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金榜時代
GLISTIME明德■弘改■催精09
Gl ISTIME，—09
I. 其及时时成I 大时时时时特质用变所用[
数数学学历历年年真真题题
全精解析•提高篇
全精解析·提高篇
编编著著◎◎李李永永乐乐`王王式式安安武武忠忠祥祥宋宋浩浩姜姜晓晓千千硕硕哥哥(薛（薛威威)）刘刘喜喜波波
章章纪纪民民 陈陈默默申申亚亚男男毕毕生生明明朱朱杰杰王王一一鸣鸣吴吴紫紫云云
主细建议I与《数学复习全书·提高篇》《数学基础过关660题》《数学强化通关330题》配合使用，学习更高效
与《数学复习全书•提高篇》《数学基础过关660题》《数学强化通关330题》配合使用，学习更高效
2
2
0
0
0
0
9
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-
-
2
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2
3
3
年年的的考考试试真真题题，，逐逐题题逐逐步步解解析析
真国页相
历历年年考考题题题题型型分分类类全全汇汇总总，，解解锁锁命命题题“套“套路路””
内内含含答答题题区区域域，，题题目目与与解解析析分分册册，，做做题题不不受受答答案案影影响响，,
升级优化
核核对对答答案案便便捷捷易易用用
考考试试时时看看到到题题目目，，模模糊糊地地记记得得书书上上看看到到过过同同类类题题目目，，但但清清晰晰地地记记得得自自己己没没有有做做。。
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N中中国国农农业业出出版版社社
V CCHHNINAAAAGGRRIICCUULLTTUURREE PPRREESSSS目录
目录
Contents
Contents J
第第一一篇篇最最新新真真题题
2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案………………………………………1
2023年全国硕士研究生招生考试数学（二）参考答案 1
第第二二篇篇真真题题分分类类解解析析
第一部分高等数学………………………………………………………………………11
第一部分高等数学............................................................ 11
第一章函数、极限、连续………………………………………………………………11
第一章函数、极限、连续......................................................11
第二章一元函数微分学………………………………………………………………35
第二章一元函数微分学......................................................35
第三章一元函数积分学………………………………………………………………71
第三章一元函数积分学......................................................71
第四章多元函数微分学………………………………………………………………94
第四章多元函数微分学......................................................94
第第五五章章 二重二积重分积…分 …..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..1
1
1
1
1
1
第第六六章章 常微常分微方分程方程… …..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...1
1
2
2
6
6
第
第
二
二
部
部
分
分
线
线
性
性
代
代
数…
数
…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..1
1
3
3
9
9
第一章行列式…………………………………………………………………………139
第一章 行列式 ..............................................................139
第二章矩阵……………………………………………………………………………146
第二章 矩阵 ................................................................ 146
第三章向量……………………………………………………………………………158
第三章向量.................................................................158
第四章线性方程组……………………………………………………………………167
第四章 线性方程组 ..........................................................167
第五章特征值与特征向量……………………………………………………………183
第五章 特征值与特征向量...................................................183
第六章二次型…………………………………………………………………………203
第六章 二次型 ..............................................................203第一篇 最最新用真真题题
22002233年年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试
数数学学(（二二)）参参考考答答案案
一一、、选选择择题题
(（11)）【【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】(（方方法法一一)）
e+ 1
k k= =l ilmim y 乏= =li mlilmnl ( nfeH-----\ == 11,,
x → x—1
→0
1
bb == lliimm(y( y—- kkxx) )== limlixmx ee+
x
x
—
- 1 1
1
)--11]
r→00 X工-→^o0o0 二
= limr [ In| (1+ 1 = lim 工 = e 1,
→m e(x—1) e(x—1)
1
则则所所求求斜斜渐渐近近线线方方程程为为' =y=x+ e —
e
r.1
(
(
方
方
法
法
二
二
)
) 、
y=
=
x l
H
n
l
|
n ( ( e e + + 占 1 )==工工+ +xl招n 1++ 1
—x—1 e(x—1)
=x+ 1 + [ 1 1 ,
= x + l+jxxllnn[1l ++ ^Ty]-|),
e e
e(x—1)
其其中中 → lliimmx(lnx [ l1n+[l+^ 1 4j)[ ]- , 7 1
e
)
=
=
0 ,
0
则
,则
所
所
求
求
斜
斜渐
渐
近
近
线
线
方
方
程
程
为
为
/ =
y
工
=x
+
+
§ 1
e
.
e(x—1)
（(22)）【【答答案案】】 DD..
1
[,1 d&x,, x1≤ w0 o,,
√1+x
【【解解析析】】 f/(（］x）)&dx == <
|(x + l)cos xdx> x > 0,
(x+1)cosxdx,x>0,
=
人
[Ilnn((xx ++√』Tx 2++ 11) )++ GC, , x«≤z <0 0,,
[((xx ++1 1)) ssini xn x++ ccoso xs x++ CC2 ?> ,xx >>0 ,0,
为为连连续续函函数数，所，以所以G C=? =I1 ++C C?2,,
儿
|/(x)dx =
人 fllnn((xx++ 7√x2x+2l+)1 +) +l+1+CC,, x
•
≤
r <
0
0
,
,
f(x)dx=
[((zx ++ 11))ssini xn +x +cocso 1s +x +CC, ,x•z> >0 .0.
（(DD)）为为正正确确答答案案..
·1 ·
-1数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析:提高篇（数学二）
(（33)）【【答答案案】】 BB..
【解析】 由递推关系可知，(x,),{y。}均为单调减数列，且为无穷小.
【解析】 由递推关系可知均为单调减数列，且为无穷小.
1
由由y少?== 万2, ,
H
y+
th
1 = = y : V 可 ：可 知 知 ， ,
=
1 2 1 22 1 2" 1 2-1·
( ) ( ) ( ) ( )
y?= ,y?= ,…,ya+1 =
2 2 2 4
2 π 1
x(0> —πx °<-<72 , ， 则 则由 由 X x i ? = = 2 ,x+:= = s i s n i n x x , „ 可 可 知 知 ， ，
7T
2 2 2 2 1 2 ,
x
Z
。
n+l
+
>
1
—
πx
Xn
,
>
> ("
π
>) x•,•1 •>>…(>*(
π
)) x?=
2
(
π
)
~2
21
1
( 1)
则则o0 V<
y
x B
m
+
+
1
1<
1
4
4 ( 2) →0 0 , , 故故当当n〃→ — 8时，时y,。以是是x,的的高高阶阶无无穷穷小小..
2 π
2
(（44)）【【答答案案】】 CC..
-a±√a2—46
—Q 士 Ju? — 4b·
【【解解析析】 】 微 微分分方方程程的的特特征征方方程程为为冒x2++办al++ 3 b = = 0 , 0 特 , 特征征根根为为λ九i, 2 z= 2
2
若若aa22 --4b 4>b0 >,则 0特,则征特方征程方有程两有个两实个根实且根λ且?A≠z尹λA?2..
微微分分方方程程的的解解为为v y== CG?eel"2 ++C C?2ee1?^2在在（(一- c8o,, ++c 8)上）上无无界界..
a
·
若若 aa22 —-4 4b6= =0, 0则,则λ人?1 ==λ Az2 ==——
2
乙
微微分分方方程程的的解解为为
3-
y
=
=(
（
C
G
?+
+
C?
G
x)
z
e
）
-
e
÷ ”，+在在(
（-
-
0
c
0
∞
,4
,+
-0
c)
0
上）上无无界界..
-a±√4b-a2i·
若 若 aa22--44b6<<0,0则, 则 λ A?.,2? == -a士
2
( √4b-α √4b-α2 x) ·
微微分分方方程程的的解解为 为y y= =eTe^+1（CG?ccooss —^~xx ++C G?ssiinn "% "*）.
2 2
如如果果此此解解在在（一(8-,,+
+
c o
o
)
o
上
）
上有有界界，，则则a a== 00,,进进而而6b >>0 .0.
因因此此答答案案选选(（CC)）..
【【评评注注】】 本本题题还还可可从从选选项项出出发发，，验验证证只只有有（(
C
C)
）
符符合合条条件件..
(（5
5
)
）
【【答答案案】】 C
C
.
.
【【解解析析】】 当当 t ttN≥0O时时， , ， {[ x x = = 3 t, y v = = 工 ^3 T s -s i i n nj工r *3. ·
y = tsin t,
\y = Zsin t, 5
〕
当 当 t y <0 o 时 ， 时， { r x y = = = - t t ' , s ‘ in , t, y y = = -x — s x i s n in z x. .贝 则 !1 y y = = { 〈 ■ 工 3 x 3 T- s si i• n n 工 ~3 x 6 r ~ , , x≥ •z > 0 0 , ,
=— isin -xsin x,x<0.
.一 xsin x, x < 0.
工-sin 工 -0
—3 •27 si• n —3 JC — 0zx -xsin x-0
则 则由 由 y j4 +( ( 0 0 ) ) = = l l i im m -——x-——==00,y*-(00))== l ilimm x 笑==0,o得,得y '7((00)) == 0 0..
→o+
x-*0+ x x工→一0 0 ?一 ~
人 1 x
- 3 1 -Ss. ilnn_工 3 X 十 +. _ 9 JC cCoOsS工_ 3 X,,x z > > 0 , 0,
y'(x)=
= v 0, x=0,
0, z = 0,
-sinx-xcosx, x<0.
—sin — xcos x, z V 0.
jc
· 2 ·
-2 -绍《癸202冬3年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试数数学学(瑚二)参参考考答答案案
由由此此可可知知y/'(（xX)）连连续续，，又又由由
1 cos
1 -s. in 工JC I 工JC 工JC -0
质3-sm —3 十+ —9cos —
3
— 0 = 2
,
y并4((0 0 ) ) = = l l i im m -——-——x --------—— 9 2
_。+ 工
— sin x-xcos x
y义"(（00）) == lliimm 二必*二
x
买空z ==--22,,
xx→-»00?~ Z
可知y”(0)不存在.
可知/（0）不存在.
【【评评注注】】 泰泰勒勒公公式式判判断断导导数数存存在在性性..
{ 4 工， s s i i n n y x = =专 工( （亲 x + + … ••• ) ） 二= x 号 2 ++……,,x了≥20。,，
y = 3 3 3 3 9
j, = < O 0 o \ O /
j
-—xxssiinn xx ==-—x x(（xx -—… •.•)） ==-—x 2x2+ +… ,x。时收敛，所以-(a)的定义域为a>0.
【解析】 广义积分 当α>0时收敛，所以f(a)的定义域为a>0.
J22 xx( (lInn xx))+
当a 0时
当a>0时，
2 =—
f()=「+0 8 0 d & x = = r+ + o 0 ° 0 ddlinn hx = _ 1 ] ++080 = = _] 1 _
f(a)=
0 J 2 2 xx( l(Inn xx))+0*11 J22 ((Ilnn 工x))+*1' aa( (lInn xx)°)° 2 * aa( l(Inn 2 2)·)°"
人 1 ,
0>.o , 0o<<αg<<--ln ,
In(ln 2)
记记 gg((aa))= =a( Ian( ln2 )2°)a, 9gg'(\aa))= (=In (2In) °2)+。a(+I na (2ln)° 2I)anl(nI(nl n2 )2.)<
1
<0, a>-
V。，a>-raT2)*
In(ln 2)
1 1
所以g(a)在ao =- 1 L °、点取得最大值，/Xa)在a。=一 j #芥点取得最小值.
所以g(a)在ao =一 点取得最大值，f(a)在ao=- 点取得最小值.
Ilnn((llnn 22)) ln(In 2) In(ln 2)
((77))【 【答答案案】】 CC..
【【解解析析】 】 由 由/(fx()x )== ((xx22++a)ae)2e可x可知知，，
ff'((x工))==(x(x22+ +2 x2工+ a+) ae)2ex,,
ff"" ((xx) )== ((xx22 ++4 4x工+ +a a+ 2+) 2e)2ex,,
要要使使得得yf((zx))没没有有极极值值，二，次二多次项多式项x2式 +x22x+ +2x a+a的的判判别别式式△ △= =4 4—- 44aa≤(00,,aa≥211;；
要要使使得得/f'((x*))有有拐拐点点，二，次二多次项多式项x2 式+4xx2++4(xa+ +(a 2+)2的)的判判别式别△式=△ 16= —16 4-(4a( +a +22))>>00,,aa<<22..
所所以以 aa∈ £( 1[1,,22))..
…
((88)) 【【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】((方方法法一一)) 分分别别令令(A()A()B()B(C)()C(D))(D选)项选中项的中矩的阵矩为阵I为?
…
,LI?,L,IA?,1，L4..
L = …
A A E E- ] [ F A E H "]I儿 ■|| AA || BB'- -B-*BA °A# ]r ["I| AA l| AABB*, ••• ] - ,
I:= _
I!=
0 B. 0 B.
-O B- Lo BJl OO |1 BB| A| °A-. ·
L
一A 4 E E]1，
不不能能保保证证I |AA\|AABB*- ==|A| |A| B| || BE ,| 所E,以所I以?L不不是是 ，,选选项项（(AA)）不不正正确确..同同理理，，选选项项（(BB）)也也
0 B.
-O B -
r
不不正正确确..
[ 「 A 4 E E ] l _[「 A A E E 7 ] 儿 「| BB| |A A**— -BB*A' ’A'] -
I?=
O B B .」' — LO o B b .」 L OO |I AA| BI °b-.
=
[ -A\A||\\BB|\EE —-AABB*'AA*' ++|| AAI |B B*…]
,,（(CC)）不不正正确确..
0
. O A\A|\|\BB|\EE .
·3 ·
• 3 •数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·二提提高高篇篇(（数数学学二二)） 》鸳夜巨:瞬藉
7
] 'A E ] - I.= F A E £ ] 1 儿 [-|| BB |1 AA'* —_A A*，B' ] . = [ ■|| AA l||| BBI | EE --|-A\ |AB\ °B'+ +|\A |AB\ °B--
r —
- 0 O B B . - 1 4 — - 0 o B b .JI OO |1 AA| B| °B- J 0 O |\AAl\\|BB\|EE .
=
[ ■|\AAl\|\BB|\EE 0 O ] - ,
- 0 O |\ AAI\I \ BB I\ EE.
选选项项(（D
D
)是 ）是正正确确的的。.
·
=
[ A A E E ' ~ ] A E I [ F A E' 1 〕 -1 1 =| A II B 1 [ " A A - - 1 1 —A 一 - A 1 —】 B-1 (-
(（方方法法二二)）
-O 0 B B . - 0 B1 L0o Be b . J
=|A||B|
- 0 O B B -1 l - ;
=
=
[ -|\AA|W|BB|\AA--11--1| AA| | || BB || AA/'BB1 ] - [ ■|| BB丨 1 AA** —-AA-*BB'* -
0
O |\AA|\\|BB\|BB~1' . OO |1 AA| | BB'--
【 【评 评 注 注 】 】 · 本 本 题 题 用 用 到 到 分 分 块 块 矩 矩 阵 阵 的 的 逆 逆 或 或 伴 伴随 随 ， ，设 设AA e .,B，3。 e
= =
)_ A A C C * '] • AA C c | [A A C C * ~儿 -1 [ A-1 —A-1CB-1 ] [■|| BB| | AA*-—一A *AC，CBB'— ],
・O
O
B
B
.
.·
O
O
B
B -
O
O
B
B
.
-
==|1 AA| || | BB| |
.
0
O
B
B
-
-
1
1
= O
O
| 1 A A | | B B ' - J
= =
[A A O° Q- 1 • A A O ° [C 0 o ] - 1-1 [ " A A - ~ 1 l 0 O ] - [ ■ |1 BB || AA"- 0 o ] - ,
- C C B B . . · C C B B ;- C C B B . . ==|1 AA| ||| BB| | — B B- 'C 1C A A- -1 1 B B -1 1. = .—一 矿B *CCVA' | 1 A A | B | ° 矿」'
[C
B C
A
O
“
A . -
] • = C
B C
A
O A
「C
B c
A
A O
"
~
-1
==(（-一11)广* |I AA| || |BB| I
『
4
0
-1 — A-
B
B 1
-
O
1
1 R-1
]
-B O- B o -B O- -A^CB1
1
[ I A | ■,
O ||A|B*
=(一1)
· |B|A*——A A*COB*'.
=
)0 O A A ' ']' 0 O A A 1 [r0o AA - ] --i1 [ • — - B B -1CA-1 B B -1 1 ] '
B C. B C B C.
==(（-一1)1） E || AA |I|I BB| 1
A-1 0
-B C- B C\LB C- A-1 O -
[—-B -BC*ACA' * \ |AA |\ BB*' ] '
=(-1)”
=（_/ 0
.|I BB| 1 AA'" O -
—
（(99)）【【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】(（方方法法一一)） 配配方方法法
(（Xx1? ++x X?2)）22 ++(x（工?+1 x+? 工)32 尸—一4(4x（?X—2 一x ?了)3）22
—
=
=
x
X
i
?
+
+
2 x
2X
?
1
x
X
?
2
+
+
x
X
2
2
+
+
x 1
X1
+
+
2—x
2
?
X1
x
X
?
3
+
+
x 隽}-一4x
4
2
x|
+
+
8 x
8
?
x2
x
x
?
3
-
—
4
4
x
x
2
1
=2x1-3x1-3x3+2x?x?+2x?x?+8x?x?
=2xi — 3x| — 3x| + 2xiX2 + 2工1了3 + 8x2x3
==22 [ [(（xZ?i ++ 号 1 x互? ++ 1 x? ) ） 2 ---- 1 — - x2— 1 x3— — - 1 yxx?2xx?3 」 ] - — 3 3 x x i f - — 3 x2+ + 8x 8 ? x x 2x ? 3
2 2 4 4' 2
1 1 2 7 7
== 22(（xX;1 十+ 1 2 x ^ ? 2 十 十 . ~2 1 2x^3? ) — 21 % x2玖- -- 2 --x^33 ++7 x7x ?2xX:3
1 1 1 7
=2| ( xZ,l 十+ $ 2 1x2? 十+ 2 X? ) 2 (x?—x?)2
正正确确答答案案为为(（BB)）..
(（方方法法二二)） 合合同同变变换换法法
2 1 1 尸
■2 1 1 ■
,
1-3 4
二二次次型型对对应应的的对对称称矩矩阵阵AA== 1 -3 4
1 4 —3.
_1 4 -3.
· 4 ·
・4 --
—
您 《 癸 20 年 23年 全— 全 国 国 硕 硕 主 士 研 研 究 究 生 生 招 招 至 生 考 考试 试 数 敬 学 学 ( （ 二 三 ) ） 参 参 考 考 答 答 案 案 ? 4
—
2 0 0 1 0 0
~2 0 0 ] 2 0 0 尸 r 1 0 0 -|
z u u
- 2 2 1 1 - - 1 3 1 3 4 1 4 1 [ 0C - 7 2 7 2 —2 7 2 7 0 0 - 一成 7 2 7 0 o 0 0 0 0 - - 0 0 1 1 0 0 0 0
[ A [ = 1 4-3 0n 7 7 7 7 0 0 0 1 √2
1 4 -3 0 T2 -T2 0 0 0 1 _ VL -_11
r 1
1 0 0 1 √2 2√7
E E . 1 —0 0 1 1 11 一- * --11 y/2 2a/7
11 - 1 1 2
0 0 1 1 0 0 2 2 2 2 2 0c √ 72 2 1、
_ 0 0 10 0 1 1 - 0 0 11 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 √ 4 — 1 7 1
L0o 00 11」
00 (0 0 1 1 _ 0 0 0 0 1 1 .
1 √2
1 V2 -1
—1
√ V2 2 22√777
令令pP_=_ 00 √ 也 2 1 , ,x x = = P P y y , , 则 则 f f = = y 1 yi - — y2 境 . .
1
√7
VF/1
0 0 1
0 0 1
（(方方法法三三)） 特特征征值值 7
2 .1 1
2 .1 1 n
1-3 4
二二次次型型对对应应的的对对称称矩矩阵阵A A== 1 -3 4
1 4 —3.
」 4 -3_
a-2 -1 -1
A-2 -1 -1
由由 || AλE—E-4A l| == - -1 1 λ A + + 3 ：3 — -4 4 ==λA((Aλ ++ 77))((Aλ-3-3) )== 00,,得得 AA的 的特特征征值值为为 33,,--7,0,
--11 --44 λA ++3 3
故故正正惯惯性性指指数数为为11,,负负惯惯性性指指数数为为11,故,故选选(（BB).）.
（(方方法法四四)） 可可逆逆线线性性变变换换
人z?=x;+x。,
Z] = X1 + x2»
令令Y x z z 2 ? = = x X1 ? + + 工 x? 3 , , 则 则 / f = = x i+ + z2 Z - 2 4 — ( 4 z （ ? 。 -z 一 ? 五 )2 ） 2 = - = 3 — z1 3 好 -3 — z2 3z + f 8 + z ? 8 2 — 2 羽 . ・
z?=x?,
、恋 ，
3 = 13
再再由由配配方方法法、、合合同同变变化化法法或或特特征征值值..
『-3 4 0
-3 4 0一
4-30
二二次次型型对对应应的的矩矩阵阵4A== 4 -3 0 ,,人A的的特特征征值值为为次1,-一7,70,,0正,正惯惯性性指指数数为为11,负,负惯惯性性指指数数
0 0 0-
_ 0 0 0_
为为11,,故故选选(（BB)）..
(（1100)）【【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】设设 γ=x?a;+x?a?=x?β+ +x? 了β。,即,即
y = xiQi + x2a2 = aA 4 2
x; C a l\ : + + x X ? 2U a 2 ? — -x ^ ? 3 β fll — -x Z ? 4 β “2 = = 0. 。. ( ( * * ) )
下下面面求求解解该该方方程程组组：： 7
12 -2 -17 100 3
~1 0 0 3 "
[a;，,。α，?—,夕-β，—,-怯β]]= 21-5 0
行行初初等等变变换换
0 0 1 1 0 0 - - 1 1 ((行行最最简简形形)),,
[«1 2 1
31 -9 —1. 001 1
0 0 1 1 _
人x?=— 33x?9,
JC\ =z
方方程程组组((** ))与与Yx工?=x?, 同同解解，.
2 = X4 ,
x?=—x0?
·5 ·
• 5 •数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学二)
x? -3
1
x?
通解为x= =x? -1 ,x?∈ R.
X?
1 2
x4
(2'
γ=x?a;+x?α?=—3x? +x? 1
3
1
-3 2
=工， -6 十工 1 = k 5 ,k =—x?∈ R.
-9 1 8
正正确确答答案案为为((DD))..
二二、、填填空空题题
((1111))【【答答案案】】 一-22..
【【解解析析】】 由由题题设设知知
z2
ax+bx2+x一
ax+I bx, 22 +II n1 (1+1 x)、 ar + bx2 + x----2+o+(ox(2x)2)
11 == l liimm 皿 +气 +就1+力== lliimm--------------------?--- ----------
c21— cos x x2
→l0。 e，一 cos 工 x l → 。 0 [[]1++工x22++o。(3x2))]]_-[ [ ]1_- 苏 + + o 。 ( ( x 了 22) )1]
2
((aa ++1 1))x工十+ ( (bb一-- 1 2 捽 )x +2+。o(了(x2)2) ,
= lim
=lim-------------3-----------------------------»
→l0。 ^-xx22++oo((xx22))
2
则则 a ==-—1 ,1b==2. 2故.故a bab ==-—2 .2.
q
4
((1122))【【答答案案】】7√33++j-nπ。.
3
【【解解析析】】 、y== 「 √媚3的-td定t的义定义域域为为[[-一√3,,,√屈3],，所所求求弧弧长长为为
J - -V 3 T
r厅Vs 、[__1__+__y—2 dx= 花r万VT √,__4__-__r__2 dx=2了r 5 VT √,__4__-__x__dx
5s二 = 5a/1 + y2 Ajc = 5 \/4 — x2 dx = 2 \/4 — x2 dx
J ~yy J —vs* j 0o
r i = = 2 s 2 i s n i n t / f寻f 8 cos_' td, t = 4 ff 量 ( (1+cos 2t)dt=√3+ 4 4 π。
,"' 8 cos2idz = 4 (1 + cos 2t)dl = 4^ +
3
J 0o J 0o 3
3·
3
((1133))【【答答案案】】 一 2·
公・
【【解解析析】 】当 x 当= xy= =y= 11时时，，#e+'；2+z==11,,得得zz ==0 0..
方方程程eez2 ++ x
j:
=
z
2=x— 2xy —两 y边两对边x对求x偏求导偏
a
，
z
导有，有
ax
ee2* ·•a教x 十 + 之z +十 *x a静x ==
—
22.. ①①
①①式式两两端端再再对对xz求求偏偏导导数数，，有有
az az
e e 2· (a a y z x )) 2 + + e 2 e · ‘ ・a a —x 2 2 z 2 + + a L x + a L x + + x z Ta a ~x 2 22 x = =0 ° . ・ ②②
\OT / dx2 dx dx dx2
将x = y = l,z = 0代入①得a孚z| I == 11,,
将x=y=1,z=0代入①得
3oxx| I ((11.,11))
Ox a2x 3
再 再将 将 t x = = y y = = 1 l , ,z x = = 0 0 , ,a|^x ==1 代1 代 入 入 ②得 ② a 得 x2 I =— V 2· *·
ox dx I ((11,.11)) Z
·6 ·
, 6 •《2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案
11
((1144))【［答答案案】】 一一晋.
9
【解析】将x=1代入3x3=y?+2y3得y=1.等式3x3=y?+2y3两端对x求导得
【解析】 将X = 1代入3x3 = + 2j3得y = 1.等式3x3 = + 2y3两端对x求导得
9x2=5y?y′+6y2y'.
- 9x2 = syy + 6yy.
9
将将xz= =1, 1y，=v1 =代 1入代上入式上式得得y′y ((11))== 号,，所所以以，，曲曲线线3^33 x=3 =J/y5 ?++ 22yy33在在xz= =1对 1应对应点点处处的的法法线线斜斜率率
11
11
为七 为 一 F9 11 。 。
1·
。
((1155))【【答答案案】】 y2.
门
【
【解
解析
析
】
】
f/((xx))ddxx— = J f/((xx))ddxx ++ [ /f((xx))ddxx..
x=t+2
•3 /f((, x x))ddj , xc — X = — t + 2 ff{(tt ++2 2))ddtz == f f/((xx ++2 2))ddxjr
= 0 J 0
门。 1
[f(x)+x]dx= f/((xx))ddxx ++ {,
[/&) + x~\dx = 2
0 o = Z
力 1 1·
J f/((xx))ddxx == J f/((xx))ddxx ++ J ff{(xx})ddxx ++ ~一^ ~ =—J_
2 2
0 2 一万.
((1166))【【答答案案】】 88..
【【解解析析】 】 已 已知知题题中中方方程程组组有有解解，，所所以以r(rA()A )== rr((BB)),,
a 01 a 011
a 0 r a 0 1 r
1 a 1 1 a 10
其其中中AA ==
1
1
2
Q
a
1 ,
,B
B
=
=
1
1
2
a
a
1
0
0
1 2 a 1 2 0
q
a b 0 a b 02] —
.a b 0. _a b Q 2_
a 01
a 0 1
又又因因为为 1 1 a a l 1 = = 4 4 ≠ 丈0 0 ,所 ,所以以 r r ( ( A A ) ) = = 3 3 , ,从从而而 r r (B ( ) B ) = = 3 3 , , | | B B | | = = 0 0 . .
1 2 a
1 2 a
a 0 1 1
a 0 1 a 1 a 0 1
a 1 a 0 1
1 a 10
1 a 按4列展开 1 2 a +2 1 a 1
|BB|= 2 a + 2 1 a 1
12 a 0
1 2 a b 0 1 2 a
b 0 1 2 a
a b 02
b
1 a 1
1
= 8一 1 2 a = 0.
=8 — 1
a b0
a
1 a 1
1 a 1
1 2 a =8.
所所以以 1 2 a =8.
aa bb 00
三三、、解解答答题题
(
(1
1
7
7
)
)
【
【
解
解
】
】((
I
I
)
)
设
设
曲
曲
线
线
V
y
=
= y(x)在
在点
点
&
(
,
x
少
,y
处
)处
的
的
切
切
线
线
方程
方
为
程
Y
为
—
Y
y
- y
=
=
y
y
f (
'
X
( X
—
- x
x
)
)
,
,则
则
在
在
、
y
轴
轴
1
上的截距为y-xy',从而有x=y-xy',即y′- x'-y =-1,解此方程得
上的截距为y — xyr,从而有x = y — xy .即3/-----y =— 1,解此方程得
x
yyC(xx)) ==x (xC(C-I —n Inx )x.).
·7 ·
-7 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇■((数数学学二二))
由由 y3^((ee22)) ==0 0可 可知知，，CC ==2 ,2则,则y (x)=x=( 2x—(2 I—n Inx )x.).
((Ⅱ D))
设
设
曲
曲
线
线
y
y
=
=
x
x
(
(
2
2
—
- I
In
n x
x
)
)
在
在点
点
(
(
了
x
以
,y
)
)
处
处
的
的
切线
切
方
线
程
方
为丫
程
一
为
了
Y -
=
y
3
=
/
y
(
'
乂
(
一
X -
1
x))
,令
,令
X
X
=
=0
。
得
得
x
YY ==y厂-x书y''==x工,,令令YY ==0。得得XX == I畚n 丁x—该1切,该线切与线两与坐两标坐轴标轴所所围围三三角角形形的的面面积积为为
1 x2
Ss(x&)=T
2
1 X
州
Y=
=疝
r2
&
5,，
2(ln x—1)
(2ln x—3)
则则SS('Gx))== f^^,，令令SS("x))==0°得得驻驻点点，x==e』t,，且且当当eeV>0 ,0故,故S(Sx()x在)在x=xe2=处 e取i处最取小最值小，值最，最小小值值为为S(Se(2J))= =e .e因3.因而而所所求求点点为为((G，号e* ) ),，所所围围
2
三三角角形形的的最最小小面面积积为为e3e3..
f.=e"+x=0,
{(ffx = e008 y + x = 0, k
((1188)【)【解解】】 由由匕； 得得驻驻点点为为((一-ee'i->1 ^,,如kπ)以)(=k=00,,±士11,,……))..
f,=-xsin ye2my= 0'
=-xsin /e00" = 0
可
可
计
计算
算、A ，
=
A =
f
f
'n
。
=
= 1
1
,
,B
B =
=
f ,
f
=
,
- s
=
i
—
n
s
y
in
e "
ye
'
C
,
M
C
y
=
,C
f "
—
, =-x
=
(c
—
os
x (c
y
o
-
s
s
y
i
—
n2
s
y
in
)
2
e
>
^
)e
"
c
y
os
.
>,
在在驻驻点点处处，，判判别别式式△ =△ B=B。2一-AACC= -=e'--e1>0, 不0,是不极是值极点值，点，
当当kk为为偶偶数数时时,△， =△-e=2 ->0 0,,
此此时时函函数数取取极极小小值值为为
,
e2
f(-e,m =一§，以为偶数).
f(-e,kπ)=- ,(k为偶数).
2
((1199))【【解解】】((II))所所求求面面积积为为
1
d
= =—
+00 dx dx x
S=
—
x√1+x2 .1
x2 1+ ( 1
)2
1 1+ (
1
)
?
x x
=—In (1 + 1+ 1 ) +0a = In(1+√2).
x x2
1
((ⅡR))所所求求旋旋转转体体体体积积为为
V =π dx =π [++08(/11 11 )X dx
Jl1 xx22((l1 ++xx22)) . J 1 . Wx2 11++xx22；
π
=
=
—
—
π
*
(
(( 1 x§ ++ aarrccttaann x | +00 =π (1—- )
4
1
【【评评注注】】 第 第 I I问问的的积积分分计计算算还还有有其其他他方方法法..
=
方方法法一一 令令 t t== √/工x2 2++ ]1 ,,sS ==
J
f
匹
+
√
0
t t
2
2
山 d
— -
t
1
1
1
=
2
- 1
乙
|- -lInn t
t t
1 —
+ i 1 l
1 +
√^2
0
2
0 == Ilnn((7√2 2++1 1))..
1 x= tmt 中 sec2t 丁量
方方法法二二 5=
x √ J1 1 + +x / 2
-dx
情
―
t ta an n
s 」
t Z s
c
e s c e
'
c
—
t ' t
d dtz ==
J
[
青十
2 cesscc ttddtt
X 4
量
==-—InInl c| secsct +t c+o tco tt t| | :==1nln((√722 ++1 1))..
量
((2200))【【解】解 】曲曲线线x2 x+2 y+2y —2 -xxyy ==1 1, ,xx22 +yy22- —xy x=y2 =的 2极的坐极标坐标方方程程为为
rǐ= 1 1 ,r2= 2 2
“ 11— — ccooss θOssiinn O0 '' \1 —— ccoos sθ ^ssiinn θ'
·8 ·
-8 -。
《2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案
. 《202 3年全国硕士研究至招芭考试数学 参考答案
（=2
。
1 √ · 1
则4订辛护dx心dy == 「d阿θ -产(3心打茹荀·• rrddrr
3x2+y2 √ (3cos2θ+sin2θ)
= = 传。 [*3 作 I \ n n √ \[ 2 2 · • ----27 1 ^；— d;。d0
3cos2θ+ sin26
J o 3cos20 + sin20
= 1 dtan 0
l^In o2· 仔 dtan 0
= *2 n2・J° 3M+Pt atann2节0
0
= In 2 tan θ 号
蛙·.a racrtcatann 竺W
2√3 √③ 0
2^3 V3 0
√3ln 2.
_ V31n 2π.
三 24
((2211))【【证证明明】】 ( I( I))由由泰泰勒勒公公式式可可知知
f(n) f(n)
f(x)= f(0)+f(0)x+ x2=f(0)x+ x2,其中η介于0与x之间.
/(X)= /(O) + f (0)了 + 2! =，(0)l + 2! ，其中"介于。与 Z 之间.
(m)
则则 f /( ( a a ) ) = = f f\ ( O 0 ) ) a a + + 2! a a 2 2 » , ( ( 0 0 < <； η ^ < < a ) a , ), ①①
Z!
f”(n)
/(一 a) =-/(0)a +乌衬 a，,(—a V恰 VO), ②
f(-a)=-f(0)a+ a2,(-a<η<0), ②
2!
Z!
a2
①①++② ②得得 f/( (aa))++/f((—-aa)) == ¥[[，f(η颌))+子+，”((宓n))]].• ③
③
2
又又子r”(x()x在)在以[n，,小η]]上上连连续续，，则则必必有有最最小小值值mm和和最最大大值值MM..而而
1
mm≤ 品[/[(f小”)(+n/)*+(f争(n))]]≤VMM..
2
1
由由介介值值定定理理知知，存，在存 $ 在 6 E [ ∈ w [n i , ] η U ] ( C - ( a - , a a ;a ) ) & ,使 得得尸f ( ( f e ) ) = = y2E [f” /( ( 7 η i) ) + +f / ” /( ( ? p 2 ) ) ] 1 .
1
代 代 入 入 ③ ③ 式 式 得 得 f / ” (? (E ) ) = = a 4 2 [〔f，((aa))++f /((--a )a])]..
a
((Ⅱ U))设设f
/
(
(
x
x
)
)
在在x
Z
?
o
∈ E( -(a―,。a,)。取)取得得极极值值，，则则f广(x&?
0
))=
=
0, 由
0,
泰由泰勒勒公公式式可可知知
f”(E)
f/((xx)) == ff((x工?o))++ fr((xio?))((zx —-xZoo))++ 2! ((xx ——x x?0))22
”(2)
=/(xo) +乌目& — io)?,其中S介于io与]之间，
=f(x?)+ 2! (x-x?)2,其中=介于x。与x之间，
f”(5)
则 则 / f (— (- a a ) ) = = f /( ( x x o ? ) ) + + f ((―- qa - — x Z 。 o 尸 ) ， 2 ( , 一 ( Q - a V < 5 & < V x。 J；。 ) ) , ，
2!
f”(5?)
/(a) = /(x0) +』并)(a — x0)2，(工o V 包 V a),
f(a)=f(x?)+ (a-x?)2,(x?<∈≥2^ lI ffC(aa))--ffC(--aa))1 .|.
2a2
1 1
100 = 1 1 1
-1 0 0一 「1 1 1 -
(（2222）)【【解解析析】】（(II）)AA == AAEE == AA 0 0 1 1 0 0 = 2 2 - 一 1 1 1 1
0 0 1 0 .1 —1
_0 0 1. _0 1 -1_
1-λ 1 1
1 -A 1 1
2 -1-λ 1
((Ⅱ口))令令 I |AA--AλEE || == 2 1-A 1
0 1 -1-λ
0 1 1 一 A
1-λ 1 2+λ
1-A 1 2 + A
22 --11--λA 1-1(-1(1++λA)2)2
(1+λ)c十(
(1+QC2+C3
1 0
0 1 0
==-—(λ(A ++2 2))((义λ一-22)()义( +a +11) )== 00
求求得得AA的的特特征征值值为为人λ1 ;==-—1 ,1λ,义2? ==-—2, 2λ，人?3 == 2 2..
先先求求解解方方程程组组(A( +A+ EE))xx == 00
1
211 10
「2 1 11 2
A+E= 201 行行变变换换
A + E= 2 0 1 --------
010
010.
000
(（AA ++E E)x）x= 0=的 O 通的解通解为为x= 乂k ;=(知-1（,一0,12,0),T2,）k丁?以∈］e R R..
取A的属于λ;=-1的特征向量为5=(-1,0,2)T.
取A的属于义1 =— 1的特征向量为& = （― 1,0,2）丁.
再再求求解解(A( +A+ 22EE)x) x== 00
1
311 100°
「3 1 r ri 0 on
A+2E= 211 行行变变换换 011
A + 2E = 2 1 1 0 1 1
011 000
3 1 i_ 0 0 o_
(
(A
A +
+
2 E
2E
)x
)x
= 0
=
的
0
通的解通解为为x =
x
k
=
?(
S
0,(1
O
,
,
-
l,
1
—
) π
l)T
, k以?
2
∈
6
R
R
.
.
r
取A的属于λ?=-2的特征向量为5=(0,1,-1)T.
取A的属于人2 =— 2的特征向量为& = (0,1, — 1)丁.
最最后后求求解解(A(A--22EE))xx == 00
- - 1 1 1 1 1 1 - -110 0—-44”- ,
A A - -2 2 E E = = 2 2 . - — 3 3 1 1 行行变变换换 00 11--33
_ 0 0 11 --33-. 0 0 0 0 0 0 _
((AA -一2 E2)Ex)x= 0=的 0通的解通为解x为=xk ?=(4心,3(4 ,
,
1
3
)
,
?
1
,
)T
k? ,应∈
3 e
R
R
.
.
取取AA的的属属于于义λ3 =?= 22的的特特征征向向量量为为& 5== (（44,,33,,11），)
[-10
-1 0 0
-1 0 4' -1 0 0'
令令 PP ==[ [5g,l，5§2,，&s3]〕== 0 0 1 1 3 3 ,，则则 PP--'1AAPP == 0 0 - - 2 2 0 0
2 -11 0 0 2.
_ 2 - 1 1_ .0 0 2.
·-1100 ·-此第二篇 真真题题分分类类解解析析
第第一一部部分分 高高等等数数学学
第第一一章章 函函数敬、、极极限限、、连连续度
二二.、极极限限的的族概念念与与性性质质
U(（22001177,,33题题)【）【答答案案】】 DD..
【【解解析析】 】 由 由于于S(”x｝,收}收敛敛，令，l令imlxi„ m=x, =a ,a则,则由由（A(）A知)知sisni naa ==0 ,0此,此时时a不a不一一定定为为零零，,aa可可以以等等于于
n~»8
→00
π式,,22式π等等..则则（A(A）)不不正正确确，，同同理理（(BBX)(CC）)不不正正确确，，而而由由（(DD）)知知
sin a =- a.
sin a =— a.
此此时时，，只只有有a a==0 0,故,故应应选选(（DD)）..
❷2(2（022022,26题,6题)【）【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】(（方方法法一一)） 直直接接法法
π π
由由于于当当一一岑"≤V工x,“≤《普时时，，00由≤ccooss x了。”差≤11,,而而ssiinn xX在在[0［0,1,1]内］内单单调调且且连连续续，，则则由由lliimmssiinn(（ccooss xx,„)）
2 2
Z Z —
n-*oo
存存在在可可知知
limcos x.
limcos xn
→n—080
存存在在，，但但lliimmx%,未未必必存存在在，，如如
→n-»0o0o 人 π
-f,, n"为为奇奇数数，，
x。= 2
I.— < π
普，n"为为偶偶数数，，
2
U
则则lliimmccooss xxn, ==0 ,0l,ilmimsisnin(（ccooss xx,„)） ==0, 但0,l但imlixm。z不” 不存存在在，，故故应应选选(（DD).）.
→n-0*08 n-*°o n→—800
(（方方法法二二）) 排排除除法法
·11 ·
・11数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
人 π
_
2
7t , n为n为奇奇数数，,
~~2
令令x
Z
。
” =
= π
2, nn为为偶偶数数，,
.~2
则limcos(sin x,)= limcos[(-1)”]= cos 1,
贝!]limcos(sin xn) = limcos[(—1)”] = cos 1,
n—8
→n-»0c0o →00
lliimmssiinn((ccoos sx nx), )== llimimsisni(nO()O )== 00,,
→80 n—»oo
但但lliimmx*。,不不存存在在，Jilmimssini nx x„。也也不不存存在在，故，故排排除除(A(A))((BB))((CC)),,应应选选((DD))..
→n-*080 “f 8→0
、/1解题加速度
解题加速度
1.【答案了A
1.【答
【【解解析析引手法一击)- ） 直接直接法法：：
由由 llimimaan。-Qa,,且且Qa尹≠0。,，知知llimim \|aa„,\l== || aa || >>0 ,0则,则当当n〃充充分分大大时时有有
”一»
n-*oo +86 lal
,
\an\> 号'
la.|>
2
故故应应选选(（AA)）..
(方法二) 排除法；
（方法二） 排除法：
2
若若取取aan ,—= 22 ++ —n ,,显显然然aa ==2,2则,则(B（)B和）和(D（)D都）不都正不确正确；；
n
2
若若取取aa。„ == 22一 — 2
n
,
,
显
显
然
然
a
a ==22,则,则(C（C)不）不正正确确..
n
故故应应选选(（AA)）..
2
2
.
.
【【答答案案】】 D
D
.
.
1 1 1
【【解解析】析 】若若13"x =?= 11 ++ 4,口x3什?】+1==11 ++厂也1 ^,，Zx3?n+m2+ 2== 2 2++ \ ,,则则
3n' 3n+1 3n+2
3n 3n-t~ 1 3n + 2
lliimmix3?” 。= =11»,llimimxx3H?-i+ 1== 11, 但limx?2==2, 2故,故lilmimx。z” ≠尹 11..
0
→00 0n~0*o° «*—n*-0*oo0oo n~*8
三三、、求求函函数数的的极极限限
0(（22001144,5,5题题)【）【答答案案】】 DD..
1
【【解解析析】】由由题题设设,，/（fE(）e)==
1
出
+÷
r, ， 从从而而题题设设等等式式化化为为
x
arctan x=
arctan x = 厂手b,，&5 ∈6((00,,xx))..
1+≈
x
并并解解出出？ 2 == arcta—n x 一 — 1 1 . . 于 于 是 是
arctan x
空 x— arctan x x— arctan x
li.i m x f 2 2 = l l r i i m m 七 x x 2 — a = r a c r h c tm t a a n n —x x $ -- = - -- l -l V - i i -m m --- x ---- - — --- a -x- r -3 c x- t - a - n -- - x -
xx→-*0o x
x
x
→
-o
0
x arctan x xX→—0o x
1
1- =
1 — 1rq+xr-2； x2 1 ,
= lim = lim
=既 ~33xP2- ¥罗 3x2 (1 + x2) T3
3x2(1+x2)
→0 →0
即即选选项项(（DD)）是是正正确确的的..
·12·
-12・第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续
[r -= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =-『
||
【
【评
评
注
注
】
】本
本
题
题
以
以
等
等
式
式
f
/
((x
X
))=x
=
f ’
x
(
/
8() e)建
建
立
立
了
了
6与
g与
x之
了
间
之
的
间
关
的
系
关
，
系
此
，此
等
等
式
式
就
就
是
是
函
函
数
数
f
/
((x
X
))II
''在在区区间间((00,,xz)]上上应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理所所得得到到的的。.本本题题的的本本质质是是求求极极限限.. 'I
!!== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
1
业4/(（22000099,,1155题题）)【【解解】】（(方方法法一一）) 当当 zx →—0 0时 时，，11 ——c cooss xx ～〜-2y - x x 2 2 , , s s in i 4 n z ' x 〜 ～x 工 2 ' , ， 则 则
乙
1
(1-cos x)[x-In(1+tan x)]
-2yxx22[[_xx -—I lnn((1l ++t atann xx))]]
lliimm ( 1 — cos c) [z — ln( 1 + tan «r)] =_ lim
sin'x 四——s祐in'x一
→x—00 sir?] →0
1
= 1- 1 sec2x
1 x—In(1+ tan x) 1 1 、 + . tan x sec2x
] lKimm 工 二ln(] + tan z) lim 1 十 tan x
x2
2 2 2x
2 xx→—00 u →0
x-»0
= 1 1+ tan x— sec2x = 1 tan x— tan2x = 1
1 lliimm l+tanM — secf = 1_ l临im f鲍 * 二 tan^ = 1
2 2
x
，
→
-
0
。 22xx((11+ + tatann xx)) 4 4 →氏0 x 工 4 4
1
-x2[x-In(1+tanx)]
(1—cos x)[x-In(1+tan x)] ■2~x2[_x — ln(l + tan x)J
(（方方法法二二）) l [ i im m (1 — cos z)[z
si
—
n'
l
x
n(l + tan z)] =
=
l
既
im
——s顽in'7x一
→x—00 sin4x r→0
=
1
1 l,i m —x —I nln((1l+ +ta tnan xx))
2
hm-----------x-2
=v →0 x2--------------------
Z x-*o
x—一 [ttaann Hx一- t 啰 an2x + 心)] ] z
= 1 2 +o(x2) x2
= 2— l li i m m -------------------x-25------------------ ( ( I ln n ( ( l 1 + + x x ) ) = =x x 一 — —2 ++o o((x.x22))) )
→0 x \
Z x-*o Z /
tan2x
= 1 ((xx— — ttaann xx)) 十+2 工 ++o o((xx22))
lim
=V2 lim ---------------------------------x---2-2----------------------------------
乙 xx→-*00 X
=
1 tan2x 1
,
lim-
4 x2 三 4
→P
x— tan x
其
其
中
中
l
l
i
im
m
工
x
一
2
十== 00.
