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2015年广西玉林市中考数学试卷
一.选择题（每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1．（3分） 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（3分）计算：cos245°+sin245°＝（ ）
A． B．1 C． D．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．2a3+3a2＝5a5
C．3a2b﹣3ba2＝0 D．5a2﹣4a2＝1
4．（3分）下面角的图示中，能与30°角互补的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图是由七个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DE＝ BC
7．（3分）学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了
第1页（共24页）条形统计图，则30名学生参加活动的平均次数是（ ）
A．2 B．2.8 C．3 D．3.3
8．（3分）如图，在 O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
⊙
A．AC＝AB B．∠C＝ ∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD
9．（3分）如图，在 ▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝2， ▱ABCD的周
长是14，则DM等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多
行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h，则列方程是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
11．（3分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点
B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则 等于（ ）
第2页（共24页）A． B．2 C．1.5 D．
12．（3分）如图，反比例函数y＝ 的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣ ，m）（m
＞0），则有（ ）
A．a＝b+2k B．a＝b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：3﹣（﹣1）＝ ．
14．（3分）将太阳半径696000km这个数值用科学记数法表示是 km．
15．（3分）分解因式：2x2+4x+2＝ ．
16．（3分）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完
整的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比
是 ．
17．（3分）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO：OA＝1：
，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝ ．
第3页（共24页）18．（3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边
BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的
面积是 ．
三.解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：（﹣3）0×6﹣ +| ﹣2|
π
20．（6分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（6分）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： ，然后证明你的结论（不要求
写已知、求证）
22．（8分）现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃x（1≤x≤13且x为奇数或偶数）．
把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．
（1）求两次抽得相同花色的概率；
（2）当甲选择x为奇数，乙选择x为偶数时，他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小
一样吗？请说明理由．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑x）
23．（9分）如图，在 O中，AB是直径，点D是 O上一点且∠BOD＝60°，过点D作 O的
第4页（共24页）
⊙ ⊙ ⊙切线CD交AB的延长线于点C，E为 的中点，连接DE，EB．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6 ，求 O的半径r．
π ⊙
24．（9分）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y
（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连
接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．
26．（12分）已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝ （k＞0）的图象相交于A，
B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直
角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共24页）（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另
一点C，连接BC交y轴于点D．若 ＝ ，求△ABC的面积．
第6页（共24页）2015年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
【解答】解： 的相反数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】首先根据cos45°＝sin45°＝ ，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们
求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cos45°＝sin45°＝ ，
∴cos245°+sin245°
＝
＝
＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明
确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．
3．【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数
相加作为系数，字母和字母的指数不变计算进行判断．
【解答】解：A、3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；
B、2a3和3a2不是同类项，不能合并，B错误；
C、3a2b﹣3ba2＝0，C正确；
D、5a2﹣4a2＝a2，D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是同类项的概念和合并同类项的法则，掌握合并同类项的法则：
第7页（共24页）系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
4．【分析】先求出30°的补角为150°，再测量度数等于150°的角即可求解．
【解答】解：30°角的补角＝180°﹣30°＝150°，是钝角，
结合各图形，只有选项D是钝角，
所以，能与30°角互补的是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出30°角的补角是钝角是解题的
关键．
5．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，根据题意画出图形即可求解．
【解答】解：由七个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其俯视图如图所示；
∴其俯视图的面积＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，先确定俯视图，再求面积．
6．【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB＝
AC，得到AD＝AE，进而确定出DB＝EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的
底角相等，等量代换得到∠ADE＝∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一
半，即可得到正确选项．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，∠ADE＝∠B，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，DB＝EC，∠B＝∠C，
∴∠ADE＝∠C，
而DE不一定等于 BC，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形
的判定与性质是解本题的关键．
7．【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．注意本题不是求
第8页（共24页）3，5，11，11这四个数的平均数．
【解答】解：（3×1+5×2+11×3+11×4）÷30
＝（3+10+33+44）÷30
＝90÷30
＝3．
故30名学生参加活动的平均次数是3．
故选：C．
【点评】本题考查加权平均数，条形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
8．【分析】根据垂径定理得出 ＝ ， ＝ ，根据以上结论判断即可．
【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC＝AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴ ＝ ，
∵ 对的圆周角是∠C， 对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD＝2∠C，故B选项正确；
C、不能推出∠C＝∠B，故C选项错误；
