周长是解题关键．
8．【分析】根据二次函数图象的开口方向向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b＞0，然后
根据一次函数图象解答即可．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，
C选项图象符合．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况
是解题的关键．
9．【分析】根据迎水坡AB的坡比为1： ，可得 ＝1： ，即可求得AC的长度，然后根据
勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米， ＝1： ，
∴AC＝BC× ＝6 ，
∴AB＝ ＝ ＝12．
故选：A．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用
勾股定理是解答本题的关键．
10．【分析】随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体
的优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．
【解答】解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀，
∴样本优秀率为：15÷50＝30%，
第9页（共19页）又∵某校七年级共320名学生参加数学测试，
∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：320×30%＝96人．
故选：D．
【点评】本题考查了用样本估计总体，这是统计的基本思想．一般来说，用样本去估计总体
时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
11．【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的
面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．
【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝4，AD＝2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为 a，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
是中考常见题型．
12．【分析】根据抛物线解析式计算出y＝ 的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，
根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．
【解答】解：过点C作CA⊥y，
∵抛物线y＝ ＝ （x2﹣4x）＝ （x2﹣4x+4）﹣2＝ （x﹣2）2﹣2，
∴顶点坐标为C（2，﹣2），
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，
故选：B．
第10页（共19页）【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴
的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．【分析】设方程的另一根为x ，由一个根为x ＝﹣1，利用根与系数的关系求出两根之积，
2 1
列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为方程的另一根．
2 2
【解答】解：∵关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根为x ＝﹣1，设另一个为x ，
1 2
∴﹣x ＝﹣5，
2
解得：x ＝5，
2
则方程的另一根是x ＝5．
2
故答案为：5．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当
b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x ，x ，则有x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
14．【分析】首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．
【解答】解：扇形的弧长是： ＝50 cm，
π
设底面半径是rcm，则2 r＝50 ，
解得：r＝25． π π
故答案是：25．
【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决
本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与首场比赛出场
的两个队都是县区学校队的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
第11页（共19页）∵共有16种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有6种情况，
∴首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD＝3 ；然后根据旋转的性质、等边三角形
的性质推知△ADE为等边三角形，则DE＝AD．
【解答】解：如图，∵在等边△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝ABcos30°＝6× ＝3 ．
根据旋转的性质知，∠EAC＝∠DAB＝30°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠EAC+∠CAD＝60°，
∴△ADE的等边三角形，
∴DE＝AD＝3 ，
即线段DE的长度为3 ．
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全
等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
17．【分析】根据图形分别求出n＝1、2、3时对应的点A 的坐标，然后根据变化规律写出即
4n+1
可．
【解答】解：由图可知，n＝1时，4×1+1＝5，点A （2，1），
5
n＝2时，4×2+1＝9，点A （4，1），
9
n＝3时，4×3+1＝13，点A （6，1），
13
所以，点A （2n，1）．
4n+1
第12页（共19页）故答案为：（2n，1）．
【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n＝1、2、3时对应的点
A 的对应的坐标是解题的关键．
4n+1
三、解答题（本题共八个小题，共69分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等
于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝
＝ ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简
公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19．【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF＝∠D，再利用“角角
边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CE，再证明四边形
AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE＝BF，从而得证，
【解答】证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D，
在△BCF和△CDE中， ，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CE，
又∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE＝BF，
∴AE＝CE．
第13页（共19页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构
造出全等三角形与矩形是解题的关键．
20．【分析】（1）根据条形统计图找出小亮与小莹10次投中的环数，求出平均数，中位数，以
及众数即可；
（2）根据两人的平均数相同，可得出谁的中位数高，谁的成绩好．
【解答】解：（1）根据题意得：小亮的环数为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
平均数为 （9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）＝7（环），中位数为7，众数为7；
小莹的环数为：3，4，6，9，5，7，8，9，9，10，
平均数为 （3+4+6+9+5+7+8+9+9+10）＝7（环），中位数为7.5，众数为9，
填表如下：
平均数 中位数 众数
小亮 7 7 7
小莹 7 7.5 9
（2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩
比小亮好．．
【点评】此题考查了条形统计图，以及表格，弄清题意是解本题的关键．
21．【分析】先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据调价前买这两种饮料各一瓶共花
费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，列出方程组，求出解
即可．
【解答】解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：
，
解得： ．
答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元．
第14页（共19页）【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关
系，列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量
关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
22．【分析】（1）根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG＝90°﹣53°＝37°，在
△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可
以看见老鼠；
（2）根据（1）求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据 ＝sin∠ACG
＝sin37°，即可求出CG的长度．
【解答】解：（1）能看到；
由题意得，∠DFG＝90°﹣53°＝37°，
则 ＝tan∠DFG，
∵DF＝4米，
∴DG＝4×tan37°≈4×0.75＝3（米），
故能看到这只老鼠；
（2）由（1）得，AG＝AD+DG＝2.7+3＝5.7（米），
又 ＝sin∠ACG＝sin37°，
则CG＝ ≈ ＝9.5（米）．
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三
角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．
23．【分析】（1）先根据点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，得出点C的横坐标
为﹣2，再将x＝﹣2代入y＝ ，求出y＝4，即可得到点C的坐标；
（2）设一次函数的解析式y＝kx+b，将点A、点C的坐标代入，运用待定系数法即可求出一
次函数的解析式．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，
∴点A与点C的横坐标互为相反数，即点C的横坐标为﹣2，
第15页（共19页）∵点C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴y＝﹣ ＝4，
∴点C的坐标为（﹣2，4）；
（2）设一次函数的解析式y＝kx+b．
∵点A（2，0），点C（﹣2，4）在直线y＝kx+b上，
∴ ，
解得 ．
∴一次函数的解析式y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法确定函数的解析
式，这是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
24．【分析】（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC
的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD＝CD，易证得四边形FADC是平行四边
形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是 O的切线．
【解答】证明：（1）连接OC， ⊙
∵AB是 O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝D ⊙ E＝ CD＝ ×4 ＝2 ，
设OC＝x，
∵BE＝2，
∴OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝（x﹣2）2+（2 ）2，
解得：x＝4，
∴OA＝OC＝4，OE＝2，
∴AE＝6，
在Rt△AED中，AD＝ ＝4 ，
第16页（共19页）∴AD＝CD，
∵AF是 O切线，
∴AF⊥A⊙B，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形FADC是菱形；
（2）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC＝∠FCA+∠OCA，
即∠OCF＝∠OAF＝90°，
即OC⊥FC，
∵点C在 O上，
∴FC是 ⊙O的切线．
⊙
第17页（共19页）【点评】此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等
三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
25．【分析】（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x
之间的函数关系式，当y＝48时代入解析式就可以求出其值；
（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．
（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行
于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，
AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．
【解答】解：（1）由题意，得
y＝ ＝﹣ x2+10x，
当y＝48时，﹣ x2+10x＝48，
解得：x ＝12，x ＝8，
1 2
∴面积为48时，BC的长为12或8；
（2）∵y＝﹣ x2+10x，
∴y＝﹣ （x﹣10）2+50，
∴当x＝10时，y最大 ＝50；
（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：
由（2）可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，
连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′
第18页（共19页）则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，
∴A′B+A′C＝A′B′+A′C＝B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB′+AC+BC＞B′C+BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝A′B′
+A′C+BC＝B′C+BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
这时由作法可知：BB′＝20，∴B′C＝ ＝10 ，∴△ABC的周长＝10
+10，
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10 +10．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方
程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质
是关键．
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