→L00 X
注注意意：：当当X x-►→ 00时时，，z x—- ttaann x,x-—s isninx ,zs,siinnx工-t一antaxn都 Z是都x是的z3阶的无3阶穷无小穷，小这，这是是一一个个常常用用的的
结结论论..
「= = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = , = = = = = = = = = = = = = = = * = .=（
0
|“| 【【_评 评注注】】 本本题题是是求求左n 型型极极限限..方方法法一一主主要要是是利利用用洛洛必必达达法法则则和和等等价价无无穷穷小小代代换换；； "II
0
|| U it
j
［方方法法二二主主要要是是利利用用泰泰勒勒公公式式和和等等价价无无穷穷小小代代换换..
@
5(2
（
0
2
1
0
1
1
,
1
9
,
题
9题
)【
）【
答
答
案
案
】
】
√晅2.
.
【 【解 解 析 析 】 】( （ 方 方 法 法 一 - ) ） li 皿 m (1+亨 2 21 ) ） 4 * 上 = = 既 lim ｛［ 1 1 + + 2号1 2 -1 1 ］2勺2 1 -1}尝会
x→0 0
2*—1 2*ln 2 = In 2,
而lim 2，一1 = lliimm 空 In 2
2x 2
→0 2x → x-» 0 0 2 Z ~2-
1
1+2±
则 则 l l i im m (： .2 )），=e=Y 2e=军 e=1vez逐 =√=显2..
2
0
(1¥+f2=*)I 1 imem 理( ) ,
(（方方法法二二)） lliimm
2
= lime
→x—00 x→0
· 13 .
-13・►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高■篇(（数数学学二二)）
1+22
l1 n(/1 + 2')\
布 r \ 2 2 ) lInn((1l++22-)')—-lInn 22
而[H] lliimm -------x--------= = l l im im -------------x------------
xx→-*00 X. x x → -»0 0 X.
2*ln 2
== lliimm #蜷(洛
(
必
洛必
达
达
法
法
则
则
)
)
1+2*
十
= X—0 J. Z
,
ln 2
_ In 2
=~22~"
则临((上 1+ 投 2* ~)) 1 ， = = e 4=√2.
则lim = a/2 .
2
→0
((方方法法三三)) 对对于于““11”°°””型型极极限限可可利利用用结结论论：：
若
若
l
li
i
m
m
a
a
(
(
x
x
)
)
=
=0
0
,
J
l
i
i
m
m 伙p(工x
)
)
=
=
8
co
,
,
且
且 l
li
i
m
m
a(
a
x
(
)
x
j3
)
(
p
x
(
)
x )
=
=
A
A
,
,
则
则
l
l
im
im
(
(
l
1
+
+ a
a
(
(
x
x
)
)
)
)^
z
x
)
>
=
=
e
e
?
A
.
.
=
1
由于((15+22 ) =((1】++ 2 号 +— ) 1 七) 1,
由于
2 2
2+—1 22ln 2
In 2·
贝!|lima(x)j9(x) = lim ~~- == llimim 之迪 2 =
则lima(x)β(x)= lim 2x 2 三 2
→x-*00 →x-*00 uJC → x-» 0 0 Z u
l1而im(
(
1
上
+
誓
2*
。
) 1
’
=
=
e￥
e^2
=
=
√
V
2
2
.
.
2
→0'
x-*0 \ Z /
" 【【评评注注】】 本本题题是是一一个个““H1”””型型极极限限问问题题.. "
II 1 II
" 方方法法一一是是将将原原极极限限凑凑成基成本基极本限极e限=eli=mli（ml(+1+*x）)+的的形形式式求求极极限限；； "
工x→0
II f 0 II
: 方方法法二二是是将将原原式式改改写写成成指指数数形形式式，，然然后后用用洛洛必必达达法法则则；； :
: 方法三是利用关于“广”型极限的基本结论求极限. »
方法三是利用关于“1~”型极限的基本结论求极限.
: 以以上上三三种种方方法法是是求求““I1"”"型型极极限限常常用用的的三三种种方方法法，，第第三三种种方方法法往往往往最最为为简简单单，，并并且且第第三三:
''种种方方法法所所用用的的结结论论很很容容易易证证明明。. ''
" llimi（ml(+1+aa（(工x））)")=l=imli{m[｛1［+la+(ax)（z]）西］志} 1 z｝ )Az》=e?. "
II II
.. 该该结结论论在在以以后后求求解解““11”°°””型型极极限限时时可可直直接接用用。. ••
|1L11_1 — — — — — — — — — — — — — — — _ 一 — — _ — — _ —— — — - — — — — — — — — — — — — — 1 —— — — — — ——- Jj-
□
(（2
2
0
0
1
1
3,
3
9
,9
题
题
)【
）【答
答
案
案
】
】√辰e.
.
=
1 1,
［解析】(（22-~ I ln n （ ( 1 1 + +x J ) ）)）7 = (（11 ++ rx一 - Ilnn((l1 ++x z)) )) +
【解析】 x x
x一z2
x一
( •z —守 2 ++o o((xx22)))) = 1
lIiimmxx--lInn((l1++xx)) = lim
x2 Px2 2
→x—00 →0 ~2
1
则li吁(（22 -- I I n nQ (1 ； +x 巨 ) ）)）， = = et e + = = √ 框 e. .
则lim x
→0
”7
【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查““1L”””型型极极限限的的求求法法。. "
[
t(
(e÷-1)-t]
dt
||(（22001144,,1155题题)）【【解解】】(（方方法法一一)） lim 1
1
→+0 x2ln((1+ )
x2ln(1+
工
·・
1
1
4
4 ·
-第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
[
[
r(-1)-小m
d
= = l 临 im 匚 L [心一?一 (（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→了+―00 x2· 1
+00 X2 •x1—
X
[ er —x]
= lim x2( ( 1 -1 ) (（洛洛必必达达法法则则)）
→+=
1
x=t
e'—1—t
lim
t2 (（变变量量代代换换)）
→0+
e'—1
= l
→
i
o
m
+ 2t
（(洛洛必必达达法法则则)）
=
1
2
1
[[ 2( (e÷-1)) -t] dt t2(( (-1)-1}] dt
(（方方法法二二)） lim 万L 1 = + lim 1 1 （(等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→+00 x21n(1+ ) x2·
x
工
= lim [ x2((er1 -1) 一x7.[ (（洛洛必必达达法法则则)）
→+01
= lim [ x3( ( x 1 +; 2! 1 x2 +o ( x 1 2 二 一x 7.L (（泰泰勒勒公公式式)）
→+0|
= 1·
1 ,
22
8 Q ( ( 2 2 0 0 16 1 , 6 1 , 5 1 题 5 题 )【 ) 解 【解 】 】】lliimm((ccooss 2 *2 x++ 22zxssiin nz )x，)?== lliimm[[1l ++( c(cooss2 x2-z 1—+ 21 x+s i2n;r sxin) 了]”),
xx→—00 x—0 x→0
2 i2 • 「[一 ( 曾 2x)2 + + 砰 (2x) +
+o
。
(
3
x?)
)]]++22 中x [x一—辛 x3 +
+o
心
(x3
)
)
] ]
cos 2x-1+2xsin x 2! 4! 3!
lliimm cos 2。一 1 十 2zsm 工 =_ l]i血m L 2! 4! ^ 」 L 3! 」
x? x?
x→0 x→0 X4
J—0 X4 X—O 。
1
-x? =
3 1
= lim
x2 3
→6
原原式式=
=
e
e
+
+
.
U9(*2200171,71,15题5 )题【)解【解】】j √ Jh x— — Ctee'Wd - x --- - -- ( -- = -- u ---j ue~"du == e e'JJ √\[uuee~-udduu,,
。 0
1x 10 10
√x-te'dt e2 √ue-*du
x
lim = lim 0
x→o+ √x →o+
√ue-du
x
= lim 0 ((llimimeex 2== 11))
→o+ g→0*
lo+
√xe- = 2
= lim x+ ·
→o+
3 3
2
①皿(（2200181,89,题9题)【）【答答案案】】 11..
x2
. . x2
【【解解析析】】 lliimm xx2 2[a[racrtcatna(nx( +x+ 11)) —— aarrccttaann xx]]== lliimm ——g , (（拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理)）
1+
x→+00
。15
・15・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
这
这里
里
x
x
<
<
e
e
<
-! , L£ -11～ I In n X x )
hm ---------------= lim In x e z — J. x
→+0,x(e￥-1) →x-*++<0» In
— 1) jc
=-1,
=—1,
1
原原式式==ee-11 =— e1'
e
amg1ta2
33..【【解解】】(（方方法法一一)） lim [l 业 n( x 1+x)]2-1 == lilmie l m nb .， l e王 0,可知(S.)为单调增加数列.
【解析】 由于a“>0,可知｛S,｝为单调增加数列.
当当{｛&S.}｝有有界界时时，,{｛aa。.｝}收收敛敛，，即即lliimmSS,,存存在在..
”一*
+008
反反之之，，｛a{”a｝。收}收敛敛，｛，&{｝S却.}不却一不定一有定界有.界举.例举子例a子. =a, =11,,显显然然有有｛a(a_,J}收收敛敛，，但但S“S ,== n”是是无无界界的的..
故故数数列列{｛SS.Q)有有界界是是数数列列{化a.”}｝收收敛敛的的充充分分非非必必要要条条件件，，选选((BB))..
[106((22001111,,1199题题))【【证证明明】】((II ))由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理知知，，存存在在t∈((”n,,*n ++1 1)),,使使得得
1
Ilnn((1l++§ 1 )) = ln(n + 1) - In n = -y,
n =In(n+1)-In n=
5
=
1 1 1 1
则则
n
—
+1
<
>
I n
ln
(
(
1
1 +
+1
1
)
)
+
+
1
I
n
n((]1■ ++ $))++…... ++1Inn((11 + n^-))—— IInn nn
2
==IInn2 2+ +( l(Inn3 3- —In I2n )2+) …+ …+(+I n(l(nn(n+ 1+) 1-)I —n Inn n))- —I nIn nn
==1lnn((nn ++1 1)) -—I nIn nn >>0 0..
从从而而数数列列{修a.”)｝有有下下界界，，故故该该数数列列收收敛敛..
「 【评注】 本题中(I )是对一个不等式的证明.高等数学中有两个常用的不等式：
【评注】本题中(I)是对一个不等式的证明.高等数学中有两个常用的不等式：
N π II
: ((l1)s)isni xn 】0>, 故f故(1)冲=1是=唯提一唯极一小极值小，值即，即最最小小值值.•
x=1
1
（(ⅡH）)由由（(II)）的的结结果果知知IInn 1x+*x2≥11,，从从而而有有
1 1
ln x。+ <1≤1n x,+x,
In xn H—xm—+1 V 1 < In 石 + —.
z* xn
于于是是4x, ≤< x1,即，即数数列列{x(.x}单j单调调增增加加..
1
又又由由 lInn xxn ,++ —^― V
<1 ,
1
知
,知
l n
In
x
x„
。
<
< 1
1
,
,
得
得而
x。
，V
了x1? >>0 0..
n~*8
+00
1 1
在在不不等等式式1Inn Xx., ++ — <<1 两1两边边取取极极限限，，得得llnn aa ++ -a< ≤ l 1 . .
xJm+i1 Q
1 1
又又 IInn aa ++ a— ≥^ 11,,故 故 llnnQ a + + 【a = = 11,可,可 得 得 aq = = 1 , 1 即 , BP l l i im m x x „ , ==1 1 . .
a cl L8
lr = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =j|
" 【【评评注注】】本本题题主主要要考考查查一一元元函函数数极极值值的的判判定定和和数数列列极极限限的的单单调调有有界界准准则则.. "
IL _ __________________________________________ - _J|
x
=
1
x
[ 1 E 9 < (2 2 0 0 1 1 4 4 , ,2 2 0 0题题）)【【解解】 】 f2 f （工 ?( ） x = )= / f ( ( / f i ? ( ( X x ) ) ) ) = = 11++ f f f A ? /? (x工 】(& ) ) x)) 1+ 1 1 I + + x x Z z = __ ] 1 + + X 2 2 x z， ;
1T+Tx^
……
。
= x
f / ? 3 ( (x x ) ) = =f f ( （ f h 。?( （] x ） ) ） ) = =
ff2?((x工))
1 — +
工
3x ;
1l++f/?2((xx)) 1 + 3/
x
由由数数学学归归纳纳法法得得f九,(&x）)== M(（*n ==1 ,12，,23,,3…,…)）..于于是是
1+nx
x 1 1 1
S&.==£ 长&dx == H
n.
((1-1-d&x==
n
1 llnn((l1 ++n n))
1+nr 1+nx m2
同 0 n n2
(1-Ilnn((l1 ++n n))\=_1 .]
故故 lliimmnnSS。. == lliimm (] — n
n ) ,
0n~»8 n-**o0o0 \
g20[((22001166,,1100题 题)【)【答答案案】】 ssiinn 11 —-c cooss 11..
1 1 2 n
【 【解 解 析 析 】 】 lliimm -i- ((ssiinn — n ++2 s2siinn — n ++… ••+• +n snisinn n —)
n2
n \ w Tl /
n-*oo W
= lii. m 1 1 (/ 11 si. n 1 1 + .2 2 -.s in 2 2 + . …+ .n n -.s in n n
lim ——n I ——nsin n 1 nsin n nsin n——
0»—oo n \ n n n n n n
。21 ·
・21・。
► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提■高■籍(（数数学学二二)）
=
1
+
=f xxssiinn x dxxd x==—-x xccooss xx + [ ccooss xxddxx= =s isni n1 —1 — c cooss 11..
J o 00 Jo
e31 —1
2311]((22001188,2,12题1题)【)解【】解(】方(法方一法)一由)于由当于z>当0x>时0时，b，-le>2-z1>,x则,则由由X! x>?0>0,知,知e%e 2== ~ 1 >>
X?
1,x?>0.
1 ,了2 >
e3+—1
若若Xx*? >>00,则,则e2e+*1 == 土呈>>1 知1知x+工1>+0 >,即 0数,即列数{列x｛,与)下｝下有有界界..
x?
e2·-1 e2·-1·
由由 xx,„ee'x^*1 == ee七'。一-1 1知知 eex'-n-*i 1== ---x--,----， , 工 x 什 +1 ]= = I In n ----------
~ 工4。
x+1-x。= 11 n e eJ 2 - · — - 1 1 -In1 e3x· = I1 n e e 2 x» · — — 1 1·
z—i —Jcn = \n---x--,-------In e - = In--x--,-e-3—*
工~n x„ex-
令
令/
f
(
(
x
x
)
)
=
= x
x
e
e
'
x
-
—
( e
(e
2
x
-
—
1 )
1
,
)
x∈
G
( 0
[
,
0,
+ c
+
o
8
),)则
,则
f (
/(
O
0
)
)
=
=
0 .
0.
f
f( (工x
)
)=
=
e
e
2
x
+
+
x
x
e
e
2
x
-
—
e
e
2
x
=
=
x e
x
'
ex
>
〉
0,
0
x
,
∈
z £
( 0
(0
,
,
+
+
c o
°°
)
)
,
,
则则 /f((xx)) >>0 0,,xxeex2 >>e e2x- -1l,,xx∈ E( 0(0,,+ +cooo))..
e2·-1
Sx+i1 ——x 。== IInn © " 1 <x>00时时,，广e一21-1>>1x,,则则由由勾x?>>00,,Ke2 2== —— >>11可可知知，,了x2? >>00,由,由归归纳纳法法
x?
可可知知x石。>> 00,,即即{｛zx”。｝)下下有有界界.由.由xnxe,x^e' m=? =ee七2-一-11知知
= e'— e°
e1·-1
ex2 1 = ex» x 。 1 eJ" — e° = er? <, e3工 , ( （ 拉 拉格 格 朗 朗 日 日 定 定 理 理 ，其 ， 中 其 o 中 V 0 & <= < < x。工“ )）
x。-0
工n 一 0
由由于于ek'单单调调增增加加，，故故
z
x
*
+< xV.与,即，(即x。｛石)单｝单调调减减少少，，由由单单调调有有界界准准则则知知(｛石x。｝}收收敛敛..设设
li
l
m
i
z
m
”
x ,
=
= a
a
,
,
n-*oo
→0
等等式x,式e'm == ee'。—一- 1
1
两两端端取取极极限限得得
ae2= e*-1.
aea = ea — 1.
由此解得a= 0.
解题加速度
—
1.【分析本题是一个“1””型极限，可利用“1~””型型极极限限的的基基本本结结论论求求该该极极限限..
—
1 2 1 1 “2
= tan = tan 1 1
1 2 n tan-n-------n--
【解】 由于
(ntan
n
)
1
1
1
+
+ 1
n n
n
tan 1 n 1 n tan n 1 n 1
n n ·n2= lri m n n ,
而而lliimm 1 lim------1--------
0n-*°o n → n~ 0 * 0 8 ( ( - n J ) ) 3 3
n n
0.
这
这
是
是
一
一
个
个 ““g””型型数数列列极极限限，，不不能能直直接接用用洛洛必必达达法法则则，，通通常常是是化化为为相相应应的的函函数数极极限限后后再再用用洛洛必必
0
0
达达法法则则，，为为此此考考虑虑极极限限
·・
2
22
2
·・第 第 一 一 章 章 函 函 数 数 、 、 极 极 限 限 、 、 连 连 续 续 (0(i=1,2,…,m).
lim 仇：+ 成 + …+ 4 = maxa,,其中 a, > 0（3 = 1,2,••・，?《）.
”*f080 1 1, 1≤i《m
由由于于 0 0<< aa >
b
a b “
“
=
四
lim
（
(
a
a
-
-
”
+
+
b ?
"
*)
）1!== l既im J ( G
a
1 )）” + + (（｝ 1) ）" = 7
a
1 -
b
0
→0
；' 【【评评注注】 】本本题题属属liml i%m√；+a1呢+a?++・…"++a4m (a（a;；>>0)0型）极型极限限。. :
I →n~0*08
: 方 方 法 法 一 一 是 是 将 将 mm个个底底数数a;a中,最中大最的大提的出提来出；来方；方法法二二是是利利用用夹夹逼逼原原理理；；方方法法三三是是利利用用此此类类:
*'极极限限的的一一个个常常用用结结论论，，该该结结论论可可用用方方法法一一和和方方法法二二中中的的两两种种方方法法来来证证明明，，以以后后该该结结论论可可直直:
"接接用用，，会会给给我我们们带带来来方方便便，，如如 "
I
（
I
| lliimm 7√1 1++ 22"" ++3 3"”,,l liimm J ”[ l1
__
++
__
x
_
工”
__
”
_ _
++
__
(
_
（
_工
号
___
) ）
__
&日0）, |
U
（
(x≥0),
2
。 人乙/
8 →n-*0c0o V
«都都可可用用该该结结论论求求出出。. "
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = H
3
3
.【
.【
证
证明
明
】
】(（I
I
)
）
当当O
0
≤ x≤1
1
时 时，口x
”
'
v
√
T
I-x
f
2 ≥
N
x
z
*
*
1 √
J
1
T
-x2
f
,则
,则
J x"√』\1 —-x I2? d&x≥ > x**1 √1-x2dx,
Xn 工+ >/1 — x2 dx,
0 700
·23 ·
・23 -—
一
。
。
►数 学历数年学历真年题真全题精全解精析解·析提•提高高篇篇(数（数学学二二)）
即即aa,” ≥2aa+1+,从，从而而数数列列{a｛a.”}｝单单调调减减少少..
a。= 1
aR = J xx"' √\/1 I—- xx22 ddx x==—- J xx"。~-1' dd((1l --x 2x)2 1)y
3 酬
=—10
1 +n-1 1
=-§工x~11((1i- _x2 f)÷)"| 1： + -:2(1(1— 一x /2))手*d&x
3' 10 3 0
= = n "
3
-1名 x :z ° ： l2 - 2 J \ √ — 1 - — x 2 d & x— - n " -
3
3 1 1J xx"° y√/1 1—- xx22 ddxr
= 0
= n 圣 - 丁 1 ! (j xx"-~2z √y/1I —- xx22 ddxx -- J xx°n √1 —I- xx2d drx) )
3
= 0
n-1
(a — a.)
3
n-1
从从而而有有％a。 == 岸a~,-2?（(”n == 22,3,3,…,・“)）..
n+2
(Ⅱ)由于(a.}单调减少，且a,>0,则
（fl）由于｛%｝单调减少，且＞0,则
a. a。 a。
≤〈;旦≤〈a务.=
=
1
1
.
.
a-2 a-1
Ql2 Q n—1 Q n
a。 a.
又又lliimm == lliimm n " —1 : =
=1 ,
1
由
,由
夹
夹
逼
逼
原
原
理
理
知
知
，
，
l
l
i
im
m
==1 .1.
a-2 n + 十 2 a=-1
n-*oo Q l2 0n~*8 71 4 ”—8 Q
五五、、确确定定极极限限中中的的参参数数
,
2困2((22001111,,1155 题题))【【解解】 】当当 aa W≤ 00 时时，，lilmi mF (xF() x=)+=+oco;；当当 aa>>0时 0 时，，lilimm FF((xx)) == lliimm 成ln(】1土+x2])),
ax~1
xx→ »++0o0o +0 x→+00 QjC
若若 00 >1 1,,则则
+00
2x 2x
l l im im F F ( ( x x ) ) = = l l i im m --------,、 2 — x /i i~~F7 = l l i im m ------------ 2 -- x ---------1---- = = 0 0 . .
xl→++800 一x-4-oao (a a(a- —1) 1x )x~ 2((11 ++x x2z)) x→ + +0 0 aa((aa- —1) 1x)°了。 ( (11 ++
x
/
2
) )
以以下下只只须须考考查查aα>> 11时时极极限限→ llii omm
+
FF((xx)),,
limF(x) = lim Ilnn((l1 切+x2))
lim F(x)= lim ax—1 (（洛洛必必达达法法则则)）
→0+ x→o+
x~*o+ 皿 l
zo+
x2
= = l h i m m — X2 J- （(等等价价无无穷穷小小代代换换)）
g+ ax“1
x-»0+ 0^
=
1
=1 lliimmxx33--a
α
xo+
Q z+
人 0, α<3,
0 9 a V 3,
= 1
1 , a=3々,
= 113"， Q = 3,
、++ o8, , αQ >>3 3..
故故当当 11 V<α a V<3 3时 时l ilimmF F((xx))= =l ilimmFF((xx))= = 0 0..
x→o+
+A0+08 x—0+
2瓯3((2200181,81,题1题)【)【答答案案】】 BB..
2-14x2
4 ______1L__ =1=e°,
【【解解析析】】li ml(iemx (+e 2a+xa2 x+2 +bx)==l ilimm[[1l ++( (eb2 -—1 1+ +ax a2r+2 b+x t)e] ) ?]<-x-1i+2«22+m^ ~~~ = 1 = e°
xx→-*O0 →x-*00
e2-1+ax2+bx
则
则
l
li
i
m
m
e二二 1 土
x2
笋，±& ==0 ,o即,即
→0 一
x-*0
·24·
・24 -第第一一章章 函数、、极极限限、、连连续续 <<
e2-1+bx e2+b
aa ==-— lliimm e'=
x2
l# =- lliimm
2x
"》 (（洛洛必必达达法法则则)）
xx→-*00
X
→x-*0o 2x
e2—1
=—lliimm e' T (b=-1)
2x （b - - 1）
=—→0
1 ,
1
2
2
1
则则 aa ==—-
2
,b==-—1 ,1故,故应应选选((BB))..
乙
、/1解解题题加加速速度度
【
【解
解
】
】
2
2 =
==
l
J
i
im
mt
t
((a
a
x
r
+
+
b)
6
e
)e
÷
^
-
—
x ]
x
=
] =
li m
li m
b e
b
t
e^
1 +
+
l
li
i
m
m (
(a
a
z
r
e^
e +
—
- x
z)
)
十
1
==b+bl+i mlixm( xa(ea÷e^ -—1 )1), 9
→+00
1
即
即
22-—b》= =lilmim xx((aaee7 -—1 1))
x→+00
1
= lilimm xz((ee+* -—1 1)) (（aa == 11)）
x→+00
x-*4-oo
1
= lim x
lim x • x (（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
x→+00 x
=1,
1,
则则 aa == bb= =1 .1.
六六、、无无穷穷小小量量及及其其阶阶的的比比较较
g24(］（220O09O,92,2题题)【）【答答案案】】 AA..
x— sin ax
【【解解析析】】(（方方法法一—)） 由由题题设知设li知m 既福1岩==11.•又又
x2In(1—bx)
x→0
x— sin ax x— sin ax
lim x — sm ax = l 1血 im 工— sin ax （(等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→0 xx'2Ilnn((l1 —-b bxx)) →x—00 - — b b x x 3
1 — acos ar
= lliimm —acosaz (（洛洛必必达达法法则则)）
—3bx2
xx→—00 —3&r
1 —cos x
= lliimm —cosz
—3hx2 (a==1,1否,否则则与与题题设设矛矛盾盾)）
→x-*00 一3如
1 x2
2
= lim
lim ——3—bx—1y （(等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→x-*0o — 3&c2
=—
1
1
=1,
6b 1,
66
1
则则bb ==—-
6
，,故故应应选选(（AA)）..
D
(ax)3
(（方方法法二二)） 由由泰泰勒勒公公式式知知ssiinn aazx== aaxx一 籍
3!
^ + + o o(x(3/)),,则 则
5!
x — [ [ a a x r — - ( ( a 急 x) 2 3 - ++o O( ( xx33)) ]
x— sin ax 工一 3!
l li i m m f 匚*?半二== lliimm
→
x-*
0
o xx2^Ilnn(d1——bbxx)) xx→-*o0 xx22Ilnn((l1 —— bbrx))
· 25 ·
. 25 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提高篇(数数学学二二)）
w（
a3
((11 —- aQ))«xr ++ 3! +o + ( x o( 3 x ) 3)
= lim
→0
_________________
一—
__
b
_
蜡
_
x
__
3
_________________ (（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
=1.
=1.
人1-a=0,
1 — a = 0,
a3 1
由此可解J弓 解得a = 1,6=—#.故应选（A）.
由此可解- 解得a=1,b=- .故应选(A).
3! 9
电==11,， &
-b
x— sin ax x— sin ar
(（方方法法三三)） 由由l → l ■ i r i — m 0 m 0 2 x I z 2 n l ( n — 1 ( l s m — — b a b x x x ) ) = l → l
l
ii
o
m 0 m 37 — - — ： b b x x 11 3 严 = = 1 i , , 知 知 a 。 = = 1, 1 则 ,则
1
x3
x— sin ax T6x3 ,
11 = lri m x 一 sin ar = lri m 6
1 = lim-------b ； x―3x—— = 0l im— — b ； x—3 r
r→0 —叱 x-o — bxi
lo
1
从从而而bb ==—-
6
o
F
1
II 【【评评注注】】 方 方法法三三最最简简单单，这，里这里用用到到一一个个常常用用结结论论：当：当x→00时时，，工x一-ssiinn *x～〜 x3. II
it 6 II
0
it
L
困25(（2200111,11,1题题)【）【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】(（方方法法一一)）
3sin x— sin 3x 3cos x—3cos 3x
lliimm 3sinx
c x
-
?
sin 3x = lliimm 3cos
C
x
kx
-
2
3
=
c
1
os 3x (（洛洛必必达达法法则则)）
0X—0 CX 0 X—0 c奴i
- sin x+3sin 3x
= 3o li. im— sin x + 3sin 3x
3 lim (（洛洛必必达达法法则则)）
ck(灰—1)1广)x
→r-*O0
= 1 — sin x 3sin 3x
c24(1l一 血im *
2x
£ ++ l1i而m 3血
2x
3z)
(以k== 33))
→工一0o 2x →0
= 1 ( 1 9 )=1
c 2 十 2
由由此此得得cc= 44..
(（方方法法二二)） 由由泰泰勒勒公公式式知知
z3
ssiinn x x== xx一 —寿 ++o。(&x33)),,
3!
(3x)3
ssiinn 33xx == 33xx一 —(*)—+|o- (ox(x33)),,
3!
3!
x3
(3x)3
则则当当 zx -→► 00 时时 ff((xx)) == 33ssiinn xx -—s siinn 33«rx == 33xx— — %--—--33xx ++〈号，—+Fo o((xx33))
2 3!
o ■
乙
==4x43x3+ o+( ox(3x)3～)〜4x43x.3
故
故互
k==3
3
,
,
c
c
=
=
4 .
4.
3sin x- sin 3x 3sin x-3x+3x-sin 3x
((方方法法三二) )lRimm 3sin zc x—* sin 3z = lliimm 3sinx-3x + 3x-sin 3x
cx1
→ X— 0 0 ex = → x— 0 0 CX
1[lliimm 3
3
(
(
s血in *r一—玖x)
++l liimm
3
3
x
x
—
~
si
r
n 3
3
x
x
]
x2 x*
C → x— 0 O →X—00
·・226 6·・—
—
第第一一章章 函函数散、、极极限限、、连连续续
-L
= , 33· •(（—§ 1 工 -x 3 3)） 1 (3工x)）33
1 6 9
lim +lim
=c — lim------x-2--7--------- F lim--x-?-- ?----
c 0X—o x H→—o0 x
= 1 1 + 9
( )
c 2 2
(（kk == 33)）
— = 8
8 =—1 1,
2c
故故 cc= = 4 4..
30
(
（2
20
0
1
1
2
2
,
,1
1
5
5题题）)【【解解】】（(
I
I )）由由题题意意得得
1 x+x2-sin x
a = l li i m m (1 s 1十 i + n 工 1 x x )=_ l]jimm z + x — s 2 i n — x sin 工
xx→—00 sm x →x-*0o xsin x
x+x2— sin x x— sin x
= lim =11+ +l ilimm 三—sin 工
x2 x2
x→0 — →x—00
1
-x3
-I-X3
6 1
=1n 1 + 十 lI i1 li . m m — 6 x 25— = = 1 - 1 .] , (（其其中中 jxt —-s siinn x- -～---- 6 jr ) 3 ）
→工 0 x
-o
（(Ⅱ）)（(方方法法一一）) 因因为为
n
f/（(xx） )—- aa= 1
s
1
i
++
n
x
x
Z -ix 1 --i1
= sin x x
x+x2—sin x—xsin x
x + x2 — sin x — xsin x·
xsin x
xsm x
x+x2- sin x—xsin x
lliimm f f ( （» x x ) * - a a = lri m x + x2—sin x — xsin x
些---------x萨+2---------
x→0 →0
x-*O
1+2x—cos x—sin x—xcos x
= l「i m l + 2i — cos x — sin x 一 xcos x
氏 (以k++2 2)）x坤+1
0
= lvi m 22 ++s isinnx x— —2 c2cooss xx ++x sxisinn xx
lim
xx→—00
(以k++ 22）)以( &++ 11）#)
cos x+3sin x+xcos x
= lyi m cos x + 3sin x + xcos x
→
氏
0
以(k++2 2)）(以k++1 )1）k虹x+i1
=
所以％ = 1时,有既f(竺x x ) *1 -a = § 1 .此时心-aR是同阶无穷小&f）,因此"1.
所以，当k=1时，有lim .此时f(x)-a与x是同阶无穷小(x→0),因此k=1.
6
x→0
x2
(（方方法法二二） ) 因 因为为sins izn =x =zx —- ++o o(&x33)）,,所所以以
6
o
x+x2-sin x-xsin x
lliimm f/(（xxx )）* —~ aa = lim
x^+2
→0 x →0
x-*0
x一
x+x2一 ( § 1 •2x?3 )）-—x X22+ +o (Ox （X33) ）
6
= lim
x+2
→0
1
4•工3+o（了3）
x3+o(x3)
9
= lliimm 6
x2+2
→x-*00
可可知知当当33 ==k A++2时 2，时,f，(&x)）- —a 与a与x是z同是阶同阶无无穷穷小小，，因因此此k k== 11..
x+x2-sin x—xsin x
（ ( 方 方 法 法 三 三) ） l 既 im f竺( x x * )1-a = = 既 lri mx -- + -- - x - 2 - — --x s 尹 i * n + 2 x - - — -- x - s - i - n - - x
→0 X x→0
·・2
2
7
7
·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
= liijmm ((11 ++x) x()x(—x —s isnin xx))
x+狂2
→0 1 2
x-*0
1
1 -了x3
x— sin x 6 3 1
= lri m x — sin x = lvi m 6 (x工— 一 ssiinn 7x•～〜4■x了3)
lim x2++2 lim x+a ]2 2， 6 3
→0 → X— 0 0 X 6
从从而而知知人k++ 22 ==3 3,,k龙==11..
1
【【评评注注】】 以以上上三三种种方方法法，，显显然然方方法法三三简简单单，这，里这主里要主利要用利了用 了x x-- ssiinn xx ～~ ^xx33 (（xx→0),
it 6 0),
6
"这这是是一一个个常常用用的的等等价价无无穷穷小小。.
it
『 = = = = = = = = = = = = = =J
函27(（22001133,,11题题)）【【答答案案】】CC..
【【解解析析】 】 由 由COcS oXs—x- 11 ==x sxisnin aa(（xx)）知知
1
—纭x2 =一
lliimm s 地 in a 也 (x) == lliimm c £ os 3 x " -1 == lliimm 2 2 1 1 ,
x x2 x2 —r---- 2
→0 x→0 x→0 x2 2
=—
α(x) 1
则 则 lliimm' Q x =一号,.故故应应选选(（CC).）.
2
→X—00 X
[':评注匚本w要芟予孙量疝哽
【评注】 本题主要考查无穷小量阶的比较.
困28(（22001133,,1155题题)）【解【解】】
1—cos xcos 2xcos 3x
(（方方法法一一)） lliimm 1 一 cos 工acxo”s 2xcos 3x
0x-*0 ax
sin xcos 2xcos 3x+2cos xsin 2xcos 3x+3cos xcos 2xsin 3x
=_ l]ijmm sin xcos 2xcos 3x + 2cos xsin 2xcos 3x + 3cos xcos 2xsin 3x·
anx”i
rx→—00 qnL
sin xcos 2xcos 3x = 1
由 由 于 于当 当 ” n = = 2时2时 ， ， lliimm 血衣 a 暗 nx 2 * z 1 cos 3x 2无a 1 ''
→0 anx"-1
L0 =
lliimm 2 2 c c o o s s 了 xs 血 in 2 2 莲 x c c o os s 3 3 x x 2 2
anx-i a
→x—00 anx^ 云'
3cos xcos 2xsin 3x = 9,
lliimm ‘cos 衣
an
o
x
s
-
2
1
?sin 3h
2无a
9
''
→0
X—0
1— cos xcos 2xcos 3x = 7·
所
所
以
以
l
li
i
m
m
1 — cos zacxo”s 2jxos 3z _ a7_
→x-*00 ax
7
由由题题设设知知-a £ ==1 1,'故故°a ==7 .7.
当当n〃≠尹2时2时，，显显然然不不合合题题意意，，所所以以a a== 77, 9nn= = 2 .2.
1—cos x·cos 2x·cos 3x
lim 1 — cos x • acxo”s 2x • cos 3x
(（方方法法二二)）
→0 ax
11-- [[1l-- z y 2,2 ++o o((xx22))]]. · [[1l-- 4 ^ x2
+
+
o
o
(
(
x
x
2
2
)
) ] ]- · [[11- 9 罗 x2
+
+
o
。
(
&
x2
2
)
)]
2 2 2
= lim ax”
0 ax
x-*0
(H
z2+4x2
i
+9x2
)
= l 临 im 2 2 ax” 2 ++o o((xx22 )) = l ] liimm .7 - 7 - xx -- 2z - - + a + -x o -”- (o -- x( - x - 2 - 2 - ) - ) ,
→0 ax →0 ax
L0 a—0
· 28 ·
-28第一章 函数、极限、连续
第一章函数、极限、连续 ◄◄
则则 nn ==2 2,,aa ==7 .7.
1— cos x·cos 2x·cos 3x
((方方法法三三)) li ]血 m 1一 cosz・acxo”? 2z・cos 3z
x→0 ax
x-*0
= li h .i m m ( - ( - 11 - - —— --- c - c - oo -- ss - - x - x - ) - ) - + - + - c - - co - o - s - sx - - x( -- 1( - -l -- c - — - o - - sc - o -- s2 - - x2 - a ) - xz - ” + - ) z c - + - o - s - - c - o - x - s - · - x -- c - • - o - cs - o - - s - 2 - 2 x --j ( - ; - 1 ( -- 1 — - - — - c - - oc - so -- s - - 33 -- xz - ) - )
→0 ax
x—0
1
二 a a 1 [「 J l → i. f i 0 m 。 1 1 — — x 1 c c 2 o o s s x x +- l →x 1i. — m 0o ccooss xx((1l— x x — 2 ccooss 22xx)) ++l → ] L iimm 00 c co o s s z x · • c c o o s s 2 x 2 x z x 2 2 ( ( l 1 — — c c o o s s 3 3x z ) ) ]" J 1
1 4 9
1 -x22 4 x22 9 -x22〕
= 1 a 2 l1血im —2 品 x2 ++ l 1 i血m ； —2 x2 X6 ++ l 1 i而m —2 x 品 X 2 T = =- 7 a 7_ ,
a → x— 0 0 X → X— 0 0 x x L → 0 0 X a
[
则则 a ==7 ,7n,〃= =2 2..
q
[j= = = = = = = = =!- = = = = = = = = = = = = ^ = = = =! = = = = = = = = = =? = = = = = = = = =i]
0
1 „ 1 【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查无无穷穷小量小阶量的阶比的较比及“较及 n ”型型极极限限的的求求法法..本本题题中中的的方方法法是是求求 1 . 1 .
0
II ° II
"
“0n
"" 0 U'”'型型极极限限常常用用的的33种种方方法法，，即即洛洛必必达达法法则则、、泰泰勒勒公公式式及及等等价价无无穷穷小小代代换换.. ii
L ii 。 0 ii
==J
2田9((2200141,41,题1题)【)【答答案案】】 BB..
1
【【解解析析】】由由于于当当］-x*→()o++时时,，lnI(ln (+1 +22zx))〜～22xz,,l1 —— ccooss xx～〜-^-
x
x
2
2
,
，所
所以
以
，
，只
只
需
需
同
同
时
时
满
满
足
足
a
α
>
> 1
1
与
与
2
2 2
a 号>>1即1可即可.此•此二二不不等等式式联联立立即即得得1l<11 :
II II
"价价无无穷穷小小.. 」 1
-------J
x
x2+z3
2 3 3
亚30((22001155,1,51 5题题)【)解【】 解】因为因 为ln(Iln+(z1)+ x=) =zx —-*• +专++o o(&x33)),,ssinin x x== xz— —*++o0(x(3/)),,所所以以
2 3 3!
u O O ；
a a
/f((xx)) == ((11 ++a a))xx+ +( b(6一 —芸
2
))了x22 ++ -
3
yxx33 +*+ o* (ox(x33))..
由由于于当当Zx →-►0 0时时，,ff( (x工))～〜k奴x3③,,则则
a a
1
1
+
+
a
q
=
=
0 ,
0
b
,6
—
—
告
2
= = 0 0 , ,与3 ==人k,，
乙 O
1
1·
,k =—
则则 Qa ==-—1 ], ,3b ==-— 2•以=— 3
列31((2200116,61,1题题)【)【答答案案】】 BB..
1
x2,
【【解解析析】】a \ a—? =
x
x((
c
c
os
o
a
s/√
x
—x- 11))〜～一--
2
|-x2,
a
a
?
2
=
=
√
V
x
x
l
l
n
n
(
(
1
l
+
+
√ 右x))~〜√
\[
E
x
√
Ifx
x ==x÷券,，
a?=√x+1-1～ 1 x,
a3 = + ] — 1----3工,
· 29 ·
・29 -►►数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•■■富■■(（数数学学二二)）
则则从从低低阶阶到到高高阶阶排排序序是是a
a
?
2
,,a药,a，叫i,，故故选选(（B
B
)
）
.
.
3史2(2（021091,91,题1题)【）【答答案案】】 CC..
=—
1 x— tan x 1,
【【解解析析】 】 由 由于于当当zxf→ 00时时，，了 x一- ttaann zx〜～一- !
3
了x33,,则则lliimm '
x
t
2
an x
a3
… 3 t→-→*o0 x3
所所以以&k ==3 ,3故,故应应选选(（CC).）.
3区3(（2202002,01,题1题)【）【答答案案】】 DD..
,
【
【解
解;
析
析
】
】(
（
方
方
法
法一
一)
）
利
利
用
用
结
结
论
论:
：
若
若
f
f （工(x
）
)
和
和
g
g
（
(
i
x
）
)
在
在x
Z
=
=
0某
0
邻
某
域
邻域
内
内
连
连
续
续
，
，
且
且
当
当
x
Z
→
f
0 时
0时
，
,
f
_
(
/&
x)
）
～〜
了
g8(（x了)）,，则则[ff(（tt）)dtd 〜t [gg(（tt)）ddtt..
J o J 0o
1
((AA)) L( ( e e 广 2 一 -1 1 ) ) d & t～ ，X2 t 2d A t, t = = —3 1 - x x 33 . .
0
0 o
2
( (B B) ) [ Ilnn((l1 ++√ \/PT~))dckt ～〜[t 3 2Adtt == xT.
5
J0 o J 0o 5
( ( sins int 2尹d dti ～〜J f s s i in n xr t t2 2 d d t t～ 产 t2d 由 t = = 3技 1 1 x3-.
0 o
量
( √sin'tdt～ 了{羸dt～〜/膈,dt == 2缶( 1 )）如x?.
。 』sin%ck” 5 2
0 0
故故应应选选（(DD)）.
a
(
（
方
方法
法
二
二
）
)设
设
f(
r
x
&
)和）和 q(
么
x)
工
在
）在
x=
工
0某
=°
邻
某
域
邻
内
域
连
内
续
连
，
续
且
，且
当x
当
→0时
o时
，
,
f
/
(
•（
x
*
)
）
和
和
q
甲
(x
&
)
）
分
分
别
别
是
是工
x的
的
mm阶阶和和n阶n阶无无穷穷小小，，则则 f/(（ti）)ddzt是是zx →-► 00时时的的nn(（mm+ 1+) 阶1）无阶穷无穷小小。.
0o
((AA))J ((ee"2 —- 1l))ddz,t/n, m== 22,,nn == 11,,则则 nnC(mm ++11)) ==3 .3.
0
门。 3 5·
(
(B
B)
) j* Ilnn((l1 ++√ T)dAtt,,mm == 芸
,
，〃
n
=
=1
1
,
，则
则
〃
n
(
(
m
m
+
+ 1
l)
)
=
=
2 2
(
(C
C)
) J ssiinn t 2dtt2,mdt =, m2=,2n ,=n =11,,则则 “( nm( m++ 11)) ==3 3..
;0
f】l—-CO0S0 X%
√
_
s
_
i
_
n
_
'l dt,m =
3O
((DD)) J sin 七 dz, ,n== 22,,则则 nn((mm ++1 1)) == 55..
2
J o Z
。
故故应应选选((DD).).
((方方法法三三) )由由于于 ;
f ((ee/22 -—1 l))ddtz e工22-1 =
1 ,
i- Jo = lii- m eJ ■— 1 1
lhimm -------x--33------- = lim 3x22 = -3T
→0 X →0 6x o
•r—0 x—0
所以，当0+时,£((ee,22 --1D)ddt是f是3阶3阶无无穷穷小小量量..
所以，当x→O*时，
同理，
同理,
1
lim
[Ilnn(( 11 ++ √F)d
= lim
I
ln
n
(
(
l
1
+
+ √日x)
)
=
=
2
lim ----------- ------- lim
r→o* √x →0+ 5 √x 5
x-*0+ x-*0+
2
J
5
故 故 当 当 x z → — 0+0时*时，」Ilnn（( 11 ++√ T)）ddtz是是g 2 阶 阶无 无 穷 穷 小 小 量 量 ； ;
J o Z
·- 330 0·・第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续 ◄◄
1
'sin xsin t2dt =
sin t2 At 、 1i ,
;
l
li
i
m
m 一o0
Px3—
=
=
l
理
ii・ m ss
―
ii• nn/i( ssi•i n
3次
n 2
x
2 x
2
x))cco
一
oss xx
=T3
1
, → x— 0 0 →0*
故故当当xZ→fO +0时+时，, ssiinn /td2zdt是是33阶阶无无穷穷小小量量；;
0
0
√sin'tdt
=
sin3^dz √sin2(1— cos x)sin x (1-cos x)÷x √2 ,
lim = lii. m \/sin3 (1 — cos x) sin x = lvi m (1 — cos x
lim x? 项---------5耘x2---------F —55Px—? = 2200*'
→0 史 →0 x→0
x-*0+
故故当当xz→ f0 +o时+时，, \ √ /s s h i ? n 7 ' d td r t 是 是 5 5阶 阶 无 无 穷 穷 小 小 量 量 . .
0
。 J 0
综综上上可可知知，，正正确确选选项项为为(（DD)）..
3更4(（2200221,11,1题题)【）【答答案案】】 CC..
【解析】 利用结论：若f(x),g(x)连续，且当x→0时，f(x)和g(x)分别为x的m和n阶无
【解析】 利用结论:若连续，且当Z f 0时,f（H）和g&）分别为Z的m和〃阶无
*x(z)）
穷穷小小，，则则当当ix→f0 时0时，, ffC(tO)ddtt是是zx的的n〃(（mm+ +1) l阶）阶无无穷穷小小..
0
o
由 由 此 此 可 可 知 知］（ ( e e ? ′ - - l 1 ） ) d d t t , . 当 当 匕 x→ ― 0 0 时 时 ， ，是 是 工 x的 的 2 2 ( （ 3 3 + + 1 ) 1 = ） 8 = 阶 8 无 阶 穷 无 小 穷 ， 小 故 ,故 应 应 选 选 ( （ C C ) ） . .
3吏5(（2200222,21,1题题)【）【答答案案】】 CC..
【解析】①是真命题，由a(x)～g(x)知
【解析】 ①是真命题，由a（z）〜队工）知
lim'a(x) =1,
hm ——r = 1,
→X-*0O
β8（(工x)）
a2(x)
则则lliimm &==1 ,1从，从而a而2(（xx)）～〜β代(x（］).）.
