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2014 年杭州市中考数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）3a•（﹣2a）2=（ ）
A．﹣12a3 B．﹣6a2 C．12a3 D．6a3
2．（3分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
3．（3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
4．（3分）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（ ）
A． a是无理数 B． a是方程x2﹣8=0的解
C． a是8的算术平方根 D． a满足不等式组
5．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．梯形的对角线相等 B．菱形的对角线不相等
C．矩形的对角线不能相互垂直 D．平行四边形的对角线可以互相垂直
6．（3分）函数的自变量x满足 ≤x≤2时，函数值y满足 ≤y≤1，则这个函数可以是（ ）
A． B． C． D．
y= y= y= y=
7．（3分）若（ + ）•w=1，则w=（ ）
A．a+2（a≠﹣2） B．﹣a+2（a≠2） C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠﹣2）
8．（3分）已知2001年至2012年杭州市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）
的两幅统计图．由图得出如下四个结论：①学校数量2007年～2012年比2001～2006年更稳定；②在校学生人数有两次连续下降，两
次连续增长的变化过程；③2009年的 大于1000；
④2009～2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～2012年．
其中，正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．③④
9．（3分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个
数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．10．（3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关
于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
A． 1+tan∠ADB= B． 2BC=5CF
C． ∠AEB+22°=∠DEF D． 4cos∠AGB=
二、认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）2012年末统计，杭州市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为 人．
12．（4分）已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2= ．
13．（4分）设实数x、y满足方程组 ，则x+y= ．
14．（4分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位
数是 ℃．
15．（4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，
且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．16．（4分）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线
AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH= AC，则∠ABC所对的弧长等于
（长度单位）．
三、全面答一答（本题共7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果
觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（6分）一个布袋中装有只有颜色不同的a（a＞12）个球，分别是2个白球，4个黑球，6个
红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘
制完整）．请补全该统计图并求出 的值．
18．（8分）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．
求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．
19．（8分）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x（2 4x2﹣y2）能化简为
x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．20．（10分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另
两条线段长都是单位长度的整数倍．
（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形
（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．
21．（10分）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣ x，y= x的图象分别是直线l ，
1
l ，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l ，l 中的两条相切．例如（ ，1）是其中一个圆P
2 1 2
的圆心坐标．
（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；
（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．
22．（12分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4 ，BD=4，动点P在线段BD
上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形
PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S ，未被盖住部分的
1
面积为S ，BP=x．
2
（1）用含x的代数式分别表示S ，S ；
1 2
（2）若S =S ，求x的值．
1 223．（12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下
四条：
①存在函数，其图象经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方
法．2014 年杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）3a•（﹣2a）2=（ ）
A．﹣12a3 B．﹣6a2 C．12a3 D．6a3
考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．
分析：首先利用积的乘方将括号展开，进而利用单项式乘以单项式求出即可．
解答：解：3a•（﹣2a）2=3a×4a2=12a3．
故选：C．
点评：此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算等知识，熟练掌握单项式乘以单
项式运算是解题关键．
2．（3分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
考点：圆锥的计算
专题：计算题．
分析：俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为
圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．
解答：解：∵底面半径为3，高为4，
∴圆锥母线长为5，
∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2．
故选B．
点评：由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合
的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
3．（3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
考点：解直角三角形
分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，
又∵tanB= ，
∴AC=BC•tanB=3tan50°．
故选D．
点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．4．（3分）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（ ）
A．a是无理数 B．a是方程x2﹣8=0的解
C．a是8的算术平方根 D．
a满足不等式组
考点：算术平方根；无理数；解一元二次方程-直接开平方法；解一元一次不等式组．
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分析：首先根据正方形的面积公式求得a的值，然后根据算术平方根以及方程的解的定义即
可作出判断．
解答：解：a= =2 ，则a是a是无理数，a是方程x2﹣8=0的解，是8的算术平方根都正
确；
解不等式组 ，得：3＜a＜4，而2 ＜3，故错误．
故选D．
点评：此题主要考查了算术平方根的定义，方程的解的定义，以及无理数估计大小的方法．
5．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．梯形的对角线相等 B．菱形的对角线不相等
