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2013年广西南宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号（A）、（B）、（C）、
（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请考上用2B铅笔在答题卡上将选定答案标号涂黑．
1．（3分）在﹣2，1，5，0这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C．5 D．0
2．（3分）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2013年6月11日，神舟十号飞船发射成功，神舟十号飞船身高9米，重约8吨，飞行
速度约每秒7900米，将数7900用科学记数法表示，表示正确的是（ ）
A．0.79×104 B．7.9×104 C．7.9×103 D．0.79×103
4．（3分）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板
在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．三角形 B．线段 C．矩形 D．平行四边形
5．（3分）甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场只设1、2、3、4四个跑道，选手以随机
抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（3分）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
7．（3分）如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要
的铁皮面积至少是（ ）
第1页（共41页）A．1500 cm2 B．300 cm2 C．600 cm2 D．150 cm2
8．（3分）π下列各式计算正确的π是（ ） π π
A．3a3+2a2＝5a6 B．
C．a4•a2＝a8 D．（ab2）3＝ab6
9．（3分）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心
两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一
束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为
（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线x＝1对称
B．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
11．（3分）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝ ∠BOD，
⊙
则 O的半径为（ ）
⊙
第2页（共41页）A．4 B．5 C．4 D．3
12．（3分）如图，直线y＝ 与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝ 向上平移
4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点B，若OA＝3BC，则
k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）一副三角板如图所示放置，则∠AOB＝ °．
15．（3分）分解因式：x2﹣25＝ ．
16．（3分）某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占
40%，期末考试成绩占60%，小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80分、90分，
则小海这个学期的体育综合成绩是 分．
第3页（共41页）17 ． （ 3 分 ） 有 这 样 一 组 数 据 a ， a ， a ， … a ， 满 足 以 下 规 律 ：
1 2 3 n
， （n≥2且n为正整数），则a 的
2013
值为 （结果用数字表示）．
18．（3分）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内
切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 ．
三、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：20130﹣ +2cos60°+（﹣2）
20．（6分）先化简，再求值： ，其中x＝﹣2．
四、本大题共2小题，每小题8分，共16分
21．（8分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，将△A B C 放大为原来的2倍，得到△A B C ，请在第三象限
1 1 1 2 2 2
内画出△A B C ，并求出 的值．
2 2 2
22．（8分）2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”
为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下
两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：
第4页（共41页）（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？
（2）请把折线统计图（图1）补充完整；
（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
五、（本大题满分8分）
23．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．
六、（本大题满分10分）
24．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地
到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x
（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、
乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．
第5页（共41页）七、（本大题满分10分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB是 O的直径， O交BC于点D，
DE⊥AC于点E，BE交 O于点F，连接AF，AF的延长⊙线交DE于点⊙P．
（1）求证：DE是 O的⊙切线；
（2）求tan∠ABE的⊙值；
（3）若OA＝2，求线段AP的长．
八、（本大题满分10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交
于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足
分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO＝AM；
（3）探究：
当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时 的值；
①
试说明无论k取何值， 的值都等于同一个常数．
②
第6页（共41页）第7页（共41页）2013 年广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号（A）、（B）、（C）、
（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请考上用2B铅笔在答题卡上将选定答案标号涂黑．
1．（3分）在﹣2，1，5，0这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C．5 D．0
【考点】18：有理数大小比较．
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【分析】根据有理数大小比较的法则： 正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一
切负数进行比较即可． ① ② ③
【解答】解：在﹣2，1，5，0这四个数中，
大小顺序为：﹣2＜0＜1＜5，
所以最大的数是5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用熟练掌握有理数的大小比
较法则，属于基础题．
2．（3分）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】I2：点、线、面、体．
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【分析】根据半圆旋转一周得到的图形是球，可得答案．
【解答】解：由半圆旋转，得球，
故选：C．
【点评】本题考查了点、线、面、体，利用了图形的旋转．
3．（3分）2013年6月11日，神舟十号飞船发射成功，神舟十号飞船身高9米，重约8吨，飞行
第8页（共41页）速度约每秒7900米，将数7900用科学记数法表示，表示正确的是（ ）
A．0.79×104 B．7.9×104 C．7.9×103 D．0.79×103
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7900用科学记数法表示为：7.9×103．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板
在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．三角形 B．线段 C．矩形 D．平行四边形
【考点】U5：平行投影．
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【分析】根据平行投影的性质进行分析即可得出答案．
【解答】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了投影与视图的有关知识，是一道与实际生活密切相关的热点试题，灵
活运用平行投影的性质是解题的关键．
5．（3分）甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场只设1、2、3、4四个跑道，选手以随机
抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，直接利用概率公式求
解即可求得答案．
【解答】解：∵设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，
∴甲抽到1号跑道的概率是： ．
第9页（共41页）故选：D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
【考点】63：分式的值为零的条件．
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【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣2＝0，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2＝0，且x+1≠0，
解得：x＝2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零
