文档内容
2014年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．（3分）计算2x（3x2+1），正确的结果是（ ）
A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x
3．（3分）二次根式 中字母x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
4．（3分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
5．（3分）数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是（ ）
A．0 B． C．2 D．4
6．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝ ，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
7．（3分）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．
若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为 ，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，
大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC
第1页（共26页）于点E，连接BE，则下列结论： ED⊥BC； ∠A＝∠EBA； EB平分∠AED； ED＝
① ② ③ ④
AB中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分①）如②图③，已知正方形AB①CD②，点④E是边AB的中①点，③点④O是线段AE上的②一③个④动点（不与
A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作 O的切线交
DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别⊙为S 、S 、S ，
1 2 3
则下列结论不一定成立的是（ ）
A．S ＞S +S B．△AOM∽△DMN C．∠MBN＝45° D．MN＝AM+CN
1 2 3
10．（3分）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分
别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路
线图是（ ）
A．
B．
第2页（共26页）C．
D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程2x﹣1＝0的解是x＝ ．
12．（4分）如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何
体俯视图的面积是 ．
13．（4分）计算：50°﹣15°30′＝ ．
14．（4分）下面的频数分布折线图分别表示我国A市与B市在2014年4月份的日平均气温
的情况，记该月A市和B市日平均气温是8℃的天数分别为a天和b天，则a+b＝
．
15．（4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例
第3页（共26页）函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若
△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
16．（4分）已知当x ＝a，x ＝b，x ＝c时，二次函数y＝ x2+mx对应的函数值分别为y ，y ，
1 2 3 1 2
y ，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y ＜y ＜y ，则实
3 1 2 3
数m的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）计算：（3+a）（3﹣a）+a2．
18．（6分）解方程组 ．
19．（6分）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
20．（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y＝
的图象上，过点A的直线y＝x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
第4页（共26页）21．（8分）已知2014年3月份在某医院出生的20名新生婴儿的体重如下（单位：kg）
4.7 2.9 3.2 3.5 3.8 3.4 2.8 3.3 4.0 4.5
3.6 4.8 4.3 3.6 3.4 3.5 3.6 3.5 3.7 3.7
（1）求这组数据的极差；
（2）若以0.4kg为组距，对这组数据进行分组，制作了如下的“某医院2014年3月份20名
新生婴儿体重的频数分布表”（部分空格未填），请在频数分布表的空格中填写相关的量
某医院2014年3月份20名新生儿体重的频数分布表
组别（kg） 划记 频数
略
略
3.55﹣3.95 正一 6
略
略
略
合计 20
（3）经检测，这20名婴儿的血型的扇形统计图如图所示（不完整），求：
这20名婴儿中是A型血的人数；
①表示O型血的扇形的圆心角度数．
②
22．（10分）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如
第5页（共26页）图所示．
（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；
（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月
用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量 x超过80吨，则除按
2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收 元，若某企业2014年3月份
的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
23．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞
0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取
点B，使BC＝ AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
求b，c的值；
①试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（②2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件
的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的 P与x轴，y
⊙
第6页（共26页）轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运
动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE＝PF；
（2）在点F运动过程中，设OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点
Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与
以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共26页）2014年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据乘积为的1两个数互为倒数，可得到一个数的倒数．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝6x3+2x，
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝
90°，又由∠A＝35°，即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝55°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式进行计算即可．
【解答】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2的平均数是：（﹣2﹣1+0+1+2）÷5＝0，
∴数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是： ×[（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22]＝2．
故选：C．
第8页（共26页）【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据x ，x ，…，x 的平均数为 ，则方差S2＝ （[ x
1 2 n 1
﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，
2 n
反之也成立．
6．【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA＝ ，代入求出即可．
【解答】解：∵tanA＝ ＝ ，AC＝4，
∴BC＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinA＝
，cosA＝ ，tanA＝ ．
7．【分析】首先根据题意得： ＝ ，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得： ＝ ，
解得：a＝1，
经检验，a＝1是原分式方程的解，
∴a＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比．
8．【分析】根据作图过程得到PB＝PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从
而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：根据作图过程可知：PB＝CP，
∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴ ED⊥BC正确；
∵①∠ABC＝90°，
∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，
∴EC＝EA，
第9页（共26页）∵EB＝EC，
∴ ∠A＝∠EBA正确； EB平分∠AED错误； ED＝ AB正确，
② ③ ④
故正确的有 ，
故选：B． ①②④
【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，
难度中等．
9．【分析】（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM＝MD时，求得S ＝S +S ，
1 2 3
（2）利用MN是 O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AOM∽△DMN．
（3）作BP⊥MN于⊙点P，利用Rt△MAB≌Rt△MPB和Rt△BPN≌Rt△BCN来证明C，D成
立．
【解答】解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，
∵点O是线段AE上的一个动点，当AM＝MD时，
S梯形ONDA ＝ （OA+DN）•AD
S△MNO ＝S△MOP +S△MPN ＝ MP•AM+ MP•MD＝ MP•AD，
∵ （OA+DN）＝MP，
∴S△MNO ＝ S梯形ONDA ，
∴S ＝S +S ，
1 2 3
∴不一定有S ＞S +S ，
1 2 3
（2）∵MN是 O的切线，
∴OM⊥MN，⊙
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，∠AMO+∠DMN＝90°，∠AMO+∠AOM＝90°，
第10页（共26页）∴∠AOM＝∠DMN，
在△AMO和△DMN中，
，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3）如图，作BP⊥MN于点P，
∵MN，BC是 O的切线，
⊙
∴∠PMB＝ ∠MOB，∠CBM＝ ∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，
∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM＝MP，∠ABM＝∠MBP，BP＝AB＝BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，
∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN＝CN，∠PBN＝∠CBN，
∴∠MBN＝∠MBP+∠PBN，
MN＝MP+PN＝AM+CN．
故C，D成立，
第11页（共26页）综上所述，A不一定成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三
角形全等证明．
10．【分析】分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进
行比较，即可判断．
【解答】解：如图A中、延长AC、BE交于S，
∵∠CAB＝∠EDB＝45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE是平行四边形，
∴SE＝CD，DE＝CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB＝AC+CS+SE+EB＝AS+BS；
如图B中、延长AF、BH交于S，作EG∥AS交BS于E．
显然AF+FG+GH+HB＜SA+SB．
如图C中、延长AI到S，使得∠SBA＝70°，SB交KM于T．
第12页（共26页）显然AI+IK+KM+BM＞SA+SB，
如图D中、
显然AN+NQ+QP+PB＞SA+SB．
如图D中，延长AN交BP的延长线于T．作∠RQB＝45°，
显然：AN+NQ+QP+PB＞AN+NQ+QR＝RB，
即AN+NQ+PQ+PB＞AI+IK+KM+MB，
综上所述，D选项的所走的线路最长．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别
平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
第13页（共26页）11．【分析】此题可有两种方法：
（1）观察法：根据方程解的定义，当x＝ 时，方程左右两边相等；
（2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1．
【解答】解：移项得：2x＝1，