C．矩形的对角线不能相互垂直 D．平行四边形的对角线可以互相垂直
考点：命题与定理．
专题：常规题型．
分析：根据等腰梯形的判定与性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形
的性质对C进行判断；根据平行四边形的性质对D进行判断．
解答：解：A、等腰梯形的对角线相等，所以A选项错误；
B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，所以B选项错误；
C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，所以C选项错误；
D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，所以D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论
两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．（3分）函数的自变量x满足 ≤x≤2时，函数值y满足 ≤y≤1，则这个函数可以是（ ）
A． B． C． D．
y= y= y= y=
考点：反比例函数的性质．
分析：
把x= 代入四个选项中的解析式可得y的值，再把x=2代入解析式可得y的值，然后
可得答案．
解答：
解：A、把x= 代入y= 可得y=1，把x=2代入y= 可得y= ，故此选项正确；
B、把x= 代入y= 可得y=4，把x=2代入y= 可得y=1，故此选项错误；
C、把x= 代入y= 可得y= ，把x=2代入y= 可得y= ，故此选项错误；
D、把x= 代入y= 可得y=16，把x=2代入y= 可得y=4，故此选项错误；
故选：A．点评：此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是正确理解题意，根据自变量的值求出
对应的函数值．
7．（3分）若（ + ）•w=1，则w=（ ）
A．a+2（a≠﹣2） B．﹣a+2（a≠2） C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠﹣2）
考点：分式的混合运算
专题：计算题．
分析：原式变形后，计算即可确定出W．
解答：
解：根据题意得：W= =
=﹣（a+2）=﹣a﹣2．
故选：D．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）已知2001年至2012年杭州市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）
的两幅统计图．由图得出如下四个结论：
①学校数量2007年～2012年比2001～2006年更稳定；
②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；
③2009年的 大于1000；
④2009～2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～2012年．
其中，正确的结论是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．③④
考点：折线统计图；条形统计图．
分析：①根据条形统计图可知，学校数量2001～2006年下降幅度较大，最多1354所，最少
605所，而2007年～2012年学校数量都是在400所以上，440所以下，由此判断即可；
②由折线统计图可知，在校学生人数有2001年～2003年、2006年～2009年两次连续
下降，2004年～2006年、2009年～2012年两次连续增长的变化过程，由此判断即可；
③由统计图可知，2009年的在校学生445192人，学校数量417所，再进行计算即可判
断；
④分别计算2009～2010年，2010～2011年，2011～2012年相邻两年的学校数量的增
长率和在校学生人数的增长率，再比较即可．
解答：解：①根据条形统计图可知，学校数量2001～2006年下降幅度较大，最多1354所，最
少605所，而2007年～2012年学校数量都是在400所以上，440所以下，故结论正确；
②由折线统计图可知，在校学生人数有2001年～2003年、2006年～2009年两次连续
下降，2004年～2006年、2009年～2012年两次连续增长的变化过程，故结论正确；
③由统计图可知，2009年的在校学生445192人，学校数量417所，
所以2009年的 = =1067 ＞1000，故结论正确；
④∵2009～2010年学校数量增长率为 ≈﹣2.16%，
2010～2011年学校数量增长率为 ≈0.245%，
2011～2012年学校数量增长率为 ≈1.47%，
1.47%＞0.245%＞﹣2.16%，
∴2009～2012年，相邻两年的学校数量增长最快的是2011～2012年；
∵2009～2010年在校学生人数增长率为 ≈1.96%，
2010～2011年在校学生人数增长率为 ≈2.510%，
2011～2012年在校学生人数增长率为 ≈1.574%，
2.510%＞1.96%＞1.574%，
∴2009～2012年，相邻两年的在校学生人数增长最快的是2010～2011年，
故结论错误．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选B．点评：本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折
线统计图表示的是事物的变化情况．
9．（3分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个
数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
专题：计算题．
分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两个数的和是2的倍数或3的倍数情况，即可求
出所求概率．
解答：解：列表如下：
1 2 3
4 1 （1，1） （2，1） （3，1）
（4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2）
（4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3）
（4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4）
（4，4）所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10
种，
则P= = ．
故选C
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关
于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEFD．4cos∠AGB=考点：轴对称的性质；解直角三角形．
分析：连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定
理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分
析判断利用排除法求解．
解答：解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE= = ，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE= ，
∴AD=1+ ，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ，故A选项结论正确；
CF=BF﹣BC= ﹣1，
∴2BC=2×1=2，
5CF=5（ ﹣1），
∴2BC≠5CF，故B选项结论错误；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
在Rt△ABD中，BD= = = ，
sin∠DEF= = = ，
∴∠DEF≠67°，故C选项结论错误；
由勾股定理得，OE2=（ ）2﹣（ ）2= ，
∴OE= ，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EGB+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF，
∴4cos∠AGB= = = ，故D选项结论错误．
故选A．
点评：本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判
定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．
二、认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）2012年末统计，杭州市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为 8.802×1 0 6
人．考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：880.2万=880 2000=8.802×106，
故答案为：8.802×106．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2= 139°10 ′ ．
考点：平行线的性质；度分秒的换算．
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分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解答：解：∠3=∠1=40°50′，
∵a∥b，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°50′=139°10′．
故答案为：139°10′．
点评：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，度分秒的换算，要注意度、分、秒是60
进制．
13．（4分）设实数x、y满足方程组 ，则x+y= 8 ．
考点：解二元一次方程组．
