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第20课时 等腰三角形与直角三角形
1.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到
直线AC的距离为 ( )
3 7
A. B.2 C.3 D.
2 2
2.(2024·陕西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是DC的中点,连接AE,则图中
的直角三角形共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(2024·邯郸峰峰矿区模拟)一张直径为10 cm的半圆形卡纸,过直径的两端点剪掉一个等腰三角
形,在两种裁剪方案(如图1和图2,单位:cm)中,说法正确的是 ( )
A.只有方案Ⅰ的数据合理 B.只有方案Ⅱ的数据合理
C.方案Ⅰ、Ⅱ的数据都合理 D.方案Ⅰ、Ⅱ的数据都不合理
4.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是 ( )
A.3 B.6 C.√3 D.3√3
5.(2024·泰安)如图,直线 l∥m,等边三角形 ABC 的两个顶点 B,C 分别落在直线 l,m 上,若
∠ABE=21°,则∠ACD的度数是 ( )A.45° B.39° C.29° D.21°
6.(2024·河北一模)如图,△ABC为等边三角形,△ACD为等腰直角三角形,AC=CD,则直线BC与直
线AD的夹角为 ( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
7.(2024·迁安二模)如图,在等边三角形ABC中,AB=4,BD∥AC,BD⊥CD,则BD=( )
A.1 B.2 C.√3 D.2√3
8.(2024·眉山)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,
是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四
个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为 ( )
图1 图2
A.24 B.36 C.40 D.44
9.(2024·自贡)如图,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短
成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢 ( )
A.(24-12√3)m B.(24-8√3)mC.(24-6√3)m D.(24-4√3)m
10.(2024·邯郸广平县一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,若已知点P(x,x+2),则下列同学的
说法正确的是 ( )
嘉嘉:OP的长不可能为1.
淇淇:OP的长可以为2.
嘉琪:OP的长与x的取值无关.
A.只有嘉嘉正确
B.只有淇淇正确
C.嘉嘉和淇淇两人都正确
D.三人都正确
11.(2024·贵州)如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.
若AB=5,则AD的长为 .
12.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为 °.
13.(2024·绥化)如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.则∠A= °.
1.(2024·秦皇岛青龙县模拟)如图1所示,将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧
矩形的宽相等.若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是( )
图1 图2A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·石家庄一模)对于题目:“在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,分别以A,B为圆心,以AB长为半
径的两条弧相交于点P,求∠APC的度数”.嘉嘉求解的结果是∠APC=80°,淇淇说:“嘉嘉的解答正
确但不全面,∠APC还有另一个不同的值”则下列判断正确的是 ( )
A.淇淇说得对,∠APC的另一个值是40°
B.淇淇说得不对,∠APC只能等于80°
C.嘉嘉求的结果不对,∠APC应等于85°
D.两人都不对,∠APC应有3个不同的值,
3.(2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 .
4.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),
且∠BCD=30°,则AD的长为 .
5.(2024·临夏州)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向
1
下平移,使A的对应点A'满足AA'= AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 .
3
6.(2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则
AD的长度为 .【详解答案】
基础夯实
1.C 解析:∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,
∴AF是顶角∠BAC的平分线,
∵点F到直线AB的距离为3,
∴点F到直线AC的距离为3.故选C.
2.C 解析:∵∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形,
∴图中的直角三角形共有4个.故选C.
3.A 解析:∵半圆的直径为10 cm,若直径所对的角的顶点在圆周上,则符合勾股定理,
方案Ⅰ和Ⅱ中的直径所对的角的顶点在圆的内部,
∴图中数据的平方和小于100,
∵62+62=72<100,82+82=128>100,
∴只有方案Ⅰ的数据合理.故选A.
4.A 解析:∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点,AC=6,
1
∴BD=CD=AD= AC=3,
2
∵∠BDC=60°,
∴△BCD为等边三角形,
∴BC=BD=3.故选A.
5.B 解析:如图,过点A作AF∥l,
∵直线l∥m,
∴AF∥m,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE,
∵∠ABE=21°,
∴∠BAF=21°,
∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,
∵AF∥m,
∴∠ACD=∠CAF=39°.故选B.
6.B 解析:如图,延长AD与BC交于点E,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
又∵△ACD为等腰直角三角形,AC=CD,
∴∠CAD=45°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+45°=105°,
∴∠E=180°-(∠ABC+∠BAD)=180°-(60°+105°)=15°.
即直线BC与直线AD的夹角为15°.故选B.
7.B 解析:∵三角形ABC是等边三角形,
∴AB=BC=4,∠ACB=60°,
∵BD∥AC,
∴∠DBC=∠ACB=60°,
∵BD⊥CD,
∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=30°,
1
∴BD= BC=2.故选B.