且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7．（3分）如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要
的铁皮面积至少是（ ）
A．1500 cm2 B．300 cm2 C．600 cm2 D．150 cm2
【考点】πMP：圆锥的计算． π π π
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【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径
等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：烟囱帽所需要的铁皮面积＝ ×20×2 ×15＝300 （cm2）．
π π
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a3+2a2＝5a6 B．
C．a4•a2＝a8 D．（ab2）3＝ab6
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；78：二次根式的加
减法．
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第10页（共41页）【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项
进行逐一判断即可．
【解答】解：A、3a3与2a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、2 + ＝3 ，故本选项正确；
C、a4•a2＝a6，故本选项错误；
D、（ab2）3＝a3b6，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，即二次根式相加减，先把各个二次根式化成最
简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
9．（3分）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心
两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一
束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为
（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】要求出第三束气球的价格，先求出笑脸形和爱心形的气球的单价就可以求出结论．
【解答】解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得：
，
解得：2x+2y＝16．
故选：C．
【点评】本题考查了学生观察能力和识图能力，列二元一次方程组解实际问题的运用和数
学整体思想的运用，解答本题时根据单价×数量＝总价的数量关系建立方程是关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
第11页（共41页）A．图象关于直线x＝1对称
B．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行
判断．
【解答】解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，则图象关于直线x＝1对称，正
确，故本选项不符合题意；
B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；
C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x＝1，所以抛物线与
x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，正确，故
本选项不符合题意；
D、由抛物线的对称轴为x＝1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合
题意．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．
11．（3分）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝ ∠BOD，
⊙
则 O的半径为（ ）
⊙
第12页（共41页）A．4 B．5 C．4 D．3
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
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【分析】先根据∠BAC＝ ∠BOD可得出 ＝ ，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求
出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAC＝ ∠BOD，
∴ ＝ ，
∴AB⊥CD，
∵AE＝CD＝8，
∴DE＝ CD＝4，
设OD＝r，则OE＝AE﹣r＝8﹣r，
在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝4，OE＝8﹣r，
∵OD2＝DE2+OE2，即r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
12．（3分）如图，直线y＝ 与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝ 向上平移
4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点B，若OA＝3BC，则
k的值为（ ）
第13页（共41页）A．3 B．6 C． D．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD⊥x
轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x， x），由于OA＝3BC，故可得出B（x， x+4），
再根据反比例函数中k＝xy为定值求出x
【解答】解：∵将直线y＝ 向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y＝ x+4，
分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x， x），
∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF＝ OD，
∵点B在直线y＝ x+4上，
∴B（x， x+4），
∵点A、B在双曲线y＝ 上，
∴3x• x＝x•（ x+4），解得x＝1，
∴k＝3×1× ×1＝ ．
第14页（共41页）故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再
根据k＝xy的特点求出k的值即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 x ≥ 2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
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【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
14．（3分）一副三角板如图所示放置，则∠AOB＝ 10 5 °．
【考点】IK：角的计算．
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【分析】根据三角板的度数可得：∠2＝45°，∠1＝60°，再根据角的和差关系可得∠AOB＝
∠1+∠2，进而算出角度．
【解答】解：根据三角板的度数可得：∠2＝45°，∠1＝60°，
∠AOB＝∠1+∠2＝45°+60°＝105°，
故答案为：105．
第15页（共41页）【点评】此题主要考查了角的计算，关键是掌握角之间的关系．
15．（3分）分解因式：x2﹣25＝ （ x + 5 ）（ x ﹣ 5 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）．
故答案为：（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
16．（3分）某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占
40%，期末考试成绩占60%，小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80分、90分，
则小海这个学期的体育综合成绩是 8 6 分．
【考点】W2：加权平均数．
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【分析】利用加权平均数的公式直接计算．用80分，90分分别乘以它们的百分比，再求和
即可．
【解答】解：小海这学期的体育综合成绩＝（80×40%+90×60%）＝86（分）．
故答案为：86．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80、90这两个数的平均
数，对平均数的理解不正确．
17 ． （ 3 分 ） 有 这 样 一 组 数 据 a ， a ， a ， … a ， 满 足 以 下 规 律 ：
1 2 3 n
， （n≥2且n为正整数），则a 的
2013
值为 ﹣ 1 （结果用数字表示）．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
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【分析】求出前几个数便不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用过2013除以3，根
据商和余数的情况确定答案即可．
【解答】解：a ＝ ，
1
第16页（共41页）a ＝ ＝2，
2
a ＝ ＝﹣1，
3
a ＝ ＝ ，
4
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵2013÷3＝671，
∴a 为第671循环组的最后一个数，与a 相同，为﹣1．
2013 3
故答案为：﹣1．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，根据计算得到每三个数为一个循环组依次循环是
解题的关键．
18．（3分）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内
切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 ﹣ ．
π
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
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【分析】连接OB，以及 O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求
得 O的半径，然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的
圆⊙心也是等边△BEF的⊙重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等
边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OB、OD；
设小圆的圆心为P， P与 O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC
于F， ⊙ ⊙
则∠BEF＝∠BFE＝90°﹣30°＝60°，所以△BEF是等边三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD＝30°，
第17页（共41页）则OD＝BD•tan30°＝1× ＝ ，OB＝2OD＝ ，BG＝OB﹣OG＝ ；
由于 P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，
⊙
故PG＝ BG＝ ；
∴S ＝ ×（ ）2＝ ，S ＝ ×（ ）2＝ ；
o P
⊙ ⊙
π π π π
∴S阴影 ＝S△ABC ﹣S
O
﹣3S
P
＝ ﹣ ﹣ ＝ ﹣ ．
⊙ ⊙
π π π
故答案为： ﹣ ．
π
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，
难度适中．
三、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：20130﹣ +2cos60°+（﹣2）
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】分别进行零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值合并即可得
出答案．
【解答】解：原式＝1﹣3 +2× ﹣2＝﹣3 ．
【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，关键是掌握零指数幂的运算法则及一些特
殊角的三角函数值．
20．（6分）先化简，再求值： ，其中x＝﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先算括号里面的，再把除式的分母分解因式，并把除法转化为乘法，然后进行约分，
最后把x的值代入进行计算即可得解．
第18页（共41页）【解答】解：（ + ）÷
＝ ÷
＝ •
＝x﹣1，
当x＝﹣2时，原式＝﹣2﹣1＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为
乘法运算．
四、本大题共2小题，每小题8分，共16分
21．（8分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，将△A B C 放大为原来的2倍，得到△A B C ，请在第三象限
1 1 1 2 2 2
内画出△A B C ，并求出 的值．
2 2 2
【考点】P7：作图﹣轴对称变换；SD：作图﹣位似变换．
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【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A 、B 、C 的位置，然后顺次
1 1 1
连接即可；
（2）连接A O并延长至A ，使A O＝2A O，连接B O并延长至B ，使B O＝2B O，连接
1 2 2 1 1 2 2 1
C O并延长至C ，使C O＝2C O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相
1 2 2 1
似比的平方解答．
【解答】解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
第19页（共41页）（2）△A B C 如图所示，
2 2 2
∵△A B C 放大为原来的2倍得到△A B C ，
1 1 1 2 2 2
∴△A B C ∽△A B C ，且相似比为 ，
1 1 1 2 2 2
∴S△A1B1C1 ：S△A2B2C2 ＝（ ）2＝ ．
【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找
出对应点的位置是解题的关键，还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．
22．（8分）2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”
为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下
两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？
（2）请把折线统计图（图1）补充完整；
（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VD：折线统计图．
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第20页（共41页）【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；
（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解；
（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．
【解答】解：（1）90÷30%＝300（名），
故，一共调查了300名学生；
（2）艺术的人数：300×20%＝60名，
其它的人数：300×10%＝30名；
补全折线图如图；
（3）体育部分所对应的圆心角的度数为： ×360°＝48°；
（4）1800× ＝480（名）．
答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．
【点评】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的
变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度
数与360°的比．
五、（本大题满分8分）
23．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．
第21页（共41页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．
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【分析】（1）首先根据菱形的性质，得到AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，结合点E、F分别
是边BC、AD的中点，即可证明出△ABE≌△CDF；
（2）首先证明出△ABC是等边三角形，结合题干条件在Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，即
可求出AE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，
∵点E、F分别是边BC、AD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，
sin60°＝ ＝ ，
解得AE＝2 ．
【点评】本题主要考查菱形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全
等三角形的证明以及等边三角形的性质，此题难度不大，是一道比较好的中考试题．
六、（本大题满分10分）
24．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地
第22页（共41页）到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x
（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、
乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）x＝0时甲的y值即为A、B两地的距离；
（2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程
即可得到点M的坐标以及实际意义；
（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值，再求出最后两人都到达B地前两人相距3千
米的时间，然后写出两个取值范围即可．
【解答】解：（1）x＝0时，甲距离B地30千米，
所以，A、B两地的距离为30千米；
（2）由图可知，甲的速度：30÷2＝15千米/时，
乙的速度：30÷1＝30千米/时，
30÷（15+30）＝ ，
×30＝20千米，
所以，点M的坐标为（ ，20），表示 小时后两车相遇，此时距离B地20千米；
（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，
若是相遇前，则15x+30x＝30﹣3，
①
第23页（共41页）解得x＝ ，
若是相遇后，则15x+30x＝30+3，
②
解得x＝ ，
若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）＝3，
③
解得x＝ ，
所以，当 ≤x≤ 或 ≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点
在于（3）要分情况讨论．
七、（本大题满分10分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB是 O的直径， O交BC于点D，
DE⊥AC于点E，BE交 O于点F，连接AF，AF的延长⊙线交DE于点⊙P．
（1）求证：DE是 O的⊙切线；
（2）求tan∠ABE的⊙值；
（3）若OA＝2，求线段AP的长．
【考点】M5：圆周角定理；MD：切线的判定；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）连接AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，由AB＝AC，根据等腰三角形
的直线得DC＝DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到
OD⊥DE，
这样根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值；
（3）由AB是 O的直径得∠AFB＝90°，再根据等角的余角相等得∠EAP＝∠ABF，则
⊙
第24页（共41页）tan∠EAP＝tan∠ABE＝ ，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股
定理可计算出AP．
【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，即DC＝DB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是 O的切线；
⊙
（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四边形OAED为矩形，
而OD＝OA，
∴四边形OAED为正方形，
∴AE＝AO，
∴tan∠ABE＝ ＝ ；
（3）解：∵AB是 O的直径，
∴∠AFB＝90°， ⊙
∴∠ABF+∠FAB＝90°，
而∠EAP+∠FAB＝90°，
∴∠EAP＝∠ABF，
∴tan∠EAP＝tan∠ABE＝ ，
在Rt△EAP中，AE＝2，
∵tan∠EAP＝ ＝ ，
第25页（共41页）∴EP＝1，
∴AP＝ ＝ ．
【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也
考查了圆周角定理和解直角三角形．
八、（本大题满分10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交
于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足