→0 βg (（工x)） '
X—0
②②是是假假命命题题，，如如a（az(）x)
=
=x二,
,
β伙工(x）)==-
—
x,T显,显然然，，当当xz→ -0
►
时。时，a3(（xz)）～
〜
β代(（xz)）,,但但a
a
(
&
x)）～〜β队(工x)）不不
成成立立..
a(x)-β(x) β(x)
③是真命题，由a(z)〜队工)知lim。(1)g(z)==1 1- —l ihmm B决J == 11 -—1 1 ==0 0,,
③是真命题，由a(x)～β(x)知lim
→X—0o aa(\JxC)) 0x—o aa(\JxC))
则则 aa((zx)) -—β/?((zx)) ==o (oa((a(x«)r)))..
④④是是真真命命题题，，由由aa((zx))—-β队(工x))== oo((ao((xz))))知知
l临im a(x)抨—β(£x2) == 11— —l liimm 软 β(x) ==00,,
→lo0 a a ( ( x z ) ) →x-o0 a(x)
β(x)
则 则 lliimm 马2 = =1 ,1即,即 a ( «( x □ ) ? ～ ) β(阳x).）故.故应应选选(（CC).）.
xx→-o0 αa\(xx))
刘 解题加速度
0解题加速度
11..【答案】
1
【【解解析了 )由x→0时0时，，ttaann工x一-x工～~ -yxx33知知，，ttaann xx的的泰泰勒勒公公式式为为
3
1
ttaann x =x= xx +§丁3 + o（%3）・
x3+o(x3).
3
1
(d- 1 )
aa ++( (b6-—1 l))jxc ++c cxr22 ++ \ ~ ~3 xX33 ++o (oxi3l,))
又 又 l l i i m m p/>((xx))— x - 3 ttaann xx = = l l i im m x2 3 -------------- = = 0 0 , ,
→ x— 0 0 I, →x—00 X
1
所所以以a a== 00,,6 b==1l,,cc == 00,,（/d ==
3
■,，故故应应选选(（DD)）..
·31 ·
・31►►数数学学历历年真年题真全题精全解析精·解墨析高■■(（数数学学二二)）
(方法二) 显然，a=0,
（方法二） 显然，a = 0,
l]iimm P p( ( x工) ) — — t t a a n n z x = lim b bx x + + c e x x 2 2 + + d x d 3 x3 - — ta t n an x x = lim b b + + 2 c 2c x z + + 3d 3 x 衣 2— 2 — s e s c ee 2 ? x ] ·
x32 lim--------------x--2r-------------- lim 3x2
→LO0 jc3 → X— 0 0 X →x—0o 3x2
由由上上式式可可知知，』b==1,1否,否则则，，等等式式右右端端极极限限为为 8，,则则左左端端极极限限也也为为 8，,与与题题设设矛矛盾盾..
lPi m pp(^xx))- — t taann xx = l[i. m 1 1 + + 2 2 c c x x + + 3d 3 x d 2 x — 2 — s e se c c 2 2x x = lri m 2 2c c +. d一 1 1 ,
lim x2x------- == lim 3- x22 := lirn 3— -x + d ~3r~,
→0 Xx3 x→0 0
X—0 X—0 3x r—o 3
1
则则cc == 0O,,dd == y3 ..故故应应选选((DD))..
22..【【解解】】(（方方法法一-)） 因因为为 — (（1l ++ 4 1
n
) ）”一—ee～〜n弘 b °(一n→o 8o)）,,所所以以
—
(1+ 1 ) m 一e = (1+÷)
n e
『 e 言 -1]
1 = lim limn?·
9 b →o
→00 n°
= e IMn(1+T —n 1 ) n 1 = e llnn( ( (11 ++ 7 1 n ) ) n 1 1_
卒 b O l →n l - i i * m 0< m 0» n n 2 a ·・ n 1 1 =卒 b b → l ” l - i i * 0 m m 8 0 n n - a 1 -1 · n 11 2 n
n
1 1
Ilnn((1l ++ n J))-【 n =— 1 e
又又因因为为lliimm ---------- ---- —=— 方,，所所以以1 1==—- 宗 l l i im mn2 " - T 1. .
1y 2 2b?
→”-*080 m12 u LO *n-*08
7
e
—
e·
故故
q
a —- 11 ==0 ,0一,—
2
£
b
==1 1,,解解得得 aa == 1l,9bb ==-—告2,
Lb Z
(（方方法法二二） )e血 e(n崂())—-ee == eW [ 「n.llnn( (( 1 l + + -
n
1 ；L ) ）-一11 ] ] (（在f在nl〃nl(n(（1l ++ ：
n
1 )）一 和和11之之间间 ) ）（(拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理)）
～ e ) n心ln(（1i++ 4 1 )）-—1i] ]= en『 Ilnn((11 ++ l 1 )) -| 1 1] ]
e n en n n
n
=—
1 e,
~ en( ) e
en 2n2 2n
况
e
·
则则 aa == 1l,,bb
.
=
....-
-
------2-11~.
七七、、函函数数的的连连续续性性及及间间断断点点类类型型
3362(2（020090,91,题1题)【）【答答案案】】 CC..
x—x3
【【解解析析】】/ f（x(x）)== =矿为 为 初 初 等 等 函 函 数 数 ， ， 当 当 * x = = n(n==0, ±0, 1±,1±, 2±,…2,)…时 ） ， 时 f ， ( / x) & 无 ）无 意 意 义 义 ， ， 这 这 些 些 点 点
sin πx
sin rex
都都是是f/(（xX)）的的间间断断点点，，其其余余点点都都连连续续，可，去可间去断间点断为点极为限极存限在存的点在，的故点应，在故Z 应—在那x=-x03=的0的点点工x==00,,
x了= ±=±1中 1去中找去找，，由由于于
r, 、 r x X - — x X 3 3 = l，i- m Xx(（. 11 -—xX22) ） = 1 1 ,
lliimmfj (（xx)） == l ilimm —------ = hm-----π--x------=——π，
xx→-*00 Xx—→00 Ssiinn Tπtxx X x — → 0 0 7CX 7T
x-x3 1—3x2 = 2
l
li
i
m
mf
/（
(
x
x
）
) =
=
l
l
i
im
m
z.T == lHimm
π
上
cos
*
π
1
x
= πL,
sin πx
→x—11 x→X—11 Sin nx xx→-»1l 7TC0S 1ZX K
·
-
3
3
2
2
·・第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续 ◄◄
x一x3 1—3x2 = 2,
l li i m mf /( ( x x ) ) = = l l i im m 牛二/ == lliimm π 1 c ~ os πx - π
sin πx
→-1 Sin TCJC -17TC0S 7T
X-*—1 x→-»—-11 X-*—1
则则ff( (x工))的的可可去去间间断断点点有有33个个..即即1x ==0 0,,xx= ±=±1. 1应.应选选((CC))..
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = * = = = = * = = = = = *『
: 【【评评注注】 】 本 本题题主主要要考考查查求求间间断断点点及及间间断断点点类类型型的的判判定定..本本题题有有相相当当多多的的考考生生选选择择了了 ：
； ((DD)),,认 认 为 为 使 使 ssiinn ixre= 0=成 0立 成 的 立 点 的 有 点 无 有 穷 无 多 穷 个 多 ； 个 同 ；同 时 时 审 审 题 题 不 不 细 细 ， ， 没 没 具 具 体 体 考 考 查 查 f/((xx))的 的 极 极 限 限 是 是 否 否•'
II “
［存存在在以以确确定定可可去去间间断断点点的的个个数数..故故错错误误率率较较高高。. J
37(2010,1题)【答案】 B.
场(2010,1题)【答案】B.
【【解解析析】 】心f(x)只只在在zx ==0 0,,- 1—, 11处,1处无无定定义义，，所所以以/f(&x))只只有有三三个个间间断断点点工x==00,,x*==±±11.因.因为为
x2—x 1 x 1
四
lim
/
f
怎
(x)
)
=
=
l
J
i
im
m x
为
2-1
1+
x2
== l丽im
x+1
寿1+
x2
== 080,，
→-1
→-1
则则xz==-1—为lf为(x，)&的)无的穷无间穷断间点断，点，又又
x2—x 1 x 1 = √2 ,
1+ = lim 1+
limf(x)= lim 元2—1 x2 x+1 x2 2
→1" →1 →1、
x2-x 1 x
lliimmf/C(xx))== l1i. m
x
x
2
2 —
- 1
X 11++
x
£
2
== 既lim|工|遏+1) √x2+1
→X—0"0 →0 →0 x|(x+1)
=
1, 当x→0+,
1, 当 Z — 0+ ,
--11,, 当当 xx→ -►0 0--,,
故故xx= =1和 1x和=0z不 =是 0无不是穷无间穷断间点断点。.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = == == == -=-『7
I! 【【评评注注】 】 一 一些些考考生生误误选选(C()C,)主,主要要原原因因是是误误认认为为X x== 00是是无无穷穷间间断断点点；；还还有有一一部部分分考考生生II
II II
"误误选选((DD),),以以为为分分母母为为零零的的点点都都是是无无穷穷间间断断点点..这这都都是是典典型型的的错错误误.. "
[L = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- = J= JJ
3配8((2200115,52,2题题)【)【答答案案】】 BB..
2
sin t
【【解解析析】 】由由f/((xx)) == l liimm(( 1 l + + —x ) ),知知， ，， f((00))无无意意义义，，且且
→t—0o \
JC /
2
当当x]≠乂0 时0 时，,f/(Cxr))= =l ilmim( ( ( 1 1 + + s 竺 i x n U t)) ) ==e 'ex, ,lliimmf/((xx)) == llimimexe 2== 11,,则则 zx= =0 为0 为f( /x()x的)可的可去去间间断断点点..
0£-►0 \ 工) →0 x-*0
3买9(J2(201071,71,题l题)【)【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】要要使使 Sf(x) 在在xz= 0=处 0连处续连，续则，则需需
→
lliim+ mf/((xx)) == lliimmf/((xx)) == f /((00)),,
x-*0+ xx→-*00~—
1
1] —_ cos√/—x ~ 2 ((a√/xx))22 1 ,
→ l l l i o i o m + + m /( f x (x ) ) = = l l → li i m 0° m ++ 1 .二 a Q c淳 Z x 也== → l h l _ iim 0 o m + + 1-- a 皿 -- x ----- 三 一 .1 无 2a 1 '
lliimmf/((xx)) == lilimmb 6 == bb,,
→
l
0(t ?
x—O'
1 1
即即；
2
4
a
==b,。从，从而而有有aabb == -
2
^r
.
.
故
故
应
应
选
选
(
(
A
A
)
)
.
.
2a 2
(JI2C0(1280,138题,3 )题【)答[答案案】】 DD..
人 ' 1 ] - — a a r x , > xx ≤W—-1 1, ,
x-1, -1x(3♦))]]
→I-*O0 x3 →LO0 x3
=f(0)-2f(0)=-f(0).
=/(O) -2/(0) =-/(0).
2❷(2
(
0
2
1
0
5
1
,
5
3
,
题
3题
)【
)【
答
答
案
案
】
】
A
A
.
.
1
x2cos
•27° COS x2 x1·
【【解解析析】 】当当zx ==0时。时，f.((00)) == lliimm -----
x
--— == lliimm.x?c'ocoss 土，
x→o+ →0°
x-*O+ Z x-*0+ #
该该极极限限存存在在当当且且仅当仅a当-1α >-1 0>0,即,即Q >a> 11,,此此时时4f(+0()0 )== 00..显显然然/fi_((00)) ==0 0..
·
1 1
当 当 zx ≠ 夭 00时 时 ， / f ((xx))== ax~ccooss 土 ++臣 阿二 ~' 片 s1 isinn x 土 1 ，
x2
1
x
l li i m mf /z ( x)= = l i li m r g ^ c c - L -' k s s i in n (a〉>11)),,
(jc)
→0 →0°
要
要使
使
上
上
式
式
极
极
限
限
存
存
在
在
且
且
为
为
0,
0
当
,当
且仅
且
当
仅
a
当
-
α
l~
-1
p
-
>
β >
0
0
,
,则则
a
a
~
-
P
β
>
>1
1
.
.
·35 ·
-35 -►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•题■高■疆((数数学学二二))
区］((22001188,,22题题)【)【答答案案】】 DD..
一
【【解解析析】】 由由导导数数定定义义知知
1
cos √LxT —1 2 |xl 1
4 (0) = lim cos^T—l = lim 一=_ !，
f.(0)= lim x = lim x
2
→o+
→0+ X—0+ Z x-*0+ Z Z
1
xl
f_ (0) = lim cos √LxT-1 = lim 一 歹 2 ==11 , ,
f-(0)= lim = lim
x x 2
→L0。~— 1 →L。0— 1 2
则则f
f(
(
x
x
)
) =
=
c
c
o
o
s
s
√T
|
x
x
T 在|在x=
z
0 处
=
不 0处可不导可，导故,故应应选选(
(
D
D
)
)
.
.
04((22002222,3,题3题)【)【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】((方方法法一一) )直直接接法法
由由f/((xX))在在xX= x=。
X
处
q
处有有2阶2阶导导数数知知，,ff((xz))在在xX=x =。 x处Q处连连续续，，又又f(x?)>>0, 则0,则在在x。x0的的某某邻邻域域内内
Ef(x))>0>, 则0,在则该在邻该域邻内域内f(六x)z单)调单增调，增故，故应应选选((BB))..
((方方法法二二) )排排除除法法
令令f/((xx)) ==x 3x,3显，显然然f/((xx)) ==x3在/在x=10 处= 02阶处可2阶导可，导且，且在在x=x0 =的 0邻的域邻内域内单单调调增增加加，，但但/f((00))==
00,,则则排排除除((AA).).
令令f/((xx)) ==x ?X,4显，显然然f/((xx))= x=?在/x在=0X处 =2 0阶处可2导阶，可且导，在且x在=01的 =邻 0域的内邻域是内凹是函凹数函，数但，但f，”((00))==
00,,则则排排除除((CC)).・
{ 1 1
人 -^-xx22 ++2 x2'xs4 isinn — ,, x«≠z 尹0 0,,
2 x
令令ff( (工x))==< 2 ] ，则贝lj
0, x= 0,
、0, x = 0,
{ 1 1
x+8x3sin —2x2cos , x≠0.
f(x)
x +
8jc3
sin —x — 2/ cos —x, z 关 0,
/(x)= x x
0, x=0,
10, z = 0,
人 1 1 1
„ [11 ++2 42x4工2s2 siinn -x--—--1122zxccooss —x —— 22 ssiinn —x,,
]
x≠
尹
0
0
,
,
f”(x)=
f (x) = < z Z 1
111,, x= 0,
•Z = 0,
1
24
π =1+
f r ”(0 ( ) 0 = ) = l 1 〉 >0 0 , , f f 29 nπ+| 2L =1-------------π----2—-22<<00,,((n处充充分分大大))..
2 (伽2nπ+分+ ))
2
则则f八(x工)在)在x=x0 的= 任0的何任邻何域邻内域都内不都是不凹是函凹数函，数排，排除除(D(D),)故,故应应选选((BB))..
；解题加速度
解题加速度
【【答答案案】】。C .
【【解解析析理真方通法f))直直接接法法
、
若若f(1处)在上可=0处可导导，，则则，f((工x))在在工x==0处0连处连续续，，又又因因为为lilmi心mf(x=)=00,,所所以以/f(0(O) )== 00..
J→—0°0
而
而
极
极
限
限
条
条
件
件
l
l
im
i f m (x) ==0 0和 和 lliimmf('x*) =
=0
0
与
与
f(
/
x
(
)
x
在
)在
x=
x
0 处
=
的
0处
值
的
没
值
有
没
任
有
何
任
关
何
系
关
，
系
所
，所
以
以
选
选
项
项
(
(A
A)
)
√TxT x2
→x-O0 x | →l00 X
和和((BB))不不是是正正确确答答案案..
当当ff(Mx))在在xz= 0=处 0可处导可时导，时由，由题题设设条条件件知知/f((00)) ==0 ,0且,且
lliimm 仙f(
x
x) == lliimm 六f(x以)-
x
一 f-(°O)) ==f 7((00)),,
→x-»00 JC →x-*00
·
3C
所
所
以
以 lliimm f(x) == lliimm [ |~ f(
x
x) *
√
/y
T
x
x
—
T.
r (
=
=
f (
f
0
(
)
°
·
)・
0
0
=
=
0 .
°・
→L0。 √ J| T Z x T I →Z0 L x
· 36 ·
,36・第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 ◄◄
综综上上可可知知，，应应选选((CC))..
((方方法法二二))排排除除法法
x3,x≠0,
X x * °'则1而/&) = 0,且
取取 f/(（Xx）)== 则limf(x)=0,且
1,x=0,
1 9 X = 0, →L0。 z
x2
llimi f m (x) == l]iimm 产——==00, l,liimm f " (x孕) == lliimm 与==00,,
√TxT √TxT x2 x2
· l 0 O J| z | → l 0O J| z | →0 Z →LO0..Z
但但f，(Gx)c)在在xx= 0=处 0不处可不导可，导因，因为为f(fx()i在)在x=z0 处= 不0处连不续连，续则，则排排除除选选项项(A(A)()B(B).).
若若取取/f((xx)) ==x z,则,贝!lJliimm/fX(rcx)) ==0 0,且,且ff((x工))在在xx= 0=处 0可处导可，导但，但
→■1—00
x 1
f(x)
l l im imx2 = = l li i m m x %2 = = l li i m m x— ≠00,,
→0 JC →0JC →0 JC
x-*0 x-»0 x-*0
排排除除(（DD)）,,故故应应选选(（CC).）.
二二、、导导数数与与微微分分计计算算
§5(2（020090,91,122题题)）【【答答案案】 】—-33..
【解析】将x=0代入方程xy+e'=x+1得y=0.
【解析】 将］=。代入方程巧+芝=z+ 1得y = 0.
在在方方程程xyx +y+ ee ==x +x1+两1端两端对对x求x求导导得得
y+xy'+ey′=1.
,+ 巧'+ 勺，=1.
将
将
x
x
=
=
0 ,
0
y
,^
= 0
=
代
o
入
代入
上
上
式
式
得
得
y
y
(（O
o
)）=
=
1 .
1.
等等式式yy ++x y^′yf ++e e2Vy′ == 11两两端端再再对对xz求求导导得得
yy' ++yy' ++x y玫“'++e 芝(y（y)2）2+ +e3 以y”'==00..
将将xz= =0,。y，=丁0 =,y o′,y(（0o)）==1代 i代入入上上式式得得
/y”（0(）0 =)=--3 3..
(2010,11题)【答案】-2"(n-1)!.
06(（2010,11 题）【答案】一2”（〃一 1）!.
【【解解析析】】（(方方法法一一）)求求1阶
1
、阶2、阶 2阶，，然然后后归归纳纳n
n
阶阶导导数数..
由由于于
y'= -_2 9
-—J ==--22((1l--22xx)F1=1 (=1 -(12-x2)X-1)"(1 -(-22)),,
y 1—2x
1 — Zx
y”=(-1)(1-2x)-2(-2)2,
y = (一1)(1一2了)一2( — 2T,
y°== ((--11)()(--22)()1(-12-x 2)x-)3~(3 (--2 )23T, ,
则则
Jy)”)=(=- 1()-~ I1)(-n1 -(n1 -)! 1()1! —(1 2-x 2)x~)(-"- (2-) ”2Y,,
y,("n)((00)) ==( -(一1 )l~)'i((n〃-_1l))!!((—-22))"” ==-一2"2”((n〃-一1)1!)!,,
((方方法法二二))利利用用泰泰勒勒公公式式，，由由lnI(ln+(1z+) x=)= £乙 理 ((--11)厂*1x°"
+
+
o
。
(
3
x')
)
知
知
k
0=1
I
ln
n
(
(
l
1
一
-
2
2
工
x
)
)
=
=-
一
2
2
x
*
—
- ((——
2
羿2x)2'• + H+- … -…---- + 1- ((—-1 )I”)"1 n' (-22x了)”)" +
+o
0
(
(
x
x
”
n)
)
,
,
2 n
其其中中等等式式右右端端x的的n〃次次项项为为
Z =
x".
-2"
（(一-1一1)心~1(—二2x)边” =X".
n n
n n
由由泰泰勒勒系系数数与与n阶阶导导数数的的关关系系知知
n
=
,
— 一 2 ” 2” =×舟)(（0 0 ) ）
n n!
n\
,37
-37・►►
数数学学历历年真年题真全题精全解析精·解■析离■■(（数数学学二二)）
-2”
_ 2“
则则 Vy"n) ((00)) == —n ·• nn! !==一-2"2(”n(〃—一1)1!)!..
n
p— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
" 【【评评注注】 】 本 本题题和和上上一一题题都都属属于于高高阶阶导导数数计计算算，，计计算算高高阶阶导导数数通通常常有有33种种方方法法：：
: 11..求求11阶阶、、22阶阶，,然然后后归归纳纳如n阶阶导导数数；； :
" 22..利利用用泰泰勒勒公公式式((适适合合求求具具体体点点高高阶阶导导数数));； 11
II II
“ 33..利利用用已已有有高高阶阶导导数数公公式式 „
π
I I I * ((ssiinn x))== ssiinn((zx ++n·〃•夸 2 ));；((ccoos s x))==c ocos(sz( x++n〃·•奇 元 2 ))；; I n I
ii Z Z H
n _
li (wu)=Z/Cxu?-*)y), Il
" (如)<"="
11 k==O0 H
IL - __________________________________________ _ JJ
j]((22001122,,22题题)【)【答答案案】】 AA..
【【解解析析】】((方方法法一一) ) 令 令g(gz(x)=)=((身e2-一2)2…)・“((e畦"—一n”)),，则则
ff((.xx)) ==( e(e2*- —1 )lg)g(x(z)),,
ff( (xx)) ==e2 eg，g(&x))+ +(e (2e-x 1—) gl)'g('x()z,),
f(0)=g(O)=(-1)·(-2)…(-(n-1))
/(0) = g(0) = (一 1) • (-2)-(-(zz-1))
==(-(—1)U~1(nn- —1) ]!).!.
故故应应选选((AA))..
((方方法法二二)) 由由于于/f(O(0)) ==00,由,由导导数数定定义义知知
f/((00))== l临im f(心
x
x) == lliimm ((e e′ '~~ -1 l ))(( e e 2 2 ' = —
x
-2 2 ) ) …・“((e曜^一—几n))
→x-*00 OC →x-»00 JC
e2—1
= lim -h — 1
=lim---x---- ·• lilmim(e(2ex 2—— 22)),…・・((ee心"——nn))
→0 X →0
x—0 x—0
==((--11)·) •( (--22)…)-((--((nn--1D)))= (=- 1(一)” ”1(n(n-—1)l!).!.
((方方法法三三)) 排 排除除法法，，令令nn==22,,则则
/f((xx)) ==( e(e21- —1 )l()(ee22x* -—2 2)),,
7f((xx)) ==e '^((e目2*一-22)+)2+e22职-((e艺2-一11)),,
f(0)=1-2=-1,
/(0) = 1-2 =-1,
显显然然((BB))((CC))((DD)均)均不不正正确确，，故故应应选选((AA))..
0(2
(2
0
0
1
12
2
,
,
9
9
题题)【)【答答案案】】 1.
1.
【【解解析析】】在在方方程程-I2 —x2 >- +y+ 11 ===e e331中中，，令令x x== 00,,得得vy ==0 0..
该该方方程程两两端端对对x*求求导导得得
2x-y′= e'y'.
2x — y = e?y'.
将将工x==0,。y点=0=代o入代上入式上得式得y(y0)(o=)0,=上 o式,上两式端两端再再对对xx求求导导得得
2-y"=e'y'2+e'y".
2 — y = ^y'z + ^y".
将将xx= =0 ,Qy,=y 0=, y0',(y0()0=)0=代。入代入上上式式得得
yy"z((oO))==1 1..
0(2(2001133,,22题题))【【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】由 方由程方c程osc(zo>s)( +xy l)n+、I一nyH- x== 11知知，，当当* x== 00时时，,/y==1 ,1即,即f/((O0))= =1, 1以,以上上方方程程两两端端对对xX
求求导导得得
y
—— sisni(nx(yx)(yj)>( +y+ xxyy ')) ++ y— - — 1 1 = = 0 . 0.
·
-
3
3
8
8
·・第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 44
将将了x= =0, 0 y点=1代=1入代上入式上得式y得′ J = = 1 1 ,即 ,即 子 /( ( 0 0 ) ) = = 1 . 1 所 .所 以 以
x=0
•1=0
2
r 1r…7,/2
2
x -i f/((
n
|) ) --f/((Oo)>
limn ( )-1 ] = 2 lim =2f(0)=2.
limnn — I— 1 = 2 lim2----------=---2--/--(0) = 2.
→ r)f8 0 [_ \ 71 / 」 →n-*0o0o nZ
7
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
" 【【评评注注】】 本 本题题主主要要考考查查隐隐函函数数求求导导及及导导数数的的定定义义.. "
|L_ _J]
1
[⑩E((2201031,31,01题0题)【)【答答案案】】.七.….
√1-eT
J1 一广
【解析】 由/(x) = j J√11 —-e ed'ctk知知，，当当/f((xx)) ==0 时0时，,xz==-1—,根1,据根反据反函函数数的的求求导导法法则则有有
【解析】 由f(x)=
-1
= =
dx 1 1 = 1
& = J_ = ] = ] ·
dy dy
dy y>==0o 虫J 』 √ [ 1— _ e2 x=-1i y √ /1 1 — -e e - — T 1
dr x=—
dr zx—=-1i
(r ~ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 7
« 【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查反反函函数数求求导导法法及及变变上上限限积积分分求求导导.. "
L== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
(Ⅱ1Ⅱ)(2(2001144,,1100题题))【【答答案案】】 11..
【解析】由f(x)=2(x-1),x∈[0,2]知，f(x)=(x-1)2+C.又f(x)为奇函数，则
【解析】 由/(x) = 2(工一1),工E [0,2]知,/(工)=(x-1)2 +C.又六了)为奇函数，则
—
f y((
o
0))
=
= 0
o
,
,c
C =
=
-
—
1 ,
i,
f
f
((x x))=
=
(
(
x
x
-
—
1) i)2
2
-
—
1 .
1.
由由于于f六(x*))以以4为4为周周期期，，则则
f(7)=f[8+(-1)]=f(-1)=-f(1)=1.
f(7)=兀8 + (—1)] = /(-I) =-/(1) = 1.
[1£2((22001155,9,9题题)【)【答答案案】】 4488..
dy 3+3t2
【
【解
解析
析
】
】 尹=史尹 ==3(31(1++2户))2气.
dx 1
az 1
1+t
1+7
d2y 1
d
尝
x2
= =121t2(t1(+lt+2?))· • —^
1
― ==1 21t2(z1(+l+t2r)2)22,,
az 1
1+t
T+7
dy
= 48.
dr r
圜13((22001155,,1100题 题))【【答答案案】】 nn((”n-一1)l)((Ilnn 22)~)2i..
【【解解析析】】 f六(工x))==x2/22*=工x=2工et％h，n心2
+…
==xF2 ((11 ++xl2n 2++ ……++ ( ( l 血 n ； 2) 严 "x" + ...))
n!
==xF2 ++1 nR2 2· .工x33 ++ ……++ ( - l n n 2 2 ) ) ”严x*+2 + + … ...
n!
n\
则
则
右
右
端
端
x
x
”
"
项
项
的
的
系
系
数
数
a
a
。
,,=
=
(户In 答2)*;2 ,，又又aa。„ == f 之 m)( 平 0) ,，则则
n!
(n—— 2Z))! ! n\
(ln 2)”-2
f/"">((00)) == •·((”n!!))==n („n(-w1-)l()l(n l2n) ”2)-T2..
((〃n 一-2Z))!!
· 39 ·
・39 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
醒
■
高
■
篇(
（
数
数
学
学
二
二
)
）
1
匣?(2（021071,71,01题0题)【）【答答案案】】】 一
8·
dx dy
【
【解
解析
析
】
】
d
牙
t
==11 ++e 6,，
d
孚
t
== ccooss t£,,知知
=
=
d d y j/ _ y′(t) = c c o o s s t t,
= dr 工(t) 1+e
dz x (t) 1 =+ a'
·
d cP 2 j y y = - — s i s n in t l ( ( 1 1 + + e) e — ‘) 一e' e c ' o co s s t t ] 1 _ — — s i s n i n I — t— e e ‘ ' s s in in Z t — — e e ‘ ' c c o o s s t t
dx2 1+e
d? = ((11++ee'O)22 l + ez = ((11 ++e 'e)O33
=—
d2y 1
双 =_1·
dx 8'
ir2 t,_=00 8 .
1
[5£(2(201081,81,31题3题)【)【答答案案】】
4'
【【解解析析】】这这是是一一常常规规题题目目，，可可用用求求偏偏导导、、求求全全微微分分及及公公式式法法三三种种方方法法来来求求..
(方法一)求偏导方程两边对x求偏导数
（方法一）求偏导 方程两边对Z求偏导数
1 ·x+e-1·z',= y?
— z ・ Z x +er-1 ・ zx = y,
z
z
1
而z = 2,y = *•时,z = 1,代入上式，得a季x = = ] 1 ・
而x=2,y = 2 时，z=1,代入上式，得 4'
2 a工（(22,.十量）) 4
(（方方法法二二）)求求全全微微分分 方方程程两两边边求求全全微微分分
1
—zd
d
z
z
+
+
e
e
~'
i
d
d
z
z =
=
y
y
d
d
x
x
+
+x
x
d
d
y
y
,
y
回睥I回
az=
x
y? yz ,
有有ddzz == 击d&x ++ 寻如,d进y,进而而案ax =号,
1+ze-i' 1+xe-i'
1+ ze2)
1 ?z 1
ax
代代入人zx == 22,,、y== ,z==1 1,,得得手 =]・
2 三 4'
2 a工((22.,十|)) 4
((方方法法三三))公公式式法法 令令F
a
F(
z
(zx,;,yy,z,)z =)= Ilnn zx ++e e-i1 -—x
=
书y,，则贝IJ
E. =—
一y yz ,
adxz =—:Fj — y yz
荻=—F玲.=一11 ^ = 17+ z^e°1
+e~1
z
z
z
=
1
进进而而半 =T-
3x 4'
丑((22.1.) 4
3.
(皿20(1290,1190,题10)题【)答【答案案】】
2
｛π^ ++2 2..
3
【 【解 解 析 析 】 】 切 切点 点 为 为(（奇π穴++11,，11 ) ）,
2
dy = sin t
斜 斜 率 率 ： 彖 k = = 平 dx | 3 1^-1 3 ==一-11,,
dz I 1?==芸1
T
. 11— cCoOs St lt I-十
3. 3
所所求求切切线线方方程程为:为.：y=-x++ 券
2 π
+
+ 2
2
,
,
则
则
y
v
轴
轴
上
上
截
截
距
距
为
为
2
浙π++ 22.
函(
(
2
2
0
0
2
2
0
0
,4
,4
题题))【【答答案案】】 A
A
.
.
【【解解析析】】((方方法法一一) )利利用用莱莱布布尼尼茨茨公公式式
由由于于[[llnn((l1—-x%))]*(>" )==--
("n一-1
1
)!
[!，所以当 时，
,所以当n≥3时，
((11 ——x X)”)
f/(Mx)()x=)C =x2 %[l2n([1]-nx()l]-z)+)C*!)2+xC[l：2nz([1l-nx()l—]°z)-]1(f+C ?+2 C[：l2n[(ln1(-l x—) ]z() 了~2),
n!
故故 /f"“)((o)0)==--«n((»n--11))((7n2--33))! !==-_-^.
n—2
n — Z
·-440 0·・第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学
(方法二) 利用麦克劳林展开式
（方法二）利用麦克劳林展开式
x2 x2
-…+(-1)”1x”
由由[Inn（]( +1+ zx） )== x1一 k2 十+
3
…+ -——n—— ++o (x"）)可可知知
Z 3 n
x"
z2
( +…+ )
Ilnn（(l1—-xx） )==—- （xz十 + 芸2 + …+ n令）++o(ox（”«z”)）,,
(
/
x 3+
x于? 4 +…+ x „ * n * + 2、 2) 、
f/(（xX)）==x 2/IInn（(l1--Tx)）==-- （〃 +
2
芸---- \n-）++oo(（x『2+2）)，,
=—
1 n!
F(0)
则则胃
n!
。=一
n
巳
—2
,疔
,f
>
)(
（0
0
）
)
=
=-
-
n
%
—2
•
°
n\ n — Z n — L
故故应应选选(（AA)）..
B|E(2（022002,09,题9题)【）【答答案案】】--√V22..
【解析】(方法一) 由于
【解析】（方法一）由于
1 (1+ t ) 1 t
ddyj ） == -------! （] ）ddtz == • , ] , --Mdtd,drx == t ....ddtt,,
t £ + + √1 + + r 产 \ J √ 1 1 + + t 产 / √J1 1+产+ √ J1 1 + +t /
dy = 1
所所以以!
d
平
x
==
t,
，
故
故
dz t
=
d 处 2 ! y = 4 d(俾dy)世) dt = = 一 — 【1 · .g √1 Z +t, ,
d d x r 2 2 dt \ ddrr) / d dz x 2 * t t
d2y
从从而而手』 ==-—√V22..
dx2
dr I =£=1 i
（(方方法法二二）)由由题题意意，，可可只只考虑考t虑>t0>,0从,从而而£=t =旧√x于2-1,是于是vy== llnn（(J√?x=2-T1 ++x z)）,，故故
=
dy 1 ( x +1)= 1 ,
心= ] / 工 +1）= ] ,
d & x √\/xx2 —2- T1 ++ xZ * √ Vx x 2 2-1 1 / √ 』日 x 2 _ - 1 ]
d2y
安==-一x(心x2--11)）--*+.
dx2
由由于于当当£ t =
=
1 时
1时
，
,
x
H
=
=
√晅2,所
,所
以
以 =
d2y
心=制y|,祯==-√2.
1 2
d d x r2 r=1 dx 1一√E
2
·
皿19(（2200212,11,21题2题)【）【答答案案】】y.
3
=
dy
【【解解析析】】 学=4 4甘e'++4 4 ( £ t二-1 1 )）e £ 2 '坷+2t == 22tt,,
dx 2e'+1
dz = Ze 4-1
d2y d, dt 1
= A( （ 22tt) ） . .虫==2·2 .—-—,
d d x r 2 2 ddtt d d r r 2 2e e 2 '+ +1 1'
d2y = 2
业| = A
ddrx2 l<=o 33' ,
t=0
2
S
0
C
(2（202012,15,题5题)【）【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】（(方方法法一一） ) 直直接接法法 由由f/(（xx)）= = s esecc xx知知
f(x)= see xtan x,f’(x)= sec xtan2x+sec3x.
f （x） = sec xtan jc,f‘（z） = sec xtan2x + sec3x.
则则由由泰泰勒勒公公式式得得
f”(0) = 1
aa ==f /(0（O)） ==0 0,,6b ==
2!
= y2'.
故故应应选选((DD))..
· 41 ·►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析•· ■■(数（数学学二二)）
1 1
=
( （ 方 方法 法 二 二 ） ) 直 直 接 接 法 法 / f （ ( x x ） ) = = s s e e c c x x = = c―os-— x = ------x-2------------ ==1 1+ +ax a+z h+x b2x+2 o+( ox（2x)2）,,
cosz 11 -—"+os(x2)
2
x2
则则 1I ==( 1（l++aaxz++h&x2r+2o+(ox（2z)2）)）(（1i —-芸
2
++o 0(（x了22)）) ）
1
= = 1 1 + + a a x z + + ( （ b b — ----）/)x +2+oo（(］x22）). .
2
1
故故
q
a ==0 0,,bb == 2■,，选选(（DD)）..
1
(（方方法法三三）) 排排除除法法 由由于于六f了(x）)== sesce zc x== 一」一是是偶偶函函数数，，则则其其泰泰勒勒展展开开式式中中只只有有偶偶次次项项，，从从而而
CcOoSs Xx
aa ==00,,因因此此排排除除(（AA)）(（BB)选）选项项，，此此时时
1
f
/
(
（X
x
）
)
=
= c
-
o
^
s
―
x
==1 1++h&x2C+2 o+(。x（2了)2）,,
cos X
1
即即c一o-s— x-—11= h=x b2x+2 o+( xo(2x)2.).
cos x
1
由 由于 于 在 在xx ==0 去0去 心 心 邻 邻 域 域 内 内c一oLs x —-1 1> >0, 则0,则 b>60 ,>则 0排,则 除 排 ( 除 C)（,C故）,故 应 应 选 选 (D（D).）.
cos X
31
2团1(（22002222,,1122题题)）【【答答案案】】一一芸
32°
【
【解
解
析
析
】
】
由
由
方
方
程
程
+
x 2
x
+
y
x
+
y
y
+
3
y
=
3=
3
3
可
可
知
知 ，当，
j
当
c =
x =
1
1
时
时
y
y
=
= 1
1
.
.方
方
程
程
jc
x
2
2+
x
x
y
y
+
+ y
y
3
3
=
=
3 两
3两
端
端
对
对
x
x
求
求
导导得得
2x+y+xy′+3y2y′=0.
2x~\~ y-\- xyr + 3y2 yf = 0. ①①
3
将将zx ==1 ,1y,丁= 1=代 1入代入上上式式得得y/'（(I1）)==—- 号.
4'
①①式式两两端端再再对对x1求求导导得得
2+y'+y1+xy"+6yy2+3y2y”=0.
2 + y +y + xy + 6jry，2 + =。.
3
将将zx ==1 l,,yy ==1 b,y/(d1）) ==-—y代代入入上上式式得得
4
31
y 〃 ”11( 、 1)=-31
、⑴=F32
2瓯2((2200222,21,177题题))【【解解】】((方方法法一一))
由由f/■((x”)在在x工=1处=1可处导可知导知，/f((x工)在)在x=王1处=1连处续连，续，又又
l
临
im
f(心e2)-二3f(1件+sin地2x) ==22,,
x2
→x-00 X
则则 f/((11))--33/f((11)) ==0 ,0即,即f /((1I))= = 0 0..
2 = lim
f六(e。撰2))-—3f 3六(1
1
+ s
+
i
s
n
i
2
r
x
?]
)
)
2 = lim
x2
→x-o0 t2
=临兀[1】++((e成2- 一1)1])]-一f(土11)) · . e 成 2 - 一 1 1 _ 3 lim，f((11 ++s 苔in方2x))一-f/((11)) · . s s i i n r 2 ? x ]
= lim e2-1 x2 —3 lim sin2x x2
→x0-*o ej2 — ] x2 l→o 0 sin2x x2
==f/((1l))--33f/((1l))= =-2-f2(/(11))..
则则 /f((l1)) ==--1l..
((方方法法二二) ) 同同方方法法一一知知/(fl()1 =)= 00,,由由于于ff ((工x))在在x= =1处 1可处导可导，，则则
jc
ff( (工x))==f/((1D)++fy(,d1)X(xx-—11)) ++o o((xx- —1 )1)= f=( f1) (l()x(x- 1—) 1+)o +( x
o(
—
jc —
1 )1.).
从从而而
·42·
・42 -第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 ◄◄
f(e2)=f(1)(e2-1)+o(x2),
/(ex2 ) = f (l)(ex2 — 1) +o(F),
f(1+sin2x)=f(1)sin2x+o(x2),
/(I + sin2x) = f (l)sin2 + o(x2),
f(e2)-3f(1+sin2x) f(1)(e2-1)-3f(1)sin2x
9 _ r /(e? ) 一 3/(1 + sin2x) _ r /(1)(矿之 一 1) 一 3/(1冷子了
2 = lim = lim
lj ~~ lim x22 ~' iim x2 2
→ x-* 0 0 JC → x-* 0 0 JC
=f(1)-3f(1)=-2f(1).
=/(l)-3/(l) =-2/(1).
则则 /f((I1)) ==--1l..
妃解解题题加加速速度O
1.【答密也
1.【答案)
= =
【 【解 解析】 析 (方 祠 法一) ) d 掣 y =y快′(t) =I1点n 一 (1+¥ e t2)). = = - — e ' e l ，l n n ( (l 1 + +2 产 ) ) , ，
dx x′(t)
F dz x {t) — e
711
d 黔 2y =也 d _*(1+小.志 1 == e就2t[ 洋 2t ++我1n(11++ 田) , ,
dx2 三 dz [-e'ln(1+t2)]· x(t) 1+2
d2y
则警|,=。=。・
则 =0.
dr
t=0
((方方法法二二) )由由参参数数方方程程求求导导公公式式知知
=
d
(F
2
y
y
I _
y勺”
'(
(
0
0
)
)
/
x
(
'
0
(
)
0 )
—
-z
z
”
"(
(
0
0
)
)
j
y
/
(
(
O
0
)
)·
d & x 2 L=o [[xx'C(O0))]3
t=0
x'(t)=-e',x"(t)=e^',x'(0)=-1,x"(O)=1,
x {t) =— e-z ,x，z(Z)=广,/(0) =—1,/'(0) = 1,
y y(o)= o,y\o)= o 代入上式得 d 2y 1 ==0.。・
y'(t)= In(1+22),y”(t)= ,y′(0)=0,y'(0)=0代入上式得
1+2 dx2
1 I dz I t=a0 t=0
((方方法法三三)) 由 由x x== ee*-得f得，"t==-—IInnx z,则,则
]in
yjz == J Ilnn((l1 ++u u22) )dduu,,
o
=—
dy 1
翌=-- xlnI(nl (+1+ IInn2 x2x))，,
dx
dz x
d 也 2y 1 ) 2 2 l 1n n x x ]"1 ,
dx2 三x2 In(l1 ++I lnn22xx))一- 11 ++I nln22xxj
d2y
当i = 0时1= 1，则黔 =0.
当t=0时x=1,则 =0.
dr2
c=0
1=0
……… … …
|r = = = = - = = = - = ~ = = ~ = = = = = =:~= = = = = = = = = = = = = = *'==' = = = = ~ = nl
【【评评注注】】 本本题题是是一一道道参参数数方方程程求求导导的的试试题题，，本本题题中中前前两两种种方方法法是是常常用用的的两两种种方方法法.. J
1
22..【【答答案案】】 e'
e
【【解解析析】】y =y =/f((/(fx(x))))可可看看作作＞ y== f/((«u)),,与与uu ==f (yx(z)的)的复复合合，，当当xx== ee时时
1 1
u=f(e)=In√e= In e = ·
=/(e) = InTe = -yin e =
U 2 2
2
由由复复合合函函数数求求导导法法则则知知
1 1 = 1
ddyy| = = f / 1 ((§))·•&f(e) ==2 ·2.我 ex'
d d x r x= 2 2x x=e e
33. .【【答答案案】】 11..
·・4 4
3
3 ·
-数学历年真题全精解析·■高■(数学二)
►► 数学历年真题全精解析• ■（数学二）
【解析】 由y-x=e21-》知，x=0时，y=1,
【解析】 由y — X = eJ( 1->)知，z = 0时,;y = 1,
y
y
'
—
-1
\
=
=
e "
e
l J(-
1-
"
y)
[
[
(
(
1
]—
-y
,
)
)
-
—
x y
x
' y，]
]
1
则贝I] 当当 x z = = 0时 0 ，时y ,j ′ / = = 1 , 1 l , i li m m n n [ 「 f /{ ( —n 1 1 ) )— - 1 1 1 = = l→ l i im m f - ( - ( -- n --- ) 1 — - _ -- - f - f ( - ( - 0 0 -- ) ) = =f f ( 0 (0 ) ) = = 1 . 1.
n→-*o0o L \ Tl J 」 n-*oo 1
n
n
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ”= 习=jj
L 【【评评注注】】 本 本题题主主要要考考查查隐隐函函数数求求导导和和导导数数定定义义.. J
1
4.【答案】
4.【答案】 2
【解析】 利用幂级数展开
【解析】利用蓦级数展开
=
x x一：x3 +…
( )
f / ( ( x j; ) ) =
=
=a racrcttaann xx一 — —1
1
+
+
-a-
q
-r-
z
2- r = (
\
z 一 守3
o
+ …
/
)-一xz((1l —— aaxr22 ++… …))
( a一 1 )x3+…
3
=
1 = (0) 1 1·
由由幂蓦级级数数展展开开式式的的唯唯一一性性可可知知aa一~v
3
=
3! 6
,则则a a== ?
2
.
5 3! 0 Z
三三、、导导数数的的几几何何意意义义及及相相关关变变化化率率
2瓯3(2（021001,03,题3题)【）【答答案案】】 CC..
【解析】 设曲线y=x2与曲线y= aln x(a≠0)的公切点为(xo,yo),则
【解析】 设曲线y = x2与曲线y = aln jc（q 丰0）的公切点为（西），/o），则
{xe= aln xo,
\zo = aln Zo ,
a,
〈2°. x。_= a
么工o = x。,
、 1。
由由此此可可得x得。==√ 7ee,,aa == 22ee,,故故应应选选(（CC)）..
r^f??. = = = = s5 = = = = = = = = = s: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =_1
: 【【评评注注】 】 本 本题题主主要要考考查查导导数数的的几几何何意意义义..两两曲曲线线相相切切在在切切点点处处不不仅仅导导数数值值相相同同而而且且函函数数：
'■值相同.部分考生未能得到正确选项，可能是只注意到在切点处导数值相等，而未利用函数值：
值相同.部分考生未能得到正确选项，可能是只注意到在切点处导数值相等，而未利用函数值
"也也相相等等的的条条件件。. ||
IL= = = = mmmm = = __ = = m = = = = = = = = = = == = m = = = = = = = = = = = = m = =』
2型4(2（021041,44,题4题)【）【答答案案】】 CC..
