文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（湖南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．有理数 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可．
【详解】有理数 的相反数是 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知， ，正确，故A符合要求；
，错误，故B不符合要求；
，错误，故C不符合要求；
，错误，故D不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法．熟练掌握积的乘方，
完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法是解题的关键．3．一元一次方程不等式组 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“ ”，“
”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分
别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解： ，
由①得， − ，
由②得， ，
故原不等式组的解集为： ．
在数轴上表示为：
故答案为：D．
4．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的；由此问题可求
解．
【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以都不是中心对称图形，而C选项可以找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以是中心对称图形；
故选C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
5．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青
团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可．
【详解】解：7358万 ，
故选：A．
6．如图， 的半径为5，弦 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，由于 于点C，所以由垂径定理可得 ，在 中，
由勾股定理即可得到答案．熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理可得： ．
故选：C．
7．如图所示几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体
的正面，左面，上面看得到的图形．
8．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，
下列说法错误的是（ ）
A．众数是90分 B．方差是10 C．平均数是91分 D．中位数是90分
【答案】B
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【详解】解：A、∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故此选项不符合题意；
B、方差是： ；故此选项符合题意；
C、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此选项不符合题意；
D、∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关
数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键．
9．如图，正方形 的对角线 交于点O，M是边 上一点，连接 ，过点O作
交 于点N，若四边形 的面积是4，则 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点O作 ，证明
，进而得到四边形 的面积等于正方形 的面积，进而求出 的长，即可得解．
【详解】解：过点O作 于点E， 于点F，
则： ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，四边形 为矩形，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴正方形 的面积等于四边形 的面积，
∴ ，
∴ （负值已舍掉）；
∴ ；
故选：C．
10．抛物线 的对称轴是直线 ，抛物线与x轴的一个交点在点 和点 之间，
其部分图象如图所示，下列结论① ；② ；③关于x的方程 有两个不相
等实数根；④当 时，y随x增大而增大；⑤ ；⑥y的最小值为 ．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了 的图象与性质，根据对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点，补全图
象是解题关键．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
即： ，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点 和点 之间，对称轴是直线 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点 和点 之间，补全图象如下：
∴当 时， ，故②正确；
由图象可知：抛物线与直线 有两个交点，
故关于x的方程 有两个不相等实数根，故③正确；
由图象可知：当 时，y随x增大而减小，故④错误；
∵图象开口向下，
∴
∵ ，
∴
结合抛物线与x轴的两个交点范围可知，抛物线与 轴负半轴相交，
∴ ，
∴ ，故⑤错误；
由图象可知：y的最大值为 ，故⑥错误；
故选：B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了多项式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．利用提公因式法和平方差
公式分解因式即可．
【详解】解：故答案为： ．
12．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意
义则被开方数大于或等于零即可得出答案．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
故 ，
解得： ．
故答案为： ．
13．圆锥的底面半径是 ，母线长 ，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
【答案】
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，
根据题意得
解得 ，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
14．如图，直线 ，将含有 角的三角形板 的直角顶点C放在直线b上，若 ，则 的
度数为 ．【答案】 /18度
【分析】如图，过B作直线a的平行线 ，则直线 ， ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：如图，过B作直线a的平行线 ，
∵直线 ，
∴直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
15．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】利用方程有两个不相等的实数根时， ，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．16．如图所示，在平行四边形 中，点 在 上，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设 ， ，
，则 ，利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学
会利用参数解决问题．
【详解】解：设 ， ， ，则 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为: ．
17．《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几
何？”译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出7钱，还差三钱．问合伙人数、
羊价各是多少？”设合伙人数为x人，羊价为y钱，可列方程组为 ．【答案】
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”中的等量关系分别列二元一次方程，
即可求解．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y元，
依据“若每人出5钱，还差45钱”得：5x+45=y，
依据“若每人出7钱，还差3钱”得：7x+3=y，
因此可列方程组为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中
容方几何？”其大意是：如图， 的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形 的
边长为 ．
【答案】 /
【分析】先设正方形的边长为x，再表示出 ， ，然后说明 ∽ ，并根据对应边成比例得
出答案.
【详解】根据题意可知 ， ．
设正方形的边长为x，则 ， .
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ∽ ，∴ ，
即 ，
解得 .
所以正方形的边长为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段
长的常用方法．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10
分，第26题12分，共66分）
19．计算：
【答案】
【分析】直接利用零指数、绝对值、立方根、特殊角的函数化简计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数、绝对值、立方根、特殊角函数值，熟练计算．
20．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【分析】原式第二项变形后约分，然后通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代
入计算即可求出值．
【详解】解：原式==
=
当 时，原式= .