2
8.D 解析:如图,设直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,
图1 图2
∵图1中大正方形的面积是24,
∴a2+b2=c2=24,∵小正方形的面积是4,
∴(b-a)2=a2+b2-2ab=4,
∴ab=10,
1
∴图2中最大的正方形的面积为=c2+4× ab=24+2×10=44.故选D.
2
9.D 解析:∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB,
∴∠ABC=60°,AB=BC=AC=12,BD=6,
∴CD=6√3,
∵∠BED=60°,
∴DE=2√3,BE=AE=4√3,
∴减少用钢为(AB+AC+BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE=(24-4√3)(m).故选D.
10.C 解析:由点P(x,x+2),
得P在直线AB:y=x+2上,
当OP⊥AB时,OP最短=√2,
故嘉嘉说OP的长不可能为1,是正确的;
当x=0时,P(0,2),
故淇淇说OP的长可以为2,是正确的;
嘉琪说OP的长与x的取值无关,是错误的.故选C.
11.5 解析:由作图可知:AD=AB,
∵AB=5,∴AD=5.
12.100 解析:∵等腰三角形的一个底角的度数为40°,
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°,
∴等腰三角形的顶角的度数为:180°-2×40°=100°.
13.66 解析:∵OC=OE,∠C=33°,
∴∠E=∠C=33°,
∴∠DOE=∠E+∠C=66°,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠DOE=66°.
能力提升
1.C 解析:长为8的线段围成等腰三角形的腰长为a,则底边长为8-2a.
{2a>8-2a,
由题意得 解得20,
∴选项中只有3是上面不等式组的解.故选C.2.A 解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(70°+70°)=40°,
依题意分别以A,B为圆心,以AB长为半径的两条弧相交于点P,P',
连接PB,P'B,如图所示,
根据作图可知:AB=AP=BP=AC=AP'=P'B,
∴△APB,△AP'B均为等边三角形,
∴∠BAP=60°,∠BAP'=60°,
在△ACP中,AC=AP,∠CAP=∠BAP-∠BAC=20°,
1 1
∴∠APC= (180°-∠CAP)= (180°-20°)=80°,
2 2
在△AP'C中,AP'=AC,∠CAP'=∠BAP'+∠BAC=100°,
1 1
∴∠AP'C= (180°-∠CAP')= (180°-100°)=40°,
2 2
∴淇淇说得对,∠APC的另一个值是40°.故选A.
3.100° 解析:∵AC=AE,BC=BD,
∴设∠AEC=∠ACE=x°,
∠BDC=∠BCD=y°,
∴∠A=180°-2x°,∠B=180°-2y°,
∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,
∴∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°,180°-(x+y)=∠DCE,
∴∠ACB+360°-2(x+y)=180°,
∴∠ACB+2∠DCE=180°,
∵∠DCE=40°,∴∠ACB=100°.
4.6或12 解析:在Rt△ABC中,
BC
sin A= ,
AB
1
∴BC= ×8=4,
2
∴AC= =4 .
√82-42 √3当点D在点B左上方时,如图1所示,
图1
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
又∵∠BCD=30°,
∴∠BDC=60°-30°=30°,
∴BD=BC=4,
∴AD=8+4=12.
当点D在点B的右下方时,如图2所示,
图2
∵∠ABC=60°,
∠BCD=30°,
∴∠CDA=90°.
在Rt△ACD中,
AD
cos A= ,
AC
√3
∴AD= ×4√3=6.
2
综上所述,AD的长为6或12.
4√3
5. 解析:∵AB=AC,∠BAC=120°,
9
∴∠B=∠C=30°.
又∵AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC.
AD
在Rt△ABD中,sin B= ,
AB
1 1 1
∴AD= ×2=1,∴BD=√22-12=√3,AA'= AD= ,
2 3 31 2
∴A'D=1- = .
3 3
令A'B'与BD的交点为M,A'C'与CD的交点为N,如图所示,
由平移可知,∠A'MD=∠B=30°,
A'D
在Rt△A'DM中,tan∠A'MD= ,
MD
2
3 2√3
∴MD= = .
√3 3
3
∵A'M=A'N,
4√3
∴MN=2MD= ,
3
1 4√3 2 4√3
∴S = × × = .
重叠部分
2 3 3 9
6.2 解析:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD=36°,
∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72°,
∴∠BDC=∠C,∴BD=BC=2,
∵∠A=36°,∠ABD=36°,
∴∠A=∠ABD,∴AD=BD=2.
