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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】根据负数小于零，正数大于零，正数大于负数解答即可．
【解答】解：∵负数小于零，正数大于零，正数大于负数，﹣2＜0＜2＜4，
∴4最大，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较，学生要牢记正负数的概念及大小比较即可求出本
题答案．
2．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正
式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又
是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自
身重合．
3．石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米＝0.000000001米）．与此同
时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料.0.3纳米用科学记数法可
以表示为（ ）米．
A．3×10﹣8 B．0.3×10﹣9 C．3×10﹣9 D．3×10﹣10
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.3纳米＝0.3×0.000000001米＝3×10﹣10米．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．a（a﹣1）＝a2﹣1 B．√(-3) 2=3
C．√3+√2=√5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】运用单项式乘单项式、二次根式和完全平方公式的知识进行逐一计算、辨别．
【解答】解：∵a（a﹣1）＝a2﹣a，
∴选项不符合题意；
∵√(-3) 2=3，
∴选项不符合题意；
∵√3和√2不是同类二次根式不能合并，
∴选项不符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴选项不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了单项式乘单项式、二次根式和完全平方公式的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．一次函数y＝﹣2x+1的图象可由y＝﹣2x向下平移1个单位长度得到
B．甲、乙两组数据的方差分别是s甲 2＝0.4，s乙 2＝2，则乙组数据比甲组数据稳定
C．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【分析】根据确定性事件、方差、一次函数以及正方形的判定进行解答即可．
【解答】解：A、一次函数y＝﹣2x+1的图象可由y＝﹣2x向上平移1个单位长度得到，
故本选项错误；
B、甲、乙两组数据的方差分别是s甲 2＝0.4，s乙 2＝2，则甲组数据比乙组数据稳定，故
本选项错误；
C、“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件，故本选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件、一次函数、方差、正方形的判定，是中考的常见题
型，要熟练掌握．
6．如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若AB∥CD，∠ABE＝125°，
∠ADC＝50°，则∠COD＝（ ）
A．70° B．75° C．60° D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠A的度数，再根据三角形外角的性质即可
求出∠AOB的度数，最后根据对顶角的性质即可求出∠COD的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ADC＝50°，
∴∠A＝∠ADC＝50°，
∵∠ABE是△AOB的外角，∠ABE＝125°，
∴∠AOB＝∠ABE﹣∠A＝125°﹣50°＝75°，
∴∠COD＝∠AOB＝75°，故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握这些
知识点是解题的关键．
7．将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为 D，且正六边形的边AB与
正五边形的边EF在同一条直线上，则∠BDE的度数是（ ）
A．48° B．54° C．62° D．72°
【分析】利用正多边形的性质求出∠DEF，∠ABD，再根据三角形的内角和可得
∠BDE．
【解答】解：由题意得：∠DEF＝108°，∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝72°，∠DBE＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边
形，三角形内角和定理．
8．如图，菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（0，8）、（﹣6，0），则点D的坐标
是（ ）
A．（9，8） B．（10，8） C．（11，8） D．（12，8）
【分析】由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质可得AD＝AB＝10，AD∥BC，即可
得出答案．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，8）、（﹣6，0），
∴OB＝6，OA＝8，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√OA2+OB2=√82+62=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝10，AD∥BC，
∴点D坐标为（10，8），
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、坐标与图形性质等知识，掌握菱形的性质
是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD内接于 O，连接AC，OD，若OD⊥AC，∠B＝64°，则∠DAC的
度数是（ ） ⊙
A．36° B．32° C．34° D．26°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据垂径定理得到^AD=C^D，得到AD
＝CD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠B+∠ADC＝180°， ⊙
∵∠B＝64°，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
∵OD⊥AC，
∴^AD=C^D，
∴AD＝CD，
1
∴∠DAC= （180°﹣116°）＝32°，
2
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质，熟记圆内
接四边形的对角互补是解题的关键．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．有下列四个结论：①若（﹣3，y ），
1
（2，y ）分别是抛物线上的两个点，则y ＞y ；②abc＞0；③a﹣b≥x（ax+b）；
2 1 2④3b+2c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的对称性质得（﹣3，y ）的对称点为（1，y ），再根据二次函数