【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的
乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 ，小李在山坡的坡脚 处测得广告牌底部 的仰角为 ．沿
坡面 向上走到 处测得广告牌顶部 的仰角为 ，已知山坡 的坡度 ， 米，
米．
(1)求点 距水平面 的高度 ；
(2)求广告牌 的高度．
【答案】(1) 米；
(2)广告牌 的高度约为 米．
【分析】（1）在 中，通过解直角三角形求出 、 即可；
（2）过 作 于 在 解直角三角形求出 的长，进而可求出 即 的长，在
中， ，则 ，由此可求出 的长，然后根据 即可求出广告牌
的高度．
【详解】（1）解：在 中，∴ ，
∴ 米；
（2）过 作 于 ，
如图所示：
由（1）得：
米， 米，
中， ，
∴ 米，
中， ， 米，
∴ 米，
∴
米
答：广告牌 的高度约为 米．
【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三
角形的问题是解答此类题的关键．
22．如图，在 中， ，点 为 中点，过点 分别作 的平行线，相交于点 ．(1)求证：四边形 为矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形 是平行四边形，再根据矩形的判定，证明
即可；
（2）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）证明：由题意得 ，
四边形 是平行四边形，
，点 为 中点，
，即 ，
四边形 为矩形；
（2）解：∵四边形 为矩形，
，
∵点 为 中点，
在 中， ，
解得：
在 中， ，故 的长为 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，
熟练掌握定理与性质是解题的关键．
23．为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）
班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列
表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)40，55
(2)36
(3)
【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所
占的百分数；
（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；
（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数 （人），
投中2次的人数为： （人），
扇形统计图中 ，
故答案为：40，55；（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为： ，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，
，
即恰好抽到一男一女的概率是 ．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表或画树状图法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇
形统计图间的信息进行关联，掌握列表或画树状图法求概率的原理．
24．如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上， 轴，点 的坐标为 ，将
向下方平移，得到 ，且点 的对应点 落在反比例函数 的图象上，点 的对应点
落在 轴上，连接 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)求反比例函数 的表达式；
(3)求 平移的距离及线段 扫过的面积．
【答案】(1)见解析(2)
(3)5，24
【分析】（1）利用平移的性质，可得出 ，由 轴且 在 轴上，可
得出 ，结合 ，可得出 ，由 ，可得出 ，再利用“两
组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可证出四边形 为平行四边形；
（2）连接 ，易证四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出 ，结合
，可得出 三点共线，易证四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出
的长，结合 ，可得出点 的坐标，再利用反比例函数系数 的几何意义，可求出 的值，
进而可得出反比例函数的表达式；
（3）连接 ，在 中，利用勾股定理，可求出 的长，由此可得出 平移的距离为 ，
由 ，可得出四边形 是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，
即可求出线段 扫过的面积．
【详解】（1）证明：由平移的性质，得： ，
轴，且 在 轴上，
，
．
，
，
四边形 为平行四边形；
（2）解：连接 ，如图 所示．
四边形 为平行四边形，
，又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
三点共线．
轴， 在 轴上， ，
四边形 是平行四边形，
．
点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ．
点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的表达式为 ；
（3）解：连接 ，如图 所示．
在 中， ，
，
平移的距离为
，
四边形 是平行四边形，
，线段 扫过的面积为 ．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反
比例函数系数 的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是： 由平移的性质及平行线的性
质，找出 及 ；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点 的坐标；（3）利
用勾股定理及平行四边形的性质，求出 的长及平行四边形 的面积．
25．如图，在 中， ， 是 的直径， 交 于点D，过点D的直线交 于
点E，交 的延长线于点P， 是 的切线．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求图1中阴影部分的周长；
(3)如图2，若 ，连接 ，交 于点N，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角进行解答即可；
（2）证明 是等边三角形，可得 ，再由弧 的长度 ，在 中，求
出 ， ，则阴影部分的周长为 ；
（3）连接 ， ，过 作 于 点，利用同弧所对的圆周角相等，得到
，设 ，则 ，求出 ，由得： ，证明 ，得出 ，即可求出 ．
【详解】（1）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∴弧 的长度 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的周长为： ．（3）解：连接 ， ，过 作 于 点，如图所示：
∵ ，
∴设 ，则 ， ，
由 得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，切线的性质，弧长公式，同弧所对的圆周角相等，
直径所对的圆周角为直角，三角形相似的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．
26．定义：在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点坐标为 ，那么我们把经
过点 且平行于 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】(2)经过点 和 的抛物线 与 轴交于点 ，它的极限分割线与该抛
物线另一个交点为 ，请用含 的代数式表示点 的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为 ，直线 垂直平分 ，垂足为 ，交该
抛物线的对称轴于点 ．
①当 时，求点 的坐标．
②若直线 与直线 关于极限分割线对称，是否存在使点 到直线 的距离与点 到直线 的距离
相等的 的值？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 和
(2)点 的坐标为
(3)①顶点为 或顶点为 ；②存在， 或 或
【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可．
（2）把点 代入解析式，确定 ，根据定义建立方程求解即可．
（3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．
②设 与对称轴的交点为 ，用含 的式子表示出点 的坐标，分别写出极限分割线 、直线 及直
线 的解析式，用含 的式子分别表示出点 到直线 的距离和点 到直线 的距离，根据点 到直
线 的距离与点 到直线 的距离相等，得出关于 的绝对值方程，解方程即可．
【详解】（1）∵抛物线 的对称轴为直线 ，极限分割线为 ，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为 ．
故答案为： 和 ．
（2）抛物线经过点 ，
∴∴
∴ ，
解得
∴点D的坐标为 ．
（3）①设 与对称轴交于点 ，若 ，则 ．
∵点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
∵抛物线 的顶点为 ，
∴抛物线 的顶点为 ，
∴当 时， ，故顶点为 ；
∴当 时， ，故顶点为 ；
∴顶点为 或顶点为 ．存在， 或 或 ．
如图，设 与对称轴的交点为 ．
由 知， ，抛物线 的顶点为 ，∴抛物线
的极限分割线 ： ，
直线 垂直平分 ，
∴直线 ： ，
∴点 到直线 的距离为 ；
直线 与直线 关于极限分割线 对称，
直线 ： ，
∵ ，
∴点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离与点 到直线 的距离相等，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 或 ，故 或 或 ．
【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练
掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键．