=
=— ·
【 【解 解析 析 】 】d学y|| =2 2 £ t ± +4 4| ==33,, d 也 2yl | =- 2 2.1 1 1 =-1,
d a x z l 1 t / = = 1 i 2 2 t tt 1t1===1i = d d x r2 Lt===11 2 t2 22tt 1t=11 =一1,
= -1 1
|一11 =]
由由曲曲率率公公式式得得K
t=1 ((11 ++32 3))3〃/2 1 1 0 0 √ 71 10 0,
从从而而在在对对应应点点处处曲曲线线的的曲曲率率半半径径为为1100 √71100..即即选选项项(（CC)）是是正正确确的的..
pr~~-，!'~~',= ~ = ~~~ = =? = = -- ~ = - = = = ~ = - = = = = = = = = = -- = - = = -="?i]
|' 【【评评注注】】 本 本题题考考查查的的是是对对参参数数方方程程求求导导及及曲曲率率公公式式的的掌掌握握情情况况.要.要防防止止计计算算出出错错等等低级低级II
Il II
"错错误误的的干干扰扰.. "
二二= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -=J』
2§5§(2（200090,99,9题题)【）【答答案案】】 yy == 22xx..
dy
【【解解析析】 】 由 由z =x=「ee2"d如u知知，，当当zx ==0 时0，时t/= =1, 1先,先求求该该曲曲线线在在点点(（00,,00）)处处切切线线斜斜率率力k== 掣 ・
dr
Jo0 az t/==11
·・
4
4
4
4 ·
-第二章一元函数微分学
第二章一元函数微分学 44
—_ 29t*33
= =
，(、22tillnn((22--ti22))++^4
dy y'(t) 2—z,
dy = v Q) = _____________ 2 —计
d A x x x工′ ' ((t t) ) -e-(1-02
— e-2
—
dy
k= =2,
dx =2,
t=1
故故切切线线方方程程为为yy= = 2 x2.x.
2昭6(（22001100,,1133题 题)【）1答 答案案】】 33ccmm/s/s..
【解析】 这是一个相关变化率问题.首先建立相关量长方形的长l,宽w和对角线(设为y)之
【解析】 这是一个相关变化率问题.首先建立相关量长方形的长，，宽w和对角线（设为少之
间间的的关关系系式式，，然然后后等等式式两两端端对对t，求求导导..
由题设知y2=P2+w2,等式两端对t求导得
由题设知/ = Z2 +w2,等式两端对£求导得
dy dl dw
22卷y ==22l哇++2 2巧w 整
dt dt dt
dl dw
当/ = 12cm, w = 5cm,jy = J144 + 25cm = 13cm,又亭== 22, = 3.代入上式解得
当l=12cm,w=5cm,y=√144+25cm=13cm,又 dt =3.代入上式解得
dt
dy
宇 = = 3(3c(cmm/s/s))..
dt
dt
π
1
2^70((22001133,,1122 题题))【【答答案案】】y +y +zx == 号
十
+ giInn 22..
4 2
《 乙
t
dy = 1+t dy
【【解解析析】】字="^又= =t.，尹 ==11,,
dx 1 dx
dz I dr =£=1i
1+t2
1 + i2
π 1
,y= In√2 =
而而1t==1 1时时，，二x==学,了=1114 = yiInn 22,,则则tt ==1 处1处的的法法线线方方程程为为
4 2
π
1
y>一-|lnIn2 2= =-- ( ( x x 一 -|))
2 4
π 1
即即 yy ++ JxC == 十+ 2-y l in n 2 2 . .
44 乙
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
II 【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查参参数数方方程程求求导导及及导导数数的的几几何何意意义义。. "
』==========================================-=-=J』
π
2
2国8(（2200141,41,21题2题)【）【答答案案】】 -πx x + + y > — -42 = = 0 0 . .
π
【【解解析析】】 曲曲线线LL上上所所给给点点的的直直角角坐坐标标为为(（00,,号)）..将将θ0作作为为参参数数，,得得曲曲线线LL的的参参数数方方程程为为
2
x= 9cos θ.
ix = 8cos Of
y ==0 sOisnin 09..
=
千殂看 d dy y _ s s i in n 8 0 + + θ O co c s o s θ 0
于是有
d d x x ccooss 00 -—0 sOisnin θ9'
=—
dy 2
故该点切线斜率为字I 切线方程为
故该点切线斜率为 dxl π ,切线方程为
dz"6=-量亏 7t =—
π 2
y一 7T 2
丁一2方=---π-%工
Z 7T
π
2
即即π-Jxc十 +y y— — ^- = = 0 0 . .
2
7T L
·・4
4
5
5
·・► 数数学学历历年年真题真全题精全解析精·解提析高■篇(（数数学学二二)）
广== -- -55 = = = -- -!= = = = 2f!5 = !5 = = :::^-s: = = -=r- = = = = s= = = = = = = ==『
-
【
【评
评
注
注
】
】
本
本
题
题
考
考
查
查
直
直
角
角
坐
坐
标
标
与
与
极
极
坐
坐
标
标
的
的
转
转
换
换
方
方
法
法
.
.
求
求
导
导
数
数
的
的
另
另
一
一
方
方
法
法
是
是
将
将
曲
曲
线
线
L
L的的极极"
Il it
坐坐标标方方程程直直接接化化为为直直角角坐坐标标方方程程：：
√x2+y= arctany
』S + J = arctan — x . u
II
ii x
||再再两两边边对对x z 求求导导.. "
巫29((22001155,,2211题题))【【证证明明】 】曲曲线线vy ==f (/x()x在)在点点(b(,bf,(fb()b))处)处切切线线方方程程为为
y-f(b)=f(b)(x-b).
y — /(6) = f (b)(jc — b)・
f(b)
设设切切线线与与xx轴轴交交点点处处的的zx坐坐标标xi。o == bb——
了(b)
由
由于
于
/
f
(
(
x
x
)
) >
>
0 ,
0
则
,则
f
f
(
'(
b
b
)
)
> 0
>
, f
0
(
/
x
(
)
1
单)单 调
调
增
增
加
加
，
，/X
f
》
(
)
b
>
)>
/
f
(
(
a
a
)
) =
=
0
0
,则
,则
xo= b,— f f ((b b ) )八aa,等,等价价于于证证明明bb—-j^＞>aa,,又又f，(（b6)） >＞00.,
了(b)
则等价于证f(b)(b-a)>f(b).事实上
则等价于证f（b）（b _ a） ＞/（6）,事实上
f(b)=f(b)-f(a)=f'(e)(b-a),(a<∈0,则f(x)单调增加，从而f(E)线 =y=八f(1x))以,y==g(gx()z在)在x=1 a=对 Q应对的应点的处点相处切相切及及曲曲率率相相等等可可知知
/f((aa)) ==g (ga(a)), =,f f('(aa))= =g 'g('(aa)),,
LI ff('(aQ))II = II gg”〃((-a))1I
[[1l++f/22((aa))]]i — [[1l++gg”'2((aa))]]*
由由此此可可知知，，I 了f” (a() aI) =|= I| gg”"(a()a )I 1..则则 ff” (a() a=)= gg”〃((aa))或或 f了'((aa)) ==-—g” g〃(a(a))..
当当 ff“ ((aa)) ==——g” g(〃a()a,)此，此时时，，
lliimm/f((xx))--gg((xx)) = = l → i lim m f 尸 ( ( x § )- ) g — ′ < ( 2 x) ) = = l l i im m ” /' ( & x) ) - ； g” △ ( ( x * ) ) ==了 ,( ( aa)),,
→ x-* a a ((Xx -—a a))2 x-*a Z2((«xz —— aa)) →a 2 22
x-*a
”(a)不一定为零，
f(a)不一定为零.
例例如如f/((xx)) ==( x(-za —)2 a,)g。(，xg)(=工-)(=x——a(*) 2—.故a)必\故要必性要不性成不立成，立故，故应应选选((AA))..
3吏5((2200221,13,3题题)【)【答答案案】】 CC..
dr dh
【解析】 设底面半径为",高为矿则寿=2 cm/s,普—=3- 3c cmm/s/s..
【解析】 设底面半径为r,高为h,则dt =2 cm/s, dt
V=πr2h,S=2πr2+2mrh.
V = 7rr2 h, S = 2nr2 + 2izrh.
,47 ·
・47・►► 数数学学历历年真年题真全题精全解析精·解醒析高■■(（数数学学二二)）
dV dr dh
则则dV = 2ox rh, dr +. πr22 d/t
dt Zirr/i d瓦t + "瓦dt,
d7
dS dr dr dh
dS = 44π”r 半++2 π2赤h半++2 π2”r 半,
瓦dt d
d
t
z
d
A
i
t
d
a
t
t
dr dh
将将rr=1
1
0
0 c
c
m
m
,
,
h
h
=
= 5
5
c
c
m
m
,
,牙
dt
==2 2 ccmm/s/,s,
d
晋
t
==-—3 3c mcm/s/代s 代入入上上式式得得
dV dS
务 = = — — 10100 0π 7crcmm/s/,s，祭 = = 40 4 0 π 7 c rc m m /s / , s, 故 故 应 应 选 选 ( ( C C ) ) . .
dt dt
y洪解题加速%
解题加速度
11..【【答答索玲 寸 22x*..
π
【【解解析了析程tan(
（
x
了
+
+
y
了
+
+乎
)
）== ee'“两两端端对对x工求求导导得得
4
--
sseecc22 (（ x z + + y ;y + +于元)）(（11++y'J)）= =e 2eyyy'.r.
4
将将了x= =0, 0y以=0代=°入代上入式上得式y得′3/= =-2-,2故,故所所求求切切线线方方程程为为了y ==--2 x2x..
2.【答案】 —2.
2.【答案】 一2.
【
【解
解
析
析
】
】
由 曲
由
线
曲
夕
线
=
y
f
=f (工(x
)
)
与
与
y
y
=
=x
x
2
2
- x
—
在
x
(
在
1,(0
1
)
,0
处
)处
有
有
公
公
共
共
切
切
线
线
知
知
/f((I)1 )== 00,,/(f1()1 =) =(2(*2-x1-)1 L)=,] ==1 1,,
-2
f(1+ )
lim#( 辛 n ))== 临lim羊 — 2 . n 旦 · 一土n+歹2 - -- f - ( - 1 -- ) -==--22/f((11)) = =一 -2 2..
limnf| n+2 n +2 -2
十
n—oo \n ~r Z / →«—0o0o 72 Z — Z
n+2
7? + 2
………………………………………… …………
j_= = = = -^ = = = = = = = -- - = = = = = - = ；= = = - = = = = = = = = = =T = = = = = ^= =^
【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查导导数数的的定定义义和和导导数数的的几几何何意意义义.. "
ii
lUiss-ss-s — = = = = = — = = = = = = = - = = = = = — = — = = = = = = = —
3
3.
.
【
【
解
解】】
y
y
=
=f
，
(
（
x
了
)
）
在
在
点
点
(x
（x
?,
0
f
>/
(x
（x
?
0
)
）
)
）
处
处
的
的
切
切
线
线
方
方
程
程
为
为
yy- —f (xo)==f (rx&?)o(）x（z- —x?Z)o.）.
/（j：o）
f(x?)
令令 yv ==0 得o 得，口x ==x ?&一 —
了(x?)
切切线线x*= =x。孔及及x轴H所轴所围围区区域域的的面面积积为为
S
S
=
= 1 |
f
/
(
（
x
x
?
o
)
） [ ［ x x o o 一 -(（x^o一o-f(^x?^) ) ）］
=
= 4
4,
,
2 了(x?)
即即
2
1 +
了
7f(
(
?x
x
?f
?
)
)
j ==4 4→。
2
1 y2==4y4丁',， 8 罕
y
d
2
y == d丑x →n— 一 8 号
y
==x，++C C,,
由由 丁y（(00） )== 22知 知，，CC ==-—4 .4.
8
则所求曲线为v =厂卜,,工x∈e II..
则所求曲线为y=
4—x'
4 — x
44.. 【【答答案案】】 y =y== x— —1 1..
jc
【【解解析析】 】等 式等z式 +x y+ +y+ ee22巧y= =00两两端端对对xz求求导导得得
11 ++y 3'/ ++e 2e22jy( 2y（;+y x+y功')‘=） =0.0.
将将x=
=
0 ,
0
y
,
=
y
-
=
1代
— 1
入代上入式上式得得y丁′'(（0 0
）
) =
=
1 ,
1
故 ,故切切线线方方程程为为
y
y
=
= x
x
-
—
1.
1.
jc
·
-4
48
8
·・第第二二章章 一一元元函函数敬微微分分学学
◄◄
四四、、函函数数的的单单调调性性、、极极值值与与最最值值
3眦6((2
2
0
0
1
1
1,
1
3
,3
题题)【)【答答案案】】 C
C
.
.
((zx—-~22))((zx —- 33)) ++( &x -—1 l))((;cx -—3 3)) ++( (xz- —1 )l)((xz- —2 2))
【【解解析析】】(方(方法法一-))ff&(x))==
((xx -一1 1))( (xx- —2 )2() (xx— —3 3))
= 3x2—12x+11
3*2 — 12工+ 11
((xx -一1 )1)( (xx— —2 2))((xX— —3 3))'
二二次次方方程程3*32 x—2 -1122zx++l1l 1==00的的判判别别式式△左==112222—-44×X33X×111 1== 1122 >>0 ,0则,则方方程程33x^2 —- 1122工x++
1111 ==00有有两两个个不不相相等等的的实实根根(但(但不不是是了 x== 11,,x工=2=,x2=,工3)=.因3)此,因，此f(,/x()x有)两有两个个驻驻点点.•
((方方法法二二) )由由 f((x工))== I
In
n |
I
(
(x
x -
—
1
1
)
)
(
(
x
x
-
—
2 )
2
(
)
x—
—
3
3
)
)
|
|
知知
。 (j:
[(x-1)(x-2)(x-3)]′
,()_ [(z — 1)(* — 2)(了 一 3)]'
f(x)=
' ((工x-一1 )1()(x工- 一2)2()x(了—一33))
令令g
g
((x工))==(x
(
-
x
1)
-
(
l
x
)
-
(
2
x
)
-
(
2
x-
)
3
(
)
x
,
-
则
3)
f
,
(则x)/零(点*)个零数点个问数题问转题化转为化g为'(
g
x
'(
)
z
零)点零点个个数数..
由
由
于
于
g
g
(
(
1
l)
) =
=
g(
g
2
(
)
2
=
)
g (
=
3
g
)
(
=
3
0
)
, 由
=
罗
0,
尔由定罗理尔知定g理'知(x
g
)分
'(z
别 )分在别(1在,2()
1
,
,
(
2
2
)
,
,(
3
2
)上
,3
各
)上
有
各
一
有
个一•零个点零，点又，又
gg''((xz))是是二二次次多多项项式式，，故故gg''(Mx))只只有有两两个个零零点点，，即即f/'((xx))只只有有两两个个零零点点..
3困7((22001100,,1155题题))【解【】解 】函函数数f(fz()x的)的定义定域义为域(一为 O(O- , ,++ c8)),,且且
e2dt- te?2dt,
f(x)=x2 e" dt — J te~(2 dt,
/(x) = /
— 1 1 c
ff' (( 工 x))== 22xzj ee~1'22 ddtt ++ 22xx33e-: ' ^ 一 - 2 2 x x 3 3e e - - ? ′==22x寸/ e e 2 1 d 2 d t t . . i
1
i
令令ff( (x工))==0,0得,得x=x0 =,x 0=,±x 1=,±列 1表,列如表下如：下：
x -1 0 1
((―-∞8,, —-1 1)) _ 1 ((--11,,00)) 0 ((00,,11)) 1 ((11,,4+-c0o0))
X
+
f/((xx)) — 0 0 + 0 0 —— 0 0 + 十
f/((xx)) 极极小小 极极大大 极极小小
由由以以上上表表格格可可知知,，/(工f()x单)单调调增增加加区间区为间(为-1(.-01,)0和)(和l,(+1,o+oc))；;/f((xx))单单调调减减少少区区间间为为(-(-0,0—,1-)1和)和(0(,01,1))..
f/((xx))的的极极小小值值为为/f'((±±11))== ((11 -—t )t)ee-~1'2 ddtt —= 00,,
1
极大值为 f(0), /(O) =— te-3 d d t t = = J。官te- 'd 3 z d t = =号 1 ((11 —- "1 1 ~)),
极大值为f(0), f(0)=- 2 e
0
广= = = = = 2^ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = q]
【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查变变上上限限积积分分求求导导和和定定积积分分计计算算，，以以及及求求函函数数单单调调区区间间与与极极值的值的：
:方方法法•.考考的的是是基基本本内内容容和和常常见见问问题题，，但但该该题题的的得得分分率率并并不不高，高考，考生生的的主主要要问问题题是是；：
；* ①①不不能能正正确确求求出出/f((Xx))== 22吐x ee2"d血t是是最最普普通通的的错错误误.. ：
1
: ②②部部分分考考生生由由于于粗粗心心只只求求出出一一个个驻驻点x点 =x= 00,,漏漏掉掉了了驻驻点点zx ==士± 11.. :
: ③③部部分分考考生生不不能能正正确确表表示示单单调调区区间间，将，单将调单增调加增区加间写区成间了写 (成-1了,0(-)1U, 0()1U(,1+,8+0)o,)单,单调调：
:减少区间写成了(一8, — 1) u(0,1). "
减少区间写成了(-oo,-1)U(0,1).
II L = = = = = = =_ = = = = = = = —_ =_ _— _— _— _— _— _— _— _— _— _— _— — — — — — — — — — — — — — — — — _
2
3配8((2200009,91,133题题)【)【答答案案】】ee?T.
1
【【解解析析】 】因因为为y'y ′= =xx2i2((221nlxn x++ 22)),,令令/y′ == 00得得驻驻点点了x ==手
e
，
当 当 x 工 ∈ 6 ((0°,，+ 1 e ) ) 时 时 ， ，J y v ′ o <0, ，y y( & x) ) 单 单 调 调 减 减 少 少 ； ；当 当x ( ∈ §(门 e 1 ,]1] 时 时， ，:y y ' ' > >0 o , ， y y ( & x) ) 单 单 调 调 增 增 加 加 ， ，则 则 伙 y( 工 x) )
· 49·
. 49 .数学历年真题全精解析·醒高疆(数学二)
►► 数学历年真题全精解析■（数学二）
1 ( 1) =e 1
在在工x==e+处处取取到到区区间间(（00,,11)1上上的的最最小小值值，，最最小小值值为为yl'（ +e ）= e「S.
1-x2
3叨9(（22001144,,1166题题）)【解【】解 】由由X1x +2+ yy12yy, '== 11 -—y 'J,,得得yJ′ == ：工气..令令yJ′ == 00,,得得工x==±±1 .1.
1+y2
- 1 +】
当x<-1时，y'<0;当-10;当x>1时，y'<0.
当 x<- 1 时，J V 0;当一 1 V 1 时，3/ > 0；当工 > 1 时,J < 0.
因因此此,，
r
x
=
=-
-
1
1
为为极极小小值值点点，
m
x =
=
1 为 1为极极大大值值点点..
将将原原方方程程分分离离变变量量后后得得
（(11 ++y 丁2)）ddyy ==( 1（—1 —x2工)2）d dxz,,
其通解为
其通解为
x3+y3-3x+3y=C.
x3 + y3 — 3工 + 3、= C.
又又 了y((22) )== 00,,得得 CC —= 22..故故史x 3++ y3—- 33zx ++ 33了y ==2 2..
所所以以以，&y(）x的)的极极小小值为值伙为一y( 1-）1 )== 00,,jy,(（xx)）的的极极大大值值为为〉y（(11） )==1 1..
yt
([220（1260,146题,4)题【）答【答案案】】 BB..
【【解解析析】】x
z
?
i
,x,x，?办为为驻驻点点，，而而在在x心;和和x
a
?两两侧侧f(
/
x
&
)变
）
号变，号则，则为为极极值值点点，，x办s两两
侧侧f/(x（)X不）不变变号号，，则则不不是是极极值值点点，，在在了x2?处处11阶阶导导数数不不存存在在，，但但在在互x?两两侧侧f/(（x工)）不不
变变号号，，则则不不是是极极值值点点，，在在皿x处?处22阶阶导导数数不不存存在在，，在在工x，.和和x无?处处2阶2阶导导数数为为零零，，在在这这
x
33个个点点两两侧侧1阶1阶导导函数函增数减增性减发性生发变生化变，化则，则都都为为拐拐点点，，故故应应选选(（BB).）. O
离码
x4
3）(（22001166,1,16题6题)【）【解解】】
心山
[a(x?2 — -t z 22) ) d d z t + + I* ((〃 t 一 2- j? x 2 )2d)z» dt0, o0&0）, >f( 0x),/单（x调）单增调加增；加一；
当当11 ） 0>, f0(,x/)（单x）调单增调加增加，，
= =
则
则/
f
（
(
上
x
）
)
在
在
j
x
： =
=
y 1 处处取取最最小小值值， ， f■(/'(（§ 1 )）=§ 1 _(传 1 )） 2
十
+ y 4 ( （y 1 )） 3 = 1
2 2 3 2 3 2 4
圉(（22001199,,1155题题)）【【解解】】 当 当zx>>00时时，，
f/(（xx）) ==( （ee22lmln)lY' ==e e22x('"x2（l21nnx x+ +2 )2=） 2=x 22工(*I（nlnx 工+ +1 )1.）.
·50·
. 50 .第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学
当当 xz <
V
0 时
0
时， ,ff(
（
x工)）=
=
(x（+x 1
+
) e
l）
2
e
.J.
2x—1 e2xlnx—1 2xln x
f f + * , ( （ 00) ） = = l l i im m - T - 2 - x -x - — --- - 1 = = l l i im m -- 2 - x - l - n x- x - - _ - _ - - - - I = = l→ l im i o m +-- 9 -- r -x 1 - n -- - T - = = 0 8 0 , ,
→0+ →0+
x-*0+ % x—0+ % x—0+ Z
则f(0)不存在.
则Z（o）不存在.
1
令令ff (（工x）)==0o得得zx ==-—1 i, yxx ==[e ,，而而fr(（0o)）不不存存在在..
e
1
当当 xX<＜-1-1时 时，,f/(（xx）) ＜<00,,当当一-11< Vx<*0V时O， 时f,(/x（)了>）0＞, 0则,则x =X- =1为- 1极 为小极小值值点点，，/■f（一( -1）1 )== 11 一- 4e;
1
当-10,当0 + 1 e 时时，，/f（'*(）x＞)>00,,则则£x == § 1 e 为为极极小小值值点点，，f/( ( （ e § 1 ) ） = = e e 1 * ·
4
[
3
£
(（2
2
0
0
21
2
,
1
2
,
题
2题
)【）【答答案案】】 D
D
.
.
【【解解析析】】 由由导导数数定定义义知知
e2—1
-1 ,
f'(0)= l1i- m 工x = l1i- m e e 2 x — — 1 1 — — x x = l[•i m e e 2 x — — 1 1 = 1 1
j （0） = lim-------------- = lim-----x--25----- = hm --2-x----=—2
→0 工JC →0 JC r→0 L/JC u
x-*0 x-*0 x-*0
故故应应选选(（D
D
)
）
.
.
、/1解解题题加加速速度度
1.【答密)
1.【答
严(x)
【 【解 解 寿 析 ： 手 m'
x
号
T
==1>10＞,由。，极由限极的限的保保号号性性知知，，存存在在Uδ>。0，,当当。0V＞00,即,即子/(（xX)）>＞0. 0从,从而而f(广x)&单）单调调增增加加，，又又/f(（00）) ==0 ,0则,则
当当工x∈ £ (（-一δ3,,00）)时时，f,(x)V<00,,当当 xH∈ £ (（00,,88)）时时，,/f（(工x）)＞>0 0,,
由极值第一充分条件知，f(x)在x=0处取极小值.
由极值第一充分条件知J（工）在x = 0处取极小值.
22..【【答答案案】】 BB..
【【解解析析】 】 由 由于于g&g(ox）。是)是g（gz(）x)的的极极值值，且，且g（gz(）x可)可导导，则，g则'&g′o）( x=? )o=,0记,记V y== fr(（gg(&x)）)）,则,则
dy
尹 | =f'(g(x))g'(x) =f(a)g′(x?)= 0.
dxl = /，（g（x））g，（x） I = /，（a）g，（x0） = 0.
-=10 +-0
QJC I X=X0 I X=X0
从
从而
而工x=
=
x。了。为为函
函
数
数
y
V
=
=
f(
/
g（(
g
x（)
x
)
）
的
）的
驻
驻
点
点
.
.
又
又
d2y
=f(，g(（gx)&)）g）'g2"(x&)）+f+(rg(（xg)&)g）”）g("x&)）,,
d警x2 =
d2y|
则则芸I _ ==f (rg(（gx?&)o)）g）”g"(（x*?o)）==? (ya)'（ga”）g("x&?o)）..
dx2
=0
d2y
由题设知/（xoXO,所以，若/（a） ＞0,则警＜0,从而V = r（g（z））在瓦取极大值，
由题设知g”(x?)<0,所以，若f(a)>0,则 <0,从而y=f(g(x))在x。取极大值，
dx2
=0
故故应应选选(（BB)）..
33..【【答答案案】】 CC..
【解析】(方法一) 直接法
【解析】（方法一）直接法
· 51 ·
. 51匕^数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 墨■高■■(数(数学学二二))
由由 f y ((x x)) / f(( x x))>> 0 o 知 知
[1 ]
[号严产(怎x))]'==f(x)f'(x)>>0 0,,
2·
1
则则*f尸(&x))单单调调递递增增，，从从而而尸f愆(x))单单调调递递增增，，由由此可此知可尸知(f1() 1>)>尸f((-一1)1.).
2
上上式式两两端端开开方方得得
lI f/((1D) ||>>||f (/(-"1I))1 .I.
((方方法法二二) )排排除除法法 •
1
若若取取 /f((xx) )== ee*2 ,,则则 f,f((.xx) )== ee'1 ,,/f(x(x) f)'f((工x))==ee22x *>> 00,,/f((11) )== ee,,/f((—- 11)) == §e.
显显然然 /f(I()1 )>f(-1),I| f/((I1)) ||>>|| f/((--1I))1 .|.
由由此此可可知知，,((BB))((DD))选选项项是是错错误误的的..
1 ·
…… ………………… … …
若若取取 ff((xx) )==—- ee2',,则则 f'f((hx) )―=―-e e'* ,f(x)f((工x))==ee22x r>> 00,,/f((l)1 )==—- ee,,/f((—- 11))==-----e
e
由由此此知知，,/(fI()1 )<，= -0==1, ①①
令y = 0得z=±l,将]=± 1代入原方程得{了 x =1 } , 9 \X 1'
令y′=0得x=±1,将x=±1代入原方程得
顷y==1,1,顷=0.
y = 0.
①①式式两两端端再再对对xz求求导导得得
66xx ++6 y6》(y(J'))22 ++3 y32yzy y” ++ 33yy”f == 00 ②②
x=—1.
将 {r
x =1
:
,{
八1'及 J = 0 代入②式得 /(I) =— 1 V 0,/(— 1) = 2 > 0,
将 及y′=0代入②式得y”(1)=-1<0,y”(-1)=2>0,
顷y==11,, 0y == 00
则则yy= =y (vx()z在)在x=x1 处= 取1处极取大极值大值，,y了((11)) ==1 ,1在,在x=z- =1处— 1取处极取小极值小值，,y、((一-11))= = 0 0..
五五、、曲曲线线的的凹凹向向、、拐拐点点及及渐渐近近线线
2]((22001111,1,616 题题))【【解解】】x x('i)( t=)=/t 2++ 1l,,zx〃"((Qt )==2 2t,^y,/'((it)) ==t/2一-1,1y,”)〃("t))==2t2,j则则
=
dy = t2-1
d> = "y′((lt)) _ 户—]
dx 工(t) t2+1
dx x (r) / + 1'
=
d2y =
d2y _ y寸”(( t t ) ) f x' ( ( t t ) ) - — x ” E ( ' t ( ) t) y y ′ '( ( t t ) ) _ 22tt((t2t 2++ 11)) -—2 2tt((tt22 —-1 1)) = _ 44tr
d W x — xx? 3((ti))— ((产t 2++1 1)T3 =((产2 ++1 )13尸'.
dy
令 令 ： 学 = = 0, 0 得 ,得 t t = = ± ± 1 1 , ,
dx
dz
5 1 ·d2y 1
当 当2t ==1 1时 时 ， ,了 x = = ,y =—- §，>>0 ,0,所所以以 yy ==-— 4-为 为极 极 小 小 值 值 ； ；
3 3 dx2 3
3 3 dr 3
d2y
当当tt == -•—1 1时时，，z x== —- 11,9yy ==1 1,,4^ V
<0,
。
所
，所
以
以
y
y
=
=
1为
1
极
为极
大
大
值
值
.
.
dx2
dx
d2y ·
1
令卷=0 得 Z = 0,x = > = y.
令 =0得t=0,x=y=
dx2 3
1 d2y 1
当当t，V<0O时时，,Xx<<
3
y
d
,
x
^
2
<
<0
0
,则
,则
曲
曲
线
线
y
、
=
=
y
、
(
(
x
*
)
)
在
在((一一○8,,§
3
))
上
上
是
是
凸
凸
的
的
；
；
1,d2y 1 ,+o
当
当
t
£ >
>0
0
时
时
，
，工
x
>
>
§，警
>
>
0
°
,则
，则
曲
曲
线
线
y
y
=
=
y
V
(x
&
)
)
在
在((J. +°°))上上是是凹凹的的，，
3 dx2 3
·52 ·
. 52 .第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 ◄◄
1, 1
(（§，+ )）为曲线的拐点.
为曲线的拐点.
3 3
J45E(（22001100,1,100题题)）【【答答案案】】 vy == 22xz..
【【解解析析】】显显然然，，该该曲曲线线没没有有铅铅直直渐渐近近线线和和水水平平渐渐近近线线..又又
2.x3
a = lim Y= lim =2,
a = lim x— = lim x3+—x = 2,
X →L080 X ~X~ X
X—OO
2x2
b = lim（y — or ） = lim (（ 户〔 —— 2 2 .x z)） == lliimm — 2 2x ==0 0,,
b= lim(y-ax)= lim x2+1
L8 J + 1 / 0T-xoc 2X2+ +1 1
x→00
则则该该曲曲线线有有斜斜渐渐近近线线
）
y =
=
2
2
x
z
.
.
1
[
6
0
(
（
2
2
0
0
12
1
,
2
1
,1
题题)【）【答答案案】】 C
c
.
.
x2+x x2+x
【【解解析析】】 由 由 lilmim y y= = llimim 七 x2 • — + f 1 == 11 == lliimm x 七 2 + — f 1 == llimi m3/y == 11,，
xX→-*十+°O0 H*+-»0+08 JC 1 T-*—00 JC 1 X→-*——O0O
得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线，
得夕=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线，
x2+x
由
由
l
li
i
m
m
y
y
=
= l
li
i
m
mx
与
2—
土寸
1
==08,得,得x=1]是=曲1线是曲的线一的条一铅条直铅渐直近渐线近线；；
→x-1i" →x-1i x — 1
=
x2+x 1
由 由 l\iimmyy == lliimm七+ f W■， , 得 得 ％ x = = 一 -1 不 1不 是 是 曲 曲 线 线 的 的 渐 渐 近 近线 线 . .
x2—1 2
→-1° -1X — 1 Z
L-l X—-1
所所以以曲曲线线有有两两条条渐渐近近线线，，故故应应选选(（CC)）..
17(2012,13题)【答案】(-1,0).
[g（2012,13 题）【答案】（-1,0）.
【【解解析析】 】由由》y==x2了+2 x+得工y得′/= 2=x +21x, +y” 1 ,=y="2 ,=代 2人,代曲入率曲计率计算算公公式式得得
x= ly”l 2
次_ 成I _ 2
( （1 1+ + y必22)）+十 [口1 ++( （22工x++11)）22]]+'
√2
由况'=亨得（2了 + I）2 = 1,解得x = 0或h =— 1.
由x= 得(2x+1)2=1,解得x=0或x=-1.
2
又又xx<<0,0则,则x=x- =1,-这1,时这y时=0>, =故0所,故求所点求的点坐的坐标标为为(（--11,,00)）..
1愚8(2（201041,42,题2题)【）【答答案案】】 CC..
1
x+sin 1
x + sin x— 11
【 【 解 解 析 析 】 】 因 因 为 为 lliimm ------x------- ==1 ,1,l liimm ( （ x z + + s s i i n n- x --- 一 --z x ） ) == 00..
00 X →00 工）
x~»8 r-*oo \
1
故故曲曲线线 j y / = = x x + + s i si n n — x有有一一条条斜斜渐渐近近线线 V y = = x X . .
x
x+sin x
对 对于 于 曲 曲 线 线 ；y y = =x x + s + i s n i x n , z 虽 ,虽 然 然 有 有 l l i im m 乂 土 x 前，工==11,但,但lliimm(（xz+ +ssiinnx z- x—)z= ） l=i mlsiminsi nx x是是不不存存在在
JC
X-»OO →x—»0000 ·_r-0»08
的的，，故故该该曲曲线线无无斜斜渐渐近近线线，，而而且且无无水水平平与与铅铅直直渐渐近近线线..其其余余两两条条曲曲线线，，由由于于
1
2 . . 2 z + 9 + is i si n n ——x 1
x2+sin x
l l 1i i - m m - x -- ----- s - i - n -- - x = = o 8 , , l h 1i. m m ------x------- x - == 0 _ 80,,
工->8
J工C. T1-^→OO0 JC
1 1
都都没没有有斜斜渐渐近近线线；；又又由由于于lliimmssiinn x 不不存存在在，，所所以以曲曲线线^ y== x^22 ++s isninx-也也无无铅铅直直渐渐近近线线..故故只只有有选选
X—0 X X
→0
项项(（CC)）是是正正确确的的。.
「= = = = = = = = = = —= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
II 【【评评注注】 】 本 本题题考考查查曲曲线线有有无无渐渐近近线线的的判判定定.从.从解解题题方方法法看看，直，观直观上上可可先先排排除除(B()B()D( D))两两 ；|
11个个选选项项，，在在前前两两条条曲曲线线中中作作选选择择..
|L == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -
·・
5
53
3
·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 是高篇(
（
数
数
学
学
二
二
)
）
y
1[四£(（22001155,4,4题题)【）【答答案案】】 CC.,
f
【t解解析析】】 由由图图知知，，f”'3(x）?)== ?f('x（?0)=）0=,f°W(0（)0不）不存存在在，，其其余余点点上上22阶阶导导数数[ 惟尸
”/（(工x）)存存在在且且非非零零,，则则曲曲线线＞ = y=/f(（xx）)最最多多有有三三个个拐拐点点，，但但在在x =x= xx;,的 的 两 两 侧 侧 22阶 阶、 / /
导数不变号，因此不是拐点；而在* = 0和工=互的两侧2阶导数变号，则曲线 V J /
导数不变号，因此不是拐点；而在x=0和x=x?的两侧2阶导数变号，则曲线
x
yV= f=( xf)"有）两有个两拐个点拐，点故,故应应选选( （ CC).）. —Xx?O o\ x
/x
2
?
x
π
史（2016,9题）【答案】r +务 | I
50(2016,9题)【答案】 y=x+
2
【 【解 解 析 析 】 】 l H i m m x J
y
= ilimm
[
1+
x
x
2
2
+
+
a
a
r
M
ct
ta
a
n
n
x ?
( 1
B
+x2)]]==1】==a口,,
→ 工-* 0 8 jc → x-*c 0 » l 1 jc jc j =
x3 π π
lliimm （ (3/y —- aaxz)） == l liimm|~ [ 1+x — 2 % —-x z+ a+r acrtcatann(d1 ++x x22)） ] "I == lliimm 1 — + 工 x ' 2 板 +十 寺 2 =寺 2 == b们,
X→—0oeo x H → f 0 0 8 | L 1 十 Z 」 → H-» 0 8 X Z L
π·
则则斜斜渐渐近近线线为y为=x++务
2
5列1(（22001177,,99题题）)【【答答案案】】＞ =y=xx ++2 2..
y 2
( )
【【解解析析】】 由由于于 lliimm x— == lliimm （11 ++a racrcssiinn —x ==1 1= ==a a,,
X—*00 JC x0-*o0o \ JC /
2 2
lliimm（(jy/ —— aarr)）= = l ilmimxazracrcssii . n n x— 2 = = l l i i m m .x z · • — x2 == 22 ==b 6,,
工→-»08e J0—0*OO JQ T-^OO JT
2
所所以以曲曲线线yy ==x x(1（+l a+r acrscisinn —x）)的的斜斜渐渐近近线线方方程程为为y =y= xx ++2 2.,
x
5史2(（22001188,,1100题题）)【【答答案案】】、 =y=44工x一-33..
2 2·
【【解解析析 】 】 yy' ′== 22xx ++ - x ,,y/” == 22一-4 x2 -
X X
令令 yy "== 00,,得得 xx ==1 ,1x,1= -=1—( 舍1（舍去去).）.
拐拐点点为为（(11,1,）1,)J,y（'1(）1=) =22 ++2 2= =4 .4.
拐拐点点处处的的切切线线方程方为程/为一1y -=1 =44（x(x--l1）)即即了y ==4 x4工—一3 .3.
5更3(（2201091,92,题2题)【）【答答案案】】 BB..
【【解解析析】 】y y—′ s=i ns xi n+ xz+coxcs oxs —x- 22ssiinn x x== xxccooss xx -—s isnin xz,，
y"= cos x—xsin x-cosx=-xsin x,
y = cos x — xsin x — cos x =— xsin z,
令令;yy〃" == 00 得得 xz= =0 ,0x==π .7t.
又又在在xi= 0=的 0两的侧两，侧y”，/不不变变号号，，则则(（00,2,2)）不不是是拐拐点点；；
在在xX= π= 的7C两的侧两，侧y”变变号号，，则则（(7πT, —,- 22)）是是拐拐点点..
更54(（2200202,01,51题5题)【）解【解】】
yv x…1++工x x2
= lim = lim
( （ 方 方 法 法 一 一 ) ） lliimr x乏=lim —. * lim / f—-—
l+8 x →+00.x(1十+ x) →l++80 (（11 ++x x)}*x
x-4-oo X （. 1 Z ）
= lim 1 ] = 1 1 =a,
—e =Q,
→+00
(1+ 1
x
) e
1
x[e一 (1+ ) ]
x1+x x.7 e — 1 +
[ 工
llimim （(yy —- aaxx) ） == lliimm （(l1 ++x )z°），一 ；e」 = lim 1 )
→r-»-{+-O0O xX→~*4+"0O0° +0
ee(
(1
1
+
+
工
1
e一(1+ )
x
= -1uu(1+t)+—e
1 lim eo （1 +况一e
e2 1 t
…+0
x
。54 ·
,54・。 第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
◄◄
= - — 1 1 li.i m e e l n (lr 十 。 — e e -1 lim e e 0 l-n (l +J = r )— ， — 1 1
e2 →o+ =—z-t lim-三-=----—-e----- → -li o m + t
e -o+ t e ro+
1
=— =— 1 t22
1 ln(1+t)—t 1 2—，匕
----e- 1 - l l i r m i m -- l - n -- ( - l - -- 4 t- - 2— Z) ----e- 1 - l x i l] + m .i 0 m * -----t 2 2s
e xr→o0++ t2 e 一。+ ‘2
= 1
侦= b,，
2e
2e
1x+ 1
故故所所求求斜斜渐渐近近线线为为yy== -ex+^2~e.
e Ze
(方法二) 由渐近线定义可知，若y=f(x)=ax+b+a(x),其中lima(x)=0,则
(方法二) 由渐近线定义可知，若y = /(x) = ax+6 + a(x),其中lima&) = 0,则
X-*oo
y=ax+b为曲线y = f(x)的渐近线.
y = or+。为曲线)=了(工)的渐近线.
x1+ 1 -r [÷ +(3)]
y = ^,1+x (11++x1 ) ==xez-Wh(1++÷))==x亦e^l心2*⑴]
y = - ( ( - 1 1 -- + - + - x -- 。) -- 2 -—=xX( X
=x 1 e 广 ?+ +寿 6* +。 ( ( ÷ +) ) = = 三 工 e e e 1 * t.+ +° ((* 1)) = — 工 e [ 11 ++ 2 土 1 .x + + o 。 = =— 工 e 十 + 2 1 e 十 e 工 ·0 ( x 1 ) · »
e e e 2e e \ 工 J
x 1 x1+ 1
其 其 中 中 e 王 · ・ o o ( (( x 1))→f 00,,当当Zx→f++c时8时，，则则曲曲线线yy==-^—有有斜斜渐渐近近线线了y == 王工 e 十 + 2 支 e
e \ jc / (1 + X(1) +x)2 e Ze
(j= = = = = = - = - = - = = = = - = = = = = - = = = " = = - - q]
【【评评注注】】 本 本题题考考查查曲曲线线的的渐渐近近线线的的概概念念和和求求法法，，考考查查考考生生求求未未定定式式极极限限的的能能力力.在.求在求"
:解解过过程程中中，，要要用用到到重重要要极极限限公公式式、、换换元元法法、、等等价价无无穷穷小小量量替替换换、、洛洛必必达达法法则则等等，，是是一一道道综综合合考考:
—
"查查基基本本方方法法和和基基本本计计算算的的试试题题。. :
: 本本题题在在求求解解和和计计算算过过程程中中须须注注意意如如下下三三个个容容易易出出现现的的问问题题：： :
(1)没有掌握曲线的渐近线的概念和求法，无法入手.
" (1)没有掌握曲线的渐近线的概念和求法，无法入手. "
II [ 工] '•
" ((22))在在求求 lliimm「/(fx(x)) -一 —eI时时，，出出现现 "
e」—
■I x-*4-oo L
[ x
II [ 工] [ x1+ x ] V X 工 e xl 11
: lliimm Ff/((xx))一-^e-1== lliimm e = lim h1++±1 V) e 1== 00 :
→+0 (1+x)° + x
x→+001
JC J
ii L \ J ii
"的的错错误误.. "
II x1+ — II
(3)在计算lim
[
1*77^—-—
工]
[时，没有利用换元法及等价无穷小量替换将所求的极:
(3)在计算lim e 时，没有利用换元法及等价无穷小量替换将所求的极
" 0L0+sL(d1++xz))* e J 11
:限限简简化化，，而而是是直直接接写写成成 :
lliimm [ x1+ x e ] = l li i m m e ex x 1 1 + + j — x- x x ( ( 1 1 + + x x ) Y
xX→-*++0o0o|
((11++x)。° →+0 ee((1l++xx))"2
匕 再再利利用用洛洛必必达达法法则则，，由由于于计计算算量量大大，，出出现现计计算算错错误误，，或或者者无无法法计计算算出出结结果果..
55(
(
2
2
0
0
2
2
1
1
,
,1
18
8
题题))【【解解】 】当当
1
x>
>
0时 0时，,
1 1 2
f 心 (x)==Lx-11 + + 1 上 +x' ,Ef(x) ==1 —1 - (1+x)2 ,f(x)= (1+x)3 >>0 °,*
则则曲曲线线yy ==f /(x(X))在在区区间间((00,,++)上8)是上凹是的凹的；;
当-1 > 0 0 , ,
则曲线y=f(x)在区间(-,-1)上是凹的.
则曲线＞ =E）在区间（一8, —1）上是凹的.
由由于于li四mf/(x⑴)== l婀im x世|xI ==c8,则,则x=工-1=是-该 1曲是该线曲的线一的条一铅条直铅直渐渐近近线线..
1+x
·-1 →-1
1 1
又又当当工x＞>0。时时，/f&(）x=)=Lx1-1 ++ 己,，当当x<时-1时,，gf(x )== 1l-fx— - 土
1+x 1+x'
则则该该曲曲线线有有两两条斜条渐斜近渐线近y =线 Xy —=x 1-和1和y y== 11 -—x .x.
/解解题题加加速速度度
1
1
.
•【
【
分
分根
拇
同的
的
关键
关
是
键
要
是
确
要
定
确
在
定
点
在
(
点
1,（1
1
)
,1
附）近
附
函
近函
数
数
y
、
=
=
y
火
(x
工
)的
）的
2阶
2
导
阶
数
导
y
数
”
丁
(x
愆
)的
）的
正
正
负
负
.
.
【解】 方程ylny-x+y=0两端对x求导，得
【解】方程yin y — x y — 0两端对x求
y'ln y+2y'-1=0,
y'ln jy + 2jZ — 1 = 0,
1
解解得得y丁′ == 疽i—,，再再对对工x求求导导得得
2+In y
2 + In jy
-y′ =
y°= -1
〃 一y/ — 1
〃 3y/(（22 ++I nln yy)）22 yv(（22 ++I lnn 》y）)"
=一
1
将将(（ix,,.yy)） ==( 1（,11,)1代）代入入上上式式得得y:”/' =-v8 < ＜ 0 0 . .
疔y=11 °
由由于于22阶阶导导数数y加”(）x)在在zx ==1 1附附近近连连续续，，因因此此，在，z在=x=l1附附近近/y”（x(） xV) <00,,故故曲曲线线y y==y火(xz)）在在
（(11,,11)）附附近近是是凸凸的的..
(（方方法法二二） ) 方方程程yiynl yn —y -xx ++ yy= =0两 0端两对端对x求x导求，导得，得
y'In y+2y′-1=0.
Jin 夕 + 2/ — 1 = 0.
y2
再对求导得/In ^ + ^ + 2/ = 0,将1 = 1以=1代入以上两式得
再对x求导得y"In y+ +2y”=0,将x=1,y=1代入以上两式得
y
1
y、〃”（1(）1=)=—- § ］0
>
时
0
，时y"，/>0
>
,又
0
y ,又(O伙)=00）, =所 0以,所曲以线曲的线拐的点拐为点为(0（,
0
0
,0
).）.
六六、、证证明明函函数数不不等等式式
x2
1+x+ cos x—
5^6^((22001122,,2200题题))【【证明证】明】(方(法方一法) 一记)记/Xfz()x )== xzllnn —兰壬+ cos z —芸一—11,,则则
2
1 —工
2x
ff( (x工))== IInn 1 ? 十 * x % 十+ 2” ——— s isni n« z r— — zx,,
1—x 1-x2
1 — x x
4
f"(x)= —1 — cos x.
f'(x) = —：-----p-rj- — 1 — cos x.
((11 -—x x2z))2z
4
当一 1 VhV 1 时，由于4 ≥^44,,11 ++c ocossx ^≤<22,所,所以以f /((xx)≥) >2>20>,从0,而从了而(Ex))单调单调增增加加..
当-10,
又因为 r(o)= o,所以当一 1 vhv。时,/(x) o,
于于是是/ f
(
(
0
O
)
) =
=
0 是0是函函数数f(
/
x()
X
在)在(-
(
1
-
,
1
1
,
)
1
内
)
的内的最最小小值值..
x2
1+x
从从而而当当 一-11 V>0 0.. 丁 -电-y >>2 2xz ==x z+ +x >z s>i sninx x+ x.x.
1—x 1-x2
1 — x 1 — x
从从而而有有
/
f
(
(
x
x
)
) >
>
0 ,
o
x
,z
∈
e
(0(,
0
1
,1
)).
.
