文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（山东济南卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲
中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用
科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上，连接 ，过点 作 ，交直线 于点
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．C． D．
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这
两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若点 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色
为负），如图1表示的是 的计算过程，则图2表示的过程是在计算（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点 不与点 、 重合 ， 垂
直 交 于点 ，垂足为点 ，连接 并延长交 于点 ，下面结论正确的个数是（ ）
①若 是 边上的中线，则 ；②若 平分 ，则 ；③若 ，则
；④ 的最小值为 ．
A． B． C． D．
10．直线 和抛物线 （a，b是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中，直线经过点 ．下列结论：
①抛物线 的对称轴是直线
②抛物线 与x轴一定有两个交点
③关于x的方程 有两个根 ，
④若 ，当 或 时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸
出1个球，是白球的概率为 ．则布袋里红球有 个.
13．关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．
14．如图，在半径为 ，圆心角等于 的扇形 内部作一个正方形 ，使点 在 上，点
在 上，点 在 上，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在菱形 中，边长为 ， ，E，F分别是边 上的点，且 ，
若将 沿着 折叠，使得点B恰好落在 边上的点 处， ，折痕为 ，则 的
长为 ．
16．如图，点 的坐标为 ，点 从原点 出发，以每秒 个单位的速度沿 轴向上移动，同时过点
的直线 也随之上下平移，且直线 与直线 平行，如果点 关于直线 的对称点落在坐标轴上，
如果点 的移动时间为 秒，那么 的值为三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算： ．
18．（6分）解不等式组： 在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解．
19．（6分）如图，平行四边形 中， 的平分线交 于E， 的平分线交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
20．（8分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度
，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点A距离地面高度
，遮阳棚与墙面的夹角 ．
(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面 的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角 ，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长（结
果精确到 ）．（参考数据： ）
21．（8分）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴
滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元）：
滴滴司机：4 5 9 10 4 5 5 5 4 9
美团司机：4 5 7 8 6 7 6 5 6 6
整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：
“滴滴”网约车司机收入频数分布表：
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数（个） 3 4 2 1
根据以上信息，分析数据如表：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
“滴
6 b 5 6.2
滴”
“美
a. 6 6 1.2
团”
(1)请求出a的值；
(2)b＝ ；m＝ ；圆心角n＝ °；
(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，
方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
22．（8分）如图， 是 的直径， 是 上的两点，且 ， 交 于点 ，点 在
的延长线上， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ．①求 的长；
②求 的半径．
23．（10分）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水
乙水笔
笔
每支进价（元） a
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量
不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三
种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购
进这三种水笔共多少支．
24．（10分）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是
不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，
如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角 的顶点与原点O重合，角的一边 与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数 的图象，图象与已知角的另一边 交于点P；
③以P为圆心、以 为半径作弧，交函数 的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接 ，得到 ．则 ．
思考问题：
(1)设 ， ，求直线 的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线
上；
(2)证明： ．(3)如图2，若直线 与反比例函数 交于点C，D为反比例函数 第一象限上
的一个动点，使得 ．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，
图象的顶点为M．矩形 的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐
标为 ．
(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形 沿x轴正方向平移t个单位 得到对应的矩形 ．已知边 ，
分别与函数 的图象交于点P，Q，连接 ，过点P作 于点G．
①当 时，求 的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得 的面积为1？若存在，求出此时t的值；若
不存在，请说明理由．
26．（12分）用四根一样长的木棍搭成菱形 ， 是线段 上的动点（点 不与点 和点 重
合），在射线 上取一点 ，连接 ， ，使 ．
操作探究一
(1)如图1，调整菱形 ，使 ，当点 在菱形 外时，在射线 上取一点 ，使
，连接 ，则 ，
操作探究二
(2)如图2，调整菱形 ，使 ，当点 在菱形 外时，在射线 上取一点 ，使
，连接 ，探索 与 的数量关系，并说明理由；
拓展迁移
(3)在菱形 中， ， ．若点 在直线 上，点 在射线 上，且当时，请直接写出 的长．