1 1
的增减性便可判断①；根据抛物线的对称轴得ab＞0，再根可据抛物线与y轴交点位置
得c＞0，进而便可判断②；根据抛物线的顶点坐标与二次函数的性质，便可判断③；
1
由抛物线的对称轴得a= b，再根据x＝1时，函数值的正负，便可判断④．
2
b
【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴是直线x=- =-1，
2a
∴（﹣3，y ）的对称点为（1，y ），
1 1
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，
∵（1，y ），（2，y ）分别是抛物线上的两个点，1＜2，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
故①正确；
b
∵- =- 1＜0，
2a
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故②正确；
∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，
∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；
b
∵- =- 1，
2a
1
∴a= b，
2
当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＜0，
1
∴ b+b+c＜0，
2
∴3b+2c＜0，
故④正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开
口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的
位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），
对称轴在y轴右（简称：左同右异），③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y
轴交于（0，c）．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：﹣2x2+8＝ ．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣2（x2﹣4）
＝﹣2（x+2）（x﹣2），
故答案为：﹣2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．如图，电路上有3个开关S 、S 、S 和1个小灯泡L，任意闭合电路上2个开关，小灯
1 2 3
泡发光的概率为 ．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
S S S
1 2 3
S （S ，S ） （S ，S ）
1 1 2 1 3
S （S ，S ） （S ，S ）
2 2 1 2 3
S （S ，S ） （S ，S ）
3 3 1 3 2
共有6种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：（S ，S ），（S ，S ），
1 2 1 3
（S ，S ），（S ，S ），共4种，
2 1 3 1
4 2
∴任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为 = ．
6 3
2
故答案为： ．
3
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答
本题的关键．
13．我国古代《孙子算经》中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人
共车，九人步，问人与车各几何？”意思是“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每
2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”
答：乘车人数为 人，车的数量是 辆．
【分析】利用车的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设共有x人，
x x-9
根据题意得 +2= ．
3 2
解得：x＝39，
x 39
+2 = +2=15（辆）
3 3
故答案为：39，15．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．如图，渔船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向，轮船从A处以15海里/小时的速度
沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°
方向，则灯塔C与码头B相距 海里．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据垂直定义可得：∠ADB＝∠BDC＝90°，根
据题意可得：AB＝30海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，从而利用三角形内角和定理
∠C＝45°，然后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可求出AD，BD的长，再在
Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
由题意得：
AB＝15×2＝30（海里），∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
1
在Rt△ADB中，AD＝AB•cos60°＝30× =15（海里），
2
√3
BD＝AB•sin60°＝30× =15√3（海里），
2BD 15√3
= = =
在Rt△BDC中，BC sin45° √2 15√6（海里），
2
∴灯塔C与码头B相距15√6海里，
故答案为：15√6．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内的动点，点P是BC边上
的动点，且∠EAB＝∠EBC．连结AE，BE，PD，PE，则PD+PE的最小值为 ．
【分析】先证明∠AEB＝90°，即可得点E在以AB为直径的半圆上移动，设AB的中点为
O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交
BC于P，交半圆O于E，根据对称性有：PD＝PF，则有：PE+PD＝PE+PF，则线段EF
的长即为PE+PD的长度最小值，问题随之得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠EAB＝∠EBC，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的半圆上移动，
如图，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，
则点D的对应点是F，
连接FO交BC于P，交半圆O于E，
根据对称性有：PD＝PF，
则有：PE+PD＝PE+PF，
则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，
∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝4，
∴OG＝6，OA＝OB＝OE＝2，
∴OF=√FG2+OG2=2√13，
∴EF=OF-OE=2√13-2，
故PE+PD的长度最小值为2√13-2，
故答案为：2√13-2．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助