又又 f
/
((O
o
))=
=
0 ,
o
则 ,则f (
f
x(x )≥)2 0 ,
o
x
,
∈
z e
[ 0
［
,
o
1
,
]
i
.).
x2
从从而而当当一-11 V ≥ 1 1 + +丁 2 2 ·
1 — Z
5豌7(2(201041,43,题3题)【)【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】在在区间区
［
间
0,
[
1
0
］
,上1]上，曲，线曲
j
线
=
y
g
=g
&
(x
)
)是是连连接接曲曲线线丁y ==f (3x)两 两个个端端点点的的一一条条弦弦..
由由函函数数ff((x工)的)的22阶阶导导数数了/((x*)的)的正正负负号号，，可可以以判判定定曲曲线线yy= =f (/x()x在)区在间区[间0［,01],1上］的上凹的凸凹凸性性态态，，
所所以以，，当当，子(工(x))2≥ 00时时，，曲曲线线>y ==f(/x()x是)是凹凹的的，，从从而而弦弦在在曲曲线线的的上上方方，，即即gg&(x)) ≥f(x).这这同同时时否否定定
了了选选项项((CC))..
若若设设 FF((zx)) ==gg(x()x-)f-(/x()x,)x,∈x[e0 ,［01,]1.1则 则F (FO()0=) F=(F1)(1=0) ,=F(0x,)F在(z[)0在,1［]0上,1］满上足满罗足尔罗尔定定理理的的条条
件件，，于于是是，至，少至存少在存一在点一E点6E ∈(0(,01,)1,使),使F7FQ(8 )== 00..不不妨妨假假设设只只存存在在一一点点6.&则则在在区区间间((00,e,Q)与与((5$,1,1)内)内
rF((xx))异异号号，，函函数数FF(Gx))的的增增减减性性相相反反，又，又F(F0() O=)= FF((1l)) ==0 ,0所,所以以选选项项((AA)与)与(B(B)都)都是是错错的的..
U=- = - = = - = = = = = = = = - = = - = -~ = = ~- -~-~ = i=~ = ~- -~-~ = ~~~_'=i］
" 【【评评注注】】利利用用22阶阶导导数数的的几几何何意意义义，，可可以以轻轻易易判判断断出出正正确确选选项项.还.还可可以以利利用用反反例例来来否否定定"
II π II
:选选项项（(AA)）与与(（BB)）,,例例如如设设yf(ox）)==x 2,则则选选项项(（AA)）错错；；设设/f'（(zx）) == sSiinnyxx,,则则选选项项（(BB）)错错..这这都都：
2
:是考生应该掌握的重要方法. :
是考生应该掌握的重要方法.
—= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
·57 ·
-57・_
。
►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· •■是高■■(（数数学学二二)）
。
5§82((2200118,84,4题题)【)【答答案案】】 DD..
+
【【解解析析】】((方方法法一-))fr&(x ) )==f lr((
2
1 §))+r((§ 1
2
)( x H 一 —
2
§ 1 ))
十
+ ( 今
2
5
!
0 ) (( x 了 一
2
一 1 ) 2
,
$
∈在
在
-
1
2
号
与
与
x
*
之
之
间
间
，
,
二
£ f /( ( x x ) ) d d x x = = £ f / ( ((y 2 1 ))ddxx ++ f/f(((|) 2 1 (xx-—|) 2 1 d) dxx ++ 2 i 1 ! £了/”^(e ) ) (( x ^ 一 - 2 1 |) )2 2ddxx
0 1 + 1 x一 1) 10
=1( ) (e)( dx,:
2 2. 2
。
若
若
f
/
”
'&
(x
)
)
>
>0
0
,
,
则
则£f/( ( ef) )( (xx一-y
2
1 ) ) 2 Z
d
d
x
x
>
>
0 ,
0
由
,由j：y
f(
(工
x)
)&
dx =
=
0 知
0
，
知
f
,y
|
((号
2
1 ))>0 0 , , 则则
f-(( a a 十
2
+
-
b ^
-
)\
j ((
z
b
,
b —- aa)) <<1 f/((zx) \ d)j zdVx
/f
-
((
--
^a
-
)
-
)
-
+
2
+
寸
f f((
-
b
-
b
-
)
-
)
- k
(
(b
k
b —— aa))
、
..
由由此此可可知知，，若在若[在o[,0i],上1]/上(xf()x >)> 0o,,则则fr((
0+
2
告
1)
·1 1<< ][
f(
(
x
]
)
)
d
&
x,
,
1 1
即即f'((
2
号))> 00,, [ /(x
f(
)
x
d
)
j：
d
=
x=
0
0
,
,
2
Z J o
( 1 )
但但f/|(y
2
)==0,。则,则(C(C)不)不正正确确.•
1 加
令 令 f f ( ( 工 x ) ) = = — -x x 2 2 + + 4-,,则 则 f子 (”z)( =x)—= -2 2V<0 0,, [ f f { ( x x ) ) d d x x = = 0 0 , ,
3
0
=—
1 1 1
但但f/((
(
2
y
)
)=-
4
j 十+y
3
>>0 ,0则,则(B()B不)正不确正，确故，故应应选选((DD).).
5
§0
9
(
(
2
2
0
0
1
1
8
8
,1
,
8
1 题8题)【)解【】 解设】
/
设
(x
f
)
(
=
x )=
—
x -
In
I
2
n2
+
x +
2
2
k\
k
n
I
x
n x
—
-
1
1 ,x
E
∈((
0
0
,
,
+
+ c
°
) °),，则则
jc
£i f x i 2 2 l 1 n n x x , 2 2 k k = x x — — 2 2 l 1n n x x -\ + - 2 2 k k·
f f (
(
x
jt
)
)
= = 1 — 1------x
J
-
C
- ----十1---x
X
-- -=---------x
X
-----------・
。
2
o
设设 gg((zx) )== xx- —2 2l1nn xx+-\2rk2k,,则则 gg'' ((z)x )== 11-----x--.
x
当当00 <工0),>g (0x ,)g单(sc调)单增调加增，加，
gg(&x))在在xx= 2=处 2取处最取小最值小，值，
gg((22) )== 22--221lnn 22 ++2 2k&= =2 (2k以-一InIn2 2+ +1) 1≥) 20 ,0，
则则了/((xx)) ≥>00,,xx∈ G( 0(0,,+ +c)8.)所.以所f以(x/)&单)调单增调加增加，，
又又 f/((I1)) ==0 ,0则,则
当当工x ∈£ ((00,,11))时时,，八f工()x<)< 00,,当当 hx €∈((11,, ++c8)时)时，,/f((xx)) >>0 0,,
从从而而((xx--1l))/f((xx))≥ 20。,，即即
((xx -—1 1))( (xx -—I Inn2纭x ++2 2k&llnn x工-一1)1)≥ 20.
30(2020,6题)【答案】 B.
2020,6题）【答案】B.
·58 ·
. 58 .第二章一元函数微分学
第二章一元函数微分学 ◄◄
【解析】(方法一) 辅助函数法
【解析】（方法一）辅助函数法
由f(x)>f(x)>0,x∈[-2,2]可知，
由 /（x） >/（x） >0,x e ［-2,2］可知，
f
fr
(（x
x
)）-—f y(（xx)）>>0 o..
从从而而有有 ee^~（*/(f（'x(）x-)-/f（(xx）)） )>>0。,，即即[ef(了x)]′ >>0 0..
令令FF(（xx)）= =e ^e*二ff(&x),）则,则F(Fx（)h在）在[-［2一,22],2上］单上调单增调，增从，从而而有有
FF(（00）) >>F F(C-1- )1）,,
f(0)
即 /(0) > e/(- 1),从而有舟J >>e e..
即f(0)>ef(-1),从而有
f(-1)
(方法二) 积分法
(方法二)积分法
f(x)
由由 f/((x*))>>f(/x&))> 0>, x0∈,工 [e- 2[,—22],可2]知可，知，殳另
>
>
1 ,
1
则
，则
f(x)
广
f(t)
「dt > 「 1Iddr«((xx>>--11) ) ,,
J -11 fJ(\tt)) J --11
Ilnnf/((xx))--lInn/f((--l)1 )>>zx++1l,,
f(x)
f,工) >>e++1.
f/((一-11)) ,
…。，则f(格0) >*e.
令x=0,则
f(-1)
(（方方法法三三)） 排排除除法法
取取f/(（Xx)）== e昇2,，则则ff（(Hx）)满满足足/f(（xx）) >>f /(（xX)）>>0. 0此,此时时有有
f净(-2)== e-t <1, 咨f(1) = e?>e2, f/((22)) = e?>e3,
=e4 > e2, =e6 > e3,
f(-1) 5f(-1) /f((--I1))
故故选选项项(（AA)）(（CC)）(（DD)不）不是是正正确确选选项项，，从从而而选选(（BB).）.
广= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =子
【【评评注注】】 本本题题方方法法一一的的关关键键在在于于辅辅助助函函数数的的构构造造.. ：
: 当当f(x),f(x）)之之间间出出现现等等式式或或不等不式等/式&f）( x>) >好kf（*(）x/),（f工(）xV)< k"f&(x）)/,f（(了x）)== J
: k"f(（xz)）条条件件时时，，辅辅助助函函数数构构造造规规则则为为：寸φ（工(x）)== ee“-kf/•(&x)）..
I，_ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一 —
351Q(（22002222,,2211题题)）【【证证明明】 】必必要要性性：：不不妨妨设设aa< 0 0 ,则 ,则
2
技f”（(£e）)(（ x 丁 一 - a 宰 +b)） 2 ％dx≥》0o..
2
(a+bi)≤ 1
故fl f(x)dx.
2
充充分分性性：：（(反反证证法法)）
若
若
存
存
在
在
x
孔
o,
，
使
使
f
r
”（(
x
x
o
?）)
<
<0
o
,
,
由
由
f
，
(x
&
)的
）
连
的连
续
续
性
性
知
知
，
，
存
存
在
在
含
含
x
血
。
的
的
区
区
间
间
m
[c
m
,d］],,
使
使
得
得
r
了（(
x
x）)
<
<0
o
.
.
类
类
似
似
“
必必要要性性，，由由泰泰勒勒公公式式知知
g = r(（ c ^ +d )） + + f 门 ( c 专 +d ）（ x l — c ^ +d )）+ + f 萼 (E) (（ x L 一 c 皇 +d )） 2 1 ,
f(x)= f| 2 2 2 2! 2
门; f(x)dx==( d（d-c—)cf）ly(（ c 亨 +d )）+ + y 1 £fr”( （ e?) ） | (（ x z — — c 守 +d)） 2 dx,
2 2 2
·59 ·
-59 -►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 提高■篇((数数学学二二))
;
则则J\(
f
_
(
r
x
)d
)
_
d
r
x <
V
( d
(
—
d —
c)
/
f
/
l
• ( ( c 匕 +
2
界 d ) ),，即即 f/(( C £4 +
2
^ d) )>>
d-
1
c.
f(x)dx,与与题题设设矛矛盾盾.，
原原题题得得证证..
—
解解题题加加速速度
【【答答案案工
门sin t.
【【解解析析》 ) ) 令 令 y f & (x ) ) = = t ddzt —— IInn x,x∈G ((00,,++co8)),,则则
=
sin x 1 sin x-1
f(x)= x x x ≤0.
X
sin t,
从而六工)在(0,+8)上单调减少，又/XI)= 0,则当工C (0,1)时,/(x) >0,即］dt > I nIn xX..
从而f(x)在(0,+∞)上单调减少，又f(1)=0,则当x∈(0,1)时，f(x)>0,即 t
故故应应选选((AA))..
sin t
((方方法法二二) )L *虹d&t >> IInn _xr成成立立等等价价于于
1 t
1
sin t. 1
j：岑玷dt 〉>j： jddtg,>(x>00))..
t t
1
sin t 1
又又 si
t
n ≤(+
t ,
，(
(
/
t
>
>
(
0
)
)
)
,
,
显
显然
然
，
，
当
当
0 V
0<
z
x<
V
1,
l
必
,必
有
有
门sin t 1
dt > dt.
t t
1
·----7
|| 【【评评注注】】 本本题题是是一一道道函函数数不不等等式式的的基基本本题题，，无无非非是是不不等等式式中中出出现现了了变变上限上积限分积函分数函。数.1it
'但不少考生错误地选择了(B),这说明部分考生不适应这种题型的变化. ：
'但但不不少少考考生生错错误误地地选选择择了了((BB),)这,这说说明明部部分分考考生生不不适适应应这这种种题题型型的的变变化化。. "
--0
II________________________ == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == == ==』』
七七、、方方程程根根的的存存在在性性与与个个数数
5能2((2200090,95,题5题)【)【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】((方方法法一)一 ) 等 等式式x + 2 +>y 2 2== 2 2 两两端端对对x了求求导导得得
2x+2yy'=0,y'(1)=-1.
2x + 2yy' — 0,j/(l) =— 1.
再再求求导导得得 22 ++ 22((丁y'))2 2++22y乂y/'" ==0 ,0y,”/(1()1 )==一-22,,
即即 f/((1I))=---1--,-f1”,/((11)) ==-2-,2由,于由于子 ”/((xx))不不变变号号，，则 则/(子x)( x<)< 00,,
从从而而,了5(x )单单调调减减，又，/又(I了) (=1)-= -1 1<<00,,则则
f/((xx)) <<0 ,0x,∈x €(1(,12,2))..
f3(x)在 (在1,(21),上2)单上调单减调，减从，从而也而就也无就极无值极，值又，又
f/((I1) )== 11 >>0 0,,
f(2)=f(2)-f(1)+f(1)=f(e)+f(1),(1<∈<2)
/(2) = /(2) -/(I) +/(1) = /(?) +/(D,(1 V £ V 2)
< =/(x)在(1,2)内和r轴有交点，故，(z)在区间(1,2)内无 匕 >y≈小/(Xx))
下方，则曲线y=f(x)在(1,2)内和x轴有交点，故f(x)在区间(1,2)内无
· 60 ·
• 60,第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
极极值值有有零零点点..
" 【【评评注注】】 本 本题题是是一一道道综综合合题题，，有有一一定定难难度度..得得分分率率不不高高，，选选（A(A）)或或(（CC)）的的很很多多，，这这表表明明部部"
:分分考考生生在在““猜猜答案”。 答案'；
: f/(（x工)）有有无无零零点点的的问问题题就就是是方方程程f/(（xx)）= 0=有 0无有实无根实的根问的题问，题本，本题题是是利利用用连连续续函函数数零零点点；；
〉定定理理说说明明了了 /f（(xx）) ==0 0有有实实根根.. 1
---J
1
池3(22001122,2,12题1题）（)I (）I【)证【明证】 明令】八令了f）(=x)了=”x+°工—+x*+1 .+.…•++工x一- 11(（”n>>1 )1）,,则则f顶(（x工)）在在
『 ［§,,11]
］上上
2
连连续续，，且且
1 1
(1- )
1 = 2 2" 1
"( 1 )\ _ 2 \ 2" ） -1［ =- 1 / n "1、
f f ( \22 ） ---------1 y~—1 =一歹2” V< 00,/f⑴(1)==«n --11 >>0 .0.
1-
1 一万2
1 1
由由闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的介介值值定定理理知知，方，程方程/（fx(） x=)= 00在在(（§,,11)）内内至至少少有有一一个个实实根根..当当zx ∈£ (（§,，11)）时时，,
2 2
ff( （x工)）==nnx~ri1 ++(（n〃 -—1 I)）］x"*-?- +2 +・..… + +2z2+x+i1〉>11>>00,,
1
故故f/(（xx)）在在(（§,,11)）内 内
单
单调
调
增
增
加
加
.
2
1
综上所述，方程/■（工）=0在(（§,,11)）内有且仅有一个实根.
综上所述，方程f(x)=0在 内有且仅有一个实根。
2
(（Ⅱ口）)【【解解】 】由由x,∈€ ( （y2 1 -,1l ) ）知知数数列列{｛x%,}｝有有界界，，又又
x;+x?1+…+x,=1,
其 + 町1 H------ xn = 1,
x+l+
+
x
1
+金1
1
+x={+
H-
…
---
+
--
x
Zn
+
+l
1
=
=1
I
.
-
因因为为
z
x
%
#：}>〉0,
0
所 ,所以以
x2+x?1++… …++x Z,” >>x ";+x}++… …+x++ X)M. ・
于于是是有有xx,n >>x ?J+)i, n,n= 1=, 21,,…2,,…即，(即x。｛z)Q单单调调减减少少..
综综上上所所述述，，数数列列S(x,3}单单调调有有界界，，故故(危x,”}｝收收敛敛..
x。—x。+
__ n+l -1I a
记记aq= =l i → l n mi -0 mx *08 。石 ,，由由于于 1 1 -一 - — -x- x .- n - ==11,,令令n→► 8 并并注注意意到到亏2 L V< x1”, V0 ,0f(/x（了)单）单调调增增加加..
2 2
3
f 潺 ( ( π ) ） < ＜ 0, 。 f , (( 备 3 “π) H = 了 ：彩cos 时x d 二 x x= ± 2 π二一t 甘1 ：s半in t血, dt ＞ >0 。 , ，
2 2 2x—3π 2. t
0 0
则则f/(（xX)）在在(（号 π , ，芸 3 π r)）上上有有唯唯一一零零点点，，故故/f（(Xx)）在在(（00,，丧 3 π)）上上有有唯唯一一零零点点..
2 2 2
5 函 5( （ 2 2 0 0 1 1 7 7 , , 1 1 9 9 题 题 《 X证 证 明 明 】 】( （ I I ) ） 由 由 l l i i m m区 f( x x 打 ) V<0 及0及极极限限保保号号性性知知，，存存在在ee>＞0,在0,(在0,（e0),e内）·内 f 区 ( x x 打 )
0X—叶0+ X X
10）,＞由0连,由续连函续数函零数点零定点理定知理至知至少少存存在在e∈££( x（?刀,1，1)）,,
使
使
f
f
(（5
E
)）=
=
0, 即
0,
方
即方
程
程
f(
/
x
&
)=
）
0 在
=
区
0在
间
区
(0
间
,1
（
)
0
内
,1
至
）内
少
至
存
少
在
存
一
在
个
一
实
个实
根
根
。
.
(（Ⅱ
U
）)令令
F
F(（了x）) =
=
f
/
(x
（x
)
）
f
/
(x
（x
),
）
则 ,则F
F
'(
'&
x)
）
=
=
f (
/
x
（
)
x
f
）
"
/
(
（
x
x
)
）
+
+
[ f
［
(
/
x（)
X
]）2
］
.
2.
f(x)
又又由由lliimm 久x对存存在在，，且且分分母母趋于趋零于，零则
→
，l
o
i
+
m
”
则_/■l（i*m） f=( x/)（=0f）( O=) =00,,又又/fX(Qe )== 00,,
J→-*0O++ 1
j-*0+
由由罗罗尔尔定定理理知知存在存η在∈（0(，0E,）e，使),使r?（(〃）n)== 00,,则则
FF(（00）) ==f /(O（0)）f/(（00)） ==0 ,0F,(Fn（)?）= f=( /η（7)）f/(（n7)）==0 ,0F,(Fe（$)）= = f /(（Ef)）/fz(（ef）) ==0 0..
由由罗罗尔尔定定理理知知存存在在
71
n
e
∈（(
o
0
,r
,））η ,使),尸使（?F
1
'）(
=
η
o
)
,
=存0,在存牛在
e
x∈（" (n）e ,使),尸使成F(p）)==0
0
,
,
即即小η和和恰p是是方方程程
f
/x
(x
W
)f”
&
(）x
+
) + ［，[f（(
z
x）)
T
] 2
=
= 0
o
的的两两个个不不同同的的实实根根，，原原题题得得证证..
5262(
（
22002211,4,4题题X
X
答答案案】】 AA..
【解析】 f(x)=ax-blnx有两个零点等价于方程ax-blnx=0有两个实根，即方程
【解析】/（x） = ax-bln x有两个零点等价于方程ax-b\nx = 0有两个实根，即方程
a In x In x
专 b 三 七x * 有 有 两 两 个 个 实 实 根 根 ， ，令 令 平 φ（工 (）x) = = ' x 二工 , , 则 则
1-In x y
′矿（(工x）)== ----= 0,得 H = e. I「
=0,得x= e.
x2
1
e
在在(（00,,ee）)上上 φm（(xx）)单单调调增增，，在在（e,( e+, +8o）o)上上甲φ（了(）x)单单调调减减，l，imlpi（mzφ） (=x—)= 8-,, e 了、 3~~x~»
O e
° / e x
lo+
lliimm 平φ（工(）x)==00,则,则φcp(（x工)）如如右右图图，，方方程程
.r—*+8 =
a In x
a In x
x
bT = ~
a
有有两两个个实实根根的的几几何何意意义义是是直直线线Vy ==
b
导与与曲曲线线yV ==q(中x（)JC有）且有且仅仅有有两两个个交交点点，，则则
a 1 ,
0< < e
b
b
即即ee V< a- ＜<+c+.8故.故应应选选( （ AA)）..
解解题题加加速速度度
1
1
.
.【
【
解
解】法)令f(x
令
)= kar
=
c t
^
a
ar
n
c
x
ta
-
n
x
x
, 则
— x
f
,
(
则
x)是
是
(-∞
（―
,+
°
o
°»
) 上
+°
的
°）
奇上函的数奇函，数则
，则
其
其
零
零
点
点
关于原点对众因此k只须讨论 &）在［0, +8）上的零点个数.
关于原点对称，因此，只须讨论?(x)在(0,+c)上的零点个数.
又八oXjo 土k -】=k住-1-也x2。
又f(0)-0,f’(x)= -1=
1+x2 1+x2
。62 ·
・62・第二章 一元函数微分学
第二章
(1)当k-1≤0,即k≤1时，f(x)<0(x>0),f(x)在(0,+c)上无零点.
（1） 当为一 1 w 0,即互＜ 1时,/（X）＜ 0（工＞ 0）,/（x）在（0, +8）上无零点.
(2)当k-1>0,即k>1时，在(0,√k-1)内f(x)>0,又f(O)=0,则f(√k-1)>0,
（2） 当&-i＞o,即&＞1 时，在（0, 内/（X）＞0,又 f（o）= 0,则/（yr=＜r）＞o,
在(√k-1,+c)内f(x)<0,又
在（+8）内 /（x） ＜0,又
lliimm /f（x(x） )== llimim （(Akaarrctcatna xn —x x-x） )==—-c 8o,,
→X-»++0°0° →Hf++8
则则f
fM
(x)
）
在在(（√』h k
—
- 1
\
,
,
++c )8内）有内一有一个个零零点点..
综上所述，当k≤1时原方程有一个实根，当k>1时，原方程有三个实根.
综上所述，当龙＜ 1时原方程有一个实根，当& ＞ 1时，原方程有三个实根.
(（方方法法二二）)f(fx （)工=） =ka^racrtcatannx -xx —是 x奇是函奇数函，数只，只需需讨讨论论f(/Xx)z在）在(0（,0+,c4)~内oo零）内点零个点数个，数为，为此此，，令令
x
■r
g
g
(
&
x))
=
=
arctan x
-k,x∈£( 0(0,,+ +co 8).).
arctan x
gg(（zx)）与与ff( （x工)）在在(（00,,+ +c)o内o）零内点零个点数个相数同相，同，又又
x
arctan x一 x
g'(x)= _ a _ rc _ t _ a _ n _ _ x _ — __ 1- 1 ~ + + :——x 廿 2§ = ((11 ++x 2®) )a arrccttaann z x—- xz ,
g'（z）
((aarrccttaann xx)Y2 ((11 ++x2 x)2()a (racrtcatann xx))22
令令 φcp(工()x)==((11 ++x x22))aarrccttana nxx —- xz,,则则 φ'(x)== 22xxaarrcctatna zn x>> 00,,xz∈ £ ((00,, ++o o8).).
φ(0 )== 00,,则则用φ(z()x )>> 00,,从从而而gg''((zx)) >>0 ,0g,(gx()z在)在(0(0,,+ +c)8上)单上调单增调加增加，，又又
q(0)
x
lliimmgg((xx)) == lliimm ( (---------——人k) ) == 1}.— — kk,
→o+ 0*\ a a r r c c t ta a n n x
lo+ l°+ z /
x
lliimm /f（(xx）) == lliimm ( （---------——时k) ==++08,,
→x-+40-”oo 工→一++80 \ aarrccttaann xx ）
(（11）) 若若kk≤ ＜1l,,gg(（xx)）在在(（00,,+ +co8)无）无零零点点，，原原方方程程有有唯唯一一实实根根z x== 00;；
(（22）) 若若k互>＞1, gl,(gx)（z在）(在0,（+0c,)+内oo有）唯内一有零唯点一零，点原，方原程方程有有三三个个实实根根..
4
22..【【证证明明】 】令令ff （(工x）)== 44aarrcctatna nx —x-xx ++ y37πc—一V√3 ,3本,本题题就就是是要要证证明明ff （(工x）)恰恰有有两两个个零零点点..首首先先求求
导导数数ff('x（工),）利,利用用f(/x)（x的）正的负正确负定确f定(xf)（的z）单的调单区调间区，间然，然后后考考查查每每个个单单调调区区间间两两端端点点函函数数值值的的正正
负负..
4 3—x2
f(x)= —1 =
1+x2 1+x2·
令令广f(怂x))==0得o得x=1±=√±3幅,■则，则
当当 xz ∈£ (
(
-—,-
8
√
,
-3V)时3，)时f
,
(
/
x
(
)
x
<
)
0 ,0,f(x)单调增加；
当 z £ (-73,73) 0t,/(x) >0,/(x)单调增加；
当
当
x
x
∈
E
(√(73 3,
,+
+c
o
o
o
)时
)时
，，/ f
(
(
z
x
)
) <
V
0,
0
f(
,/
x
(
)
x
单
)单
调
调
减
减
少
少
.
.
4π
又又 lliimm / (fx()x )== llimim ((44aarrctcatna zn —x -zx ++ 与一—>√/3?))==++c8o,,
3
4π
/f((—-√V③3) )== 44aarrccttaann(—(-
a
√/3)3 )++V√3 3++ 琴
3
-—√姬3==00,,
4π 8π
ff( (足√3))== 44aarrccttaann V√3^ 3—->√/33 ++ 学-—√V33 == 亨——22 √姬3〉>00,,
3 3
4π
lliimm /f((j：x) )== lliimm ((44aarrcctatna nz —x -zx ++
3
- — √ 冲 3 ) ) = = — - 8 c , ,
xH→f+0+0°8 X-»4-OO <5
则则xx= -=√一3为姬f(x为)的一的个一零个点零点，，在在((7√3,3 ,++o)内o)f内(x/)(还X)有还一有个一零个零点点，,
4π
故故方方程程44aarrcctatna nz —x-zx ++ 学-一√43= =0恰 0有恰有两两个个实实根根..
3
·63 ·
• 63・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学二)
八八、、微微分分中中值值定定理理有有关关的的证证明明题题
5
血
7((2
2
0
0
1
1
0
0
,
,2
2
1
1
题
题
乂
)
分
【
析
分
】
析】
将要
将
证
要
的
证
结
的
论
结
改
论
写
改
成f
写(成
Q
f
—
(
任
e)
+
-
广
4+f
3
()n
—
)-
寸
π
=
=0
0
.
.
1
x3,即就是要证F'(e)+F'(η)= 0.
若若令令 FF(&x)) ==f (/x(X))一- y3x3,即就是要证 F'(£)+F'3)= 0.
1
【【证证明明】 】 令 令 FF(x(x) )== f/((xx)) 一- -j-xx33,,由由题题知知 FF((00)) == FF((1l)) == 0 0..
3
1
在在区区间间
)0,
2
号 1 ] ］和和 [
2
上,1分 ] 上别分别对对FF((x)x用)用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理，，得得
1
Ff( ( " 2 ) —fF((0o)) ( 1 ) ,
1
== FF'('(e£),)≠ ，E∈£(00,,
2
|
-0
2
1
FF((1l))--FF
((§) )
2
= F'(n),η∈
( 1 >,11)
)，
------------1Z------ = F‘3)£ 2 重
1T-
2
F(( 1 ) —FF((00)) FF((11))--FF ( (| 1 )) _F(1)_F(O)_
2 2 = F(1)一F(0)
则则 FF''((eQ)++FF'('3η))== k 2 ' 1 -十--------------1------- = --------11-------- = — 0 , u 即 ，即
1_ 1-
1 —- -
2 2 2
2 2 2
F
F
'
'(
(
Q
e)
+
+
F
F'
'3
(
)
n =)=。0/,(f£(e))一-∈¥++，?(3η)—) -寸2==00,,
故了(e)+f(η)=+η.
故 /($)+/(7)=g+寸.
5笛8((22000099,,2211题题)［X证证明明】】((II))令令FF((xz))== 八f(工x))-_六f(b%)三-f｛(@a) (&x_—^,a)由,由题题设设知知FF((xz))在在[［aa,,
b—a
bW]上上连连续续，，在在((aa,,bb)内)内可可导导，，且且
f(b)-f(a)
F F ( ( a q ) ) = = f / ( ( a a ) ) 一 —b——— a ((aa -—a a))= =f f((aa)),,
b — a
f(b)- f(a)
FF((bb)) == ff((bb)一)-
f(b)—f(a)
((bb —-a a))= =f (/(aa))..
b—a
b — a
根据罗尔定理，存在e∈(a,b),使得F(G)=0,即
根据罗尔定理，存在(a,b),使得F'(Q = 0,即
f(e)一_r f((b , ) _ - y f((a a ))==0 0,)
b—a
b — a
故 f(b)-f(a)= f(e)(b—a).
故
(Ⅱ)(方法一)
方法一)
(U)(
f(x)— f(0)
f/++( (00)) == lliimm』(工)----= lim= limf'(e),e∈E ((00,,xz))..
x-0 →o+
l0+ Z — ° lo+
由于limf(x)=A,且当x→0*时，6→0+,所以
由于lim f'(工)=A,且当z->0+时，$-►()+,所以
x→0+
f+(0)= limf(E)= limf(e)= A,
/+ (0) = lim /z(f) = = A,
0 k→0
x—o+ e*o+
故故fU+((00))存存在在，，且且Af+<(00))== AA..
((方方法法二二))f/++((00)) == l ilimm
f/(&x))
x
-一f y(x0o))
((右右导导数数定定义义))
→0+
x
X—0'
f(x)
= = x l →l i imo m + f 1 (工) ((洛洛必必达达法法则则))
x—0+ 1
=A.
=A.
·64·
,64・第二章 一元函数微分学
第二章
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7
: 【【评评注注】 】 辅 辅助助函函数数也也可可构造构为造F为&F() x=)= Sf(x )—- f W (b)— f( ( a a ) )x h , , ；
b — a
I! b~a H
11 F
F
(
(
x
x
)
) =
=
[
L
f
f
(
C
b
b
)
)
-
—
f
/
(
(
a
a
)
)
]
］
x
x
-
—
( b
(b
-
—
a)
a
f
)
(
f
x (工)
)
等等..
5筮9((22001133,,1188题题))【【证证明明】】((II))因因为为f/((x)*是)是区区间间[-E1-,11,]1上］ ±的的奇奇函函数数，，所所以以f，((00)) == 0 0..
因因为为函函数数f/((xx)在)在区区间间[0［,01,]1上］上可可导导，，根根据据微微分分中中值值定定理理，，存存在在E=∈E ((00,,11),),使使得得
f
/
((1 1))
-
-f
/
((O
0
)
)
=
=
f (
f'
E
(Q
).
.
又又因因为为/f((1)1)== 11,,所所以以Zf((eE))==1 1..
((Ⅱ n))
(
(方方法法一一))因因为为f八(x力)是是奇奇函函数数，，所所以以
/
f(X ()x)是是偶偶函函数数，故，/故(-f?()- === f/'((?8)) ==1 .
1.
令令 FF((xx)) ==[ f(x().x-)1 —] el2］,e，则,则F (Fx()x可')可导导，，且且 FF((-—e E))== F F(E(f))= =0 0..
根根据据罗罗尔尔定定理理，，存在存〃在 €n∈ (—(-£E,,。6)UC( -(—1,11),1,)使,使得得F'F(η'3))== 0 0..
由由 FF''((vη)=) =［[/f((n/)++/f((?η) )一- 1口]攻e'且且 ee，?乂≠ 00,,得得，子(〃(n))++，f((n/) ==1 1..
((方方法法二二) ) 因因为为f/(&x))是是[［-—1,11,]1上］上的的奇奇函函数数，，所所以以f/((xx)是)是偶偶函函数数，，
令令 FF(&x)) ==f (fx 5)+)f +( x/)(x-)x ,—则 zF,则(x F)在(x[)-在1［,―1]1上,1］可上导可，导且，且
FF((l1) )== f/((11))++f/((11))--11 ==f (/(1l)),,
F
F
(
(
-
-l
1
)
)
=
=f
Z
((-
-
1
l
)
)
+
+
f
/
(
(
-
-
1
l)
) +
+
1
l
=
=
f (
f
1
(
)
l)
-
一
f(
顶
1
(1
)
)
+
+
1
1
= f
=
(
/
1
(
)
l)
,
,
由由罗罗尔尔定定理理可可知知，，存存在在η∈((--11,,11)),,使使得得FF'('η3))== 00..
由由 FF''((
h
x) )== ff'( (xx)) ++f f'( (xx)) -一1 1,知,知
f，'3(n))++f /(η(/)--1i= 0=, 即0,f即” (η)+f(η)== 11..
((方方法法三三) ) 因因为为f/((xX))是是[-E1-,11,]1上］的上奇的函奇数函，数所，所以以f(rx)(是x)偶是函偶数函，数f,”，((xz))是是奇奇函函数数，，由由((II ))
知知，，存存在在 £E£∈ ((00,,11)),,使使得得 /f(($E)) == 1 1..
令
令 F
F(
(x
x
)
)
=
= f
f
(x〈X ))+
+
f (
/
x(X ))-
—
x ,
Z
则
,则
F
F
'
'
(
(h
x
)
) =
=
f
f
'((X x))
+
+f
f
(
(
x工)
)
-
—
1,
1,
FF''((Qe )== f/"((?B))++/f((E$))- 一1= 1f ”= /((EQ)..
FF''((--Ee))==f尸"((一-e £))++f，(-(=一)£-)1一=-1 f=”-(/E()6.).
当当f，”(Q( e=)0=0 时时，，/'f(°£)(+e，)+以f)(一E)1- =1= 00,,即即 /f((fE)) ++f/((E^))= 1=. 结1.结论论得得证证..
当f(E)≠0时，F'(E)F'(-e)=-[f"(∈]2<0,
当 /(f)手 0 时,F'(QF'(—Q =- ［/(£)了 <0,
根根据据导导函函数数的的介介值值性性，存，存在n在∈(-ee) U C( - (— 1, 1 1) ,1 , ) 使 ,使得得F' F (η '3 ))= = 0 0 .即 ,即
，f”
3
()η+)/+f((/η —) -1 1== 0
0
,
,
故故f，”((/η+)+，f((/η )== 11.-
『-= = = = = = •= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
" 【【评评注注】】 本 本题题是是一一道道微微分分中中值值定定理理的的证证明明题题，，其其难难点点在在于于((口Ⅱ))中中辅辅助助函函数数的的构构造造.. "
: 欲欲证证 /f'”((/η+/)(+f?()η=) 1=1,只,只要要证证，f(”/+((η/()+〃(f)(一η 1))-=1) o=，0,即即［([，(f(工(x))一-11))''++ :
:((f/((xx))-1-)l])|］…|x=,7= =0, 0因,此因此，，应应考考虑虑辅辅助助函函数数FF((xx)) ==[ Lf(/x()x-1)]-el2］;eI另 ；另一一种种思思路路是是欲欲:
:证
证f，”((
/
η
+
)+
/
f '((
/
η
=
) =
1
1，,
只
只
要
要
证
证
/
f”(7)(n
+
)+
/
f
(
(
7
η
) -
) -
1
1 =
=
0
0
,因
,因
此
此
，
，应
应
考
考
虑
虑
辅
辅
助
助
函
函
数
数
F
F
(
(
x
x
)
)
=
=
:
Il ff((xH))++f (/x(X))——x X.. II
方方法法三三用用到到了了达达布布定定理理((即即导导函函数数的的介介值值性性),)这，这个个定定理理不不是是《《考考试试大大纲纲》》要要求求的的考考试试内内:
［容容，，部部分分考考生生给给出出了了此此种种解解法法，，只只要要书书写写正正确确，，不不影影响响得得分分.. J
一;
03(22(2001155,,1199 题题))【【解解】 】因因为为顶f(&x)) ==「√^/I1T+t7{cdkt ++ j'： /
√
T
1
+
+t
7
d
d
t
i
,
,
所
所
以
以
f(x)=-√I+x?+2x√I+x?=(2x-1)√1+x2.
f' (x) =— Jl + j? + 2了 J1 + j? = (2x — 1) a/1 + x2.
1·
令令 yf'(&x))== 0o,,得得工x== j.
2'
·・ 665 5·・—
。 。
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
—o∞,1
当当xZ∈ £ (（—8，号)）时时,，/f'(&x）) >0,0f(/x)（工单）调单增调加增，加在，在该该区区间间上上f/('x（工)最）最多多有有一一个个零零点点..
2
f/(（00）) == f √-/11 ++ xX22 ddrx ++ f \√/1 I++ xxddxx == ［ (（ J√1 I十+工x？2一-√1++ x了)）d&x <<0 .0.
J 0 0 J 1 2 J 0
又又 /f（(—- 11）) == j √+1+ 工x，2d_dr x== 22^ J√l I++ j x? 2ddz x>> 00,,
-1 0
则则f，(（x工)）在在(-（1-,10,)0上）至上少至有少一有个一零个点零点，，又又
f/(（1I）) == J √»/1 1++ xz2。ddzx ++ j √%/1 1++ xxddxx ==0 0,,
1
则则ff(（xz)共）共有有两两个个零零点点，.
7310(（22001199,,2211题题)）【【证证明明】】（(方方法法一一）)（(II )）由由于于f/(x&)在）在[0［,01,]1上］上连连续续，，则则在在该该区区间间上上必必有有最最大大
;
值值，,设设其其最最大大值值在在5E点点取取到到，，由由
j" f/(（xx）)ddxx ==1 1,,
:
可知f(B)>1,否则对一切x∈[0,1],有f(x)≤1,又f(0)=0,由此可知
可知/（e） > 1,否则对一切*£ ［0,1］,有y（z） W1,又六0） =0,由此可知
j /（x）dx V 1.
f(x)dx<1.
这
这与
与
题
题
设
设
矛
矛
盾
盾
，所
，
以
所以
/（
f
?）
( ∈
>
)
1
>
,
1
又
,又 ，（f
0
(）0
=
)= 0
0
,
,
f
/
(
（
1
1）
) =
=
1 ,
1
则
,则
≠
$
∈
£
( 0
（
,
0
1
,1
)
）
,
,
从
从
而
而
/
f(（e
£
)）=
=
0
0
.
.
(（ⅡD)）由由泰泰勒勒公公式式可可知知
()(
f/( （Xx ） )== /f （ (?5 ） )++ /f( （ 5e） ) （ (xx--$= ） )++ ^j^( （xx--Ee)2 ）2..
2!
,
令令zx ==0 ,0得,得
产(n),
0o == fy(（Ee）)++ 2! ,
则 则 ，f”（/( n=)= （(—-22)） f野(E).
由由于于/f(（£e）)>>1 1,,则则f(詈5) > > 1 ,1故,故 f( , η3） )<<--22..
;
(（方方法法二二)）（(I1)）由由积积分分中中值值定定理理可可知知，，存存在在Cc ∈£ (（00,,11)）,,使使得得 。
j：y&）dw = /（c）,
f(x)dx= f(c),
则则 ff(（cc）。 ) ==1 1..
在在区区间间[Ecc,l1］]上上。对对函函数数f/(（xX)）用用罗罗尔尔定定理理得得，，存存在在E∈ €∈（(cc,,l1）)，,使使得得ff'(ee)）== 00..
（
(Ⅱ
U）
)构构造造二二次次函函数数
g
g
&
(）x)
=
= x
Z
(（a
o
x
z
+
+
b)。,）使，使其其满满足足
。
g（o）= f（o）,g（i）= r（i）,j g（z）dz = J y（x）dj?.
g(0)=f(0),g(1)= f(1), g(x)dx= f(x)dx.
显显然然由由 gg（O(）0)== /f（(00）),,由由 gg（l(）1 =)= /f（(l1）)可可知知 a a++ bb ==1 .1.
a + b
由由\ gg(（xx）)ddxx == ［f ， (（xz)）d （lxz可 可 知 知告+ g ==1 ,1由,由 此 此 可 可 得 得
3 2
J 0 J 0 o Z
aa ==-—3 ,3,b6= = 44,,
则则 gg(（zx）) ==-—3 x2++4 x4z..
『
令
令F
F
(
（x
x
）
) =
=
f (
f
x
（工
)
）
-g
一
(
g
x
（
)
x
,
）
则
,则「FF(（xz)）ddxz= 0=, 由0,积由分积中分值中定值定理理可可知知，，存存在在=£∈ £( 0（0,1,1)）,，使使得得
0
· 66 ·
・66,。
第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学
F(x)dx== F F(5(Q)..
从从而而有有FF((O0)) ==F( Fe)(f=)F (
=
1 )F,由(l)罗,由尔罗定尔理定可理知可，知存，存在在η 7)∈
e
(0(0 ,1
,1
)),
,
使使得得
。
玲F"((n,))== 00..
又又 FF((xx) )== ff( (x工))-一((-一3 x3了22+ +4 x纭),)，则则
F玲" 3(n))==f'广( 3η))++6 6,,
故故
f
f(
3
η)= )=
—
-
6
6
V
<-
—
2
2
.
.
2函2((22002200,2,02 0题题)【)证【明证】明(】1)((I方)(法方一法一)令) 令F(Fh() x=)=，f((*x) )++ (&x -—2 )2e)e2>,,则则
g'dt > 0.
F(l) =—e V0,F(2) = /(2) = J：e，dt>0.
F(1)=-e<0,F(2)=f(2)=
由由连连续续函函数数零零点点定定理理知知，存，在存$在£E(∈1,(21),,2使),F使(QF (=E)0=0,即,即/(ff()e )== ((22 -一g)£e)湿2..
((方方法法二二))由由于于/f((xx)) ==e 2e,>则 ,则f (/(ef))= (=2 -(2= —)e "2S等 价等于价f(B于)=(=2 -(2e )—?£′)，(B()Q..
(
(
f
5
-
-
2
2))Z f((e e))
+
+f
/(
(
f
e
)
)
=
=0
0
.
.
令令 FF((xx)) ==( x(x- 2—) 2f)(/x()x,)则，则F F'(z(xx)) ==( x(-x2 —) f2')(/xz()x+) f+( xf()x。).
又又 FF((l1) )==--f/((1l)) ==0 ,0F,F(2(2))= =0 0..
由
由
罗
罗尔
尔
定
定
理
理
知
知
，存
，
在
存
s
在
e
E∈(1 (
,2
1),
,
2
使
),
f
使'(F
e
')(
=
E)
0
=0
,即
,即 y(f
e
()g
=
)=((2 2-
-
B
e
))f
/
(E()
e
.).
1
((ⅡII))I( 方方法法一一) )令令 gg((zx)) == IInn xz,,gg''((zx) )== — x ≠00((1 1<>00,,FF((1l)) ==f(/(11))--11= -=1<-01由<0连 由续连函续数函数零零点点
1
定定理理知知，，存存在在n∈ ((§,，11)),，使使 FF( ( ηv))==00即 即f (η)==η 7./.
2
((22))为为证证存存在在£E ∈£ ((00,,η?),)使,使得f(E)-得λ[f(e)-5]==1 ,1也,也就就是是要要证证
[
[y
f(
'(
e
f
))-
—
1
1
]
]
-
—
λ a[Ef/((?e))—-日曰==0
o
.
.
令令q平((x工))=e=-*[f(x)-x],则q(则x)必在工[0),在η[0]上,?满]上足满罗足尔罗定尔理定条理件条，件由，由罗罗尔尔定定理理知知存存在在EE∈C((00,,
η)
使
,使
矿
q
(
’
Q
(
=
E )
0
=
,
0
即
. 即
e-«
e
C
-*(/ [
(
(
f
f
)
/ (
-
e
1
)
)
- 1
-
)
A
-a
(
( /(f
e
()g
-
)
e
-∈)] )
=
] =
0
0
,
,
但
但
e
e
-
-
«
≠
尹
0
0
,
,
则
则
[f'(e)-1]-?[f(e)-t]=0,
[/■'(Q— 1]一心(£)一£] = 0,
故故 f(E)-?[f(e)- ==1 .1.
2.【分析】这种证明存在两个点∈,η∈(a,b)(即双中值),又不要求k≠η,往往在(a,b)上要
2.【分析】 这种证明存在两个点(a,6)(即双中值)，又不要求E尹〃,往往在(a,b)上要
· 67 ·
. 67 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
用两次中值定理，一般是用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，为此，把含有=和含有η的项分离到
用两次中值定理，一般是用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，为此，把含有£和含有V的项分离到
e-e2 f(n),
等式两边作分析，即r(e)=与W 危2.
等式两边作分析，即f’(e)= e'
b—a
b — a e7
【证明】 对f(x)在[a,b]上用拉格朗日中值定理，存在e∈(a,b),使
【证明】 对八工)在［a,疆上用拉格朗日中值定理，存在£6 (a,b),使
f(b)-f(a)
f(b) — f(a) ==f g(E)..
b—a
b — a
对对f(x和)和e2b在在[a［,ab]/上］上用用柯柯西西中中值值定定理理，，存存在在nV∈ e(a(a,b,b),)，使使
=
ff((bb))—-ff((aa)) = f ? ' ( E n) ) ,
e'
e?— e
e" — e° e，’
f(n)。
即 /(ft) 一 /(a) = (e" — e") • =^2.
即f(b)-f(a)=(e?—e2)· e'
f(n)
从从而而有有((bb —-a a))ff('(e&)=)(=e°(廿—一e2e“))以e"^,，故故
e7 =
(5 e′— e2
e9.
了(η) b.—a
:
一。
33..【【分分析析】 】 对 对(I( I))只只要要证证明明存 。 在存n在∈((00,,22)),,使使［ 。 ：/ f( & x ) )d & x = = 2 2f(/n(7) ) ,,这 这 是 是 积 积 分 分 中 中 值 值 定 定 理 理的 的 推 推
广广，，因因为为这这里里要要求求Vη属属于于开开区区间间((00,,22)),,而而不不是是闭闭区区间间[［00,,22]］..