D、不能推出∠A＝∠BOD，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析．
9．【分析】根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC＝MC＝2，根据 ▱ABCD的周长是
14，求出CD＝5，得到DM的长．
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠BMC，
∴∠BMC＝∠CBM，
∴BC＝MC＝2，
∵ ▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD＝7，
∴CD＝5，
则DM＝CD﹣MC＝3，
第9页（共24页）故选：C．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等
求出BC+CD是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．
10．【分析】首先根据行程问题中速度、时间、路程的关系：时间＝路程÷速度，用列车提速前
行驶的路程除以提速前的速度，求出列车提速前行驶skm用的时间是多少；然后用列车提
速后行驶的路程除以提速后的速度，求出列车提速后行驶s+50km用的时间是多少；最后
根据列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，列出方程即可．
【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是 小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是 小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是 ＝ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程问题，解答此类问题的关键是分析题
意找出相等关系，（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做
法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
11．【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO＝AD，CO＝BC，∠AOE＝∠COF＝90°，
从而AO＝CO，AC＝AO+CO＝AD+BC＝2BC，得到∠CAB＝30°，∠ACB＝60°，进一步得
到∠BCE＝ ，所以BE＝ ，再证明△AOE≌△COF，得到OE＝OF，所
以四边形AECF为菱形，所以AE＝CE，得到BE＝ ，即可解答．
【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝90°，
∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，
∴AO＝AD，CO＝BC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴AO＝CO，AC＝AO+CO＝AD+BC＝2BC，
∴∠CAB＝30°，
第10页（共24页）∴∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝ ，
∴BE＝
∵AB∥CD，
∴∠OAE＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE＝CE，
∴BE＝ ，
∴ ＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角
形的性质得到∠CAB＝30°，进而得到BE＝ ，在利用菱形的判定定理与性质定理解决
问题．
12．【分析】把（﹣ ，m）代入y＝ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣ ，﹣ ），再把（﹣
，﹣ ）代入 得到k＝ ，由图象的特征即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx图象的顶点（﹣ ，m），
∴﹣ ＝﹣ ，即b＝a，∴m＝ ＝﹣ ，
第11页（共24页）∴顶点（﹣ ，﹣ ），
把x＝﹣ ，y＝﹣ 代入反比例解析式得：k＝ ，
由图象知：抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴a＜k＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例
函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．【分析】先根据有理数减法法则，把减法变成加法，再根据加法法则求出结果．
【解答】解：3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
故答案为4．
【点评】本题主要考查了有理数加减法则，能理解熟记法则是解题的关键．
14．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：696000＝6.96×105，
故答案为：6.96×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．【分析】根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2，
故答案为：2（x+1）2．
【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再利用和的平方公式．
16．【分析】先根据“其他”部分所对应的圆心角是36°，算出“其他”所占的百分比，再计算
“步行”部分所占百分比，即可解答．
【解答】解：∵“其他”部分所对应的圆心角是36°，
∴“其他”部分所对应的百分比为： ＝10%，
∴“步行”部分所占百分比为：100%﹣10%﹣15%﹣35%＝40%，
第12页（共24页）故答案为：40%．
【点评】本题考查的是扇形统计图，熟知从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量
之间的关系是解答此题的关键．
17．【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ＝90°，∠OCQ＝
90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．
【解答】解：连接OQ，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ＝BO，CQ＝CO，∠QAC＝∠B＝45°，∠ACQ＝∠BCO，
∴∠OAQ＝∠BAC+∠CAQ＝90°，∠OCQ＝∠OCA+∠ACQ＝∠OCA+∠BCO＝90°，
∴∠OQC＝45°，
∵BO：OA＝1： ，
设BO＝1，OA＝ ，
∴AQ＝1，则tan∠AQO＝ ＝ ，
∴∠AQO＝60°，
∴∠AQC＝105°．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转
的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
18．【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的
对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求
得四边形AEPQ的面积．
【解答】解：如图1所示：
第13页（共24页）作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周
长最小，
∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，
∴AA′＝6，AE′＝4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ＝ AE′＝2；CQ＝DC﹣DQ＝3﹣2＝1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴ ＝ ，即 ＝ ，BP＝ ，CP＝BC﹣BP＝3﹣ ＝ ，
S四边形AEPQ ＝S正方形ABCD ﹣S△ADQ ﹣S△PCQ ﹣S
BEP
＝9﹣ AD•DQ﹣ CQ•CP﹣ BE•BP
＝9﹣ ×3×2﹣ ×1× ﹣ ×1×
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解
题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．
三.解答题（共8小题，满分66分）
19．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，最后一项
第14页（共24页）利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1×6﹣4+ ﹣2＝ ．
【点评】此题考查了实数的运π算，熟π练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解
集，表示在数轴上即可．
【解答】解： ，
由 得：x≥1，
由①得：x＜4，
则②不等式组的解集为1≤x＜4，
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．【分析】根据图中尺规作图的痕迹可知，OC＝OD，CM＝DM，根据全等三角形的判定和性
质得到答案．
【解答】解：结论：OM平分∠BOA，
证明：由作图的痕迹可知，OC＝OD，CM＝DM，
在△COM和△DOM中，
，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM＝∠DOM，
∴OM平分∠BOA．
【点评】本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺规作图的
步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．【分析】（1）如图，根据树状图求出所有可能的结果有9种，两次抽得相同花色的可能性
有5种，即可得到结果；
（2）根据树状图求出两次抽得的数字和是奇数的可能性再分别求出他们两次抽得的数字
和是奇数的概率比较即可．
【解答】解：（1）如图，所有可能的结果有9种，两次抽得相同花色的可能性有5种，
第15页（共24页）∴P（相同花色） ＝ ，
∴两次抽得相同花色的概率为： ；
（2）他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样，
∵x为奇数，两次抽得的数字和是奇数的可能性有4种，
∴P（甲） ＝ ，
∵x为偶数，两次抽得的数字和是奇数的可能性有4种，
∴P（乙） ＝ ，
∴P（甲）＝P（乙） ，
∴他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样．
【点评】本题考查了树状图法求概率，解决这类题的关键是正确的画出树状图．
23．【分析】（1）由∠BOD＝60°E为 的中点，得到 ，于是得到DE∥BC，根据
