2010年高考数学试卷（理）（江西）（解析卷）_1.高考2025全国各省真题+答案_01.2008-2024全国高考真题（按省份分类）_25.江西_2008-2024·（江西）数学高考真题

2010 年江西高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，
有一项是符合题目要求的。
1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）
A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1 D. x=1，y=2
2.若集合 ， ，则 =（ ）
A. B.
C. D.
x2 x2

x x
3.不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
 1 1 1 
lim

1  


x 3 32 3n 
4. （ ）
5 3
3 2
A. B. C. 2 D. 不存在
5.等比数列 中， ， =4，函数 ，则
（ ）
A． B. C. D.
6. 展开式中不含 项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则
（ ）
16 2 3 3
27 3 3 4
A. B. C. D.
第1页 | 共16页8.直线 与圆 相交于M,N两点，若 ，则k的取
值范围是
  3 ，0   ， 3  0，   3 ， 3    2 ，0 
  4     4    3 3    3  
A. B. C. D.
9．给出下列三个命题：
①函数 与 是同一函数；
②若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数
与 的图像也关于直线 对称；
③若奇函数 对定义域内任意x都有 ，则 为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
10.过正方体 的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱 , ,
所成的角都相等，这样的直线L可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀
疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；
方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为
和 ，则
A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能
12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t时刻五角星露
出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。
13.已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则
14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场
第2页 | 共16页馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
15.点 在双曲线 的右支上，若点A到右焦点的距离等于 ，则 =
16.如图，在三棱锥 中，三条棱 ， ， 两两垂直，
且 > > ,分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三
棱锥的体积，截面面积依次为 ， ， ，则 ， ， 的大小关
系为 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
   
f x1cotxsin2 xmsin x sin x
   
 4  4
已知函数 。
(1) 当m=0时，求 在区间 上的取值范围；
(2) 当 时， ，求m的值。
18. （本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机
（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号
通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个
你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 表示走出迷宫所需的时间。
（1） 求 的分布列；
（2） 求 的数学期望。
第3页 | 共16页19. （本小题满分12分）
设函数 。
（1）当a=1时，求 的单调区间。
（2）若 在 上的最大值为 ，求a的值。
20. （本小题满分12分）
如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面
BCD，AB 平面BCD， 。
（1） 求点A到平面MBC的距离；
（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
21. （本小题满分12分）
x2 y2
C :  1(ab0)
1 a2 b2 C :x2 by b2
设椭圆 ，抛物线 2 。
（1） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率；
（2） 设A（0，b）， ,又M、N为 与 不在y轴上的两个交点，若△AMN
的垂心为 ，且△QMN的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程。
第4页 | 共16页22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得 成等差数列。
（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△ ，其边长 为正整数且
成等差数列。
第5页 | 共16页2010 年江西高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，
有一项是符合题目要求的。
1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）
A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1 D. x=1，y=2
【答案】 D
【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得 ，没有虚
部，x=1,y=2.
2.若集合 ， ，则 =（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B；
， ,解得 。在应试中可采用特值检
验完成。
x2 x2

x x
3.不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. ，解得A。
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
 1 1 1 
lim

1  


x 3 32 3n 
4. （ ）
5 3
3 2
A. B. C. 2 D. 不存在
第6页 | 共16页【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。
5.等比数列 中， ， =4，函数 ，则
（ ）
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的
数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则 只与函数 的一次
项有关；得： 。
6. 展开式中不含 项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正
难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去 项系数 即为所求，答
案为0.
7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则 （ ）
16 2 3 3
27 3 3 4
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC= ,由余弦定理 CE=CF= ,再由余
弦定理得 ，
解得
解 法 2 ： 坐 标 化 。 约 定 AB=6,AC=BC= ,F(1,0),E(-1,0),C
（0,3）利用向量的夹角公式得
，解得 。
第7页 | 共16页8.直线 与圆 相交于M,N两点，若 ，则k的取
值范围是
 3 3
  3 ，0   ， 3  0，  ，    2 ，0 
  4     4    3 3    3  
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.
解法 1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与 y 轴相切.当
，由点到直线距离公式，解得 ；
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不
取 ，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A
9．给出下列三个命题：
①函数 与 是同一函数；
②若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数
与 的图像也关于直线 对称；
③若奇函数 对定义域内任意x都有 ，则 为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排
除A、B，验证③, ,又通过奇函数得 ，
所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。
10.过正方体 的顶点A作直线L，使L与棱 , ,
所成的角都相等，这样的直线L可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第
一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC 第二类：在图形外部和每条棱
1，
的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。
第8页 | 共16页11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他
用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查
两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 和 ，则
A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作
业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的
概率为
，总概率为 ；同理，方法二：每箱的选中的概率为 ，总事件的概率
为 ，作差得 < 。
12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t时刻五角星露
出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探
究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除 C；总面积一
直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，
考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。
13.已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则
【答案】
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如
图 ，由余弦定理得：
14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场
馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
第9页 | 共16页【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先
分组，考虑到有2个是平均分组，得 ，再全排列得：
15.点 在双曲线 的右支上，若点A到右焦点的距离等于 ，则 =
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6, ,
16.如图，在三棱锥 中，三条棱 ， ， 两两垂直，
且 > > ,分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三
棱锥的体积，截面面积依次为 ， ， ，则 ， ， 的大小关
系为 。
【答案】
【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论
特殊化，令边长为1，2，3得 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
   