线，得出点E的运动路线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
1
16．（6分）计算：（- ）﹣1+tan60°+|√3-2|+（ ﹣3）0．
2
π
【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值及绝对值的
性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
1
【解答】解：（- ）﹣1+tan60°+|√3-2|+（ ﹣3）0
2
π
＝﹣2+√3+2-√3+1
＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及零指数幂的运算法则，特殊角
的三角函数值及绝对值的性质是解题的关键．
17．（6分）在平行四边形 ABCD中，分别以 AD、BC为边向内作等边△ADE和等边
△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】由题意先证∠DAE＝∠BCF＝60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF．
∠DAE＝∠BCF＝60°．
∵∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF，
∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF＝BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的
关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种
性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
18．（6分）某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人
途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知
每辆60座客车的租费是45座客车租费的1.25倍，花4000元可租45座客车的辆数比租
60座客车多2辆．
（1）问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？
（2）该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？
【分析】（1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是1.25x元，根据花
4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出租用45座客车9辆的租费和租用60座客车7辆的租费，再比较即可．
【解答】解：（1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是1.25x元，
4000 4000
由题意得： - = 2，
x 1.25x
解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×400＝500，
答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元；
8 2
（2）∵400÷45＝8 ，400÷60＝6 ，
9 3
∴租用45座客车9辆，租费为9×400＝3600（元），
租用60座客车7辆，租费为7×500＝3500（元），
∵3500＜3600，
∴租用60座客车合算．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（8分）近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新．为有效提高学生防诈反诈
能力，安徽某学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、
八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，
其中A：80≤x＜85；B：85≤x＜90；C：90≤x＜95；D：95≤x≤100，得分在90分及
以上为优秀）．下面给出了部分信息．
七年级C组学生的分数：94，92，93，91．
八年级C组学生的分数：91，92，93，93，93，95，95，95，95，95．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表．
年级 平均数 中位数 众数
七 91 a 95
八 91 93 b
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级的学生对比“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）该校现有七年级学生900名，八年级学生800名，请估计这两个年级竞赛成绩为
优秀的学生总人数．
【分析】（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，可得；
（2）可以对比中位数即可得到结论；
（3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得．
1+20 21
【解答】解：（1）∵ = ，
2 2
∴中位数是第10位、第11位的平均数，
91+92
观察条形统计图可得，中位数在C组，a= =91.5（分），
2
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，b＝95；
故答案为：91.5，95；
（2）∵93＞91.5，
∴八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好；
11
（3）七年级优秀人数＝900× =495（人），
20
八年级优秀人数＝800×70%＝560（人），
495+560＝1055（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为1055人．
【点评】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，关键是正确计算．
k
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax+b的图象与反比例函数y =
1 2 x
的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）过点B作BE⊥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AC＝2CD，求
点C的坐标．【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，由点A
的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点A的坐标，根
据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）由点A，B的纵坐标可得出AD的长度及点D的坐标，根据勾股定理即可得到结论．
k
【解答】解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y = 的图象上，
2 x
k
∴-1= ，
-2
解得k＝2，
2
∴这个反比例函数的解析式为y = ，
2 x
2
∵点A（1，m）在反比例函数y = 的图象上，
2 x
2
所以点A（1，m）的坐标满足y = ，
2 x
2
即m= ，
1
解得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