分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO＝AM；
（3）探究：
当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时 的值；
①
试说明无论k取何值， 的值都等于同一个常数．
②
【考点】HF：二次函数综合题．
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第26页（共41页）【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；
（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；
（3） k＝0时，求出AM、BN的长，然后代入 + 计算即可得解；
①
设点A（x ， x 2﹣1），B（x ， x 2﹣1），然后表示出 + ，再联立抛物线与直线解析
1 1 2 2
②
式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x +x ，x • ，并
1 2 1 2
求出x 2+x 2，x 2•x 2，然后代入进行计算即可得解．
1 2 1 2
【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为y＝ x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m， m2﹣1），
则AO＝ ＝ m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，
∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM＝ m2﹣1﹣（﹣2）＝ m2+1，
∴AO＝AM；
（3）解： k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM＝BN①＝0﹣（﹣2）＝2，
∴ + ＝ + ＝1；
k取任何值时，设点A（x ， x 2﹣1），B（x ， x 2﹣1），
1 1 2 2
② 第27页（共41页）则 + ＝ + ＝ ＝ ，
联立 ，
消掉y得，x2﹣4kx﹣4＝0，
由根与系数的关系得，x +x ＝4k，x •x ＝﹣4，
1 2 1 2
所以，x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x •x ＝16k2+8，
1 2 1 2 1 2
x 2•x 2＝16，
1 2
∴ + ＝ ＝ ＝1，
∴无论k取何值， + 的值都等于同一个常数1．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理
以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，
然后用含有k的式子表示出 + 是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真
仔细．
第28页（共41页）考点卡片
1．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示
的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，
利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
正数都大于0；
①负数都小于0；
②正数大于一切负数；
③两个负数，绝对值大的其值反而小．
④【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大
的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n
是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整
数．】
（2）规律方法总结：
科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位
①数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用
②此法表示，只是前面多一个负号．
3．实数的运算
第29页（共41页）（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方
运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，
最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、
特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到
右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系
①数的代数项；字母和字母指数；
明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会
②减少，达到化简多项式的目的；
“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母
③和字母的指数不变．
5．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要
求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间
的关系，设出其他未知数，然后列方程．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
第30页（共41页）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意： 底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x
﹣y）2与（x﹣y）3等； a可以是单项式，①也可以是多项式； 按照运算性质，只有相乘时才
是底数不变，指数相加②． ③
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运
用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形
为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意： 幂的乘方的底数指的是幂的底数； 性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方
的指数相①乘，这里注意与同底数幂的乘法中“②指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意： 因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； 运用时数字因数的乘方应根据乘
方的意①义，计算出最后的结果． ②
8．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号
①相反．
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）
②的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
9．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
第31页（共41页）在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注
意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必
要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择
合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都
有意义，且除数不能为0．
11．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
12．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能
利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方
数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
13．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次
根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
①把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
②合并被开方数相同的二次根式．
③ 第32页（共41页）（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的
因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
14．二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎
样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
15．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题： 建立函数模型的方法； 分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函①数解决问题的关键． ②
16．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了
学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到
了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一
定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象
第33页（共41页）上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题
的一种好方法．
17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞
①
﹣ 时，y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低
点．
当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞
②
﹣ 时，y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高
点．
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单
③
位，再向上或向下平移| |个单位得到的．
18．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系
式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即
为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键
是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，
