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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符
合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设函数 在 内连续，其中二阶导数 的图形如图所示，则曲线
的拐点的个数为 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并
且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由 的图形可得，曲
线 存在两个拐点.故选（C）.
(2)设 是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一
个特解，则( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程
的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估
系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知， 、 为二阶常系数齐次微分方程 的解，
所以2,1为特征方程 的根，从而 ， ，从而原方
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程变为 ，再将特解 代入得 .故选（A）
(3) 若级数 条件收敛，则 与 依次为幂级数 的 ( )
(A) 收敛点，收敛点
(B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点
【答案】（B）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.
【解析】因为 条件收敛，即 为幂级数 的条件收敛点，所以
的收敛半径为1，收敛区间为 .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
的收敛区间还是 .因而 与 依次为幂级数 的
收敛点，发散点.故选（B）.
(4) 设 是第一象限由曲线 ， 与直线 ， 围成的平面区域，
函数 在 上连续，则 ( )
(A)
(B)
(C)
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(D)
【答案】（B） y
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形，
所以 ，
o
故选（B）
x
(5) 设矩阵 ， ，若集合 ，则线性方程组 有无
穷多解的充分必要条件为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(D)
【解析】
，
由 ，故 或 ，同时 或 .故选（D）
(6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中
，若 ，则 在正交变换 下的标准形为(
)
(A)
(B)
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(C)
(D)
【答案】(A)
【解析】由 ，故 .
且 .
由已知可得:
故有
所以 .选（A）
(7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(C)
【解析】由于 ，按概率的基本性质，我们有 且
，从而 ，选(C) .
(8)设随机变量 不相关，且 ，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
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【解析】
，选(D) .
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
【答案】
【分析】此题考查 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.
【解析】方法一：
方法二：
(10)
【答案】
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
【解析】
(11)若函数 由方程 确定，则
【答案】
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令 ，则
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又当 时 ，即 .
所以 ，因而
(12)设 是由平面 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则
【答案】
【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.
【解析】由轮换对称性，得
，
其中 为平面 截空间区域 所得的截面，其面积为 .所以
(13) 阶行列式
【答案】
【解析】按第一行展开得
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(14)设二维随机变量 服从正态分布 ，则
【答案】
【解析】由题设知， ，而且 相互独立，从而
.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分) 设函数 ， ，若 与
在 是等价无穷小，求 的值.
【答案】
【解析】法一：原式
即
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法二：
因为分子的极限为0，则
，分子的极限为0，
，
(16)(本题满分10分) 设函数 在定义域I上的导数大于零，若对任意的 ，由
线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为4，且
，求 的表达式.
【答案】 .
【解析】设 在点 处的切线方程为：
令 ，得到 ，
故由题意， ，即 ，可以转化为一阶微分方程，
即 ，可分离变量得到通解为： ，
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已知 ，得到 ，因此 ；
即 .
(17)(本题满分10分)
已知函数 ，曲线C： ，求 在曲线C上的最
大方向导数.
【答案】3
【解析】因为 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.
，
故 ，模为 ，
此题目转化为对函数 在约束条件 下
的最大值.即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为对 在约束条件
下的最大值.
构造函数：
，得到 .
所以最大值为 .
(18)(本题满分 10 分)
（I）设函数 可导，利用导数定义证明
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（II）设函数 可导， ，写出 的
求导公式.
【解析】（I）
（II）由题意得
(19)(本题满分 10 分)
已知曲线L的方程为 起点为 ，终点为 ，计
算曲线积分 .
【答案】
【解析】由题意假设参数方程 ，
(20) (本题满11分)
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设向量组 内 的一个基， ， ， .
（I）证明向量组 为 的一个基;
（II）当k为何值时，存在非0向量 在基 与基 下的坐标相同，并求所
有的 .
【答案】
【解析】(I)证明：
故 为 的一个基.
（II）由题意知，
即
即
即 ，得k=0
(21) (本题满分11 分)
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设矩阵 相似于矩阵 .
(I) 求 的值；
（II）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵..
【解析】(I)
(II)
的特征值
时 的基础解系为
时 的基础解系为
A的特征值
令 ，
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(22) (本题满分11 分) 设随机变量 的概率密度为
对 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记 为观测次数.
(I)求 的概率分布;
(II)求
【解析】(I) 记 为观测值大于3的概率，则 ，
从而 ，
为 的概率分布；
(II) 法一:分解法:
将随机变量 分解成 两个过程,其中 表示从 到 次试验观测值大
于 首次发生， 表示从 次到第 试验观测值大于 首次发生.
则 ， (注：Ge表示几何分布)
所以 .
法二:直接计算
记 ，则
，
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，
，
所以 ，
从而 .
(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：
其中 为未知参数， 为来自该总体的简单随机样本.
(I)求 的矩估计量.
(II)求 的最大似然估计量.
【解析】(I) ，
令 ，即 ，解得 为 的矩估计量；
(II) 似然函数 ，
当 时， ，则 .
从而 ，关于 单调增加，
所以 为 的最大似然估计量.
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