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专题：计算题．
分析：方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，即可确定出x+y的值．
解答：
解： ，
①+②得： x=6，即x=9；
①﹣②得：﹣2y=2，即y=﹣1，∴方程组的解为 ，
则x+y=9﹣1=8．
故答案为：8
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
14．（4分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位
数是 15. 6 ℃．
考点：折线统计图；中位数．
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分析：根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数
即可．
解答：解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃；
故答案为：15.6．
点评：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组
数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均
数），叫做这组数据的中位数．
15．（4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，
且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y= x 2 ﹣ x+2 或 y=﹣
x 2 + x+2 ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
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分析：根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的
坐标代入求解即可．
解答：解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，
当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，
则 ，
解得 ，所以，y= （x﹣1）2+ = x2﹣ x+2，
当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+k，
则 ，
解得 ，
所以，y=﹣ （x﹣3）2+ =﹣ x2+ x+2，
综上所述，抛物线的函数解析式为y= x2﹣ x+2或y=﹣ x2+ x+2．
故答案为：y= x2﹣ x+2或y=﹣ x2+ x+2．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于
分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．
16．（4分）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线
AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH= AC，则∠ABC所对的弧长等于 πr
或 r （长度单位）．
考点：弧长的计算；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．
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专题：分类讨论．
分析：作出图形，根据同角的余角相等求出∠H=∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似求
出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 ，再利用锐角三
角函数求出∠ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
解答：解：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠H+∠DBH=90°，
∠C+∠DBH=90°，
∴∠H=∠C，
又∵∠BDH=∠ADC=90°，
∴△ACD∽△BHD，
∴ = ，
∵BH= AC，
∴ = ，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°，
∴∠ABC所对的弧长= = πr．
如图2，∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，
∴∠ABC所对的弧长= = πr．
故答案为： πr或 r．点评：本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数
值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
三、全面答一答（本题共7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果
觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（6分）一个布袋中装有只有颜色不同的a（a＞12）个球，分别是2个白球，4个黑球，6个
红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘
制完整）．请补全该统计图并求出 的值．
考点：条形统计图；概率公式．
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分析：首先根据黑球数÷总数=摸出黑球的频率，再计算出摸出白球，黑球，红球的概率可得
答案．
解答：解：球的总数：4÷0.2=20（个），
2+4+6+b=20，
解得：b=8，
摸出白球频率：2÷20=0.1，
摸出红球的概率：6÷20=0.3，
= = =0.4．
点评：此题主要考查了概率和条形统计图，关键是掌握概率P（A）=事件A可能出现的结果
数÷所有可能出现的结果数．18．（8分）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．
求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
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分析：可证明△ABF≌△ACE，则BF=CE，再证明△BEP≌△CFP，则PB=PC，从而可得出
PE=PF，BE=CF．
解答：解：在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=BF，
在△BEP和△CFP中，
，
∴△BEP≌△CFP（AAS），
∴PB=PC，
∵BF=CE，
∴PE=PF，
∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础题，难度不大．
19．（8分）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x（2 4x2﹣y2）能化简为
x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
考点：因式分解的应用．
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专题：计算题．
分析：先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx代入得
到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即
可．
解答：解：能．
（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）
=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）
=（4x2﹣y2）2，
当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，
令（4﹣k2）2=1，解得k=± 或± ，
即当k=± 或± 时，原代数式可化简为x4．点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问
题；利用因式分解简化计算问题．
20．（10分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另
两条线段长都是单位长度的整数倍．
（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形
（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．
考点：作图—应用与设计作图．
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分析：（1）利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可；
（2）利用三角形外接圆作法，首先作出任意两边的垂直平分线，即可得出圆心位置，进
而得出其外接圆．
解答：解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；
即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示：
（2）如图所示：
当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为
2.5；
当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为 ，
∴当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π；
当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π× = π．