系数化为1得：x＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：填空时应填若横线外没有“x
＝”，应注意要填x＝ ，不能直接填 ．
12．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图，根据矩形的面积公式，可得答案．
【解答】解：从上面看三个正方形组成的矩形，
矩形的面积为1×3＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，先确定俯视图，再求面积．
13．【分析】根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．
【解答】解：原式＝49°60′﹣15°30′＝34°30′．
故答案为：34°30′．
【点评】此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
14．【分析】根据折线图即可求得a、b的值，从而求得代数式的值．
【解答】解：根据图表可得：a＝10，b＝2，
则a+b＝10+2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查读频数分布折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．
利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决
问题．
15．【分析】设OC＝a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边
成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数
图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解
析式解答．
第14页（共26页）【解答】解：设OC＝a，
∵点D在y＝ 上，
∴CD＝ ，
∵△OCD∽△ACO，
∴ ＝ ，
∴AC＝ ＝ ，
∴点A（a， ），
∵点B是OA的中点，
∴点B的坐标为（ ， ），
∵点B在反比例函数图象上，
∴ ＝ ，
∴ ＝2k2，
∴a4＝4k2，
解得，a2＝2k，
∴点B的坐标为（ ，a），
设直线OA的解析式为y＝mx，
则m• ＝a，
解得m＝2，
所以，直线OA的解析式为y＝2x．
故答案为：y＝2x．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表
示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
16．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增
第15页（共26页）减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可．
【解答】方法一：
解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，
∴a最小是2，
∵y ＜y ＜y ，
1 2 3
∴﹣ ＜2.5，
解得m＞﹣2.5．
方法二：
解：当a＜b＜c时，都有y ＜y ＜y ，
1 2 3
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵a，b，c恰好是一个三角形的三边长，a＜b＜c，
∴a+b＜b+c，
∴m＞﹣ （a+b），
∵a，b，c为正整数，
∴a，b，c的最小值分别为2、3、4，
∴m＞﹣ （a+b）≥﹣ （2+3）＝﹣ ，
∴m＞﹣ ，
故答案为：m＞﹣ ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以
第16页（共26页）取2以及对称轴的位置是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．【分析】原式第一项利用平方差公式计算，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝9﹣a2+a2
＝9．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
+ 得：5x＝10，即x＝2，
①将x＝②2代入 得：y＝1，
①
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与
代入消元法．
19．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，从而得到AC＝BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，
根据AC＝AE﹣CE即可得出结论．
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE，
∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE＝6，
∴CE＝ ＝ ＝2 ，AE＝ ＝ ＝8，
∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2 ．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
第17页（共26页）关键．
20．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入y＝ 和y＝x+b，得 ，
解得k＝10，b＝3；
（2）作AC⊥x轴于点C，
由（1）得直线AB的解析式为y＝x+3，
∴点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵点A的坐标是（2，5），
∴AC＝5，
∴ ＝ 5＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面
积公式．
21．【分析】（1）根据求极差的方法用这组数据的最大值减去最小值即可；
（2）根据所给出的数据和以0.4kg为组距，分别进行分组，再找出各组的数即可；
（3） 用总人数乘以A型血的人数所占的百分比即可；
用3①60°减去A型、B型和AB型的圆心角的度数即可求出O型血的扇形的圆心角度数．
②【解答】解：（1）这组数据的极差是4.8﹣2.8＝2（kg）；
（2）根据所给出的数据填表如下：
某医院2014年3月份20名新生儿体重的频数分布表
组别（kg） 划记 频数
第18页（共26页）2.75﹣3.15 略 2
3.15﹣3.55 略 7
3.55﹣3.95 正一 6
3.95﹣4.35 略 2
4.35﹣4.75 略 2
4.75﹣5.15 略 1
合计 20
（3） A型血的人数是：20×45%＝9（人）；
表示①O型血的扇形的圆心角度数是360°﹣（45%+30%）×360°﹣36°＝360°﹣270°﹣36°
②＝54°．
【点评】此题考查了频数（率）分布表、扇形统计图以及极差的求法，读图时要全面细致，同
时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式
给出的数学实际问题．
22．【分析】（1）设y关于x的函数关系式y＝kx+b，代入（50，200）、（60，260）两点求得解析
式即可；
（2）把y＝620代入（1）求得答案即可；
（3）利用水费+污水处理费＝600元，列出方程解决问题．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（50，200），（60，260）
∴
解得
∴y关于x的函数关系式是y＝6x﹣100；
（2）由图可知，当y＝620时，x＞50，
