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2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、选择题：
（1） 是虚数单位，计算
（A）－1 （B）1 （C） （D）
（2）下列四个图像所表示的函数，在点 处连续的是
（A） （B） （C） （D）
（3）
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
（4）函数 的图像关于直线 对称的充要条件是
（A） （B） （C） （D）
（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
则
第1页 | 共5页（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
（6）将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一
箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间
加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、
乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超
过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
（8）已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
（9）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为A，在椭圆上存
在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
（11）半径为 的球 的直径 垂直于平面 ，垂足为 ， 是平面 内边长为
的正三角形，线段 、 分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面
距离是
第2页 | 共5页A
（A）
O
（B）
N
M D
（C） B
C
（D）
（12）设 ，则 的最小值是
（A）2 （B）4 （C） （D）5
2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13） 的展开式中的第四项是__________．
（14）直线 与圆 相交于A、B两点，则 ________．
（15）如图，二面角 的大小是60°，线段 ．
A
， 与 所成的角为30°．则 与平面 所成
B
的角的正弦值是_________．
（16）设S为复数集C的非空子集．若对任意 ，都有 ，则称S
为封闭集。下列命题：
①集合 （ 为整数， 为虚数单位）为封闭集；
第3页 | 共5页②若S为封闭集，则一定有 ；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足 的任意集合 也是封闭集．
其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖
内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 ．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该
饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
（18）（本小题满分12分）
已知正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，点 是对角线
的中点． D C
（Ⅰ）求证： 为异面直线 和 的公垂线； A
B
（Ⅱ）求二面角 的大小； O
M D
（Ⅲ）求三棱锥 的体积． C
（19）（本小题满分12分） A B
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式 ；
②由 推导两角和的正弦公式 ．
（Ⅱ）已知△ABC的面积 ，且 ，求 ．
（20）（本小题满分12分）
已知定点 ，定直线 ，不在 轴上的动点 与点 的距离是
它到直线 的距离的2倍．设点 的轨迹为 ，过点 的直线交 于 两点，直线
分别交 于点
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 为直径的圆是否过点 ，并说明理由．
（21）（本小题满分12分）
第4页 | 共5页已知数列 满足 ，且对任意 都有
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 证明： 是等差数列；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 ．
（22）（本小题满分14分）
设 （ 且 ）， 是 的反函数．
（Ⅰ）设关于 的方程 在区间 上有实数解，求 的取值
范围；
（Ⅱ）当 （ 为自然对数的底数）时，证明： ；
（Ⅲ）当 时，试比较 与4的大小，并说明理由．
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