对对((ⅡD ))只只要要能能证证明明ff(xS)在)在[0［,03,]3上］有上三有个三点个函点数函值数相值等相，等反，反复复用用罗罗尔尔定定理理即即可可证证明明..
【【证证明明】】((I I))设设「F((工x))== 』方f(t))&d,t(,(0O W≤x≤22)),,则则
0
£/f((xx))ddxx == FF(2()2—)-FF((00))..
由拉格朗日中值定理知，存在η∈(0,2),使
由拉格朗日中值定理知，存在(0,2),使
FF((22)) -—F (F0()0=) =2F 2'(Fn')(=/ =2f 2(η/( 7)),,
即即j ff((.xx~))ddxj=： =2 f2(/η(iy))..
0
[2
由 由题 题 设 设 2 2 / f ( ( 0 0 ) ) = = f(x)dx知知，，/f((/g )==fy(0(0))..
0
((ⅡD ))由由于于f，((x工)在)在[［22,,33]〕上上连连续续，，则则/f((工x))在在［[22,,33］]上上有有最最大大值值MM和和最最小小值值m他,从，从而而有有
f(2)+ f(3)
my≤ 件竺≤ M
2
由由连连续续函函数数介介值值定定理理知知，，存存在在cc 6∈ [［22,,33]］,,使使
f/((cc)) == f/(⑵2)+f蝉(3) .
2
由由((II))的的结结果果知知 /f((oO))== f/((n?))== fy((cc)),,((o0 v<η ? >00,,使使得得/f((xxo?)) >>1 1..
X~*+8
x→+00
因因为为f心(x))在在［(00,,++c8)上)上可可导导，，所所以以/f(X(x))在在［0(0,,++8)上)上连连续续..
又又f/((00)) ==0, 0根,根据据连连续续函函数数的的介介值值定定理理，，存存在在a ae∈ ((O0,,xxoo)),使,使得得f(fa()a )== 11..
((ⅡH))因因为为函函数数f/(x()"在在区区间间[0C,Oa],a上］上可可导导，根，根据据微微分分中中值值定定理理，，存存在在e∈((00,a,a),),使使得得
/f((aa))--f/((00))= =a fa'f('E(Q)..
1
又又因因为为 /(f0()0 )== 00,,/f((aa) )== 11,,所所以以 /f(($E))== a
a
- = = -- - = -- -- _ = - = = -- -- -- -- -- - = = = -- = = -- = -- - =-
………………………………
【【评评注注】 】 本 本题题主主要要考考查查拉拉格格朗朗日日中中值值定定理，理连，续连函续数函的数零的点零定理点及定极理限及的极保限号的性保.号性。
------J
55..【【证明证】明(】I)(I设) 设| /(|cf) (|c=) |M=.M若.若c =c =0 0或或c c== 22,,则则 MM ==| f| /((cc)) 1|==00..
一一般般地地，，当当MM==00时时，，/fX(xz))=三0,0对,对任任意意的的∈££∈ ((00,,22)),,均均有有| |/f'((e£)) l1≥2 MM..
当当 MM>>0且 0 |且f (| c/()c|)= M| =时 M， 时必，必有有c ∈c €(0(,02,2))..
若若cc∈ £( 0(,01,)1,]由,由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理知知存存在在≠$∈£ ((00,,cc)),,使使
=
f(c)-f(0) f(c)
f/((ee))== f(c)—』(。)=Z(£)
cc —— 00 Cc
=
M
从
从而
而
有
有
I
|
r
f(
(?
e
)
)
i
|
=
=
l1 f(
c
c)|1 = ->≥Mm..
c Cc
若若 cc∈£( 1(1,2,2),]同,同理理知知存存在在 =£∈£ ((cc,,22))—1((11,,22)),,使使
=
ff，((eu、)== 沁f(2))f-fc(c)) = --ff((cc))
J ? 22--cc 22—-cc
=
M
从
从
而
而有
有
I
|
/
f
(
(
?
e
)
)
I
|
=
=
f「爬(c)」=严-≥> Mm..
2-c 2-c
综综上上所所述述，，存存在在
EC
E∈ ((00,,22)),使,使得得I I
X
f((e E))l|>≥MM..
· 69 ·
・69・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
(Ⅱ)|f(c)|= M.
(fl) I /(c) | = M.
当当cc ==0 或0或2时2，时,MM=0=;( 0反；(证反法证)法不)不妨妨设设M>M0,>则0c,∈则(c0 £, 2()0,,当2)c,当≠c1时尹，1时由，拉由拉格格朗朗日日中中值值
定定理理，，存存在在角h∈€((00,,cc)),,&5∈ €(c(,c2,2),),使使得得
/f((cc) )== f/((cc)) —- f/((00)) == ff( h(&) )cc,,其其中中 0 0<< 白& </xx)) ++C C..
\ 勺工)22((√/T1++7x++√V7x)) 2
「== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
【【评评注注】】 本本题题重重点点考考查查不不定定积积分分的的两两个个基基本本方方法法：：换换元元法法和和分分部部积积分分法法..
-J
0(2(2001166,,22题题)【)【答答案案】】 DD..
[山
BFH w 、 #怎 2(x - - 1 1 ) ) & d , x , w x V <1 l = { jm (x — -1 i ) v 2+ + C g ?, ， x x < < 1 l , ,
【【解解析析】】 FF&(工))== < - = < —
jin xdx, r>l Uxd(Innxx--11))++CC?2,,x工≥ 21 .L
In xdx, x≥1
lliimm[[(z( x—- I1)?) +2+ GC]] ==C G?, ,l liimm[[zx(l(nl zn —x- 11) )++ CC2?]] ==—-1 1+ +C ?C,2 9
x x → - 1 r - l → i 1+ +
·・
7
7
1
1 ·数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
则则 GC? ==—-1 1 ++C C?2,,令令 GC ?== CC,，则则 CC2 ?== 11 ++C C,,
{(x-1)2+C, x<1,
EV、(怂—I)2 + C, Z V 1 ,
FF((Jx7))==(,
(xx((lnl nxx—-11) )++ 11 ++ CC,, x≥x 1.1.
, {(x-1)2, x<1,
令令 CC ==0 0,,则则 FF(Gx)) == 故故应应选选((DD))..
x(Inx-1)+1,x≥1.
(x(ln x—1) + 1, z N
2t
B3((22001188,,1155 题题))【【"】解 】令 令e√x —e '1 -=1 =Jt则,则 e。e=2 =11 ++ tZ22 ,x== Ilnn((l1 ++t 产2))，,ddzx == 「寻 J
1+t2·
2t
J e e2 2 j a a r rc c t t an a n √ ex e — ' - Id 1 x d x = = 了 J((11 ++t 2))22 】aarrccttaann ttddt t== 丁 J((11 ++2 )Z2a )racrtctaann tzdd((l1 ++t /2 ))
1+t
= 1思 1 1
=:[ a ar r c c t t a a n n r d t ( d l ( +1+ it 2 2 ) ) 2 2 = = -y ( (1 1 + + t2 i)22)a 2 racrcttaann tt— ----f(七(1匕+t七2))2击dt
2. 2 2. 1+t2
乙 J 乙 u j 1 ~] t
1
1 1 1 1 1
三
=§
2
((11 ++2 )产2)a2racrcttaann t; —_
2
(1++t 2i2))ddti == §
2
((11++t2 Z)22)a2racrcttaann tZ ——
2
(t+
3
t3) )++ CC
= = 1 L ^ e e2 2 xa a r r c c ta t n a n Je * √ — e ' 1 - — 1- 』 √ 4 e — 2 - \ 1 — - - 1 y ( (e 2 x — - D 1) 2 2 ] ] ++C C..
2 3
£1((22001199,,1166题题))【【解解】]设设——八 3 3 有。x x + + — 6 6 4、 = 7 A ^I 十+(7^ B B TF + + ^r C C + x x + + 7 D D Ti,
x—1 x2+x+1
((Xx —-1 1)) 2((Xx 2++ Xx ++1 1)) (x—1)2
由由上上式式求得求 A得 =A—=2-,2B, =B =33,C, C== 22,,。D==1 1,,
1 1 开 2x+1
则则原原式式==--22
x x - —-
1
1 1
dx++3 3
J
[ -
( {
~
j x c —— 11))
A d x x 十 +
xx22
2
+
x
+
+
xx + +
1
1 l
-
d
jd
x
x
3 + dd((]2x 2++ zx ++1 1))
==——221lnn I| xx —— 11 |I-----x--—r +1 x2+x+1
x — 1 ]2 + ] + 1
3
==- -221Inn |I xx--11 |I-——++1lnn((xx22++xx ++1 l))++CC..
x-1
x — 1
、/1解题加速度
解题加速度
1.【解】 )令VE=t,则x=t,dx=2tdt,
1.【解 令蚯=J 则 z = # ,dz = 2idi,
arcsin√x+In x,
厅f arcsin - I - n - - X -a dj x x= = 2 2 ((aarrccssiinn tt ++2 2l1nn tt))ddtt
J 压M
t
=2i(arcsin t + 21n t) — 2^( …# + + 2 2))ddtt
= 2t(arcsin t+2ln t)-2
√1-t
厅 d(1-t2)
== 22tt((aarrccssiinn t t++ 22l1nn it) )++ f> —— 44it
√1-t
J 71^7
==2t((aarrcscins it n+t 2+12n lt)n +t) 2+ J2\√ —1 /-t—- 4t++ CC
=2√xarcsin√x+2√xlnx+2√1-x-4√x+C.
=2 V^arcsin \[x + 2 a/zIii z + 2 a/1 —x — 4 @ + C.
arcsin√x+In x 患
(（方方法法二二）
竺国.匚2^士.也dx== 22J(
(
a
a
r
r
c
c
s
s
i
i
n
n
\l
√
~x
x
+
+l
I
n
n
x
x
)
)
d
d
(
(
√
Vx
x)
)
√x
\[x
= 2√x…(…a…rc…s…i n √ x + I n x ) - 2
( 1
… 十
1 )dx
=2 Vx(arcsin \[x + In x) — 2 2 √1—x √x
=2√x(arcsin√x+lnx)+2√1-x-4√x+C.
=2 Vx(arcsin y/x + In z) + 2 a/1 — x — 4 4x + C.
,72
・72・—
第三章 一元函数积分学
第三章
2.【答案】 e2aresin√I-e?-√I-e?+C.
2.【答案】e，arcsin 71 - e2x - 71 - e2x + C.
e'arcsin √1-e"dx= arcsin √1-e2de2
【【解解析析】】 ex arcsin \/l — e2x dx = arcsin — e2x dex
e'd √I-e2
= e2arcsin √1-e?- e'd Jl — e2工
exarcsin yi - e2x
√1-(√I-e?)2
= e'arcsin √1-e2- 元d√I-e2
exarcsin 71 - e2x - d 71 - e2x
= e2arcsin√T-e?-√I-e2+C.
exarcsin J1 一 e端-Jl 一 苹 + C.
:定、定积积分分概概念念.、性性质质及及儿儿何何意意义义
■
5(2（0
2
1
0
1
1
,6
1
题
,6题
)【
）【
答
答
案
案
】
】
B
B
.
.
【解析】同一区间上定积分大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小.
。【解析】同一区间上定积分大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小・
π
由由于于当当00V0.由于
以以下下证证明明鬼 ex sin xdx > 0.由于
'3x e' 2 sin xdx= '3x e22sin xdx+ 2k e'2sin xdx
ex sin xAx = ;ex sin xdx + ex" ;sin xAx
置 /22k#
= e e 2 S‘ s s i i n n x d x x d x + + e e7 2 •2xs si i n n x x A dx x （(积积分分中中值值定定理理)）
J 2x 重
==22((ee‘2 -一e e2#) )> >0 0( 2π(2互< VE< £3 Vπ 3,木π，穴 >Ⅱ L ,,从从而而 LI ?V< IL? 0,
y
I\ = eJ sin xdx = S］ > 0,
J o s. y=e'sinx)
IL? == j 2 r e ej 3 2 s si i n n x d x x d = x = S S i , — - S S 2 ? < <0 0 , , π S) x
O 2π 3π
0 S.
IZ3? == f ee，'ssini nidxrd =x =SSi ?—- SS 。2 ?++ SS3? == SS?i ++( （SS?3 -—S S?2)） >>S S?i= =I ?L, ,
0 。
故 故 L I ? V < I L < V I ? L , ， 。 图图二二
从
从
而
而
应
应
选
选
(（D
D
).
）.
—
(2017,17题)【解】原原式式== lliimm — 1 2 曳 k? Ilnn ( (1l ++ ± k ) )
0（2017,17题）【解】 n n n
= 18 n = 0 1 n \ n /
1
=J xxllnn((l 1++ x。x))ddxx == -|-J Ilnn((l1 ++x x))ddxx22
2.
0
= 1 1 1 x2
=沁 21n ( (11++x 、 ) 一 H 壳&dx
2 2 1+x
= 0 0
1 1泻
-In 2一 (x2-1)+1dx
—
2 2. 1+x
0
= 1 1 1 1
=
2
5-In 22 一_ H
2
&(x -_1 1))d&x— _ 月
2.
；
1
己
+x
d&x
0 0
1 1 1 1 1
二= {llnn 22一-|((xx—-1l))22 ；-|lnIn((l1++xx))；
2 4 2
0 0
1
1
三 4
一 T
08(2（022012,17,题7题)【）【答答案案】】 BB..
1 [k—1 k ] ,
【 【解 解 析 析 】 】( （ 方 方 法 法 一 一 ) ） 直 直 接 接 法 法 将 将 区 区间 间 [［00,,11]nb等 等 分 分 ， ，则 则m△x ?== n ,第第％k个个子子区区间间为为［史 n n
由于
由于
。
k—1 = 2k-2 2k-1 2k = k,
k —
n
] _ 2k — 2<<2 仓一1<.2^ _
n
k
2n 2n 2n
n 2n 2n 2n n
2k-1 ∈ 亡，k—1 k 小
则则穿cHn n •
2n
由由定定积积分分定定义义知知
=
m
瓯lim 乙fl（( 2 穿 k
2
-
n
1 )）4n 1 =〃
f(
（
x
*
)
）
d
&
x
,
,
→0=1
故故应应选选(（BB)）..
3
(（方方法法二二） ) 排排除除法法 取取/f（(xx） )==1 1,,则则］/ f( （工 x ） ) & dx = =1 1 . .
0
lliimm史乙/f'(件2k
2
—
；
1
I))}
1
== lliimmnn· . }
1
= *
1
≠关 11,,
2n 2n 2n 三 2
n → - 0 * 0 8 1 &- =1 ] \ £>n / n-*oo Zn Z
lim2 2n fl( k
2
—
n
1 )
n
1 == lliimm22n〃 ..【
n
1 ==22≠ 乂1 1,,
·00 =1 cn / n n
”-►84 = ] \ 0n-*0oo
·・
7
74
4
·・第三章 一元函数积分学
第三章
k 2 2
l → im②f(( 2n ) n == lliimm22nn· ・ ——n 2 = = 4 4 ≠尹1 1 , ,
=1 →n-*o0o n
排排除除(（AA)）(（CC)）(（DD)选）选项项，，故故应应选选(（BB)）..
09(2（022022,27,题7题)【）【答答案案】】 AA..
【【解解析析】】 一 当当 x x ∈ € 。 (0（, 0 1 ,1 )时 ）时，, 。 。
x 1+ sin x
专 工 2 < V 1 食 +x <
' >
l
1
+
+
x
x
(
(
x
x≠
^ 0
0)
)可
可
知
知
N
N=
=「兰e'兰dx&<<「11d&x ==π汗..
J-量f ex J-号f
量
KK == 「* ((11 ++√ -/ccooss xx) )ddz x>> 「* 11 ddxr ==π i,t,
-÷
则则KK> >M >MN,>故 N应,故选应选(C(C).).
1
卫[E( 2(021091,91,31题3)题【)【答答案案】】 |(cosl-l).
(cos 1—1—).
4
1
【解析】 门。 = j；(( x 4 南 学 sin t2 d小t)dx== } 1 £ ( (£ s 畔 in t 也 2 dt))d*x2
【解析】 f(x)dx= t 2 t
1 0 1
0
x2 sin 1 1 2sin x2
-dt dx
三 2 t |。 2
=一 1 10 0 工
1 1 1
xsin x2dx= cos x2
xsin x2 dx = —cos x2
2. 4
0 4 I 0o
=
1
= *c(cooss l 1—-1 l))..
4
· 75 ·
-75 -一
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数（数学学二二)）
8π
1[3£(2（022022,21,31题3题)【）【答答案案】】罪.
3√3
g 3^/3
。 dM( (x一 T 1 ) ) 。
2x+3 2x—1 2
1 dx== dx+4
【解析】
【解析】 x2-x+1' 。x2-x+1 o
(x—
1 )2
2
3
3
0 2 十 + T4
x一 1 1
1 8 jr ——2
≌ l I n n ( ( x x 2 2 — - x x + + 1 1 ) ) 1 十+ , — 8 a a r rc c, t t a a n n ———— 2
√3 √③ 0
o V3 V3 o
2
~2
8π
8tc
三
3√3
3疗
解解题题加加速速度度
11..【【分分M析 本本;题题要要计算计的算积的分积f分(x&)的dx的被被积积函函数数f，((x*))没没给给出出，，但但给给出出了了一一个个关关于于yf((工x))的的
1
1
变上限积分的等式r«/(2x-z)dz = 4-arctan把，通常等式两端求导可解出/(x).
变上限积分的等式 tf(2x—t)dt = 2 arctan x2,通常等式两端求导可解出f(x).
J o Z
;
【【解解】】 令 令u =u =22xx —-t t,.则则ddu" ==-—d td,j
的; 的;
,
[t
t
f
f
{
(
2
2
x
x
—
-t
t
)
}A
d
t
t
=
=
—
-
f
((22jxc —
—
u
u
)
)
f
/
(
(u
u)
)d
du
u
=
=
2
2
x
x[ f/((uu))dduu——f u
uf
f
(
(
u
u
)
)
d
d
u
u
.
,
J lx J x x
0 J 2x ; J
于于是是得得 「 工
的 2 ; C2x 11
2.x arctan x2,
2zJ /f((uu))dduu一 — I uuff((uu))dduu == —2arctan x2,
等等式式两两端端对对zx求求导导得得 , .
x
,
22r7f( ( uw) )dd«u ++2 2xx((22f/((22xx)) --/f((xx)))) - 一 ( (22xxf/((22xx)) ·• 22--xxf/((xx)))) == r-^-r,
1+x2
J i 1 I- X
x
即即 2 f/((uu))dduu == - "7 ++x xff( {xx))..
1+x? 。
J x 一1 + Z ……… … ……
1 3 3·
令
令 x
x =
=
1
1
得
得
2
2
J
〔
1 f
/(
(
u
u
)
)
d
d
u
u
=
=
4
Z 2
- ++
。
11 ==
2 Z
,故故
J
[
i f
/(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
=
= 4 4
门
ln(t+1) In(x+1)
2
2
.
.
【
【解
解
】:】 (
(
方
方法
法
一
一
)
) 因
因
为
为
f
f
(
(
工
x
)
)
=
=
「♦(寸
t
1)出
dt
,
,
所
所
以
以
3
f(x)
=
=
给0x 土12,，且且/f((11))==0 .o从.从而而
J 1 1 t X
。『 1 ]
I,
f
'
((x
X
))ddzx
== 22 √\/~xxff ((xj?)) — I* \√Z~xxff'\(xx}d)diXx
√x
」。*J~x L 」
o J o
1 √x
= = — — 2 o 2 f1 - Il - nn - ( - ( √ - x - x — + x + 11)) d c j k x r = = - — 4√ 4 a V x r J ~ I 7 \ n 1n ( / ( x j： + + i 1 1 i ) ) 、 i + + i 4 4 注 。 —x E + 1 d & J x
J 00 0o J o z 十 1
中 √x
==——4411nn 22 ++4 4 f * -ddzx,,
0x+1
J o i + 1
今令以u==√x,则则
√x u2 1 π,
[ K、ddxr == 22 [ - -■ - -
d
d
u
u =
= 2
2
(
(
u
u
—
—
a r
ar
c
c
t
t
a
a
n
n
u
u
)
) ==22一 — g,
x+1 u2+1/ 2
J o x + 1 J o u +1 1oo Z
所 所 以 以「f(x), dx==8 -82-π27—t-44l1nn 2 2..
√x
。
J V7
· 76
・76 -。 。
。
。 。
第三章 一元函数积分学
第三章
(
（方
方法
法
二
二
)
）「f罕(x),如dx==施dx 「 I 些 n(1 普 +t) d
M
t,
√x t√x
」
J ° yj X 1 t yjx
交交换换累累次次积积分分的的次次序序，，得得
［d&x 「I味n.( 1 1 +秒t)ydt ==—_「时dt 'l I n n (1 d + Q t) ddzx ==一-22「I晦n(t Q +1 d )d,t..
一 t√x t√x 0 √E
。 。 。 。
j Jl t »Jx J J t y/x J
以下同方法一，
以下同方法一.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
" 【【评评注】注 】本 题本主题要主考要查考定查积定分积的分计的算计.算这.种这被种积被函积数函中数出中现出变现上变限上积限分积函分数函/数（Xf）(x=)="
II In(1+t) II
工 *（农）d血t的的积积分分，，常常用用的的方方法法有有两两种种，，一一种种是是用用分分部部积积分分法法，，另另一一种种是是利利用用累累次次积积分分交交换换:
:［ t
-
I'
I H I 次次 , 序序... li
1 1 1
I <| I 考生答考卷生中答最卷常中见最的常一见种的错一误种是错在误凑是微在分凑微时分将时土将dr = ］ d2xd=2"d错√写x错为写土为 cLr = 1 d * x d 1= jm. -/d√ — » x. 11
√x √x 2
it vx vx 乙 "
________________________ =』
|L _ ________________ _ - _
π2·
33. .【【答答案案】】 j4.
=
【
【解
解析
析
】
】 「 ( (
1+
s
c
in
o s
x --
x
-+|1二xI|)d)&x==「—
1+
s
c
in
o s
x
x
ddj： x++ 22 P 量 xdxxd =x= 00 ++ xx22 I 2 善 = y π
4
. 2。
J_i \ 1 + cos X / J量 1 + cos X Jo0 1100 4
—
。
44..【【答答案案】】22((1lnn 22--11))..
【【解解析析】 】 由 曲由线曲 V 线 = y = / f ( ( x x) ) 过过点点 ( ( 0 0 , , 0 0 ) )且且与与曲曲线线了y ==2 * 2 在 ,在点点(1 ( , 1 2 , ) 2 处 )处相相切切知知
f/((00)) ==0 0,,f/((11)) ==2 2,,f/((11)) ==(2(?2工)|)'…|工,=]==2'2xllnn 22||x…=1 ==2 I21nn2 2,,
1
则 则[, x 工ff”"(( 工 x ) )Mdx == f jxcddfff'((xx) )==x xf'/z((xx)) — I* f/( ，(xx))ddxx
J 00 J 00 I 0 J 00
11
==2l21nn 22 —-f f( (x工)) ==22l1nn 22 —-2 2= =2 (2I(Inn 22- —1 )1)..
0 。
。 四四.、变变上上限限积积分分函函数数及及其其应应用用
[［蛆4(（2200090,96,题6题)【）【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】 由由y
5
=
- =
f(
/
x)（x 的
）
图的图形形可可看看出出，,六f(了x)）在在[［一-1
1
,
,
3
3
]
］
上上有有界界，，且且只只有有两两个个间断间点断（点工(
=
x
0
=0
,
,工x==2
2
)
）
,
,
则则
f/(（xx)）在在[［-—11,3,3]］上上可可积积，，从从而而FF（(zx）) == f(t)dt应应为为连连续续函函数数，，所所以以排排除除(（BB)）..
又 又由 由 F F & (x ） ) = = j： ff( （ t£) ） dckt 知 知 ， ，FF（(0O）) == 00,,排 排 除 除 ( （ CC).）.
0
(（AA)）与与(（DD)选）选项项中中的的F(Fx（)工在）[在—［-1,10,]0上］不上同不，同由，由
1
F
F(
（x
x
）
)
=
=
J Ilddft == xx,,xx∈ G[ ［-—1 ,10,0]］,,
0
排排除除（(AA)）,,故故应应选选(（DD)）..
L函5(（2200113,33,3题题)）【【答答案案】】 CC..
ssiinn t t d dt t , , 一; 00 ≤< zx <<π 7t
【解析】（方法一）F&）=（：
【解析】(方法一) F(x)=
通 s s i i n n td td t t + + 22dd Jt ,π兀 <≤ zx ≤< 22m穴
0
·
-
7
7
7
7
·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学二)
=
{11 1 — — c c o o s s x x, » 0 O ≤ V x z < V π t , v,
I2 2+ +2 (2x(x- π— 7)T),,π ≤7t Wx≤ Z 2<π 2穴..
lliimmFF((xx)) == lliimm ((11 -—c ocoss xz)) == 22,,
x→x
→*
→.
limF(x)= lim[2+2(x-π)]=2,
limF(x) = lim [2 + 2(«r — it)] = 2,
→.*
则则FF((xx))在在xX= π= 处7t处连连续续..
1 — cos x—2 -cos x-1 sin x
F匚′/ (/ π、 )= lri m 1 — cos x — 2 = → lvi m —cos x — 1 = l[.i m sin x =0八.
r _ (n) = lim ------------------ = lim ---------------- = lim —1-— = 0,
→ ■ 一 if m一 k 工JC 一—π 八K - 工X 一—π 7八t → i-*x m- 1
→
FF+；((πk)) == lliimm 2 8 + 士 2 . ( 2一 x 危x — —一 π π.政 )— ； 2 2 == 22,,
T * 一工
故故FF(x(z)在)在x=工π=处T不t处可不导可，导应，应选选((CC))..
((方方法法二二) ) 由由于于工x==π「为为f(fx3)>的的跳跳跃跃间间断断点点，，则则FF(&x))在在xx= π= 处n处连连续续但但不不可可导导..
「= = = = = = = = = = = = = = = — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = =『
: 【 【评 评 注 注 】 】 本 本 题 题 主 主 要 要 考 考 查 查 变 变 上 上 限 限 积 积 分 分 函 函 数 数 的 的 连 连续 续 性 性 和 和 可 可 导 导 性 性 . . 显 显 然 然 ( ( 方 方 法 法 二 二 ) ) 简 简 单 单 ， ，( ( 方 方法 法：
«二二))中中用用到到三三个个常常用用结结论论：： ：
: 1 1) ) 若若f r ((x z )在 )在[a [ , a b , ]切上上仅仅有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点，，则则f/(■x)&在)在[a [ , a b ,切]上上可可积积；； ：
利;
: 22))若若f/((xD)在在[\a_a,,bb]~\上上可可积积，，则则FF(x()x )== J7f( («t ) )ddtt在在[[aa,,b切]上上连连续续；； ：
。
" = 3 3 ) ) 若 若 ， f( ( x 了 )在 )在 [a, ] b 上 ]上 除 除 工 x? 0 ∈ € ( ( a q , , b A ) ) 点 点 外 外 处 处 处 处 连 连 续 续 ， ，z x = = x z 。 o为 为f 的 (x) 跳 的 跃 跳跃 间 间 断 断 点 点， ，则 则 F F ( ( x x ) ) ••
J
" Cx "
"=ffM(t)ddtt在在xx ==x。 x处0处不不可可导导.. "
J a
L皿G((22001155,,1111题题XX答答案案】】 22..
2
【【解解析析】】 ( φp(j(c)x )== xzj f/((it))ddzt,,由由甲φ(1()1 )==1 知1 知，，j f
f
(
(
t
t
)
)
d
d
t
t
=
= 1
1
,
,
又
又
0
fx2
′(x)=
9‘(z) = J f(t)dt++ 22xx22f/((xx22))..
0
由由φ妒((11)) == 55知知..
55 == ^f(t)dt + 2f(l) = 1 + 2/(1),
f(t)dt+2f(1)=1+2f(1),
0
故f(1)=2.
故 /(D = 2.
1血7((22001166,1,122题题(X答答案案】】 22-21·.1100..
【【解解析析】 】Z ( xf) (=x )2=(x2 (+x l+)1 +) +22/f(x(x),)/,(0f() 0=) =22++ 22f/((00)) == 44,,
。
f/(”x)( x=) =22 ++ 22f/((xx)),, f/(”0() 0=) =22 ++ 22×X44 ==1 01,0,
f尸(x&))= =2 f2',((x工)),，……
f产"( >x&))= =2f 2D(/x-)1=,( r2)2 =f' -2)(x)=2°= 22f-2° (x),,
f/""'((00)) ==2 ~221f'/((00)) ==2 "22"-·2 • 1100,,((nn>>2 )2)..
则则尸f)”>((00)) ==2" 22"·-z .1 01,0(,(n〃≥ 22 2))..
x-t= u九 的。
8F(E2 0(21081,81,61题6 题)解X】解】(D(I))[ <
tf
/
(
~
x—
(
t
工
)dt
&..... [ (
(
x
x —
—
u
u
)
)
f
f(
(
u
u
)
)
d
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u
u
=
= x
x\ /
f
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(
w
u)
)
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u
w
—
—[ w
uf
/(
(
w
u)
)
d
d
u
u
.
.
J
0
0
OJ
0
0
J 0 J 0
门。
代
代
入
入
原
原
方
方
程
程得
得
[* f(
f
t
(
)
t
d
)
t
d
+
t+
x
x
l* f(
f
u
(u
)
)
d
d
u
u
—
—
[ uuff ((uu))dduu == aaxx22..
J J0 J
o o o
上 上式 式 两 两 端 端 对 对 xx 求 求 导 导 得 得 /f((xx)) ++ j / f ( ( u u ) ) d d u u + + x x f f ( (x x ) ) - — x x f f ( ( x x ) ) = = 2 2 a a x r , ,
0
门。
f
f
(
(工
x
)
)
+
+
f yf( ( uu))ddMu == 22aaxz.. ①
①
·78 ·
・78 -第第三三章■ 一-元元函函数数积积分分学学
等等式式两两端端再再对对Xx求求导导得得，f'(工(x))++ f/((xx)) == 2 2aa..
由由线线性性方方程程通通解解公公式式得得
?
J“
( 4r
f/((xx)) == e ·• 22aadxd x++ CC ) )==e -e-+x((22aaeex 2++ CC)) == 22aa ++C Cee?~.x.
由由①①式式知知,，f(0f)( 0=) =00,,则则CC ==-—2 a2a..
f/((xx)) == 2 a2(a1(l- e—* e*-)x.).
;
<(Ⅱn))由由平平均均值值定定义义知知
£/ f ( ( x x ) ) d d x x 2a,
1= =2a
1 = —
1
；
-
---
0
---- = 2q ((11 —-e e- ')) adxx == —e ,
1—0 J0o e
e
则a=
则 a = y2-
f(x)
[匠9((22002200,,1166题题))【【解解】】 由由lliimm』&)==1 1知知lliimmf/((xx)) ==0 ,0又,又f(fxS)连)连续续，，所所以以/f((00)) ==0 0,,从从而而
x
→0 3C. 0°
x-»0 x-*0
门：
g
g(（0 0）)
=
= f/((00))ddti == 00.
0
当当x]≠尹00时时，，令令uu ==x tx,t,则则
1门。
— gg((xx)) == f y ((u u ) ) d d u u , ,
工， 0
。
g寸'((00))== l临im g 8 ( 怎 x) ) - 一: g( 孵 O) == lliimm 0 /f((uu o ) _ )d _ d _ uu __=_ _l]i. m /f((xx)) = 1 1·
x-0 x2 =hr2n x-----------=2-------
x→ l 0 0 X — 0 xz→—00 X2 →1 x 1 — 110 0 1 L o X L o .
1
f(x)
当当 zx ≠尹0 0时 时，,ggz'((xx) )== x — x2. f /( ( u u) )d du u . .
0
=
因 因 为 为 l li i m mg g ' ' ( ( x i) ) = = lim [f( x x) ~ x 1 2 ff((uu))dduu~ ] \= ｛ 2 1 ,，所所以以llimimgg'('z()x )== gg''((00)),,故故 gg'′(工()x在)在 z x== 00 处处
→x—0'0 l →00 L Z Z J 90 J Z x—→00
连连续续.. 。
解解题题加加速速度度
L【答初受身
1.【。答案】一1.
+>e'dt =
【解析】在= [
【解析 在 xxssiinn t2td2t d中t中含含 z x== 00,,得得
0 o
>(0) 。d,t = 0.
e-z ck = 0.
0
又又 eL2> >0,0则,则y;(yO()0)= =0 0..
由由于于
r
x
s
s
i
in
n
t
t
2
2
d
d
t
t= =xj
s
s
i
i
n
n 户
t2d
曲
t,
，
则
则
o 0
=+ydt =x护：
re" di = x ssiinn tt22ddtt..
0 J o
:
该该式式两两端端对对工x求求导导得得 =
dyj
e e - -( ( x + + x y ) ) 3 2 (1+ dr ) s s i i n n t t 2 2 d d i t + +x x s s i i n n x x 2 2 . .
0，v = 0 dy =-1.
=—1.
将将Hx ==0 ,y=0代入代上入式上得式得dxl虬湘
x=0
F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n]
【【评评注注】】 本 本题题主主要要考考查查隐隐函函数数求求导导和和变变上上限限积积分分函函数数求求导导..
-J
· 79 ·
・79・一。
。
数数学学历历年年真真题题全全精精,解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
;
2 2 . .【 【 解 解 】 】 令 u 令 = u x = x — - t Z , ,则 则 [f f ( ( x x — -t t ) )d dt t = = I /f((uu))dduu,,由由题题设设得得
J 0o J o
。 门;
[f(u)du = — f + e-J — 1.
f(u)du =x f(t)dt一 tf(t)dt+e~+-1.
J o J o J o
的;
等式两端对 x 求导得 /(x) = j /(z)d« + xf{x') — xf (x) — e-x ,即
等式两端对x求导得f(x)= f(t)dt+xf(x)—xf(x)一e?,即
0 1。
f/((xx)) == j /
f
(
(
«
t
)
)
d
d
i
t
—
- e
e
+
-i
.
.
一
等等式式两两端端再再对对*求x求导得导/得(xf)' (=x )f=(xf)( x+) +ee~即即
ff'( (xh)) -—f (/x(x)=) =e ?e*-1..
…1
[
1
f /( ( x x ) ) = = e -?-Dd eeJ el - — 1 也 t + + c c ] == ee2- ((一 -|-ee~-22lr++CC)).
2
1
又又顶f((00) )==--l1,,CC==--§,
2
1 e2+ e-'
/(x)=-号ee2'((eeT-'2 +x+ 11)) ==一一 e=e 工.
f(x)=- 2 2
33..【【答答案案】】 AA..
【【解解析析】】((方方法法一一) )由由于于f(/t()Q可可导导且且为为奇奇函函数数，，则则ff''((tt)) ,,ccooss ff((tt))都都是是偶偶函函数数，，从从而而/(f(«t)) ++
ccooss /f((zt))是是偶偶函函数数，，则则j： [[ccooss yf ( (it))++f/((tr))]]ddt«是是奇奇函函数数，,故故应应选选( ( AA))..
—
“
J
(
(方
方
法
法
二
二
)
)
令
令
F
F
(
(
z
x
)
)
=
=
J [[ccoossf/( (£t ) )++f ， ('t ( )t])]ddt£,,则则
0 。
F
F
(
(—
- x
x)
) =
= J [[ccooss/fX(tt) )++f/"('t(t))]]ddtz
u U =-t — j上 ( [cos/(— w) + — u)]du.
[cosf(-u)+f(—u)]du.
因因为为f/((xx)为)为可可导导的的奇奇函函数数，，所所以以函函数数ccoossf/((xx))++f(/x()x为)为偶偶函函数数，，从从而而
FF((—- xx)) ==——j [Cccooss/f((u)u )++ /f(z(uu))]]ddwu ==—-F F(x(z),),
所所以以FF((xx)是)是奇奇函函数数，，应应选选((AA))..
。
五五、、与与定定积积分分有有关关的的证证明明题题
2巫0((22001100,,1166题题XX证证明明】】((I 。I))当当0≤0 t≤1时1，时因，因为为00≤<1lnn((1l ++t )t)≤>0,0使,使
; 00≤<1|. ttlinn tt ||≤〈MM,t,r∈ 6( 0(0,,11)],,
M M
则则 t'| lIInn £t || ddzt <≤ M t t " ~ -1 ' d dt t = = n—,,由由 lliimm —n ==0 及0 及夹夹逼逼原原理理知知lilimmuu。, == 00..
n nf8 n
J o J o 海 →”-*080
「= = = = = = = = = = = = =.......... ..............= = = = = = =............... ...
【【评评注注】】 本本题题是是一一道道综综合合题题，，主主要要考考查查定定积积分分的的不不等等式式性性质质和和求求极极限限的的夹央遇遇原原理理，，同同：即麝
:时这里用到一个常用的函数不等式 :
时这里用到一个常用的函数不等式
x
" 工 11
" ^―；—V< Ilnn((l1++zx)) V
f
/(
\
a( +pg(g(^t))ddti),,因因此此,，FF'('“( ) u)>≥00,,FF(。b))≥20 0..
…m,
门：
故 y f( (x x ) ) d d x x ≤ J y f( ( x x ) ) g g ( ( x x ) ) d d x x . .
重
·81 ·
• 81,数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·.提提高高篇篇(（数数学学二二)） 》 ]
六六、、反反常常积积分分的的概概念念与与计计算算
2巫2(2（0
2
0
0
9
0
,
9
1
,
0
1
题 0题)【）【答答案案】】 —一2
2
.
.
+00 +0 1 ,
【【解解析析】】 因 因为为1 1== 广川<1工=e"dx== 22 lliimm -e3 °,
e2l|dx= 2
J - — 0 8 0 J 0 0 a a - → *4- + oo 0 R k , 1 q 0
1 2
要要极极限限lliimm -^eef*a存存在在，，必必有有k>1l,,即即aα>>。0,,故故00<>一-11,,
J 7 丰 ( （ 1 1 — — Xx)）-"
故故一- 11 f)( y=) =7√11^-7y((--11≤ < yV≤ < § ) ),，则则容容积积
2 2
1 1 9
V = 2 π。
V = 2 - J 1
冗π尸f(（y少)d如y == 2π
2n --1i
（(11 —-y J2) ）dd;yy == #
4 4
7t.
(（Ⅱfl)）容容器器内内侧侧曲曲线线记记为为工x==f f(y（)y,）在,心y轴轴取取小小区区间间[yL,yy,+yd+y]d,y对l.对应应容容器器内内小小薄薄片片水水的的重重量量为为
p
P
xf
n
(
f
y
（
)
y
d
）
y
d
(
y
P
（
为
P^
水 j水的的密密度度),）抽，抽出出这这部部分分水水需需走走的的路路程程近近似似为为2
2
——y,勿将将此此薄薄层层水水抽抽出出需需做做的的功功近近似似
等于
等于
ddWW= =Pg Pxgfn(f2y ()j()(22— —y y)}ddyy
人 1,
一
=
Pl°ggrπt(l (—1 3-»2y)2(2) (—2 >-)dy3)>d, y,—- 1≤y≤
2
1
PPggπn(2(y2 y—- yy22)) ((22 —— yy))ddyy,9 号 ≤ y≤2,
2
飞
则W =xPg (1-y2)(2-y)dy+πg (2y-y2)(2—y)dy
1一
-1
门门 ]
=πPg
(y3-2y2-y+2)dy+ (y3-4y2+4y)dy
-1
=27. 27×103
πPg =
xg(J).
8 8
·・
8
86
6
·・第三章 一元函数积分学
第三章
3更8((22001122,,1177题题))【【解解】】 设设切切点点AA的的坐坐标标为为(x(?n,y，?v),)则,则切切线线方方程程为为
1
y-—yi = (x-x?).
y — y\= x—?(x —xi).
将点(0,1)代入，得x?=e2,y?= 2.
将点(0,1)代入，得 Zi = e2,3^1 = 2.
所所求求面面积积为为
J 1
SS == j IInn xrddxx一 — ((ee22 —— 11)) ·• 22
2
1
F fe2
=xln x dx—e2+1
=xln x — I dr — e2 + 1
1
1
=2e2-e2+1-e2+1
=2e2 — e2 + 1 — e2 + 1
=2, —
=2,
所求体积为
所求体积为
2
π
VV ==π KJ Ilnn22xrddxx一 —专·・ 44 ·• ((♦e2 —— 11))
1 3
—
22
4π(
= = x( jc x ( l xl n n 2 2x x - — 2 x 2x l l n n x x + + 2 2 x x ) ) — 3 ((ee22 —— 11))
1i1 3
2π
三
=孕
3
((e/2--I1))..
o
π
3更9(2(201031,31,11题1题)【)答【答案案】】1劳2.^
π π
【【解解析析】】 曲曲线线LL:：rr== c *os 330。 ( (一亲 ≤ £ 0 0 ≤ ＜专 ) )所所围围图图形形面面积积为为
6 6
。
1 意JT.
S= cos230d0= 6 co c s o 2 s 3 2 0 3 d f 6 fd0
2.
= 十
0
1 叶 π
=-|-J6 (1 + cos 60) d0 =挡・
2. (1+cos 60)dθ= 12
0
fT - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = q|
—
" 【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查极极坐坐标标方方程程所所表表示示的的曲曲线线围围成成的的面面积积计计算算..
|L _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _ _J|
3ma2,
. 5
Ⅲ二, ( (2 2 0 0 1 13 3 , ,1 1 6 6 题题)) 【解】 V V x ,==π kI x 1 )ddxx ==
5
③-，
J 0o 5 ma
6ma2
V,= ra2一π =
u — p3 y'6 dj y = ma 子i 7tay 6ttq§
Vy = na3 — nl y ay = na-----7—=—7-—,
J 0o ( (
6ma2 3ma2
7_
5.
因因V吗,==10iVo,v,x即,即! 鱼驻==10io· .鎏兰,，解解得得。a==7√1471..
7 5
( 5
「= = = = _ = = = -- = = = _ = = = = = = ;::;：!=；5 = = = = = = = = = = = =? = = = = ,! = = =
] 【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查旋旋转转体体体体积积的的计计算算..
--J
31（2013,21 I
Ⅲ(2013,21题题)）【【分分析析】】（(I)
）
直直接接用用求求弧弧长长的的公公式式；；（(口Ⅱ）)用用二二重重积积分分计计算算
D
D的的形形心心的的横横
坐坐标标..
【
【解
解
】
】(（I
I
)由
）由
曲
曲
线
线
的
的
弧
孤
长
长
的
的
公
公
式
式
，
，所
所
求
求L
L
的
的
弧
孤
长
长
为
为
l= 小 √I+y2(x)dx= 门j： ji1++ 1(*x—T x 1 ）n dx = = H 1门： ( （x * + + x §1 ) ）& dx
T ji+k）&= 4 2.
1
· 87 ·
-87・-
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・提提高高篇篇(（数数学学二二)）
=
= e
1 (1
-^-xx22 ++I nIn xx
a)
=扯
1
(e2++1)1,).
2 2 4
1
xdxdy
d«zd;y
8
( （ Ⅱ Q） ) D D的 的 形 形 心 心 的 的 横 横 坐 坐标 标 三 工 —= = %—- ----，,而而
dxdy
Jrdzdjy
~b
ln 1 1
JJzxcdLxrddjyy = 重 xdx —yin dy = ( ~x x2 2 — — -y - i l n n x x \ ) d d x x
dy = xx( 4 2
4
乙/
D 1 1
1 1 1 1 — ++1H
x? ，-部In心 xdx2== *((ed?—- 11)一)*x2I4n x xdx
三 16° 4. 16 4 4. 汕
1 1 1
= 1 1 1 1e'— 1 3 ,
e2+ x2 . 捉-杀e2」— 畚
1 — 6 ((ee4? —— 11)) 一— —4 e2 + — 8 x2 三 16° 8 16
16 4 8 1
6 t2+m
1 1 1 1
巾dx冲dy == {&dx了 md心y == j： ((%x22 —— |l-nln zx))ddzx == 导x3 e -y£lnIn x x d d x x
4 2 12" 2
0 1
D
1 1 1 1 7
三 = 1 g 2 (ee3，—— 11)）一一 扣 2 xlnn 、x 十 + 号 2 （(ee 一- 11）)==1 导 2 e3 一一 1 &. 2
1
1 1 3
±ee?<—_±ee22—_A =
16° 8 16 3(e?—2e2-3)·
所所以以DD的的形形心心的的横横坐坐标标Mx == 16 8
1 7 4T一T)
e3—
1 3 1/2
112'2e -12
11
1[2£(（2201041,41,31题3题)【）【答答案案】】2芸0°.
【【解解析析】】 由由细细棒棒的的质质心心坐坐标标公公式式得得 。1
_ _ j'rf（x）dx =_ J。（一工3 + 2工2 +*）d工
x= xO(x)dx (-x3+2x2+x)dx = 11
20°
0
f/（x）dx j；（T+2z+l）&
(-x2+2x+1)dx
。P(x)dx
0
— — — _ — r — = = — — r = = = r = = L = = u = — LrrLr
【【评评注注】】 本本题题考考查查定定积积分分在在物物理理学学上上的的简简单单应应用用..“"记记住住公公式式，，小小心心计计算算”"就就能能得得到到正正确确[•
答案.
af
1[3£((22001144,,2211题题))【【解解】】 由由a攀y = =2 2 ( 3 y ++1 1 ) ) 得 得
dy
fCjc^y') =j2(v+l)dy= (^ + I)2 + g(z)・
f(x,y)= 2(y+1)dy=(y+1)2+g(x).
又
又
f
/
(
3
y,，了 y)
)=
=(
3
y+
+
1)
l
2
)
-
55
(
—
2
(
-
2
y
—
) l
y
n
)I n
y ,
y
得
,得
gg(3y))==-—( 2(2- y—)I、n)l ny y..
因 因 此 此 — f /( ( x x , , j/ y ) ) = =( 3 y+ +1) I2)?- ( — 2 ( - 2 x — ) l z n )l n x z..
于于是是，，曲曲线线，(fz(,x;y,)y )== 00的的方方程程为为
((jy/++1l))22 ==( 2(2- —x )xI)lnnx x( 1(1≤ x≤x 2)2,),
其其所所围围图图形形绕绕直直线线、y ==--1旋1旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体积积
2 (
VV == m
kJ
((3y/ ++1 l))22ddxx ==π 7tJ
(
(2
2
—
—
x
x)
)l
I
n
n
x
x
d
dx
x
1 =
π=7 [ t[—
2
1 ((22 -—x x))22llnn xx ++ 1 -
4
^-xx22 -—2 2xx+ +2l 2n1 n xz ] ] [ 2 =((22l1nn 22 —— §
4
5 )
)
π
tc
.