∵一次函数y ＝ax+b经过点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1），
1
{ k+b=2
∴ ，
-2k+b=-1
{k=1
解得 ，
b=1
∴这个一次函数的解析式为y ＝x+1；
1
（2）∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，∴D点坐标为（﹣2，2），
∴AD＝x ﹣x ＝1﹣（﹣2）＝3，
A D
设CD＝x，则AC＝2CD＝2x，
根据勾股定理：AD2+CD2＝AC2，
即32+x2＝（2x）2，
解得x =√3，x =-√3 （舍去），
1 2
∴CD=√3
∴点C的坐标为 (-2，2-√3) 或 (-2，2+√3)．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系
数法求一次函数解析式、函数图象以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）根
据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）在Rt△ADC中，根据勾股定
理列方程得到结论．
21．（8分）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，AD⊥CD，AD交 O于点E，且
C为弧BE的中点，连接⊙AC． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）F为 O上一⊙点，连接AF，若AF∥CD，AC＝10，AF＝12，求 O的半径．
⊙ ⊙
【分析】（1）如图，连OC，由C为弧BE的中点，得到BC＝CE，根据等腰三角形的
性质得到∠EAC＝∠CAB，∠CAB＝∠ACO，得到∠EAC＝∠ACO，根据平行线的性质
得到∠OCD+∠D＝180°，求得OC⊥CD，根据切线的判定定理得到CD为 O的切线；
（2）如图，延长CO交AF于G点，由（1）知∠OCD＝90°，根据平行线⊙的性质得到
∠CGF＝∠OCD＝90°根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连OC，
∵C为弧BE的中点，
∴BC＝CE，∴∠EAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为 O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：⊙如图，延长CO交AF于G点，由（1）知∠OCD＝90°，
∵AF∥CD，
∴∠CGF＝∠OCD＝90°
1
∴OG⊥AF，AG= AF=6，
2
∵AC＝10，
∴CG=√AC2-AG2=√102-62=8，
在Rt△AOG 中，根据勾股定理得：OG2+AG2＝OA2，
设半径为r，则OG＝CG﹣OC＝8﹣r，
∴（8﹣r）2+62＝r2，
25
∴r=
4
25
∴ O的半径为 ．
4
⊙【点评】此题考查了切线的性质和判定，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐
角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思
想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三
角形的性质来解决问题．
22．（10分）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）
与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该
产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）+波动总额（万元），预售总额＝每件产
品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数
据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万
元．（年毛利润＝总销售额﹣生产费用）
年销售量x（万件） ⋯ 20 40 ⋯
总销售额z（万元） … 560 1040 ⋯
（1）求y与x以及z与x之间的函数解析式；
（2）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围；
（3）受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），
在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下
调多少元．
【分析】（1）函数图象为抛物线，并且经过原点，所以可设y＝ax2（a≠0），把
（100，1000）代入该函数解析式可得a的值，即可求得y与x的函数解析式；设每件产
品的预售额为m元，根据产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）+波动总额
（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销
售量x的平方成正比，可得含有字母系数的z关于x的函数关系式，把表格中的两组数
代入可得m和n的值，即可求得z与x之间的函数解析式；
（2）根据年毛利润＝总销售额﹣生产费用，得到 w与x的关系式，取w＝1000，分别求得x的值，进而根据二次函数的解析式的性质可得年毛利润不低于1000万元，该产品
年销售量的变化范围；
（3）设每件产品的预售额下调b元．得到z关于x的函数关系式，进而得到w关于x的
函数关系式，根据二次函数的最大值为720，可得b的值．
【解答】解：（1）设y＝ax2（a≠0）．
∵经过点（100，1000），
∴a•1002＝1000．
1
解得：a= ．
10
1
∴y= x2．
10
设每件产品的预售额为m元．
∵该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）+波动总额（万元），预售总额＝每
件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，
∴z＝mx+nx2．
{ 20m+400n=560
∴ ．
40m+1600n=1040
{m=30
解得： 1 ．
n=-
10
1
∴z＝30x- x2．
10
1 1 1
（2）w＝z﹣y＝30x- x2- x2=- x2+30x．
10 10 5
1
∵- ＜0，
5
∴二次函数的开口向下．
取w＝1000．
1
∴1000=- x2+30x．
5
x2﹣150x+5000＝0．
（x﹣50）（x﹣100）＝0．
∴x ＝50，x ＝100．
1 2∵年毛利润不低于1000万元，
∴该产品年销售量x的变化范围为：50≤x≤100；
（3）设每件产品的预售额下调b元．
1
∴z＝（30﹣b）x- x2．
10
1 1 1
∴w＝z﹣y＝（30﹣b）x- x2- x2=- x2+（30﹣b）x．
10 10 5
1
∵- ＜0，
5
∴二次函数的开口向下，二次函数有最大值．
∵最高毛利润为720万元，
-(30-b) 2
=
∴ 1 720．
4×(- )
5
（30﹣b）2＝576．
∴30﹣b＝24或30﹣b＝﹣24．
解得：b＝6或b＝54＞30（不合题意，舍去）．
答：每件产品的预售额下调6元．
【点评】本题考查二次函数的应用．理解题意，得到z与x之间的函数关系是解决本题
的关键．用到的知识点为：二次函数二次项的系数小于0，二次函数的开口向下，二次
4ac-b2
函数有最大值 ．
4a
23．（11分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重
合），过点P作PM⊥AB交AG于点M，得到△APM．