并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直
角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取
第34页（共41页）值范围要使实际问题有意义．
19．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多
姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
20．角的计算
（1）角的和差倍分
∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和
①∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC． 若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB
②
＝3∠BOC或∠BOC＝ ∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分
秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算． 乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位． 除法：度、分、
秒分别去除，把每一次的余①数化作下一级单位进一步去除． ②
21．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角
形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助
线构造三角形．
22．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，
它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，
同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
第35页（共41页）（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有
30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，
若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，
则想法获取一个60°的角判定．
23．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝ ，b＝ 及c＝ ．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的
每一条直角边．
24．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
④（3）菱形的面积计算
利用平行四边形的面积公式．
①
菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
②
25．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
26．圆周角定理
第36页（共41页）（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件： 顶点在圆上． 角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中①，同弧或等弧所对②的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧
一定要掌握．
（4）注意： 圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的
顶点和底角①的关系进行转化． 圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转
化． 定理成立的条件是“同一②条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，
把不③同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
27．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
①切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论
②直接得出来的．
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过
③圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半
径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径
垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
28．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个
内角．
29．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线
第37页（共41页）段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆
锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
π π
（4）圆锥的全面积：S全 ＝S底+S侧 ＝ r2+ rl
π π
（5）圆锥的体积＝ ×底面积×高
注意： 圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
圆锥①的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
②30．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊
的对称点开始的，一般的方法是：
由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
①直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得
②到线段的另一端点，即为对称点；
连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
③31．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
确定位似中心； 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； 根据位似比，确定
①能代表所作的位似②图形的关键点； 顺次连接上述各点，得到放大或缩③小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易④工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个
图形放大或缩小．
（2）注意： 画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内
部或外部或①在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求． 由于位似中心选择的任
意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． ②
32．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
第38页（共41页）sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐
减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，
在解直角三角形中应用较多．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
锐角直角的关系：∠A+∠B＝90°；
①三边之间的关系：a2+b2＝c2；
②边角之间的关系：
③sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光
线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影
线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就
是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影
就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含
的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布
情况．
第39页（共41页）2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差
）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精
确．
36．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分
数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表
示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是
①各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． 按比例取适当半径画一个圆；
按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的②度数；
在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
④37．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线
段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
根据统计资料整理数据．
①先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．
② 根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
38．③加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x ，x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，w ，…，w ，则x1w1+x2w2+…
1 2 3 n 1 2 3 n
+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合
知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
39．概率公式
第40页（共41页）（1）随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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