.
1
· 88 ·
-88 -…
_____________ . . 《 第■三三章. ：一一元元函函数，积积分分学学
。 。 · π =
量 量 1 π2A2,
■芝(（22001155,,1166题 题)）【【解解】】 VVi? ==π kP AA22ssiinn22xxddjcx ==π nAA22「ssiinn22xxddjcx ==π nAA2·2 • 4- • =生£~，
2 2 4
L L
J o J o 4
作
V?= 2π xAsin xdx= xsin xdx= 2πA,
V2 =2nJ :cAsin xdx = xsin xdx = 2 it A,
Vi = v2 A = §8. 。
由由 V?=V?知知，,A = π
y
45(2016,20题)[解】设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,表
1
面积为S,则
J y=J1-7
V =π y2dx-π
sin?td(cos3t)
=π sin'tcos2tdt x
(1—x2)dx—3- 0 1
0
(x=cos)
2. π— 3π 重 sin'tdt — — 和 sin'tdt) (y=sin?
三 3 o
= 0
· · · · ·
2. 6 4 2 8 9 4 2
π— 3π( )
3 7 5 3 9 7 5 3
= 2 16 54 18
2 π一 16 _ 54 π一_ 18π,
π二
一 3 1i0055n 一 1I0O5S'71 3 3 5 5 ' k
SS= =2 π2kJ! 用 ssiinn t t•√/ssini2nt2 +t+ ccooss23itddit ++2 π2ir「 量ssiinn%3t <√v/99ccooss4'Ztssiinn2'Z t4+-9 9sisinn'4ticcooss'2ttddt<
5 0
== 2π2jtJZ ssiinn ttAdtt ++6 π6久， 号 'ssiinn4'ttccooss tdtdt t= = 22nπ ++ 6π= 16 π.
5 5
J。
4毯6(2(201071,72,题2题)【)【答答案案】】 BB..
y
【【解解析析】】((方方法法一一) )直直接接法法 AS((--1l,,1l)) H CC((1l,,1l))
由由题题设设知知曲曲线线】 y== f/(&x))过过点点AA(-(1-,l1,)l),,BB(0(,0-1,-)l和)和C(C1,(1l),l且)且是是凹凹的的K A
( (如 如 图 图 所 所 示 示 ) ) ， , 连 连 接 接AABB和 和 BBCC,得,得 两 两 条 条 线 线 段 段 AB 序 和 和 BC 兖 ,设 ，设 这 这 两 两 条 条 线 线 段 段 对 对 应的 应 函 的函：\\ \ y= = g 8 ((x / ) \
数 为v = g(z),由于 y = /(x)在[一 1,1]是凹的，则 "-1 \\ O / i xx
数为y=g(x),由于y=f(x)在[-1,1]是凹的，则 -1 O 1
ff( (工x))≤W gg(&x)),，xz∈ £ [[--11,1,1],]， y=f(x)
。 。
则 则 Lf ， (&x ) )ddzx V< j ] g g ( ( x z ) ) d d x z , , ( ( f / ( X x z )与 )与 g ( g x ( ) x 只 )只 有 有 三 三 点 点 值 值 相 相 等 等 ) ) . . B(0,-11))
-1
-1
由定积分几何意义知j g(z)dz = 0,J g&)dz = 0,则j g(z)dz = 0,故应选(B).
由定积分几何意义知 g(x)dx=0, g(x)dx=0,则 g(x)dx=0,故应选(B).
-1 -1
((方方法法二二) )排排除除法法
若若取取f/((x*))= 2=x 22-x12 ,-显 1然,显符然合符题合设题条设件条，件由，由于于f(/x()x是)偶是函偶数函，数则，则j°
f
/(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
=
=
£yf( ( xx))ddxx,,则则
-1
((CO)((DD)都)都不不正正确确，，又又
2
=—
『 J ((22xx22 —— l1)d)xdx == 22J ((22xx2 2—- 11))&dx == 22((§ 2x工33 1 -—1】 ) )=— 2 <<0 0,,
-1
,3 3
0
则则((AA)不)不正正确确，，故故应应选选((BB).).
?函(2(021071,67题,6题)【)【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 由 由题题设设及及图图形形知知，从，一从开一始开t始 =t =00到到t£ ==t。 £。时时刻刻甲甲、、乙乙移移动动的的距距离离分分别别为为
?
S S c ] ? = = 代 I % 。 vv?i ((rt))dd , r t ,,SS2 ?== 任 I 0vv?2 ((t^))ddt^,
0 0
其其中中SS;】在在几几何何上上表表示示曲曲线线v=p =u? (t),t= =t。 i0及及两两坐坐标标轴轴围围成成的的面面积积，，S
S
?
?
在在几几何何上上表表示示曲曲线线
· 89·
・89 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· ・ 提提高高篇篇(（数数学学二二)） 》
v=v?(t),t=t。及两个坐标轴围成的面积.若t。为计时开始后乙追上甲的时刻，则
p = m（t） ,t = t。及两个坐标轴围成的面积.若1。为计时开始后乙追上甲的时刻，则
; S?+10=S?,
Si + 10 = s。2»
即即 j ; °Pv(i（ tt)）ddzt ++1100 = = ］。v％?(（t1)）d山t,，
0
J。° (（vv?2(（tZ） )-—v ?V(\ （tz)）)）ddti ==1 010..
由由题题中中图图形形可可知知tt。。== 2255,,故故应应选选(（CC)）..
1
In 3.
4您8(2（021091,91,21题2题)【）【答答案案】】y2in 3.
骨 & √J] I++ 丁y" dd«zx == f6 √Jl1 ++t taann2'«xrdclxz
【【解解析析】】 s s==
= 0o J o0
詈
sseecc xxddxx == Ilnn((sseecc xx ++t taann xx))
0o 0 0
1
==Ilnn√>/33 == -|-Ilnn 33.. 。
2
刀*m le'sin xldr=—2-1r , ( ( + *+e 1 l ) )~i 。 c I sin xIdr.
49(2019,19题)[解】 S,= fnx
(2019,19 题)【解】Sn = J | e-xsin x \ dx = e-x | sin x | dx.
0
e k=0
s si i n n x d x x d x = = — - -2—2 ((ccooss x x ++ ssiinn xx) )++ CC,,则则
(H-l)x e e - ? jr * | I si s n i x n I xd|xd x==((-—1)1*)* e e - - x ' s s i i n n x x d d x x
J kne,
((*++11))«
=((-—1)I+)*1 ^2(c(cooss工 x+ + s isinn xx))
=
1
[e-(+1)x+e**]
2
=
1+ e e-*,
l+»,
2
2
1+e 2 -1 e*= 1+e? · 1-e" ,
S.= 1 + ef 1 -e~
2 -kn 2 1-e
乙 ★* ==0 0 ~2~ 1 -e'
1+e? 1— e-# = 1+e = e*+1
lliimmSS.,==牛 lliimm 序 1 + e-K e〃 + l
2 1-e
0n-»0oo 乙 8 1 e 22((11——e e?*f)) 22((ee*〃—一1)l')・
50(2020,18题)[分析】本题考查定积分的应用.
（2020,18题）【分析】本题考查定积分的应用.
1 =
x2+2x
解解答答本本题题的的关关键键是是利利用用所所给给的的条条件件 2 2 / f( （xx) ） + + x2xf 2 l /(（7x)）=^=^ 得得到到f(的x)的表表达达式式，，进进而而将将
√1+x2
所所求求旋旋转转体体体体积积用用定定积积分分表表示示出出来来，，以以此此考考查查定定积积分分在在求求几几何何体体体体积积方方面面的的应应用用，，考考查查定定积积分分的的
换换元元法法以以及及基基本本积积分分公公式式..
=
yt
1 x2+2x 1
【解】(方法一) 在在 22_ff&(x）)++x2*f (（§x ) ）= 工2+_2,工中中将将x，换换为为-［x得得
【解】（方法一） \x） √ yi 1 + + x x ' 2 X 厚 x
1 2 y=·
/1+x
1 + = —x + + 2 2 ,
22f《( (
x
)）+ f 罕
x
(
2
x) = X____
2
1
√1+x2
Jl + x
x 0
由由以以上上两两式式解解得得/f（(Xx）)==
√
,
1
工
+x
"
· 90 ·
・90 -第第三三章章一元函数积分学
x
y 1 √③
由由/y == √/-1--+-x-2.得 得1 x = = -
√
7 '
I-y
, ，从 从 而 而 曲 曲 线 线 了 y = = f f ( （x x ） ) , , y y = =
2
,y= =卓
2
及 及 ;y y 轴 轴 所 所 围 围 图 图 形 形 绕 绕 z x 轴 轴
a/1 + x2 vl — > 乙 乙
旋旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体积积为为
V = 2π ? 2 4 xydy = 2π 4 y V 2 2 d. y y 、 = = s i si n n t £ sin2tdt = π2 ·
V = 2k I 章 T xydy = 2 k 1 √I-y2 sin2fd^ ==6 6
=
1 x2+2x
(方法二) 由由 22/f((xx))++xx22f/((-x))==式竺^得得
（方法二）
√1+x
、工 / /I+x2
1 1 1+2x
22f 仙( (
x
) 十+
x2
Kf(x ) )==
x√
l +
1 +
2x
x2
,
J1 + ]2
x X
解解得得 /f（(Xx）)== X (（Xx >>0 )0.）.
√1+x2
\/1 + x2
由由
√
'[
1
x :
+ x2
= =*
2
1
得
得H
x =
=√季
3
③
,
，
—由
由…
√
/
1
x '
+ x2
= =√季
2
③得得 — 工x==√g3.
yi+xz 2 3 yi+x2 2
1 √③
从
从而
而
曲
曲
线
线
y
y
=
=f
顶
(x
&
)
）
,
以
y
=
=
2
,y
=
=
y2
及及y
v
轴
轴
所
所
围
围
图
图
形
形
绕
绕
x
工
轴
轴
旋
旋
转
转
所
所
成
成
旋
旋
转
转
体
体
的
的
体
体
积
积
为
为
V =π [ (√③) 2 ·√3-( 1 ) 2 · √3 ( x )2 dx -1
2 2 3 4 √1+x2
=π(2√3 名方 x2 )
dx
3 1+x'
[2√3 √5]
=π
-(x—arctan x)
= 3 ④
π2
·
6
1Pga'.
5列1(2（2002200,,1122题 题(答）（答案案】】^-Pga3.
3'
0
【【解解析析】】 本本题题考考查查定定积积分分在在求求物物体体所所受受压压力力方方面面的的应应用用，，要要求求考考生生熟熟练练利利用用微微元元法法，，并并结结合合
物物体体在在液液体体内内所所受受到到的的压压力力公公式式，，将将平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力用用定定积积分分表表示示出出来来，，进进而而求求解解，，是是一一道道
考查综合应用的试题.
考查综合应用的试题.
如如右右图图建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系，，以以斜斜边边的的中中点点为为原原点点，，垂垂直直水水平平面面向向下下的的
-a I0 a
-a \O a
方方向向为为x了轴轴的的正正向向.. —' y
。
取 取 [Dxr,,xz+ +dx &]c[]0u,[a0],,考a]虑,考 右 虑 图 右 中 图 窄 中 带 窄 子 带 所 子所 受 受 压 压 力 力 。 . 《伊 x+dx
a
设设该该平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力为为Ff,,则则利利用用微微元元法法可可得得 y
x
ddFF= = 2 2PPggxx({aa— —x x)^ddxx.. lx
所所以以平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力
1
FF == [ 22PPggxx（(.aa —— x~x）)ddxx == -^-PPggaa33..
3'
J
0 o
5更2(（22002211,,119 9题题）[X解解】 】由由J f 伊 (x) ddzx == § 1 ]
x
2
2
—
-x
z
+
+
C
c
知
知f学(x)2 = = § 1 x]-—11,,
√x 6 √x 3
x+-
x+,
1 1 1
ff ((工x))== 白-
3
x ±,f(x)=
- ,
3 2 2
x-+
-x÷—
ss == . 菌 √1++ L[f/((xx))]]2ddxx == L J]1 ++ ((§ 1 拱 _ 1 ) ) ? ddxx
2 21
4 4
・·
9
91
1
·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
x+
=
1xt+ 1 22
=£ ((捉+»*))d&x == 22
2 2 3
T
之
A= 2π2代f"(&x)) √y1i ++[ 了L/((xx))]]/2ddxx
A ==
x+
x++
1x2-x+' 1 1
1 2 八 11.1. ) dx
-3---JC 2 2和+铲2
=
。3
425
425 π。
.
亍9
π
5史3(2（022022,215,1题5)题【）答【答案案】】1寿2.
1 Lt
【【解解析析】】 所所求求面面积积为为
1 具 1 号，
SS == J3 ssiinn22 3300dd0θ == ((11 —— ccooss 6690))dda。
2 4
0
π
= H 1 ( s0-i 1 nsin 5@)十
4 9 12:
讶
解解题题加加速速度度
:
1.【解】(I)D?与D?如图所示，则
i•【解9 XJ)Di与 d2如图所示，则
y
- V?=π f yy22ddxx ==π nf ((22xx22))22ddxx
.・ Vi = kJ
= a J a重
4π
(32—a?),
5 (32 — a5) 9 D
2a2
V
V?
2
=
=
π a
7t
2
q
·
2
・2 a
2
2
a
一
2 —
π
7t
C
I
2a2x
x
2
2
d
d
y
jz
0 a 2 x
0
r222
==2元2"a4?— —π K C2a2 g Y. d -d ' y
2'
J 0o Z
=2πa?-πa?=πa'.
=2na4 — 7ta4 = 7ta4.
4π
((UⅡ)V) V== VVi ?++吼V:== ¥((3322 -—a。?5))++π胞a'4,,
5
□
dV
dV =_4 π4江a。33(（1i —— aQ)）,,
d缶a =
dV dV dV
当a = 1时，游=。，当0 0,V单调增加;^a> 1时，^<0,V单调减少,
当a=1时， da =0,当00,V单调增加；当a>1时，da <0,V单调减少，
129π。
则则aa ==1 时1时V最V最大大，，且且最最大大值值为为吼V?++吼V?== 壬5寻.
0
22..【【分分析析】】 先先求求切切线线方方程程，，然然后后根根据据两两点点间间的的距距离离恒恒为为11得得到到微微分分方方程程..
【【解解】】由由参参数数方方程程的的求求导导公公式式有有：：
y′= dy =— sin t,
dx 了(t)
于
于
是
是
L
L
上
上
任
任
意
意
一
一
点
点
(（x
z
,，y
v
)）=(
=
f (
（
t
/
)
（
,
«
c
）
o
»
s
co s
t )
t）
处
处
的
的
切
切
线
线
方
方
程
程
为
为
sin t
Y— cos t =-
[X-f(t)].
Y — cos t =了(-t)[X — /（t）].
令令Yy= 0=, 得0,得此此切切线线与与x轴H轴的的交交点点为为(（fZ(t（)t）ccoottt r+ +f( /t（)z,）0,O)）..
由(f(t)cot t+f(t),0)到切点(f(t),cos t)的距离恒为1,有
由（/（«）cot r+ /（«）,0）到切点（/（t）,cos t）的距离恒为1,有
· 92 ·
. 92 .第三章 一元函数积分学 (?
第三童一元函数积分学
(f(t)cott+f(t)-f(t))2+(0-cost)2=1
(/(t)cot t + /(«) - /(f))2 + (0 - cos O2 = 1
π π
解解得得/f((t«))==±± s 蚓 in2 . t 由.由 /f((t«))>>0 1o((o0 v< ty< 号)),,且且 /f((oO))== 0o知 知f f((tt))>>0 1o((0o vy y-1+x2
= 0
J 1
= 见 j 乱 ： πn（(22>y）)22ddyy 4+-J, π 7t ( （ + 1 -一1 1)）d如y 2[ y= 2
= 0 + 1立 y 0 1
4 1
=-|-πx>y33 I T + n（ln y — >） I ,
3 +π(ln y-y) 1
0
O I 0 I f
= = π K((llnn 22—- 1 |)). ·
3
(（方方法法二二）) D
D
绕绕y轴'轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为
2 1
V = 2πxydx— ·Kπ ·. 1122· . -L
V =
J
I
0o
Zitxydx----3
3 K
2
2
x π
一
==22π』渣沙dx_—奇
1+x2 3
Jo 1 + xz 3
1 π
=7rln(l + x2) I —
=πln(1+x2)
3
I 0o 3 。
。
=π 1
= x((Inl n2—2-|)).
3
π
44..【【答答案案】】 4
7
π
πx= t 1 1
【【解解析析】】 V V== x7tj xxssiinn22 π tzt x A d x x 兰M= π 4 , |\stisnin22&tdt == — π 成 2 J ssiinn2^tcdkt
7t J 0 0
= =「 叶 0 ssiinn“2td，t == § 1 •成 π = π 7t ·
2 2 4
0 T
·- 9933 ·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
第四章 多元函数微分学
第四章 多万函数微分学
一一、、基基本本概概念念及及性性质质
-
[)(2(2001122,,55题题))【【答答案案】】DD..
【【解解析析】】 根根据据导导数数与与偏偏导导数数的的关关系系，，利利用用一一元元函函数数单单调调性性的的判判定定方方法法..
若若 Tx,? <>y ?y,2,则则由由 a”f(a援xx,y) >>0 ,0有,有f /((x-r?i, 5yi) ) <)i) , ，
?f(x,y)
由由a 侦 y .L必 2 V<0,0有,有f (f(xX?2, y»>?1 )) >0 0知知f(/x(x,y,y)关)关于于x单x单调调增增加加，，则则/f'((11，,Vy))>>f /(<00,,yy))..
dX
由由
?吁f(
a
x
y
(,y*)
>f (/(xt,1,1))..
a、
综综合合如如上上两两个个不不等等式式
/f((11,0,0) )>>f y((0o,,0o))>>f (/0(0,1,1)),,
应应选选((DD))..
Q((22002200,,55题题《乂答答案案】】BB..
af x-0
【 【解 解析 析 】 】 a咨x| == l临im . f( " x,0)) _ x -f，((0 0 ,，0。))== l临im = x ^ = = 1, ] ① ,① 正 正 确 确 . .
ax I ((00..00)) →j—→o0 X x → —o 0 X
af xy —y
y
V
≠
关
0时
o时
，
，裂| == lliimm 顶f(愆x,，3 y))
x
一-f六(0 0 ,，y少) == l临im空
x
=不不存存在在..
3x
OX I ((00.,y>)) x → —0 0 X x 0 —0 X
a2f
因 因 而 而 axa 善 y I 不 不 存 存 在 在 ， ，② ② 不 不正 正 确 确 . •
dxdy I((00..00))
显显然然lilimm ff((xx,,yy))= =0, 0③,③正正确确..
((rx+.yy))→—(0(,00.)0°)
而lim/(x,jz) = {(0°,’ x％y≠ '0 °或 或y='0,°’所以lim lim/(x,>) = 0,④正确.
而limf(x,y)= 所以lim limf(x,y)=0,④正确。
→l0° 。 \ yy,, x x = = 0 0 , » y_v—→o x—0o
故故答答案案选选((BB))..
= ； = = = = = = = = = = = = = " = = ： = 了= - = - = 『
I- 【【评评注注】】 此 此题题是是对对极极限限求求法法及及偏偏导导数数定定义义的的考考查查.. «
--J
/解题
解题加速度
1
1
..【【答答奥C.
xy y=x 1
【【解解析析】由 留 于 于 lliimm x2 z午 +y2 z 4 2 ■≠尹00 ==f (/0(,00,)0,)从,从而f(而x,y)在在(0(,00),0处)处不不连连续续，，排排除除
→
xr→-o00 x -V y Z
jr-»0
f(x,0)一f(0.0)
(A)(B).由偏导数的定义/：(0,0)=]而成愆,°)_/(°'°)==0,0同,同理理f,£((00,,00))= 0=. 所0.以所，以应，应选选((CC).).
(A)(B).由偏导数的定义f,(0,0)=lim x
x-*0 JC
r→0
·- 9944 ·・第四章 多元函数微分学
第四童多元函数微分学
【评注】对分段函数在分界点处考查其极限、连续性、偏导数及可微性，一般:
【评注】 对分段函数f(x,y),在分界点处考查其极限、连续性、偏导数及可微性，一般
"利利用用定定义义来来分分析析.. "
一 ==- = = = = = = = = = = - -= -= =- =- =J』
L= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ~ =
2.【答案】A.
2.【答案】A.
【【解解析析】】 直直接接利利用用可可微微、、偏偏导导存存在在等等之之间间的的关关系系..
33..【【答答案案】】 BB..
【 【解 解 析 析 】 】 若 若 极 极限 限 l li i m m^ x f 2 ( H x + , y y 2 ) 存 存 在 在 ， ， 则 则 有 有 li l m im /& f( ， x v , ) y) = = O 0, ,
y → •yr→-—»O 0 00 X 十: y •yr → →-—*O0 0 0
又又由由f/((xx,,yy))在在((00,0,0)处)处连连续续，，可可知知ff((00,,00)) == 0 0..
f/.：((00,,00)) == lliimm S f(x ° ,0 ) )
x
一-f(冲0,0°))== lliimm 结 f(x,0) ·• ^x ==0 0..
x2+02
xX→—00
X
xx→-*00
XZ
+ oz
类类似似 fg,((00,,00)) == 0 0..
于于是是
f(x,y)-f(0,0)-[/,(0,0)x+f,(0,0)y]
l.im.!_<&,少一，(0,0) — [—(0,0)工 + /~；(0,0)刃
lim---------√-----x--2--+---y--?---------, ---------------------------------
→→/00 M +一
== liiimm f r ( ( x w ,y) )== 临lim 4 f(x ^ ,v 4 ) ·・ √x2+y? = =0.
√x2+y x2+y2
→0 →0
y→0 →0
由由微微分分定定义义知知f/((xx,,yy)在)在(0(,00,)0处)处可可微微，，故故应应选选((BB))..
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = *『
" 【【评评注注】】 11..本本题题主主要要考考查查二二元元函函数数连连续、续偏、偏导导数数、、可可微微的的定定义义。.
II 11
22 .可.可采采用举用反举例反排例除排错除误错答误案答：案： ：
•• 取取 ff((jcx^,y'y) )== || xxl |+ +l |y y| 排| 排除除((AA)), ,f，((x],,了y))==x x+ y+排 y 除排除(C()C()(DD))..
|—L = = = M = = M = M = _ =_ —_ — — — — — —_ __ — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一 ,
44..【【答答案案】】 22&dx ——ddyy.
【【解解析析】】 由由li1而m' f六(*x：,少y~)~-22* x++】y—-22 ==0 °以以及及zz= f=( x/(,^y,)>连)连续续可可得得ff( (00,,11)) ==1 ,1且,且
x二→0；仙 √x + 2+ (y-1)+
y→1 (\—1)2
f/((xx,? I1 ++[ [x巧y+ +s isinn((xx ++ yjy))了] I (<0o..mk))
Oz x+cos(x+y)
dz I _ 。+ COS(Z + -) I ==-—1 1,
a d y y l I((0o.,mx)) 11 ++[ [x_xyy ++s siinn((xx ++ y_y))T] | ((0o..xx))
所所以以 ddzz| ==( π(k-—1l))ddxx- —d yd.y.
I ((00,,m*))
71
【评注】 也可利用全微分形式不变性求dz.
I' 【评注】 也可利用全微分形式不变性求dz. II
IL= = _； = = = = = = = =二==号= = = M = = = M = = = A = = = = T = 一 三=■ -JJ
[1E8((2200221,16,6题题)【)【答答案案】】 CC..
【解析】 方程f(x+1,e2)=x(x+1)2两边对x求导得
【解析】 方程/(x+l,eO = x(x+l)2两边对：r求导得
f(x+1,e')+e'f?(x+1,e3)=(x+1)2+2x(x+1).
£ (h + 1 ,e") + erfi (x + 1 ,ex) = (x + I)2 + 2x(x + 1).
令令 x x = = 0 , 0 有 ,有 ^ f( ( 1 l , .D 1) + +f y ? l ( d 1 . , l 1 ) ) = = 1 . 1. ①①
方程f(x,x2)= 2x2ln x两边对x求导得
方程/(x,t2) = 2x2ln i两边对I求导得
f1(x,x2)+2xf!(x,x2)=4xln x+2x.
f\ (x»x2) + 2jcf'2 (x,x2) = 4_rln x + 2x.
令令 xx ==1 ,1有,有 f工((11,1,1))++2f2?/(l1(,l,1l))= = 2 2.. ② ②
解解①①②②的的联联立立方方程程组组，，得得
—
f/(1,1)=0,f?(1,1)=1.
£(1,1) = 0/(1,1) = 1.
因
因而
而 d
d
f
/
(
(
1
l,
,
l
1
)
) =
=
f 1
/
(
(
1
l.
,
D
1)
d
dx
j
+：
+
f?
f
(1
(
,
l
1
,
)
l)
d
d
y
、
=
=
d
d
y
y
.
.
[1E9((2200221,11,13题3题)【)【答答案案】】 11..
【解析】 方程中令x=0,y=2,得x=1.
【解析】 方程中令工=0,了 = 2,得z=l.
方方程程两两边边对对x工求求偏偏导导数数，，有有
z
z
+ +
+
(
&
x+
+
1
i
)
)②a
d
性x
x
z 十+ Y z乏
z
· .
3
O
d
匹
x
z
x
----
1 1
- -
+ +
-
4
- 2 -
x 4
- y
j
-
2
-
V y
--
2
-- ==0 o,,
把把x
x
=
=
0 ,
0
y
,
=
y
2
=
, z
2
=
,
1
z
代
—
入 1代上入式上，式得，得
az
也 | ==11..
3x
dx I ((00.,22))
?z
« 【【评评注注】】 此此题题在在求求a|x|时时，，可可利利用用两两边边微微分分或或公公式式法法来来求求..
11
11
Im = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
2S0I(（2200222,24,题4题)【）【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 计计算算选选择择题题中中各各项项
xx
F F ( ( x x , ,j y ) ) = =(x- f(t f ) M dt d 一 t- '■z~y ttff((tt))ddtt,9
J。
aF = -y
a 尹 x =J ff((t)td)td +t +(x( —x- yy))/(fx( —x -yy) )—- ((xx —- yy)) /f((xx —- yy))==| 一 ) fy((tz))ddt/,»
=—0 J。
aF 一y 一y
a琴y =—f f/((i)td)z d—t (-jt( —x -y)f(—x 3-/)y +) +((x x—- jyz))/f(x( x—- _yy) )==—- I* ff(Ct)t^ddt,t,
dy J 00 J 00
· 99 ·
・99 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提高篇(（数数学学二二)）
a2F a2F
a2F _ ,, 、32F 、
a-x2 = f(x--y),ay2 == ff(^x—-yy).y
=—
aF aFa2F= a2F
显 显 然 然 3 羿 x =一 a 票 y ， a 尊 x2 = a 孕 y2 ？ , ， 选 选 ((CC))..
dx dy dx dy
解解题题加加速速度%
11..[【答答建察魂x%+斗f?f+ +x yH爪fa..
z
a2x
【 【解 解 析 析 】由 3x =f{/+if+?y·l*y y , , 得 得axay = =x y f z "z + + C f? + + w x y yf A ? . .
2.【答案】(2ln2+1)dx+(-2ln 2-1)dy.
2.【答案】(21n 2 + l)cLz + (—21n 2 — l)djz.
【【解解析析】】 由由xz= =e selmf,(n<11++÷?))得得
=
? a虫 z x== ee2fmh(1(+i+÷f)) —y 1 Ilnn((l1 ++ 工 y-)) ++ y4 x 2 — 1 Mx =( (1 】 + + 子 工 y ) ) 多 ' [ [ 1 y JnIn((l 1 + + 工 y j)) + + 号y 工 击 1 ] ], ,
dx 1+ 工十
、 、、1 + -
y
y」
一
[
=一
?z x x x 1 x 业 + x
a 竺 y == ee5fn,n(<11号+7)) 一 y-421Inn((1l 十+ y —)) 一- — y —-—x y43 =-(（1】++ 子工 y )）与 y 工 3l [ 叫ln( (1++ y 汁工) 弄^小
y y v 1i ++ 三丁 x十y
y
- y
= ax az
所所以以 d位z =乎ax d&x十 +
a
夺
y
d
dy
y
=
=
( 2
(
l
2
n
1 n
2
2
+
+
1 )
l
d
)
x
d
+
x
(
+
—
(
2
-
l
2
n
1 n
2—
2-
1
l)
)
d
dy
y
.
.
((11,.11)) "工 ((11.,11)) ((1i,.i1))
33..【【答答案案】】 44..
aF= ysin xy
【【解解析析】】 由由ax雾=涪气 ,,得得
丑 11 ++( x(巧y))22
=
a 3 2 2F F _ (/ 2 2 s s i in n 2 2 x x )\f = 44((11 ++4 x42x)2c) cooss 22xx -—1 61x6sxisnin 22xx
=4.
ax2 rx=-O0..jyr--22 \ 1 1 + + 4 4 x X 2 2 /
x=0
((11++44x〃2) 尸2
x=0
44 ..【【答答案案】】 一 -ddxx ++2 2ddyy..
【【解解析析】】（方(方法法一一） )易 得易
1
得
=
x =
0
0
,
,、y== 1
1
时时，,z z
=
=1
l
.
.
方方程程两两边边求求全全微微分分
zzddxx ++( （xx+ +1 )l）ddzz- —2 y2dydyy= 2=x 2f(xxf（-xx —, yz),jOdxc+lrx +2 [xf2\?_·f\ •( （ddxx- —d zd)z）+ +f? /dIdyy]]..
把把1x ==0 ,0y,=317,=z1=1,2代=入1代上入式上，式有，有
—
ddzzl|>00,,
dx dy
故(0,0)为函数z=f(x,y)的一个极小值点.答案应选(D).
故(0,0)为函数z = f(x,y)的一个极小值点.答案应选(D).
232§((2200111,15,5题题)【)【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】显 然显 z然：(z01,0()0 ,=0 )f=f ((00)g)(g0()0 )== 00,,zz；',(0(,00,)0 )== f(fO()Og)'(gO′) (=0 )0=0,,故故(0(0,0,0)是)是 z x==
f(x)g(y)可能的极值点.计算得
f(x)g(y)可能的极值点.计算得
z"(x,y)=
=
f '
/
(
z
x
(
)
x
g
)
(
g
y
(y
),
)
z?,(x,y)=
=
f (
/
x
(
)
x
g
)
”
g,z
((5 y
>
)
)
,
,z
z
^
"
,
,
(
(
x
x
,y
,
)
y )
=
= f
f
(
&
x)
)
g
g
'(
'3
y)),
,
所所以以 AA= =z“ z'，(0(,00,0))= f=' (f0,()0g)(g0()0,) B,B= z=", (0,(00,)0=)0 =,C 0=,zC" 。= (z0^,(00),0= ) f=( 0f)(Og”)g"((0O))..
由由 BB22--AACC<0<,0且,且A> A0,>C0>0,C,有>0f,(有0)，<0(0,)g V”0(,g0")(>00) .>因0此.因应此选应选(A(A).).
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = *『
•• 【【评评注注】】 此此题题与与直直接接求求二二元元函函数数的的极极值值的的题题形形式式上上有有所所不不同同，，但但实实质质是是一一样样的的，. "
---J
2030((2200112,21,61题6题)【)【解解】】
22 平.
,f,=-xye
ff.x==( 1(1— —x x22))ee-T , fy=—巧e~'尸.
((矿f?—=0°,
令 f ； ,=0八, '得得驻驻点点((11,,00))和和((一-1 1,0,0))..
fy= 0，
2+2
记记 AA == f"==x (x(xx22 -—3 3))ee-x T ,
2+卫
BB ==f ",==y (yx(2x-2 1—) le)e?~r ,
242
CC= =f f=yxy (=y ]2(-/1 —) el)-e-x V ,
在在点点(1(,1 0,0)处)处，由，于 由B2于-ABC2 -=A一C=2-广2】eV-O1<,A0 ,=A-=2-e2—e+ <<00,,
·101 ·
-101数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提握高高篇篇((数数学学二二))
所所以以f/((l1.,O0)) == ee-+-是i是f(/x(,xy,)>的)的极极大大值值..
在在点点
(
(
-1
-1
,0
,0 )处)处，由，于由
B2
于
-A
B
C
2-
=
A
-
C
2
=
e
-
T
2 e
<
-1
0
<
,A
0,
=
A=
2
2
e—
e+ >
>
0
0
,
,
所所以以/f((--11,.00))==-一et广是*f是(xf,(yx),的y)极的极小小值值..
2蜜4((22001133,,1199题题))【【分分析析】 】这这是是一一个个条条件件极极值值问问题题，转，化转为化函为数函d=数 d辰=√宥x2+yr2在在条条件件xxz3--xxyy
++y尸3=1=(xl≥(x0>,y0≥,>0)>下0的)下最的值最.值构.造构拉造格拉朗格朗日日函函数数时时，，注注意意利利用用等等效效性性/ d=2工=x22++y2/..
【解】曲线上任取一点P(x,y),其到原点的距离d=√x2+y?,
【解】 曲线上任取一点P (*,'),其到原点的距离d= JU，
构构造造拉拉格格朗朗日日函数函L数 =L =xx2 2++>y22 ++Aλ(x(3x 3-xy++y>33 --1 )1,)令,令
人aL
ax
==2 2xx+ +λ A((33xxz 2—-'y))==00,, ①①
aL
« a 塞 y ==22y、++λ 义((-一x*+ +3y 32/) ) == 0 0,, ②②
θL
ax =x3-xy+y3-1=0,
③
,
2十λ
①①一-②②得得((z x—- yy))[[22++/ λ+ 3+H3za (+x _+y)y] )=] 0=,0即,x即 =x y=y或或 z+x+;yy==------，
3oλA
①① ++② ②得得((22 -—λ A)) ((xx ++ y^))++3 λ3A((
x
x2 2++寸y2))==00..
若若％x ==y ,｝代，代入入③③可可得得x x== yy ==1 ,1此,此时时dd ==√ vxV2 ++y y= √= 2^2,,
2+λ λ2—4
若 ± +、=一零,代入(2-A)(x + y)+3A(xz+>2) = 0 可得把+/ =_与=,
若x+y=— ,代入(2-λ)(x+y)+3λ(x2+y2)=0可得x2+y2=-
3λ 9x2
OA
进进一一步步有有
λ2—4
= ((Aλ ++ 22))22 , A2 ~4
9λ2 十! 9λ2 =
(x+y)2-(x2+y2) a2+2)
xy = (t + >)2-(x2+>2) _ 9A2 9A2 _ Az + 2A
巧= 22 = 22 =F 9λ ^ 2 '
— — —
而而三x3一-x勺y++y/3= =1 可1可变变为为
((xx ++ y>))((xx2 2++ yy2 2—- xjcyy)) —- xxyy ==1 .1.
把把xj：22++yy22,,xx+ +y, yx,yx代y代入入此此方方程程得得
------------
2+λ 2—4 λ2+2λ λ2+2λ
2+A(/ A2 -4 A2 + 2A\ A2 +2A =1.,
一-3λ r~99Ax2^ 一-9 λ2 r~99px2~ = 1-
化简为足=一奇2•，即义=一 31 评2,
化简为x3=- ,即λ=-,
7 7
λ+2
但但此此时时x巧y == 竺送<<0,。不，不满满足足x工≥200,y,≥、20,所。，所以在x以≥0,y在≥0内0只内有只一有个一驻个点驻点(1(,11,)1.).
9λ
再考虑边界上的情况，当x=0时，y=1,有d=√z2+y?=1,
再考虑边界上的情况，当1 = 0时,/=1,有d = ^JC2 + y2 = 1,
当y=0时，x=1,有d=√x2+y?=1.
当 > =0 时,z= 1 ,有 d = 5/x2 + y2 = 1.
-----·
综综上上所所述述，，可可知知最最远远距距离离为为招√■2，,最最近近距距离离为为11..
「- - = r = = = L = = ° = 0 = P = = = = = = °』
|| 【【评评注注】 】边 界边x界 =x =00,,3/y ==0 上0上应应单单独独讨讨论论.. 11
2困5((2200114,46,6题题)【)【答答案案】】 AA..
a2u a2u a2u
【
【
解
解
析
析
】
】
由
由
于
于
B
B
=
= a
普
xdy
≠R00,A,A ==
3
?
x
W
2 与
与C
C
=
=
驱
ay2
异
异
号
号
，
，
所
所
以
以
B2
B
-
2
A
-A
C
C>
>
0
0
,即
,即
u(
“
x
&
,
,
y
少
)在
在
区
区
域
域
dxoy dx ay
DD的的内内部部取取不不到到极极值值..而而在在有有界界闭闭区区域域DD上上连连续续的的函函数数u"((x工,y,)少在在D上D必上有必最有大最值大与值最与小最值小，值，故故其其
只只能能在在DD的的边边界界上上取取得得.即.即只只有有选选项项((AA)正)正确确，，其其余余33个个选选项项都都是是错错误误的的..
·102 ·
. 102 .第第四四章章 多多元元函函数数微微分分学学 ?
It 一
【【评评注注】】 本 本题题考考查查对对二二元元函函数数取取得得极极值值的的充充分分条条件件的的掌掌握握情情况况.选.选项项（C(C）)与与（(DD)）本本质质• II
[上是一回事（请读者思考理由），不可能都成立，所以可先排除. II
上是一回事(请读者思考理由),不可能都成立，所以可先排除. II
。.J
2362((22001155,,1177题题))【【分分析析】】 利利用用偏偏积积分分法法求求出出f/((xa,y-).j,)再,再求求二二元元函函数数的的极极值值..
【【解解】 】对对 ff"xy,((1x,,丁y))==2 2((yj/+ +1) 1e)'e两x 两边边对对y积；y 积分分，，得得 了fr，(i,(yx,)y=) =((3^y ++1 1) )22eeJ2 ++q 甲((x工),),
由由f《,(&x,,00)) ==( x+ 1+) le)'e,x 有,有φ平((工x))==xxee2x, ,
(jt
再再对对ff,■(工x,，yy))==( y(y+ 1+) 2De22e+x x+ex2e两J边两对边对x积z分积，分，得得
ffC(jxc,^yy)) ==( y(j+/ 1+) 2le)2′eJ ++( x-1) el′)ea+ ψ+0((y>))..
(jc —
用用 f
/
((0 0，,丁y))= =y
y
2
2
+
+
2y
2
,
y
可 9可知知欧φ
(
(
y
y
)
)
=
= 0
0
,
,
因因而而，f((
7
x
,
,丁y))==((y
3/
+
+
1 )
l)
2
2
e
e
?
J
+
+
( x
(x
-
—
1)
l
e
)
2
e
,
J,
{ gf,==( (y+y1+)2leE′++zxeb′ ==000,,, n 1
解解方方程程组组 “ 得得 zx ==0 0,,yy ==—-1 1..
ff,,== 22(3y++11))e12 ==0 0,,
而而 f"==( y(y++1 )l2)2ee'J ++( (xx++1 )l)ee'r,,仅f== 22ee'J.
在在((00,,--11))点点,A， =A f=iXf ("0(, 0—, 1-)1 =) =1 1,B, B== ffx,y ((00,, —- 11)) ==0 0,,CC= =f ηfyy( (00,, —- 11)) ==2 2..
判判别别式式△ =△ &= —B 2A-CA =C—= -22V<00,A, A== 1l>>00,,
f/((zx,,少y) 在在((00, ,—- 11))点点取取得得极极小小值值/(f0(,0 一, -11) )==--1 1..
2幽7((2200116,61,177题题))【【分分析析】】这这是是一一个个由由方方程程确确定定的的二二元元函函数数的的极极值值问问题题，，利利用用二二元元函函数数取取得得极极
值值的的充充分分条条件件求求解解..
【【解解】】(f(x +2+^y22)z) +z+ Iln nzz ++ 22((xx ++y j+ 1+) l=)0 两= 0边两分边别分对别对x,1y 求求偏偏导导得得
az
+ 1 Oz
22空xx++((x/2++y寸2))
?
夺
x
+♦
?
祭
x
++ 22 == 00 ①①
dx 2Z dx
az az
1
22火 yz+ + ( ( x 衣 2+y + 2 _ ) ) a 祭 y十 +♦z a祭y++ 22 ==0 0 ②②
dy z ()y
Dz
人
夺==00,,
3x 空 xx + + 1 1 = = 0 0 , , 11
令令{〈 ?x x得得 yz+.1.= 0八. 故 故x x = = y y = = - —z・
a字y==0。,， yz + 1 = 0. z
29
将将上上式式代代入入&2( +x 2y+ )yz2 +) zIn+ Iz n+z 2+(2jr( +x +vy ++ 1l))==0可。可得得I Innx z— —z + + 2 2 = = 0, 0 从 ,从而而
—
{x=-1,
x =— 1,
y =—1,
y =— —1，
z=1.
z=l.
方方程程①①②②两两边边分分别别对对xZ求求偏偏导导得得 —
22zz ++4 4xi a a卷 x x
+
+
(
（
x
^
2
+
+
寸
y2)
） a 衰 2z —£ 1 (（ a 阳 z ) 2 、 + 手
z
1 a 爵 2x ==00,,
3.x2 axj ax2
z
2Q 2 y 、 ? ?万 x x + + 2 — 2 x ‘a ? 标 x y+ +] (一 (, x r 2 22 + +I y - 2 y22 ) 、) a 3 a 】 z x 2 3 d z z j y z _ 2 z 1 11 2 a 3 c） 工 zx a O £ c d ) y z y z^ _ 十 i| _ z ± 1 z 1 a d a < x x 9 2 2 d a z x y y =0 0 , ,
方方程程②②两两边边对对y、求求偏偏导导得得 az az
22x并+ 44x携++(（x/2++y/2)） a 静 2 - 1 #(（亲)） 2+ +4z 1 a 务 2z ==00,,
Dy ay] dy ay2
所所以以
a2z 2 a2x a2x 2
A A == a 祭 x2 g 3 ,，BB == ? 3 r x " ( a 9 y jz = = 官 0,C = = 帝 ay] 3
((--11..--11..1i)) 3 (-1.-1.1) (-1,-1.1)
4 2
又
又 B
B2
2 -
—
A
A
C
C
=
=
一
-
令 >00,,则则 Vy ==y (y(xx))
V = 1, V = 0
在在xx= =1处 1取处取极极大大值值，,jyy（(l1） )==1 1,,在在xz= -=1—处 1取处极取小极小值值，,;yy(（—-1 1)）= =00..
2巫9(（22001188,,1199题题）)【【解解】】设设铁铁丝丝分分成成的的三三段段长分长别分为别工为,x力,给y,则z,;则r +x +/y ++ xz==2,2且,且依依次次围围成成的的圆圆
,y, ·
工 之
的的半半径径，，正正方方形形的的边边长长，，正正三三角角形形的的边边长长分分别别为为2嘉m'，《
4
专
3
因因而而，，三三个个图图形形的的面面积积之之和和为为
S S = = π K ( 2 x x π. ) 2+ + ( y 4 y. ) 2 、 十 √ 乎 4 3· •(信 x 3 )） 2 ' = = 4 x £ π 2+ + 1 y 书 6 2 十 + √ 条 36° 3 z2,，
4
构构造造拉拉格格朗朗日日函函数数
L(w，m) = x £ 2 + + y 总 2 ++奈 √3 /+m + v + z — 2).
L(x,y,z,λ)= 4π 16 36° z2+λ(x+y+z-2).
人 x
L’= 2π
= 2 法 π ++λ"=0,， 工= 2 k
π+4+3√3
7v + 4 + 3 ^3
L',= y
L； =普 8 ++λ人==0 0 , , y = 8 8 ，
由由＜ O 得得〈 y =π------+--4---+---3---√-----3
7T + 4 + 3 妪
√3
L!=
z+λ=0, 6√3
18° +义=0, x= 6^3
lo z =π------+----4---+---3---.---3—.
L1=x+y+x-2=0 7T + 4 + 3 姬
L： = x + jz + z — 2 0
1
1
此此时时S取S取最最小小值值为为 户.
π+4+3√3
x + 4 + 3V3
11 【【评评注注】】 可 可设设三三段段长长为为xx,,yy,,22—-xx—-yy,转,转化化为为二二元元函函数数的的最最值值问问题题.. II
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ;
{ f £ ? = = 3x2 尸 -y =° =0 : , 得驻点为（。,。）,(倍1,& 1 )）.
3皿1(（22002200,,1177题题)）【【解解】】由由
f,=24y2-x=0′
得驻点为(0,0)。
6 12
g = 24/ -x = 0 \ 6 12/
可可计计算算 A A== f′== 66xx,B, B== ffx'y ==-—1 ,1 ,CC= =f”仅==484y8.y
判判别别式式△ △= =B2B —2- AACC ==-—2 82888x巧y ++1 1..
在在(（00,,00）)点点处处，，△△==11>＞0,0不,不是是极极值值点点；;
=—
在(倍 1 ,& 1 )）点处 ,△ =-3 V 0且A = 1 > 0,取极小值为〃(§ 1 ，& 1 )) =-嘉 1
在( 6 12 点处，△=-3<0且A=1>0,取极小值为fl 6 12 216°
13(12（0220222,,2200题 题)）【【解解】】（(II )） a 3& g( ) ) + + C C ( (u u + + v v ) ) . .
已已知知 f/((uu,,00))== u2ue2“
e-*
,
*,
则则C
C
(u
(
)
u
=
) =
u2 e
u
~
2e
“
-*
,
*,
有有 ff((uu,,pv)) ==-2~u 2vuev-e(-0.
A = B2 — AC =— 4 V 0, A = 2 > 0.
/f((uu,,vv))取取到到极极小小值值为为/(f0(,00,)0 )== 00..
在在((11,1,)1点)点处 处A =A =00-,B, B==—- 22ee~22 ,,CC ==0 .0. --
△△ == BB22- -AACC=4 e=? 4>e0~,4 f>( u0,,/v()u在,v()1在,(11),处1)无处无极极值值..
解题加速度
/解题加速度
1.【答案】 4
1•【答
【解析乒由iī f尝(x,Ky)—xy ==1知1知，分，分子子的的极极限限必必为为零零，，从从而而有有f冲(0,。0))==0。,且，且
【解析
(x2+y2)2
0
ff((xx,9yy)) -—x yx≈y (x2(x+y2 2+) 2()|2x (| | ,xl |y 9|\充y\分 充小分时小时)。).