∴6x﹣100＝620，
解得x＝120．
答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．
（3）由题意得6x﹣100+ （x﹣80）＝600，
第19页（共26页）化简得x2+40x﹣14000＝0
解得：x ＝100，x ＝﹣140（不合题意，舍去）．
1 2
答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．
【点评】此题考查一次函数的运用，一元二次方程和一元一次方程的运用，注意理解题意，
结合图象，根据实际选择合理的方法解答．
23．【分析】（1） 将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；
求证AD＝BO①和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
②
（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即 ＝ ，再根据勾股定理可得
OC＝ BC，AC＝ OC，可求得横坐标为﹣ c，纵坐标为c．
【解答】解：（1） ∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．
∴点C的坐标是（0①，4）
把A、C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得 ；
四边形AOBD是平行四边形；
②理由如下：
由 得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+4，
∵①y＝﹣（x+2）2+8，
∴顶点D的坐标为（﹣2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE＝OC＝4，AE＝2，
∵AC＝4，
∴BC＝ AC＝2，
∴AE＝BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED＝∠BCO＝90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD＝BO．∠DAE＝∠OBC，
第20页（共26页）∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2 ，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB＝∠BCO＝90°，
∵∠ABO＝∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴ ＝ ，
又∵AB＝AC+BC＝3BC，
∴OB＝ BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC＝ BC，AC＝ OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC＝c，
∴A点坐标为（﹣ c，c），
∴顶点横坐标 ＝﹣ c，b＝﹣ c，
顶点D纵坐标是点A纵坐标的2倍，为2c，
顶点D的坐标为（﹣ c，2c）
∵将D点代入可得2c＝﹣（﹣ c）2+ c• c+c，
解得：c＝2或者0，
当c为0时四边形AOBD不是矩形，舍去，故c＝2；
∴A点坐标为（﹣2 ，2）．
第21页（共26页）【点评】本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的
求解方法．
24．【分析】（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明；
（2）分两种情况： 当t＞1时，点E在y轴的负半轴上； 当0＜t≤1时，点E在y轴的正
半轴或原点上，再①根据（1）求解， ②
（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求
出时间t．
【解答】证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵ P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴⊙PM⊥MF，PN⊥ON且PM＝PN，
∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE＝∠MPF＝90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE＝PF；
（2）解：分两种情况：
当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
①
由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝t，PM＝PN＝1，
∴b＝OF＝OM+MF＝1+t，a＝NE﹣ON＝t﹣1，
第22页（共26页）∴b﹣a＝1+t﹣（t﹣1）＝2，
∴b＝2+a，
0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
②
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b＝OF＝OM+MF＝1+t，a＝OE＝ON﹣NE＝1﹣t，
∴b+a＝1+t+1﹣t＝2，
∴b＝2﹣a．
综上所述，当t＞1时，b＝2+a；当0＜t≤1时，b＝2﹣a；
（3）存在；
如图3，当0＜t＜1时，
①
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），
∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣ t，0）
∴OQ＝1﹣ t，
由（1）得△PMF≌△PNE
第23页（共26页）∴NE＝MF＝t，
∴OE＝1﹣t，
当△OEQ∽△MPF
∴ ＝
∴ ＝ ，此时无解，
当△OEQ∽△MFP时，
∴ ＝ ，
＝ ，
解得，t＝2﹣ 或t＝2+ （舍去）；
如图4，当1＜t＜2时，
②
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），
∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣ t，0）
∴OQ＝1﹣ t，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE＝MF＝t，
∴OE＝t﹣1
当△OEQ∽△MPF
第24页（共26页）∴ ＝
∴ ＝ ，
解得，t＝ ，
当△OEQ∽△MFP时，
∴ ＝ ，
＝ ，
解得，t＝ ，
如图5，当t＞2时，
③
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣ t，0）
∴OQ＝ t﹣1，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE＝MF＝t，
第25页（共26页）∴OE＝t﹣1
当△OEQ∽△MPF
∴ ＝
∴ ＝ ，
无解，
当△OEQ∽△MFP时，
∴ ＝ ，
＝ ，
解得，t＝2+ ，t＝2﹣ （舍去）
所以当t＝2﹣ 或 或 或t＝2+ 时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以
点P、M、F为顶点的三角形相似．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角
形相结合找出线段关系．
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