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2016 年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应
位置上）
1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车
系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达 70000辆，用科学记数法表示
70000是（ ）
A．0.7×105B．7×104 C．7×105 D．70×103
2．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（
）
A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5|D．|﹣3﹣5|
3．（2分）下列计算中，结果是a6的是（ ）
A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2 D．（a2）3
4．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
5．（2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1B． C．2D．2
6．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，
则x的值为（ ）
A．1B．6C．1或6 D．5或6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答
案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）化简： = ； = ．
8．（2分）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．
10．（2分）比较大小： ﹣3 ．
第1页（共32页）11．（2分）分式方程 的解是 ．
12．（2分）设x 、x 是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x +x ﹣x x =1，则x +x =
1 2 1 2 1 2 1 2
，m= ．
13．（2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是 上一点，则∠ACB= °．
14．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下
列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．（2分）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线
且EF=2，则AC的长为 ．
16．（2分）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱
形的边长为 cm．
第2页（共32页）三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组 ，并写出它的整数解．
18．（7分）计算 ﹣ ．
19．（7分）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学
校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．
（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（ ）
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均
数
第3页（共32页）20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一
步研究，请根据示例图形，完成下表．
图形的变化 示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有
关的结论
平移 （1） AA′=BB′
AA′∥BB′
轴对称 （2） （3）
旋转 AB=A′B′；对应线段AB和A′B′ （4）
所在的直线相交所成的角与
旋转角相等或互补．
21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵ ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
第4页（共32页）请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的
一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：
（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
23．（8分）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：
km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的
速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．
（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 L/km、
L/km．
（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．
第5页（共32页）（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
24．（7分）如图，在 ▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写
作法）．
25．（9分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测
P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tan ，以O为原点，OA所在直线为x轴建
立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少（ 取1.41，结果精确到0.1m）？
第6页（共32页）26．（8分）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别
相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．
（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．
第7页（共32页）27．（11分）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不
变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
（1）把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到
函数 y= 的图象；也可以把函数 y= 的图象上各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y= 的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右
平移 个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象；
（Ⅱ）为了得到函数y=﹣ （x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有
的点 ．
第8页（共32页）A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥
（3）函数y= 的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣ 的图象？（写出一
种即可）
第9页（共32页）2016 年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应
位置上）
1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车
系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达 70000辆，用科学记数法表示
70000是（ ）
A．0.7×105B．7×104 C．7×105 D．70×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n
是负数．
【解答】解：70000=7×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（
）
A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5|D．|﹣3﹣5|
【分析】由距离的定义和绝对值的关系容易得出结果．
【解答】解：∵点A、B表示的数分别是5、﹣3，
∴它们之间的距离=|﹣3﹣5|=8，
故选：D．
【点评】本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离；理解数轴上两点间的距离
与绝对值的关系是解决问题的关键．
第10页（共32页）3．（2分）下列计算中，结果是a6的是（ ）
A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2 D．（a2）3
【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．
B：根据同底数幂的乘法法则计算即可．
C：根据同底数幂的除法法则计算即可．
D：幂的乘方的计算法则：（am）n=amn（m，n是正整数），据此判断即可．
【解答】解：∵a2+a4≠a6，
∴选项A的结果不是a6；
∵a2•a3=a5，
∴选项B的结果不是a6；
∵a12÷a2=a10，
∴选项C的结果不是a6；
∵（a2）3=a6，
∴选项D的结果是a6．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指
数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a
可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要
熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相
乘时才是底数不变，指数相加．
（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
4．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的
第11页（共32页）平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满
足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；
B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；
C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；
D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的
关键．
5．（2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1B． C．2D．2
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA•sin60°=2× = ，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为 ．
故选B．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一
些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆
而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．
第12页（共32页）6．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，
则x的值为（ ）
A．1B．6C．1或6 D．5或6
【分析】根据数据x ，x ，…x 与数据x +a，x +a，…，x +a的方差相同这个结论即可
1 2 n 1 2 n
解决问题．
【解答】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，
∴x=1或6，
故选C．
【点评】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据x ，x ，…x 与数
1 2 n
据x +a，x +a，…，x +a的方差相同解决问题，属于中考常考题型．
1 2 n
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答