f x1cotxsin2 xmsin x sin x
   
 4  4
已知函数 。
第10页 | 共16页(1) 当m=0时，求 在区间 上的取值范围；
(2) 当 时， ，求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托
三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于
中等题.
解 ： （ 1 ） 当 m=0 时 ，
，由已知 ，得
从而得： 的值域为
（2）
化简得：
当 ，得： ， ，
代入上式，m=-2.
18. （本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机
（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号
通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个
你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 表示走出迷宫所需的时间。
（3） 求 的分布列；
（4） 求 的数学期望。
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概
率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
（1） 必须要走到1号门才能走出， 可能的取值为1，3，4，6
， ， ，
第11页 | 共16页分布列为：
1 3 4 6
（2） 小时
19. （本小题满分12分）
设函数 。
（1）当a=1时，求 的单调区间。
（2）若 在 上的最大值为 ，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得： ，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令
当 为增区间；当 为减函数。
（2） 区间 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，
确定
待定量a的值。
当 有最大值，则必不为减函数，且 >0，为单调递增区
间。
最大值在右端点取到。 。
20. （本小题满分12分）
如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面
BCD，AB 平面BCD， 。
（3） 求点A到平面MBC的距离；
第12页 | 共16页（4） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二
面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象
能力和推理能力
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD.又平面 平面 ,则MO⊥平面 ，所以MO∥AB，
A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成
的角.OB=MO= ，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，
作OH BC于H，连MH，则MH BC，求得：
OH=OCsin600= ,MH= , 利 用 体 积 相 等 得 ：
。
（2）CE是平面 与平面 的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为 .
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，
所以，所求二面角的正弦值是 .
【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊
位置的元素解决
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,
则MO⊥平面 .
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 A z
直角坐标系如图.
OB=OM= ，则各点坐标分别为 O（0，0，0），C（1，0，
0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2
M
），
B D
（1）设 是平面MBC的法向量，则 ，
O y
x
第13页 | 共16页 C， 由 得 ； 由 得 ； 取
，则距离
（2） ， .
设平面ACM的法向量为 ，由 得 .解得
， ， 取 . 又 平 面 BCD 的 法 向 量 为 ， 则
设所求二面角为 ，则 .
【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于
建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计
算必须慎之又慎
21. （本小题满分12分）
x2 y2
C :  1(ab0)
1 a2 b2 C :x2 by b2
设椭圆 ，抛物线 2 。
（3） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率；
（4） 设A（0，b）， ,又M、N为 与 不在y轴上的两个交点，若△AMN
的垂心为 ，且△QMN的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： ，由
。
(2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 ， 设
,由 的垂心为B，有
第14页 | 共16页。
由点 在抛物线上， ，解得：
故 ，得 重心坐标 .
由重心在抛物线上得： ， ，又因为
M、N在椭圆上得： ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。
22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
（3） 对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得 成等差数列。
（4） 存在无穷多个互不相似的三角形△ ，其边长 为正整数且
成等差数列。
【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
（1）考虑到结构要证 ，；类似勾股数进行拼凑。
证明：考虑到结构特征，取特值 满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整
数a均能成立。
结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三
角形，再证明互不相似，且无穷。
证明：当 成等差数列，则 ，
分解得：
选取关于n的一个多项式， 做两种途径的分解
对比目标式，构造 ，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。
下证互不相似。
任 取 正 整 数 m ， n ， 若 △ △ 相 似 ： 则 三 边 对 应 成 比 例
m ，
第15页 | 共16页，
由比例的性质得： ，与约定不同的值矛盾，故互不相似。
第16页 | 共16页