CD是 O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边
形； ⊙
（2）连接OE，由（1）知， ，得到∠BOE＝120°，根据扇形的面积公式列方程即
可得到结论．
【解答】解：（1）∵CD是 O的切线，∴∠CDO＝90°，∵∠BOD＝60°，
∴∠C＝30°，∠AOD＝120°，⊙
∵E为 的中点，
∴∠AOE＝∠DOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE＝30°，
∴∠C＝∠OBE＝∠E，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；
第16页（共24页）（2）连接OE，由（1）知， ，
∴∠BOE＝120°，
∵阴影部分面积为6 ，
π
∴ ＝6 ，
π
∴r＝6．
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明
是解题的关键．
24．【分析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润＝每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由图象可知，
，
解之，得： ，
∴y＝﹣2x+60；
（2）p＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600，
∵a＝﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x＝﹣ ＝20时，p最大值 ＝200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题
的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思
想的应用．
第17页（共24页）25．【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ＝PQ，PC＝DC＝5，然后利用勾股定理即可
求得；
（2）方法1、过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME＝DF＝
，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．
方法2、先利用三角形的外角和∠DMP＝90°，得出∠DCP＝90°，得出BP＝BC＝3，再判断
出AQ＝AP＝2即可．
【解答】解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ＝PQ，PC＝DC，
∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3，
∴PC＝5，
在Rt△PBC中，PB＝ ＝4，
∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝ ，
∴AQ＝ ．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD＝90°，
∴∠PME+∠DMF＝90°，
∵∠FDM+∠DMF＝90°，
∴∠MDF＝∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM＝ QC，PM＝ QC，
∴DM＝PM，
在△MDF和△PME中，
第18页（共24页），
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME＝DF，PE＝MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM＝MC，
∴DF＝CF＝ DC＝ ，
∴ME＝ ，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3，
∴AQ＝2．
方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM＝CM，
∴∠DMQ＝2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP＝CM，
∴∠PMQ＝2∠PCQ，
∵∠DMP＝90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°，
∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
第19页（共24页）∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ，
∴AQ＝AP＝2．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形
斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得△MDF≌△PME是本题的关键．
26．【分析】（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；
解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论： 若∠BAP＝90°，过点A
作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE＝5，①OH＝4，AH＝2，HE＝1．
易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用
待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，
就可得到点P的坐标； 若∠ABP＝90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点 B 作 BS⊥y②轴于 S，过点 C 作 CT⊥y 轴于 T，连接 OB，如图 2，易证
△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得 ＝ ＝ ．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣
2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，即可得到 ＝ ，即b＝ a．由A、B都在
反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），把b＝ a代入即可求出a的值，从
而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标
及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB ，再由OA＝OC可得S△ABC ＝2S△COB ，问题得以
第20页（共24页）解决．
【解答】解：（1）把A（4，2）代入y＝ ，得k＝4×2＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
解方程组 ，得
或 ，
∴点B的坐标为（1，8）；
（2） 若∠BAP＝90°，
过点A①作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y＝﹣2x+10，
当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，
∴点E（5，0），OE＝5．
∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，
∴HE＝5﹣4＝1．
∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．
又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，
∴∠MAH＝∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴MH＝4，
∴M（0，0），
可设直线AP的解析式为y＝mx
则有4m＝2，解得m＝ ，
第21页（共24页）∴直线AP的解析式为y＝ x，
解方程组 ，得
或 ，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
若∠ABP＝90°，
②
同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣ ）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣ ）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS∥CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴ ＝ ．
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），
∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，
∴ ＝ ，即b＝ a．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y＝ 的图象上，
∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），
∴a（﹣2a+10）＝ a（﹣2× a+10）．
∵a≠0，
∴﹣2a+10＝ （﹣2× a+10），
第22页（共24页）解得：a＝3．
∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为y＝px+q，
则有 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝2x+2．
当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2，
∴S△COB ＝S△ODC +S△ODB
＝ OD•CT+ OD•BS
＝ ×2×3+ ×2×2＝5．
∵OA＝OC，
∴S△AOB ＝S△COB ，
∴S△ABC ＝2S△COB ＝10．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函
第23页（共24页）数及一次函数图象的交点、三角形的中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质、
三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨
论、数形结合、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．
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日期：2020/8/23 13:24:38；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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