案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）化简： = 2 ； = 2 ．
【分析】根据二次根式的性质和立方根的定义化简即可．
【解答】解： = =2 ；
=2．
故答案为：2 ；2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根的定义，是基础题，熟记概念
是解题的关键．
8．（2分）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ 1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即
可．
【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
第13页（共32页）【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （ b + c ）（ 2a﹣3 ） ．
【分析】直接提取公因式b+c即可．
【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），
故答案为：（b+c）（2a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
10．（2分）比较大小： ﹣3 ＜ ．
【分析】先判断出 ﹣3与 ﹣2的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，
∴ ﹣3＜0， ﹣2＞0，
∴ ﹣3＜ ．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数与负数比较大小的法则是解答
此题的关键．
11．（2分）分式方程 的解是 3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x=3（x﹣2），
去括号得：x=3x﹣6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
第14页（共32页）12．（2分）设x 、x 是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x +x ﹣x x =1，则x +x = 4
1 2 1 2 1 2 1 2
，m= 3 ．
【分析】根据根与系数的关系找出x +x =﹣ =4，x x = =m，将其代入等式x +x ﹣
1 2 1 2 1 2
x x =1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解．
1 2
【解答】解：∵x 、x 是方程x2﹣4x+m=0的两个根，
1 2
∴x +x =﹣ =4，x x = =m．
1 2 1 2
∵x +x ﹣x x =4﹣m=1，
1 2 1 2
∴m=3．
故答案为：4；3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x +x =4，x x =m．本题属
1 2 1 2
于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与
两根之积是关键．
13．（2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是 上一点，则∠ACB= 11 9 °．
【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接
四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=122°，
∴∠ADB= ∠AOB= ×122°=61°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB=180°﹣61°=119°．
故答案为：119．
第15页（共32页）【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此
题的关键．
14．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下
列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角
形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．
【解答】解：∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴∠COB=∠COD=90°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确
第16页（共32页）∴BC=DC，故②正确；
故答案为①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS，
SAS，ASA，AAS，以及HL，是解题的关键．
15．（2分）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线
且EF=2，则AC的长为 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根
据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，
∴DB=2EF=2×2=4，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ = ，
即 = ，
解得AC= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似
三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．
16．（2分）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱
形的边长为 1 3 cm．
第17页（共32页）【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC= cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD= cm，
所以菱形的边长= cm．
故答案为：13．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组 ，并写出它的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．
【解答】解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，
解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
则不等式组的整数解为﹣1、0、1．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以
下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18．（7分）计算 ﹣ ．
【分析】首先进行通分运算，进而合并分子，进而化简求出答案．
第18页（共32页）【解答】解： ﹣
= ﹣
=
= ．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．
19．（7分）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学
校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．
（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（ ）
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均
数
【分析】（1）用九年级学生的总分除以总人数即可得出答案；
（2）根据条形统计图和扇形统计图不能求出众数和中位数，从而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：（80×1000×60%+82.5×1000×40%）÷1000=81
（分），
答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；
第19页（共32页）（2）A、根据统计图不能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误；
B．根据统计图不能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误；
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数不一定等于九年级学生成绩的平均
数，故本选项错误；
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均
数，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．一组数据中出现次数最多的数
据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数
据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指
在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一
步研究，请根据示例图形，完成下表．
示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有
图 关的结论
形
的
变
化
（1） AB=A′B ′ ， AB ∥ A′B ′ AA′=BB′
平
AA′∥BB′
移
（2） AB=A′B ′ ；对应线段 AB 和 A′B ′ 所在的直线如 （3） l 垂
轴 果相交，交点在对称轴 l 上． 直平分 AA ′
对
称
AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成 （4）
旋 的角与旋转角相等或互补． OA=OA ′ ，
转 ∠ AOA′ = ∠ B
OB′
【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；
第20页（共32页）（2）根据轴对称的性质即可得到结论；
（3）同（2）；
（4）由旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）平移的性质：平移前后的对应线段相等且平行．所以与对应线段有
关的结论为：AB=A′B′，AB∥A′B′；
（2）轴对称的性质：AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对
称轴l上．
（3）轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
所以与对应点有关的结论为：l垂直平分AA′．
（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．
故答案为：（1）AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如
果相交，交点在对称轴l上．；（3）l垂直平分AA′；（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．
【点评】本题考查了旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质，余角和补角的性质，
熟练掌握各性质是解题的关键．
21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵ 平角等于 180 ° ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3=180 ° ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再
第21页（共32页）根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；
证法 2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2
（∠1+∠ 2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】证明：证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3=180°．
【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．也考查了三角形内
角和定理和外角性质．
22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的
一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：
（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
【分析】（1）由天气预报是晴的有4天，直接利用概率公式求解即可求得答案；
第22页（共32页）（2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨
阴，阴晴，晴晴，晴阴，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵天气预报是晴的有4天，