（1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为
；
（2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则
在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋
转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长．1
【分析】（1）当 n＝1 时，AB＝BC，可得 AP＝BP= AB，由 PM∥BC，得出
2
AP AB √2 √2 √2
△APM∽△ABC，可得 = = ，推出CM＝AC﹣AM=√2AB- AB= AB，
AM AC 2 2 2
即可得出答案；
CM AC √5
（2）通过证明△ABP∽△ACM，可得 = = ，即可求解；
BP AB 2
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）当n＝1时，AB＝BC，
∵∠ABC＝90°，
AB √2
∴ = ，
AC 2
∵P为AB的中点，
AP 1
∴ = ，
AB 2
1
∴AP＝BP= AB，
2
∵PM⊥AB，
∴∠APM＝90°，
∴∠APM＝∠ABC，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
AP AB √2
∴ = = ，
AM AC 2
√2
∴AC=√2AB，AM=√2AP= AB，
2
√2 √2
∴CM＝AC﹣AM=√2AB- AB= AB，
2 2√2
AB
CM 2
∴ = =√2，
BP 1
AB
2
∴CM=√2BP，
故答案为：CM=√2BP；
√5
（2）CM= BP的数量关系不变，理由如下：
2
当n＝2时，AB＝2BC，
PM BC 1
则 = = ，
AP AB 2
1 1
∴BC= AB，PM= AP，
2 2
√ 1 √5
由勾股定理可得：AC=√BC2+AB2= ( AB) 2+AB2= AB，
2 2
√ 1 √5
AM=√PM2+AP2= ( AP) 2+AP2= AP，
2 2
AM AC √5
∴ = = ，
AP AB 2
√5 √5
∴AC= AB，AM= AP，
2 2
√5 √5
∴CM＝AC﹣AM= （AB﹣AP）= BP，
2 2
由旋转得：∠CAB＝∠MAP，
即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAM，
∴△ABP∽△ACM，
CM AC √5
∴ = = ，
BP AB 2
√5
∴CM= BP；
2
（3）∵AB＝4，AP＝2，
∴BC＝2，PM＝1，
由勾股定理可得：AC＝2√5，AM=√5，
∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线，∴∠APM＝90°，PM＝1，
∠APB＝180°﹣90°＝90°，
∴BP=√AB2-AP2=√42-22=2√3，
当△APM旋转至直线AB上方时，如图，
则BM＝BP+PM＝2√3+1；
当△APM旋转至直线AB下方时，如图，
则BM＝BP﹣PM＝2√3-1；
综上所述，线段BM的长为2√3+1或2√3-1．
【点评】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋
转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的
关键．
24．（12分）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于
点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，点P在抛物线上，且∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标；
（3）如图2，直线l：y＝kx（k＜0）与抛物线交于点E，F（点E在点F的左边），与
抛物线的对称轴交于点N，直线y＝t（t＞0）交直线l于点M（点M在点E的左边），
EM EN
使 = 恒成立，求t的值．
MN NF
【分析】（1）令x＝0，可求点C坐标，令y＝0，可求A点，B点坐标；
（2）①当P点在第三象限时，过点B作BD⊥BC交PC于点D，过点D作DE⊥AB；
②当点P在第二象限时，在OA上取一点F，使得OF＝OB＝1，过点F作FG⊥FC，且
FG＝FC，过点G作GH⊥AO，连接CG，然后分别进行求解；
（3）过点E作ET⊥直线y＝t于点T，EP⊥对称轴于点P，直线y＝t交对称轴于点H，
EM MT EN EP
过点F作FG⊥对称轴于点G，则有： = ， = ，
MN MH FN FG
EM EN MT EP
又∵ = ，∴ = ，然后把点的坐标代入进行求解．
MN FN MH FG
【解答】解：（1）令x＝0，得：y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得：﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；
（2）①如图1，当P点在第三象限时，过点B作BD⊥BC交PC于点D，过点D作
DE⊥AB于点E，∵OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝45°，
∵∠PCA＝∠BCO，
∴∠BCD＝45°，
∵∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD，
∵∠EBD+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠EBD＝∠BCO，
又∵∠DEB＝∠BOC＝90°，
∴△BED≌△COB（ASA），
∴DE＝BO＝1，BE＝OC＝3，
∴D（﹣2，﹣1），
设CD的解析式为：y＝kx+3，将D（﹣2，﹣1）代入，得：
k＝2，
∴y＝2x+3，
∴2x+3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x ＝﹣4，x ＝0（舍去），
1 2
∴P点的坐标为（﹣4，﹣5）；
②如图2，当点P在第二象限时，在OA上取一点F，使得OF＝OB＝1，过点F作
FG⊥FC，且FG＝FC，过点G作GH⊥AO，连接CG，
∵FC＝FG，且FG⊥FC，
同理可证：△FGH≌△CFO（ASA），∴GH＝OF＝1，FH＝OC＝3，
∴G点的坐标为（﹣4，1），
设直线CG的解析式为y＝mx+3，将（﹣4，1）代入得：
1
m= ，
2
1
∴y= x+3，
2
1
由
x+3=-x2-2x+3得：
2
5
x =- ，x ＝0（舍去），
1 2 2
5 7
∴P点的坐标为(- ， )，
2 4
5 7
∴P点的坐标为（﹣4，﹣5）或(- ， )；
2 4
（3）过点E作ET⊥直线y＝t于点T，EP⊥对称轴于点P，直线y＝t交对称轴于点H，
过点F作FG⊥对称轴于点G，则有：
EM MT EN EP
= ， = ，
MN MH FN FG
EM EN
又∵ = ，
MN FN
MT EP
∴ = ，
MH FG
t -2
又∵M( ，t)，对称轴为x=- =- 1，
k 2×(-1)
t
x -
E k -1-x
∴ = E ，
t x -(-1)
-1- F
k
t 2t
整理得：x ⋅x - (x +x )=1+ ，
E F k E F k
由kx＝﹣x2﹣2x+3，整理得：x2+（k+2）x﹣3＝0，
∴x +x ＝﹣k﹣2，x •x ＝﹣3，
E F E F
t 2t
∴-3- (-k-2)=1+ ，
k k
解得：t＝4，∴t的值为4．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，三角形全等，一元二次方
程根与系数的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压
轴题．
