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2009年高考数学浙江理科试卷含详细解答
一、选择题（本大题共10小题，共0分）
1．（2009浙江理1）设 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
2．（2009浙江理2）已知 是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题关键点】对于“ 且 ”可以推出“ 且 ”，反之也是成立的
3．（2009浙江理3）设 （ 是虚数单位），则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解题关键点】对于
4．（2009浙江理4）在二项式 的展开式中，含 的项的系数是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解题关键点】对于 ，对于 ，则
的项的系数是
5．（2009浙江理5）在三棱柱 中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 是侧面
第1页 | 共12页的中心，则 与平面 所成角的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解题关键点】取BC的中点E，则 面 ， ，因此 与平面
所 成 角 即 为 ， 设 ， 则 ， ， 即 有
6．（2009浙江理6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【 解 题 关 键 点 】 对 于 ， 而 对 于 ， 则
，后面是 ，不符合条件时输出的 .
7．（2009浙江理7）设向量 ， 满足： ， ， .以 ， ， 的模为边
长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为( ).
A. B. C. D.
第2页 | 共12页【答案】B
【解题关键点】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于
圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个及5个以上的交点不能实现.
8．（2009浙江理8）已知 是实数，则函数 的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解题关键点】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 ，而D不符合
要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 .
9．（2009浙江理9）过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线
与双曲线的两条渐近线的交点分别为 .若 ，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解题关键点】对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为 B，C，
，
第3页 | 共12页则有 ，因 .
10．（2009 浙江理 10）对于正实数 ，记 为满足下述条件的函数 构成的集合：
且 ，有 .下列结论中正确的是( )
A.若 ， ，则
B.若 ， ，且 ，则
C.若 ， ，则
D.若 ， ，且 ，则
【答案】C
【解题关键点】对于 ，即有 ，
令 ， 有 ， 不 妨 设 ， ， 即 有
， 因 此 有 ， 因 此 有
.
二、填空题（本大题共7小题，共0分）
11．（2009浙江理11）设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 .
【答案】15
【解题关键点】对于
12．（2009浙江理12）若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体积是
.
第4页 | 共12页【答案】18
【解题关键点】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 ，上面的长方体体积为
，因此其几何体的体积为18
13．（2009浙江理13）若实数 满足不等式组 则 的最小值是
【答案】4
【解题关键点】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，
14．（2009浙江理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电
网销售电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 千瓦时，低谷时间段用电量为 千瓦时，则
按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.
第5页 | 共12页【答案】
【解题关键点】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为 ；对于低
峰部分为 ，二部分之和为
15．（2009浙江理15）观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 ， .
【答案】
【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 ，二项
指 数 分 别 为 ， 因 此 对 于 ，
16．（2009浙江理16）甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同一级
台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）.
【答案】336
【解题关键点】对于7个台阶上每一个只站一人，则有 种；若有一个台阶有2人，另一个是1
人，则共有 种，因此共有不同的站法种数是336种.
17．（2009浙江理17）如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为
第6页 | 共12页线段 （端点除外）上一动点.现将 沿 折起，使平面 平面 .在平面
内过点 作 ， 为垂足.设 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解题关键点】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时， ，随着F点
到 C 点 时 ， 因 平 面 ， 即 有 ， 对 于
，又 ，因此有 ，则有 ，因此 的取
值范围是
三、解答题（本大题共5小题，共0分）
18．（2009浙江理18）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ，
.（I）求 的面积；（II）若 ，求 的值。
【答案】解析：（I）因为 ， ，又由
，得 ，
（ II ） 对 于 ， 又 ， 或 ， 由 余 弦 定 理 得
，
第7页 | 共12页19．（2009浙江理19）在 这 个自然数中，任取 个数.
（I）求这 个数中恰有 个是偶数的概率；
（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 ，则有两组相邻的数
和 ，此时 的值是 ）.求随机变量 的分布列及其数学期望 .
【答案】（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则 ；
（II）随机变量 的取值为 的分布列为
0 1 2
P
所以 的数学期望为
20．（2009浙江理20）如图，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角
形， 分别为 ， ， 的中点， ， .
（I）设 是 的中点，证明： 平面 ；
（II）证明：在 内存在一点 ，使 平面 ，并求点 到 ， 的距离.
第8页 | 共12页【答案】证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为 轴，
轴， 轴，建立空间直角坐标系 O ，则
，由题意得， 因 ，因
此平面BOE的法向量为 ， 得 ，又直线 不在平面
内，因此有 平面
z
y
（II）
x
设点M的坐标为 ，则 ，因为 平面BOE，所以有 ，
因此有 ，即点M的坐标为 ，在平面直角坐标系 中， 的内
部区域满足不等式组 ，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在 内存在
一点 ，使 平面 ，由点M的坐标得点 到 ， 的距离为 。
21．（2009浙江理21）已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的焦点
且垂直长轴的弦长为1。
（I）求椭圆 的方程；
（II）设点 在抛物线 ： 上， 在点 处的切线与 交于点 当
线段 的中点与 的中点的横坐标相等时，求 的最小值。
第9页 | 共12页【答案】解析：（I）由题意得 所求的椭圆方程为 ，
（II）不妨设 则抛物线 在点P处的切线斜率为 ，直
线MN的方程为 ，将上式代入椭圆 的方程中，得 ，
即 ，因为直线MN与椭圆 有两个不同的交点，所
以有 ，
设线段MN的中点的横坐标是 ，则 ，
设线段PA的中点的横坐标是 ，则 ，由题意得 ，即有 ，其
中的 或 ；
当 时有 ，因此不等式 不成立；
因此 ，当 时代入方程 得 ，将 代入不等式
成立，因此 的最小值为1.
22．（2009浙江理22）已知函数 ， ，
第10页 | 共12页其中 .
（I）设函数 .若 在区间 上不单调，求 的取值范围；
（II）设函数 是否存在 ，对任意给定的非零实数 ，存在惟一
的非零实数 （ ），使得 成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理
由.
【 答 案 】 解 析 ： （ I ） 因 ，
，因 在区间 上不单调，所以 在 上
有实数解，且无重根，由 得
， 令 有 ， 记
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以有 ，于是
，得 ，而当 时有 在 上有两个相等
的实根 ，故舍去，所以 ；
（II）当 时有 ；
当 时有 ，因为当 时不合题意，因此 ，
下面讨论 的情形，记A ，B= （ⅰ）当 时， 在 上单调
递增，所以要使 成立，只能 且 ，因此有 ，（ⅱ）当 时，
在 上单调递减，所以要使 成立，只能 且 ，因此
，综合（ⅰ）（ⅱ） ；
当 时 A=B，则 ，即 使得 成立，因为
在 上单调递增，所以 的值是唯一的；
同理， ，即存在唯一的非零实数 ，要使 成立，所以 满
第11页 | 共12页足题意.
第12页 | 共12页