点评：此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识，得出符合题意的三角
形是解题关键．
21．（10分）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣ x，y= x的图象分别是直线l ，
1
l ，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l ，l 中的两条相切．例如（ ，1）是其中一个圆P
2 1 2
的圆心坐标．
（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；
（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．考点：圆的综合题；切线长定理；轴对称图形；特殊角的三角函数值．
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专题：计算题；作图题．
分析：（1）对圆P与直线l和l 都相切、圆P与直线l和l 都相切、圆P与直线l 和l 都相切三
2 1 1 2
种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点P的坐标．
（2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等．
只需求出其中的一条边就可以求出它的周长．
解答：解：（1）①若圆P与直线l和l 都相切，
2
当点P在第四象限时，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．
设y= x的图象与x轴的夹角为α．
当x=1时，y= ．
∴tanα= ．
∴α=60°．
∴由切线长定理得：∠POH= （180°﹣60°）=60°．
∵PH=1，
∴tan∠POH= = = ．
∴OH= ．
∴点P的坐标为（ ，﹣1）．
同理可得：
当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣ ，1）；
当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣ ，﹣1）；
②若圆P与直线l和l 都相切，如图2所示．
1
同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（ ，1）；
当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣ ，1）；
当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣ ，﹣1）；
当点P在第四象限时，点P的坐标为（ ，﹣1）．
③若圆P与直线l 和l 都相切，如图3所示．
1 2
同理可得：
当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（ ，0）；
当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（﹣ ，0）；当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）；
当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣2）．
综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：
（ ，﹣1）、（﹣ ，1）、（﹣ ，﹣1）、
（ ，1）、（﹣ ，1）、（﹣ ，﹣1）、（ ，﹣1）、
（ ，0）、（﹣ ，0）、（0，2）、（0，﹣2）．
（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．
由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，
由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．
∴该图形的周长=12×（ ﹣ ）=8 ．点评：本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培
养了学生的审美意识，是一道好题．
22．（12分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4 ，BD=4，动点P在线段BD
上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形
PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S ，未被盖住部分的
1
面积为S ，BP=x．
2
（1）用含x的代数式分别表示S ，S ；
1 2
（2）若S =S ，求x的值．
1 2考点：四边形综合题；菱形的性质；轴对称的性质；轴对称图形；特殊角的三角函数值．
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专题：综合题；动点型；分类讨论．
分析：（1）根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上，由于点P在BO上与点P在OD上求
S 和S 的方法不同，因此需分情况讨论．
1 2
（2）由S =S 和S +S =8 可以求出S =S =4 ．然后在两种情况下分别建立关于x
1 2 1 2 1 2
的方程，解方程，结合不同情况下x的范围确定x的值．
解答：解：（1）①当点P在BO上时，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，AC=4 ，BD=4，
∴AC⊥BD，BO= BD=2，AO= AC=2 ，
且S菱形ABCD = BD•AC=8 ．
∴tan∠ABO= = ．
∴∠ABO=60°．
在Rt△BFP中，
∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，
∴sin∠FBP= = =sin60°= ．
∴FP= x．
∴BF= ．
∵四边形PFBG关于BD对称，
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，
∴S =S =S =S ．
△BFP △BGP △DEQ △DHQ
∴S =4S
1 △BFP
=4× × x•
= ．
∴S =8 ﹣ ．
2
②当点P在OD上时，如图2所示．∵AB=4，BF= ，
∴AF=AB﹣BF=4﹣ ．
在Rt△AFM中，
∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣ ．
∴tan∠FAM= =tan30°= ．
∴FM= （4﹣ ）．
∴S = AF•FM
△AFM
= （4﹣ ）• （4﹣ ）
= （4﹣ ）2．
∵四边形PFBG关于BD对称，
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，
∴S =S =S =S ．
△AFM △AEM △CHN △CGN
∴S =4S
2 △AFM
=4× （4﹣ ）2
= （x﹣8）2．
∴S =8 ﹣S =8 ﹣ （x﹣8）2．
1 2
综上所述：
当点P在BO上时，S = ，S =8 ﹣ ；
1 2
当点P在OD上时，S =8 ﹣ （x﹣8）2，S = （x﹣8）2．
1 2
（2）①当点P在BO上时，0＜x≤2．
∵S =S ，S +S =8 ，
1 2 1 2
∴S =4 ．
1
∴S = =4 ．
1
解得：x =2 ，x =﹣2 ．
1 2
∵2 ＞2，﹣2 ＜0，
∴当点P在BO上时，S =S 的情况不存在．
1 2
②当点P在OD上时，2＜x≤4．
∵S =S ，S +S =8 ，
1 2 1 2
∴S =4 ．
2
∴S = （x﹣8）2=4 ．
2
解得：x =8+2 ，x =8﹣2 ．
1 2
∵8+2 ＞4，2＜8﹣2 ＜4，
∴x=8﹣2 ．
综上所述：若S =S ，则x的值为8﹣2 ．
1 2点评：本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识，考查了菱形的性质、特
殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想．
23．（12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下
四条：
①存在函数，其图象经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方
法．
考点：二次函数综合题．
菁优网版权所有分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；
②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；
③根据二次函数的增减性，即可作出判断；
④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶
点的纵坐标表达式，即可作出判断．
解答：解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，
解得：k=0．
运用方程思想；
②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；
③假，如k=1，﹣ = ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；
④真，当k=0时，函数无最大、最小值；
k≠0时，y最= =﹣ ，
∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；
当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．
点评：本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种
解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．