∴随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率为： ；
（2）∵随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，
∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为： = ．
【点评】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
23．（8分）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：
km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的
速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．
（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 0.13 L/km、 0.14
L/km．
（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．
（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
【分析】（1）和（2）：先求线段AB的解析式，因为速度为50km/h的点在AB上，所
以将x=50代入计算即可，速度是100km/h的点在线段BC上，可由已知中的“该
汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km”列式求得，也可以利用解析式
求解；
（3）观察图形发现，两线段的交点即为最低点，因此求两函数解析式组成的方程
组的解即可．
第23页（共32页）【解答】解：（1）设AB的解析式为：y=kx+b，
把（30，0.15）和（60，0.12）代入y=kx+b中得：
解得
∴AB：y=﹣0.001x+0.18，
当x=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，
由线段BC上一点坐标（90，0.12）得：0.12+（100﹣90）×0.002=0.14，
∴当x=100时，y=0.14，
故答案为：0.13，0.14；
（2）由（1）得：线段AB的解析式为：y=﹣0.001x+0.18；
（3）设BC的解析式为：y=kx+b，
把（90，0.12）和（100，0.14）代入y=kx+b中得：
解得 ，
∴BC：y=0.002x﹣0.06，
根据题意得 解得 ，
答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确求出两线段的解析式是解好本题的关
键，因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两
图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来，是数学解题方
法之一，应该熟练掌握．
24．（7分）如图，在 ▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写
作法）．
第24页（共32页）【分析】（1）BF交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，
所以∠FGE=∠DCE，然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F；
（2）分别作BC和BF的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OC为半径
作△BCF的外接圆⊙O，⊙O交AD于P，连结BP、CP，则根据圆周角定理得到
∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是
可判断△BPC∽△CDP．
【解答】（1）证明：BF交AD于G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FBC=∠FGE，
而∠FBC=∠DCE，
∴∠FGE=∠DCE，
∵∠GEF=∠DEC，
∴∠D=∠F；
（2）解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另
一个图形放大或缩小得到．也考查了平行四边形的性质．解决（2）小题的关键是
利用圆周角定理作∠BPC=∠F．
第25页（共32页）25．（9分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测
P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tan ，以O为原点，OA所在直线为x轴建
立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少（ 取1.41，结果精确到0.1m）？
【分析】（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，
AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析
式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．
【解答】解：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．
设PH=3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα= = ，
∴OH=6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ= = ，
∴AH=2x，
∴OA=OH+AH=8x=4，
∴x= ，
∴OH=3，PH= ，
第26页（共32页）∴点P的坐标为（3， ）；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，
过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x﹣4），
∵P（3， ）在抛物线y=ax（x﹣4）上，
∴3a（3﹣4）= ，
解得a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x（x﹣4）．
当y=1时，﹣ x（x﹣4）=1，
解得x =2+ ，x =2﹣ ，
1 2
∴BC=（2+ ）﹣（2﹣ ）=2 =2×1.41=2.82≈2.8．
答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．
【点评】本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二
次方程等知识，出现角的度数（30°、45°或60°）或角的三角函数值，通常放到直角
三角形中通过解直角三角形来解决问题．
26．（8分）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别
相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．
（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．
第27页（共32页）【分析】（1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行
线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；
（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径
为r，由△AOD∽△ABN得 = ，得到AD= r，再由△GBD∽△ABN得 = ，
列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O
半径为r，
∵四边形DFGE是矩形，
∴∠DFG=90°，
第28页（共32页）∴DG是⊙O直径，
∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵OD=OE，OE⊥AC，
∵OD=OE．
∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，
∴AN⊥BC，BN= BC=6，
在RT△ABN中，AN= = =8，
∵OD⊥AB，AN⊥BC，
∴∠ADO=∠ANB=90°，
∵∠OAD=∠BAN，
∴△AOD∽△ABN，
∴ = ，即 = ，
∴AD= r，
∴BD=AB﹣AD=10﹣ r，
∵OD⊥AB，
∴∠GDB=∠ANB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△GBD∽△ABN，
∴ = ，即 = ，
∴r= ，
∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为 ．
【点评】本题考查圆、切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定
理等知识，解题的关键是利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于
第29页（共32页）中考压轴题．
27．（11分）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不
变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
（1）把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的 6 倍，横坐标不变，得到函
数y= 的图象；也可以把函数y= 的图象上各点的横坐标变为原来的 6 倍，纵
坐标不变，得到函数y= 的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右
平移 个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 y= 4（ x﹣1 ） 2 ﹣ 2
的图象；
（Ⅱ）为了得到函数y=﹣ （x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有
的点 D ．
A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥
（3）函数y= 的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣ 的图象？（写出一
种即可）
第30页（共32页）【分析】（1）根据阅读材料中的规律即可求解；
（2）根据阅读材料中的规律以及“左减右加，上加下减”的规律即可求解；
（3）首先把函数解析式变为y=﹣ = = ﹣1，然后根据（2）的规
律即可求解．
【解答】解：（1）把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，
设y′=6y，x′=x，将y= ，x=x′带入xy=1可得y′= ，得到函数y= 的图象；
也可以把函数y= 的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，
设y′=y，x′=6x，将y=y′，x= 代入xy=1可得y′= ，得到函数y= 的图象；
（2）（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不
变”的变化后，得到y=4x2的图象；y=4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”
的变化后，得到y=4（x﹣1）2的图象；y=4（x﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位
长度”的变化后，得到y=4（x﹣1）2﹣2的图象．
（Ⅱ）为了得到函数y=﹣ （x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有
的点先向下平移2个单位长度，得到y=﹣x2﹣2的图象，再把y=﹣x2﹣2的图象向
右平移 个单位长度，得到y=﹣（x﹣ ）2﹣2的图象；最后把y=﹣（x﹣ ）2﹣2的
图象的横坐标变为原来的2倍，得到y=﹣（ x﹣ ）2﹣2的图象，即y=﹣ （x﹣1）
2﹣2的图象．
第31页（共32页）（3）∵y=﹣ = = ﹣1，
∴函数y= 的图象先将纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到y= ；再向左
平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y=﹣ 的图象．
故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y=4（x﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系
中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移
加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，
上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
第32页（共32页）