于是
于是
ffC(xx^,yy')) —-f /((00,,00)) ≈R x了y)++( x(x2+2 y+2 y)22 ).2.
可可见见当当yy ==x x且且|x|z|充|充分小分时小，f时(x,y—) f-(f0(,00,) 0)≈x2x +2 +44xx4 ?>> 00;；而而当当vy ==-—x且z且|x| |z充 |充分分小小
时时，,，f(了(x,,少y)一-f/((00,,00)) ≈2—-x]22+4+x纭?<40 V.故0点.故(点0,(00),不0)是不f(是x,y的)的极极值值点点，应，应选选((AA).).
|f= - = U = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = H = = = = = = = - =^|
……………………………… ………
II 【【评评注注】 】 本 本题题综综合合考考查查了了多多元元函函数数的的极极限限、、连连续续和和多多元元函函数数的的极极值值概概念念，，题题型型比比较较新新，，'I
II II
I
[有有一一定定难难度度..将将极极限限表表示示式式转转化化为为极极限限值值加加无无穷穷小小量量，，是是极极限限分分析析过过程程中中常常用用的的思思想想..
22..【【分分析析】】 可可能能极极值值点点是是两两个个11阶阶偏偏导导数数为为零零的的点点，,先先求求出出11阶阶偏偏导导，，再再令令其其为为零零以以确确定定极极值值
点点，，然然后后用用22阶阶偏偏导导确确定定是是极极大大值值还还是是极极小小值值，,并并求求出出相相应应的的极极值值..
【【解解】 】 因 为因了为之—x26-巧6x+y +110丁0y 一2- 22火yx一-z/2 ++1 ]88= =0 ,0所,所以以
az az az az
2 2 x x - — 6 6 y 、 - 一 2 2 y y
? x
--- — --2 2 z z ?—x = = 0 0 , , - — 6 x 6x + + 20 2 y 0 - y 2 — z 2 — z — - 2 2 y y ay —2 2 z z a—y = = 0 0 , ,
dx dx dy dy
入θz
adxz =_0,
£ = 0, x-3y= 0, x=3y,
令令 得得
l3’ = 0,
故
故
z
x
=
=
y .
3y,
?z -3x+10y-z=0,
宰==0。,, —3x + 10)— z = 0, z = y.
ay
dy
将将上上式式代代入入x2 x一2 6-巧6x+y+ 1100/y 一2- 22外y一z- z/2 ++ 1188 ==0 ,0可,可得得
入 x= 9, 人x=-9,
x = 9, x =— 9 9
>0 ,0从,从而而点点(9（,93,3)是）是z(zx（,xy,)>的）极的小极值小点值，点极，极小小值值为为zz(（99,,33)） == 3 .3.
9
b
=—
a2x 1 a2x = 1 a2z 5 ,
类类似似地地，，由由A A==
a
g
x
W
2
==— -{
6
,B,B ==
2
1 ,C_=
3
a
y
zz
2
_
3
5
((--99..--33..-- 33)) 6 ③()jxcddyy((_-99..-_33..-_33)) 2 ^y2 ((--99..--33..--33)) 3
1 1
可可知知&B 2—— AAC C==_- & + 3z — 5 = 0
(/
2
2
.工x
2
2
_
—
2
2
z
x
2
2
=
= 0
0
,
前前两两式式得得Xx == y j,z从,从而而解解。_ o u '得得可可能能极极值值点点为为
2x+3z = 5
I Zz + 3z = 5
入x
•Z
=
=
1
1
,
,
人(x
J7
=
=
-
—
5
5
,
,
y y ==1 ,1或，或 y = = — -5 5 , ,
x z = = 1 1 , , x 2 = = 5 5 . .
根根据据几几何何意意义义，，曲曲线线CC上上存存在在距距离离太xO为y面面最最远远的的点点和和最最近近的的点点，，故故所所求求点点依依次次为为（一(-55,,—-55,5,5)）
和和(（11,,11,,11)）..
一----------------------
=---------------------------------------------------------------…r-
" 【评注】 本题考查在两个约束p条(x件,y彳,z )=0［,'下的函数“ =
/*（］,
丁， 2T）的条件极"
【评注】 本题考查在两个约束条件 下的函数u=f(x,y,z)的条件极
II 1ψ必(7x,,/,y2,：z） )== 00 II
:值值问问题题，，可可类类似似地地构构造造拉拉格格朗朗日日函函数数 ：
F(x,y,z,λ,p=)= ff（(jxc,,yy9,zz） )++ λo(x,y, y,z,）z )+(x,y,z), "
:解出可能极值点后，直接代入目标函数计算函数值，再比较大小，确定相应的极值（或最值）即可.：
解出可能极值点后，直接代入目标函数计算函数值，再比较大小，确定相应的极值(或最值)即可.
· 106 .
-106 ・第四章 多元函数微分学
第四章多元函数微分学
44..【【分分析析】】 先先求求函函数数的的驻驻点点，，再再用用二二元元函函数数取取得得极极值值的的充充分分条条件件判判断断
{f,(x,y)==22xx（(22 ++ y/2）) ==00,, . 1 1
【【解解】】 由由 . ° . 碍得 Zx == 00, y==— e ・
f,(x,y)== 22xx22yy ++ 1Inn 3/ y++ 11 ==0 '0 e
1
而而 /fL"==2 2(（22 ++y 了22)）,/f二"==22xx22 +
y
,f",= 44巧xy..则则
1
子乙 |g）==22(（22 ++ §)） , n f。 |g） = = 0 0 ,f , " 乙 。 |心== ee..
(0.±) e2 (0.÷) (0. 1 ) =—
1 1
因因f / ” L > > 0,o( , f （ “ A , ） ) 2 2 - -f A nf / ” « <0 < ,所o, 以所二以二元元函函数数存存在在极极小小值值flr ( （0o,，§e ) ）=— e
5.【分析】 本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法.
5.【分析】本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法.
【
【
解
解
】,
】
令
令 FF((
x
x,»j y z,,
z
z,,A)λ =) =
x
x
y
y
+
+2
2
y
y
z
z
+
+
λ
A
(
(
x
x2
2
+
+y 2+z2-1
—
0 )
1
,
0)
解
,解
方
方
程
程
组
组
人F,= y+2λx=0,
F；= y + 2Xr = 0,
F,=x+2z+2λy=0,
F\= z + 2z + 2\y = 0,
-----F-.-=2-y-+-2-xz-=-0-,------
F： = 2y + 2 Az = 0,
F=x2+y2+z2-10=0,
F；=/+)+/ —10 = 0,
得
得
x
z
=
=
1 ,
l
y
9y
= ±
=士
√
归
5
,
,
2
z =
=
2
2
,或
,或
x
工
=
=
-1
—
,y
l9
=
y
±
=±
√
妨
5,
,
z
z
=
=
-2
—
,
2
或
,或
x =
z
±
=
2
±
√
2^
2
2
,
,
y
y
=
=
0 ,
0
=
,
干
z
=√AF2 a/.2由.由
uu((11,,a/√5,52,) 2
=
) =
u
u(
(
-
-
1
l
,
,-
-
V
√
5
5,
,
-
-
2
2
)
)
=
=
5 √
5 7
5
5
,
,
u(1,-√5,2)=u(-1,√5,-2)=-5√5,
u(l, -75,2) = u(- 1,75, -2) =-5妨，
u(2√2,0,-√2)=u(-2√2,0,√2)=0,
u(2 —5/2)= u(—2 ,5/2)= 0,
…
得得所所… 求求最最… 大大 值值 为为 55 √妨 5,， 最最 小小 值值 为为 -一5 —√5 妨5 ..………
… …………
【【评评注注】】 求求多多元元函函数数的的极极值值考考过过很很多多次次，，仍仍属属基基本本题题型型。.
-J
—
1 1 + 1 +; y2 ,
66..【【解解】】/ ( fw(x, ) y=)= 2 12nl|n |xl+ 2 — x * + 2 # .x2 + 2.
人……af = 2 1 1 y2
由 由<
a
? a
?
役
3 x
f y
x /
=
=
= x
x
声
A
y
x
2
十 +
== 0
x ± x
"
2
,
_
一
x " ± 3 3 - x / / 3 ==0 o,, 得
得
驻
驻点
点
为
为(信
2
1，
,
。
0
))
,9((—-11,0,0))..
=— =
而 而T A= a ax 2 2 f =—x- A X 2 --2- 2 - _A x工 2 3 3 + + 十 x 丫 A 3 ' 十 + + 3 3 x了 y ? ^ 2 ' , ' , B b == d 2 3 a xx 2 ! 3d f yy £ =_ x 2 了 ^ 3 y 3 ,, , c ° C == a a ^ 3 2 yy/ f 2 = x 工 ± 1 2 2
1
在在 ( (*,,o0))处处，,
2
A=24>0,B=0,C=4,
A = 24>0,B = 0,C = 4,
= A△ == BB2 2—- AACC ==-—9 966 0,B=0,C=1,
A = 3>0,B = 0,C = 1,
△A == BB22 —- AACC ==-—3 3 &x))、y==g (x),其其通通解解为为)=y=」e"J'*>*(( q(x)e“dx+C),C为任为意任常意常数数。. ；
q(z), [q(z)J"','b& + C),C
!L= = = = = = = = = = = = = = = = = n = = = = = = = = = = = = = = = = 〒 = = = = = = = = =』
.
五五、、利利用用变变量量代代换换变变形形方方程程
33(2010,19题)【分析】利用复合函数的链导法则变形原等式即可.
国(2010,19题)【分析】利用复合函数的链导法则变形原等式即可.
【【解解】】由由复复合合函函数数
a
du
的
x
的
=
链链
a
导导
a
u
e
法法
a
则则
x
得得
++
da
a
un
u
·
a
a
x
n&
=
au.
十
+
d
aη
u
'
,
矿 共
an
a
ay
u = d
a
u
k ay十
+a
a
初
布
u
n
·
a a 3 y 5 >
=a
器a
d
共
u
+b
+
!
6d
aη
u a
- a'
u
- n <
3u = a 3 au +
所以
ax ax-(靠ae
十
du))
所以 &
an)
=u u an. au an au
·
as ·5 ax . 十 asa2anU 或 ax + 3 3 a 2 W · •ax十an a2 pe · ax
ax 时 .
=au au au
+
_ ad2eU .^aUr +2: d2U
=准+矿2a阿6η'
u
au
d2U _ ? d ( / ae i a d u u ) )\
二 ay 十
adxxddyy
=
dy Mg adnr)/)
au u an u an. ·
+an agnue
_ /it . /u dn 净 II djn 1 d2U 3g
ay十a8η ay ay十 ay
= 滤•为十曲 • 3,十"•时十藏 •石
u
= aa2u du
82u +Ib :d2U +. (/a +b. ) d2U
a4 af d5η
=
u a au
a
驾
y
=旦
ay
仆(a四++b6:a也u)))
3寸 dy
a
\a
u
荧共 au 初n)
u
=a (a嚏++b:。 a 尚 5n ) +b((b 嘴 ' a a 2 r a.+ + a 。 a 黝 g3n )
=4 +W
。109·
-109 ・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
► ► 数学历年真题全精解析•提高«9(数学二)
au
du e2u
==a次2a
*
-
+
+
护
62
窍
an
++2 3abg篇en；
au u
au2
由由44a穿x ++1 122荔++5 5备
=
=
0
。
,
，
得
得
axdy ay2
au. u
a2?u an n
( （由 5c2 + + 112%a ++4 4) ）* 0 ++(（5矽B2++125b+44)）专+ +( （ 1 】 22(Sa ++ b») ++1 l0 妞 ab + +8 8)）房== 0。..
人(5a2+12a+4=0,
5a2 4- 12a + 4 = 0,
因而 562+12b+4=0, 解得
因5ft2+126 + 4 = 0, 解得
、1122（(口a ++b。)）++1 100a泌b++88≠关0.0.
人 a =— 2 人a =-2,
£ a
5’或{
亏'或v 2
b=- 2
b=—2, b 5
b =— 2,
= , = = = = = = = = = * = = = = = } = ' = = = = = = = * = = =
" 【【评评注注】 】此此题题主主要要考考查查复复合合函函数数链链导导法法则则的的熟熟练练运运用用，，是是对对运运算算能能力力的的考考核核。.
/解题加速度
解题加速度
【【分分析析{】两利用用复复合合函函数数的的链链导导法法则则，，求求出出
Z
x关关于于x
x
,
,
y
＞
的的2阶 2阶偏偏导导数数(用(用u,"v表加示表)示,代)，代人入方方程程变变形形后后，,
2z
与与： 窘 =
=0比
0比
较
较
，
，
求
求
出
&
常
常
数
数
a
a
.
.
dudv
dudv
【【解解】】 由由复复合合函函数数的的链链导导法法则则得得
=az azaz az az
?z + +a ,
a z 也 d x x =也 a d u u +也 3 d v v ' , 毒 d a也 y y ==—_22 dd 丝 uu +aa也 d v v ，
=
a2x a2z a2z·
a■x z _ a32uz +i 29 ad2wz
十
audu
x du2 dudv 3x7 'z az
- ==--22
2
a奖u
z
+ + ( a(a— —22))色•
+
+
a
aa^r4
'，
0xdy dudv
dxdy 3u2 dudv dlf
z
a2z a2z a2z
a矛 d2 y z =_ = 4 4 A a 密 d2uZ — — 4 4. a aa磷 d u 2 d Z v + + . a a 22 a/ 泣 zv
将将上上述述结结果果代代入入原原方方程程，,整整理理得得
a2z 2z
(10 + 5a)癸++( (66 ++a a-a-2/))v奖==00..
(10+5a)
audv
dudv 如
由题意知6+a-a2=0,且10+5a≠0.因而a=3.
由题意知6 + a — a2 = 0,且10 + 5a尹0.因而a = 3.
「 【评注】一定要注意条件10 + 5口尹0. 1
【评注】 一定要注意条件10+5a≠0.
·110 ·
-110 ・第第五五章章 二二重重积积分分 <<
第第五五章章二二重重积斜分分
.
一一、、基基本本概概念念及及性性质质
2010,6 D.
1(2010,6题)【答案】 D.
。（ 题）【答案】
【【解解析析】】因因为为
lim22 n = lim乙2 n
n n
1血、、 （*+"+]）=螟mg J i i 2-
i-00f=1 j-1 (n+i)(m2+j2) → 。 00 i=1 j=1 n(1 1 + + -n 2) )n2 [ +1+( n " ) ]
n
”
·
=lim22 1 1
=削羽（1+亦1 +"•*
00 7=1 j-1
(1+
n
i儿
1+(
i
n
)
]
m2
=
1
= Ld&xL （1+工）1（1+寸）d四y',
o (1+x)(1+y)'
0
（D）.
所所以以应应选选(D).
.
lr =
ii 【【评评注注】】 11 ..也也可可用用定定积积分分定定义义计计算算
” ·
·
lim乙2 n n = lim乙 1 ] *1 2S 1 1L ■I
i-1 j-1 (n+i)(m2+2) *007=1 11++ n ^ 1 n 71 i > - =1 1 1。+( 土 n 2 n n
n
it
it
1 · 1 1 · 1
= lim乙 1 lim乙
II =临、 1 ・—n lim、 i 2 n
0L08 i,==1] 1 1 + + -n *00j=1 [1+( n n
= n ii
1 1 1
=f dz :击心dy == 3dr （1+工）1打+.户dy. »
J 100 1 1 + 十 x Z ・10 1+y2 0 (1+x)(1+y)'
2.以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖.:
2.以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖.
…= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
2(2（021091,95,题5题)【）【答答案案】】 AA..
π
【解析】在区域D上，O≤√x2+y?≤ ,显然sin√z2+y?≤√x2+y.
【解析】 在区域D上,0 < 7x2+y 2 显然sin Vx2+y2 <
下面比较1-cos√z2+y与sin√x2+y的大小.
下面比较1 — COS + y2与
π
sin jc2 + y2的大小.
,
令令“u ==√x2+y?,0≤u女≤ < 普，
Ji? +.2 ,0 < 2
Li
π
11 -c—o sco su u- s—i nsi nu u= 1=- √1 —2s4isni ( n（于 + + u ) h ≤）<0 0 . .
4
因而1-cos√x2+y≤sin√x2+y?≤√x2+y.
因而]_ cos y/x2 + y2 < sin y/x2 + y2 <』T + 一 .
所所以以 LI ?V1≥√x2+y≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0.
f >i^ >a2+^2)2 >0.
2
π
由由于于ccooss zx在在( 0
0
,
,
号
2
) )上上为为单单调调减减少少函函数数，，于于是是
0≤cos√x2+y?≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2.
0 W cos Ji? + . < cos(x2 +/) < cos(xz + y2Y.
,0
因 因 此 此 JJc c o o s s J√寸x 2++ 注y2 c d h o V < JJccooss&(2x 2++yy2))dd(7 o<0,
>0,
Djt dt °t dt
在在 DD上±上上拓√二x§-yV
?>
0
0..在在。D下上上√折x=-3y>>00,,有有J人?0
>0
x x x
0 0 0
二二、、二二重重积积分分的的基基本本计计算算
(2009,19题题X分分析析】】 利利用用极极坐坐标标计计算算..
H (2009,19 X
【【解解】】((方方法法一-) ) 由由(x-1)2+(y-1)2≤2,得得r ≤2(sinθ。+十c osB。)),，所所以以
(x-l)2 + (y-l)2 <2, r<2(sin cos
J ( ( x x - — y y))ddxxddyy = = p I 喧 Y d d θ 0 「 22((ssiinn 什 0+ccooss/) ( ( r r c c o o s s θ 0 — — r r s s i i n n θ 0) ) r r d dr r
中 J0
D =广4 6 0
r2(sin W-cos ff)
='d d e θ ( (c co o s s @0— — s s i in n Oθ)^gd2dr
言
=
吃J
=J： [ [§ 1 (c(cooss θ 0— — ssinin θ 0)),r23 22((ssiinn 吐 +ccooss) 0· 〉]- 忡 i do
3
用有 00
· 112 ·
・ 112 -。 第第五五章章二二重重积积分分
=
户 8
o
=L
÷
或3 ((ccooss θ0 —— ssiinn θ0))·・((ssiinn θ0 ++c ocsoθs O)3')d3 dθ。
J十3
= 8 卢，
=音)；((ssiinn θ0++c coossθ 0)尸3dd((ssiinn θ9++c ocosθs 0))
3.
量
=
8 1 异 =— 8
=-f- ×X [((ssiinnθ 0++co cso sθ O)Y+ I 4 =—
3 4 3
3 4 I-主J T,
y-x
(方法二)如图所示，将区域D分成D?,D?两部分，其中 ty
(方法二)如图所示,将区域D分成D19D2两部分，其中
DD? =={ ({ xCz,√/2 2--&(一x-1 I))2。))' 0 2
3 =——3
17-/E 3
名
((xx —— y )yd)xddxydy
貌 dr貌 +√ /2 z- - ( ( x x - - 1 l ) ) 2 2
( ( x x — — y y ) ) d d y y
=—
1
1 •2 [2-2(x-1)√,2___-__(___x__-___1__)___2__]_ dz
o 1 [2-2(x-D J2— &一 1)，&
2
Z J o
=一
_事 1 1 ,『 44 ++ § 2 ((22 --((x工-1-)12)。)对+ 2 A - ] =-?2,，
2 Z2 L 3 5 0-
8·
所 所 以 以 JJ((zx —-y y ) ) d d x x d d y y = =- — y.
3
D
。
11 【【评评注注】 】可可利利用用坐坐标变标换变，令换u， =令 xu—=xl^-v1 ,=v =yy—-11,,那那么么DD =={ ({u(,",v p ))||u i?2++v x 2/≤<22,,v p
11
≥u}.
11 2 必.
原原式式化化简简为为 II
r
0
户 名。 户 西
jj*((uu -- vv)^dduuddvv == J； ddoej ((rrccooss θ0—- rrssiinn θff) ).· rdrdr r== V ((ccoossθ 0-—si sni nθ 0))· • w r 3Q 3 d d θ 0
D
十 叶
〕
00
=
II 2√_2_ 户5X 2√.—2
: =((ccooss 0θ—- ssiinn θ0))ddd o== ^y^((ssiinn θ0++c coossθ O)') II
3 3
中 II
= 2√2 8, II
: =^X(×-2(-V2√2)2 )==--|, II
3 3
0 O
II即即为为所所求求..
』
||_ _____ ______ === = = = = = = = = = = = = = = = = = =
7
呻2011,13题）【答案】%.
(2011,13题)【答案】 12°
1 u
【解析】 易得圆的极坐标方程为r=2sinθ,于是
【解析】 易得圆的极坐标方程为r = 2sin于是
·113 ·
・113・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
;
0
xydo =
90
r cos Osinθ·rdr = 4
。ftsin?θcos
θdo
jjzj/db = r2 cos Osin 0 • rdr = 4 sin5 0cos Odd
1 中3
D
言 7
==44】ssiinn5?00dd(（ssiinn 0θ） )== &・
。 。12°
上J y 1Z
5(2（0
2
1
0
1
1
,
1
21
,2
题
1题
)【
）【
分
分
析
析
】
】
把二
把
重
二
积
重
分
积
化
分
为
化
二
为
次
二
积
次
分
积
，
分
用
，用
分
分
部
部
积
积
分
分
法
法
.
.
( (
【【解解】】。 xyf,(x,y)dxdy = x yf"。(x,y)dy))dx= x( ydf,(x,y)))dr.
0 10 。 0
bD
用用分分部部积积分分法法
。 1 门。
。 f ydf,(x,y)= yf/(x,y) I — f 了(x,y)dy==—- [ ffA.(xx.,yy^)ddyy..
J 0 —。 I 0 o Jo0 — :J 0
交交换换积积分分次次序序
。J
(
jox(j^yddf/?l((xx,，y3/)) ))ddxx ==—— x f.(x,y)dy')dx==-—£ (£xxf/^'((xx,，3y；))ddxx))ddyj..
x(
0 0 0 0
再再用用分分部部积积分分法法
。
1 门。
[xf'(x,，vy))ddrx == I* xxddff((xx,,yy)) ==x xf(f x(x,9yy)) I — [ ff((.xx^,yy})ddjcx ==—— /f((xx,,jy7))ddxx,,
J 0 J 00 J I0o Jo 0一，
古
所 所以 xyf",( 以 x,y)dxdy ==Jo ddyyjo/ f * ( & x , ,y 、 ) ) d d x r = = a a . .
D 10 。
F
ii 【【评评注注】】 注注意意在在计计算算二二次次积积分分的的过过程程中中对对分分部部积积分分法法及及已已知知条条件件的的应应用用，.
IL D
小
,品
|J(（22001122,,1188题题)）【【解解】】(（方方法法一一)） \xxyy ddoo == jjrr33ccooss θOssiinn 0θddrrdd0θ = dθ r r 3 3 c c o os s O O s s i i n n θ 9d dr r
0
= D —0
1 —其
((11 ++co sc oθs )0')c4o sc oθs sOisni nθ Oddθd
4
=
1
"(1(1 ++c ocossθ eV)* [[11 —-((11+ +co csoθs 0))]]dd((1l+ +co csoθs 0))
4.
0
“
=
X 1[ [41-(1 +cos 0)5 M 1 1 x ]-
T4 5
(1+cosθ)? ----6(1( +1+ cCoOsS 0θ)6)?
L 5 0o 6 1o-
= 1 1 (/ 25 25 , 2 2 6 )6 \ = 1 16 6 0 -
彳
4
(一
5.
互十+
6
百)=访
15°
·・
1
(（方方法法二二)） do = 4. （(11 +4co- sc oθs )0‘）c4 ocso sθ Ossiinn θOdd0o
0
令令 ccooss θ0 == tt 1I 门 f1 .
(1+t)'tdt
4
-1
=
1
=〔 （(«t++ 44tt22 ++6 6tF3 ++4 t4Z?4 ++t?t5)）ddtt
4
-1
16
==22 f （t2 + t4）dt = if.
(t2+t?)dt =
15
J 0o lb
■(（22001133,,1177题题）)【[分分析析】】求求出出直直线线xz+ y+= 8v与 =另 8两与条另直两线条直的线交的点交，点把，积把分积区分域区分域分为为两两块块，，直直
角角坐坐标标系系下下化化二二重重积积分分为为二二次次积积分分，，积积分分次次序序选选择择先先Vy后后工x较较好好..
【【解解】 】直 线直x线 + x>+ =y= 88与与直直线线工x==33y、的的交交点点为为（(66,2,）2,)直,直线x线 +x j+ y== 88与与直直线线、y==3x3的工的交交点点
为为(（22,,66)）..
化化二二重重积积分分为为二二次次积积分分有有
· 114 ·
-114 ・。
第五章 二重积分
第五章二重积分
儿2 慢 8-x
jpxr22ddxrdd^y = x2dx dy+ x2dx dy
2 1.
0 5
=
D
=乳
8
x加3dx++ 口
属
(88 —- §
4x)个x2如dx== 3
普
2
++1 21288 ==写
416
.
3 3 3 3
. 2 O o
部(（22001144,,1177题题)）【【分分析析】】根根据据积积分分区区域域的的形形状状易易想想到到利利用用极极坐坐标标计计算算..
【【解解】】(（方方法法一一)）令令x
x
=
=
rc
r
o
c
s
o
θ
s
0,y,y=
=
r s
r
i
s
n
i
θ n。,，
xsin(π√x2+y2) 量 cos 0
J xsin（K
x
V
+
'x
y
2 +^2ddxxddyy ==
cosθ
co
+
s
s
0
in r
r
s
si
in
n π
itr
r
d
d
r
r
x + y 0o cos 0 + sin
D =
量 cosθ rcos πr 12
cosθ co + s s e i n 0 ;ded o rcos nr 十 + cos xrdr)
0o cos 0+ sin 0 11
=—
3传。 cos θ
=_lff ―丝里_dd0e..
π,
cosθ+sin θ
7T Jo cos 0+ sin e
π
-t
胃量 ccoossθ。 d「令令θ"==于2一' 量 sin θ
I= dθ= 7 sin 6 d费θ
又又 cos 0+ sin 6 cos θ+ sin 6
0o cos 0 + sin 9 0o cos 0 + sin 0
=
π
1 量 cos0+sinθ, ,
1 fcos 6 + sin dθ== 穴
22. Jo ccoossθ 6 ++si sni nθ 0 44
0 =—
π
所 所 以 以" x s s i i n n( s π x 吞 + √ y x + 2+ 丈 y2) 2d&x心dy ==--π 3 2×xA=_ 3 3 ·
4 4
JJ x-\~ y n 4 4
(方法二)显然积分区域D关于x,y有轮换对称性，于是
（方法二）显然积分区域D关于;r, v有轮换对称性，于是
xsin(π√x2+y) ysin(π√y2+xT)
IT工血（费2 土心&dx心dy == J'sinG g+己2d板rd或y.
x+y y+x
D
-
所以 J地xsi与n(π等√x五2+y如2) d如xdy
所以 x+y
。
D
,
[。 ,[
= 品1 [J x * s s i in n（( H π√；x2 + +y / 2)2dHd、+J ysin(π√y2+x2) dxdy
d.dy+
2。 x+y y+x
= 1 —
sin(π√x2+y2)drdy
=J工2 + y ） d;rdv
2
D
令令 xx= = r ercooss0 0.9yy= =r srisinnθ 0 11 fl f2 .
dθ rsin xrdr
一 钥2. da rsin nrdr
=
2
1
. dθ· π
1
(—— rrccooss πizrr |
2+
+ j ccooss πnrrddrr ) )
=
=
π
奇 4 * ×X ( (— j
3
π ) )
=
...
—
----
3
4 ・ ·
1
F — = — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — .- 一一 一—一-—
【【评评注注】】 重重积积分分的的计计算算中中一一定定要要利利用用好好积积分分区区域域的的对对称称性性、、被被积积函函数数的的奇奇偶偶性性和和坐坐标标II
[变换等手段.
变换等手段.
09(2（021081,86题,6题)【）【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 画画出出积积分分区区域域的的平平图图，，利利用用二二重重积积分分的的对对称称性性..
积积分分区区域域DD如如图图所所示示，，DD关关于于y轴v对轴称对，称，
0 0
原式=J（l- dxdy =2 dx dy
原式= (1—xxyy )) ddxxddyy == o dy
嘴
D
7
==22 [ （(22 —- xx22 —-x x)）ddxx ==[·・
3
J 00
o
· 115 .
• 115 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提提高高篇篇(（数数学学二二)）
ty
⑩皿(（2200181,81,177题题)【）【分分析析】】本本题题的的边边界界曲曲线线部部分分以以参参数数方方程程形形式式给给出出，，
2
y-2-r2
题题目目较较新新，，但但本本质质上上还还是是二二重重积积分分的的基基本本计计算算..
。
;
【解】 可设积分区域D为0≤x≤2m;,0≤y≤g(x),则
【解】 可设积分区域D为0＜工＜2穴,0＜、＜8&）,则
dx [g(a) 2r.
(x++2 2y、)）&dx心dy= ((X x + + 2 2 y y ) ) d d y y = = [ [x x g g ( ( x x ) ) + + g g 2 2 ( ( x x ) ) ] ]d d x x y=x
0 y=-x
= 0
D
[(t—s si i n n Z)t ( ) l ( 1 — — c c o o s s / t ) ) + +( ( 1 ! — — c o c s o t s ) i 2 ) ] 2] ( ( 1 l — — c o c s o s t Z ))d(k t -1 p 1
=
『”(
o
((tt —— ssini nz )t()l( 1—- ccooss zt))22ddit ++ ((11 —— ccooss tZ))33ddtz
0
=
]”(
((£t —— 22itccooss tt ++t iccooss22^t))ddz t++5 5π穴==3π3k 22 ++5π 5k ..
00
j_=- = = -- :. = _ = = = = __- = = - = _!. = -- . = :. = = = = = -_ = _55__. = = =
【【评评注注】】 定 定积积分分计计算算过过程程中中用用到到了了定定积积分分的的变变量量替替换换（参(参数数方方程程形形式式）)，且,且计计算算做做了了一一
II II
II II
"定定的的简简化化。.
J
—
Ⅱffl((22001199,,1188题题))【【解解】】 曲曲线线(x&22 ++y 2/)3)=3 =y ′y的的极极坐坐标标方方程程为为rr= =s isnin2200,,
积积1 分 0分区区域域DD关关于于y夕轴轴对对称
0
称，，则则
x+y y rsinθ
(T .声十 Y—ddxzddyy == 『-• cdLxzddyy == * 地·. rrddrr
√x2+y2 √x2+y2 ÷ r
r
=
1
ssiinn5 ?O0ddd θ...=-----J: (1( 1—— ccooss22 Oθ'))2 2ddccooss 0θ
2.
量
1 (ccooss θ0—— 2 ccooss33θ04十- - 1 ^ c -c os o ? s θ '。)I 1 ' , ■
2 2" 3 3 5 5 / I f
=
43
43 √p2..
112200 "・
。 。
[£＜(2200220,01,19题9题)【）【分分析析】】根根据据被被积积函函数数的的特点特，点应，应选选择择极极坐坐标标系系..
【解】 直线x=1及。x=2的极坐标方程。分别为r= secθ及;r=2secθ,则
【解】 直线X = 1及1 = 2的极坐标方程分别为r = sec。及广=2sec。，则
6
r
√x2十y ! 3
。 x dxdy - 焉T. r*dr == 3j； sseecc3%θddθ°,,
rcos θ 2.
x 0
D
量
而 而『sseecc3e0ddeθ == s se e c c 0 0 d dt ta a n nθ 0 = = s e s c e c O t O a t n a n θ 0 t t a a n n 2θ 2 O se se c c θ O d d θ O
D
o
儿量
=√2- sec3θdθ+ sec θdθ,
sec'。费 + sec Ode,
o 0 0
=
所
所
以
以 P sseecc3'00dd0θ == 淳 √2
十
+ * 1 lInn | sseecc θ0 ++ ttaann 60 '= √ 专 2
十
+ 1 并
In(
成
√2
+
+1
1
)
）
,
，
2 2 2 2
J 00 L L I 0
0
[0 √x2+y, 3 3.
所所求求二二重重积积分分]] 山 x +寸d&x心dy == 4^√2 2++ 宇 IInn 戚 (√2++1D)..
4 4
x 4 4
D
■((22002211,,2211题题))【【解】解 】曲曲线线(x(zx+2>+y22)2) 2== xx22 --y2/的的极极坐坐标标方方程程为为rr2= =c ocoss2 02,0则,则
cr
z
x
v
y
d
d
r
r
d
d
jy
y
=
= rf d
d
o
。
配r 辰√6Eos25 r
r
2
^
s
s
i
i
n
n
θ
Oc
c
o
o
s
s
0
θ ・·
r
r
d
d
r
r
0 0
· 116 ·
・116・—
。
第第五五意章 二二重重积积分分
=
1
=-~J4 ccooss22 2200· • ssiinn 2200dA60
8.
0
=—
1高
斗
=—J * ccooss22 2200ddccooss 2200
=— 0 =
1 上 1
=-*c8os一3220』： 1
48 48'
10
F ~ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n|
« 【【评评注注】 】曲曲线线( a x2 2 + + y2 y )2 )2 = x = 2 — x2 y - 2是 y 双是组双线纽，线一，一种种重重要要的的平平面面曲曲线线.. "
H = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ="
Ty
叫圈((22002222,1,199题题))【【解解】】积积分分区区域域如如图图.. 21
直直线线>y--22=x=的x极的坐极标坐标方方程程为为
2
2
厂r ——= si.n @—- cos θ_' -2 -1 O 1 2
sin 0 — cos 0
则
则
1
I— 0 ( (c c o o s s θ0 — -s s i i n n θ。)) 2 2 ·• r r d d r r ++ ((ccoossθ 0-~si sni nθ 疔)2d d o。 m , simn 广 2 co0s 0r rd dr r
量 0
量
==22 j： (1 — sin 20) de + 2匚 ddod
(1—sin 28)dθ+2
0 量
π
( -1)
=—2|2(专
2
—1)++π穴== 2π2k— —2 2..
m m
【评注】 还可考虑计算半圆与弓形区域积分的差.
匚叫塑m登?”壬¥蹩区域整竺 二 二】
。
解题加速度
解题加速酩
。
1.【分析画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.
1.【分出积分域，将二重积分化为累次积分即可.
ty
【解】积分区域如图所示.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x
【解】,积分区域如图所示.因为根号下的函数为关于工的一次函数，“先工
后'”积分较容易启以 y=x
后y”积2分较容易，所以 1
『√Vyy22 ——xxyyddxrddyy == ［d如y］>√/>y2 —2- xxyyddx x==—- 2 y 1 ((yy22 —-x巧y))号t ［ 'd d y , D
3. y
0 0 0
= 2 2 · x
3y2dy= y- 0 1
3 9
=号 如=
It ~ - -~-~~-~~~-- = = -=f = = = " = ~!5 = ~ = " = = = ~ = = = = !S5S = "- = = = nl
【【评评注注】】 计 计…算…算二…二重…重…积积…分分…时…时 ，， 首 首先 先 画 画 出 出 积 积 分 分 区 区 域域 …的的图图形形，，然然后后结结合合积积分分域域的的形形状状和和被被积积«
II
II II
］函函数数的的形形式式，，选选择择坐坐标标系系和和积积分分次次序序。.
--J
。
2.【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.
2 .【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.
【解】作极坐标变换：x= rcosθ,y= rsinθ,有
【解】 作极坐标2变换:1 = rcos 9,y = rsin。，有
人
re'sin r2dr.
II= = e *exJee~t<2,r2)+ys2) isinn((xz22 ++ yy32)) ddxzddy y== t do
通
D
令令 £t ==r 2/, ,则则 I I = π = e ne * 1 ee- -r 'ssiinn tdtdtt,记.记 AA == 广e-' ssiinn ttddtt,,则则
0
0
· 117 ·
・ 117 -。
。
。一
-----------
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
=—
L
A A = =- - 通ssiinn ^tdd((ee-x?)' )==—— ^ee--'rssiinn t11 — J ee~-f' ccooss ttddtz ] ]=—J ccooss tidd((ee?-x'))
=— J。 0
『 *+ ]
=—[ee'-'ccooss t11 + J ee--'fssiinn ttdctk] ==e e*-"+ +1 —1 — AA,,
0 0
1 xe* π
因因此此AA == § 2 (（11 + +e 厂 ~* ） ) ， ,1I = = 岑 2 ( （11 + + 厂 e~ ） ) = = 普 2 （ ( l 1 + + e * e* ) ） . .
乙 Lt Li
" 【【评评注注】】 本本题题属属常常规规题题型型，，明明显显地地应应该该选选用用极极坐坐标标进进行行计计算算，，在在将将二二重重积积分分化化为为定定积积"
………… …… …………
II II
"分分后后，，再再进进行行换换元元与与分分部部积积分分（(均均为为最最基基础础的的要要求求)）,，即即可可得得出出结结果果，，综综合合考考查查了了二二重重积积分分、、"
I • I '换换元元积积分分与与分分部部积积分分等等多多个个基基础础知知识识点点。. II
II
=二= = = = = = = =』
IL ^3 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
3.【答案】 B
3 .【答案】B.
【解。析】 把积分区域由直线y=x分为两部分，用极坐标系
【解析】 把积分区域由直线j = x分为两部分，用极坐标系
f(x,y)dxdy =
重重
d0 /f((rrccoossθ 0,,rrssiinn 0θ)r)drrd r++
啊量
dθ
重2c5os0
ff( (rcrcosoθs ,0r,srisnin θ O)'r)rddrr..
量 0
DD ]
应应选选(（BB)）..
。
44..【【解解】】 积积分分区区域域如如图图所所示示，，则则
吃。通 √3G1-5) y
x2dxdy = dx x2dy
"
√5
=
3
心。 y-/3x
x2(√3(1-x2)-√3x)dx
4
=√3 2、1-xdx—√3 x3dx y=/3(1-2)
0 0 x
4 0 72 T
=√3 重 x2、1—xdx—√③ 2
16
0
配
x= sin t 号 ③
=^4√③[： ssiinn2t"·.ccooss2tMdt—一令
16
J0
= 。
=③纽:sinEck- √亲③
sin2(2t)dt—'
4. 16
= =
。 1 I — -c c o os s 4 4 t zddt —' √ V3 ③ = √ V3 3 π一- √ /3 ③
16
2 16 32
2 16 32 16-
。
5
5
.
.【
【
解
解
】
】
令
令
A
A
=
=
JJf/((xx，,3,y)d)xddr3d>,y则, 则f(.xf,y(~x), =y )y= yJ√l —I ■-x ++A Arr..
两两边边求求二二重重积积分分
。 2
户
AA == JJ/(x^y^dxdy = jpyy y√/1 —1 -xx2 ddxxddyy ++ AAjprxcdLxrdd.yy
f(x,y)dxdy =
D
8 10
= √一
√1-x2dx ydy
y√I-x'dxdy=2|
0
D
=
x= sin t 量 3π,
=J ((11 —-x 2)+ddxx cos?tdt =
cos4/di = —
0
1
lb
6k,
·118 ·
・ 118 -第五章 二重积分
第五章二重积分
,
3πx。
得f(x,y)=y√1-:xa2+
得 f(jc9y) = y Jl — ]2 + 16
io
- 3
有有JCxf&(x,ay&)ddrdyy == xy √1-Sx2 d^xcddyy ++
1
^
6°
7πrjpx
x
2
^A
dx
x
d
A
y
y
2
D D cD
3 3π *
农x2&dx心dy == 希』：ddθ风r2cos2θ·rdr
二 16°元 16° r2 cos2 0 • rdr
0
D
= 6 3 4' π c c o o s s 2 20 o d d O θ = = 1 y 3 2 | 8 ^ ? π k2 2.
0
04 J o IZo
三、利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分
三、利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分
0150(（2200121,26,6题题)【）【答答案案】】 DD..
【解析】 本题也可根据二重积分的对称性，画出积分区域D,区域D关 4y
【解析】 本题也可根据二重积分的对称性，画出积分区域D,区域D关
1
于于工x,，y3/轴轴都都对对称称，，巧xy?5分分别别是是xz,y以的的奇奇函函数数，，11分分别别是是x,zy,的j/的偶偶函函数数，，所所以以
名 )q 人 o x
0(（巧xy 5 ?——-11）) ^dxrddy y== —-JJddzxddvy ==—- 22^ ddxxddy^ ==-—π江.・ π
2
D D 0«
F == = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = =
11 【【评评注注】】 如 如果果直直接接计计算算也也可可以以，，但但比比较较麻麻烦烦且且容容易易出出错错..
(
(x
x
y
y
5
?
—
-1
D
)d
d
r
r
d
d
y
y =
=
J
量
— 量 *
d
&
x
J sin x
((x巧y
5
?
—
-1
l
)
)d
dy
y =
= 1
6
1 xy 1
s s i i n n x x
-—(1(1— —s isnin xx)) ]
」
Iddxx
i I t I
=
于 1
=J2 ( ^-|-xj:ccooss jxc -—1 1+ +si snin xx )jddxx (<利利用用对对称称区区间间上上奇奇函函数数的的性性质质 ) :
9
节 it
=—
配 it
d dx x = = -π — 7 . T. it
-十
II J ~2
Lw = = = = = = = = = 5 = = = = = = = = .
画[6(（22001133,,66题题)）【【答答案案】】BB..
【【解解析析】】 利利用用二二重重积积分分的的不不等等式式性性质质..
显显然然，，在在D2D上?上y y—-
z
x≥20。,，且且y：y- —x不h恒不恒等等于于零零，，则则II2 ?==
JJ((Vy -—x )xd^drxddyy> 0>.故 0.选故(选B)(B。).
D2
"
【
【评
评
注
注
】
】
实
实
际
际
上
上
L
L
V
?<
0
0
,
,
由
由
于
于
D
D?
i
,，D D?
3
关
关
于
于
直
0直
线
线
y
v
=
=
x对
z
称
对
，
称
再
，再
由
由
轮
轮
换
换
对
对
称
称
性
性
得
得
7-7
1[ II
IL ?==
2
"^"LlP(vy —-x Q)dirxddyy ++ JJ(（xx —— yy)）dcxlzddy;y]==0
0
.
,
it
DDi Di
L = 1 ]
■I
。 I?=
2
x -x—)xd)dxxddyy ++ JJ((xx -—y j)Oddxrddyy] =
=
0
0
.
.
。~2
D3
。 =.j
■17(（22001155,,1188题题)）【【分分析析】】 利利用用二二重重积积分分的的对对称称性性及及二二重重积积分分的的基基本本计计算算..
;d
【解】 积分区域关于y轴对称JJrxyyddxzddyy == 00,,
【解】 积分区域关于y轴对称，
D
√2-
jpxr22ddj7rdd
2
2
≤
<
4
4
}减 )减去去小小圆圆
局
D?={(xnr1)2+y3≤1},再利用对称性与极坐标计算即可. q
D2 = {(z »71)2+y2 <1},再利用对称性与极坐标计算即可.
,
【解】 令3 = {(x,y) | ^+寸 <4},以=((x.y) | (了+1)'+/ <1},由对称性，山yd&o == 00..
【解】令D?=((x,y)|x2+y2≤4},D?=((x,y)|(x+1)2+y2≤1},由对称性，
D
名 名
『√
Vx
x
2
2 ++y y22ddoa
=
=
jj
√
”
x2
+
+y 2do— √
y/x
x
2,
2
+
+ y
y
2
2
d
d
o
a
—
D D1 D2 ;
= 2 儿「言孕 -2eos09
f2«d of2r 2dr一 dof-2cos rdr
=d。r2 dr — d。 r^dr
J 0 o J o J f J o
16π 32 16
三=工 1 3 6 一 tv § 3 9 2 二= § 1 9 6 (( z3 3 Qπ 穴—一29 2 )x ) , ‘
16
所所以以』((√/狎z2++ Jy? ++了y))d扬g==宗
(3
3
π
兀
—
一
2
2
)
)
.
.
9
D
『= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ="
【评注】 本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用 J
【评注】 本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用
:对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.
对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.
-----J
L==
π
。
22. .【【答答案案】】 f 4 . ,
0 0
【【解解析析】】 由由积积分分区区域域D关D关于于x轴］，轴y ， 轴3轴对对称称，则，则有有By&drddyy ==0 0,,Jxx22ddzrdd^y == 44爪工
x2
2
d
&
x
心
dy
,
,
其
其
中
中
玖
D?
=
=
D D Dj
{{((•xr,,y)y )\ |xx2 2++ yy22 ==1 ,l,xz≥ 20 ,oy，：≥y N0}。.}.
～0
1 1 量， π
从从而而jp>(2x 2—- yy))ddxxddyy == 44。x x 2 2 d d r x d d y y=4 xlo r r 2 2 · ・ r rc c o os s2 2 O od dr r = = 2. ((11 ++c ocso s 2200))ddθ。== 于4.
33. .【【分分析析】】 被被积积函函数数展展开开，，利利用用二二重重积积分分的的对对称称性性..
【【解解】 】 显 显然然。D关关于于zx轴轴对对称称，且，且D D== DD】 ?UUD。D?,2其,其中中
D?={(x,y)IO≤y≤1,√2y≤x≤√1+y),
£>i = {(工,少 I 0 < 乂 < 1，疗丁 W z < J1 + 一 },
D?={(x,y)I-1≤y≤0,-√2y≤x≤√1+y2),
D2 = {(x,>) |— 1 < v W 0, — V z < Jl + J},
8
户
J((xx ++y y)Y3ddoa == JJ((xx33 ++ 33xx22 yy ++3 3xxyy22 ++y 3y) )d drxddyy
D =%D
=(+x3+3 ^xxyy22>))ddxrddyy 4+-jj*((33xx223y/ ++ 。 y y33)}dAxxddyy
0…D D
—
==22。&3 + 3xjz2)dxdj/ + 0(被积函数3x2y + y3关于y是奇函数)
(x3+3xy2)dxdy+0(被积函数3x2y+y3关于y是奇函数)
Di
?
==22_［； d如y［尸 √1+) 3 士 3或)dz = 2匚(( 1 § x * ? + + 言3x2打y2)1 √1 1 +) d 心 y
(x3+3xy2)dx= 2
√īy 4 2 √īy
0
= 1 1 8 9 14
=H 2. ((1i++8呵y2--9y*1))dy心 =品 2 ( (11++1 3 •- § 5 ) ) == 1 普 5°
0
·121 ·
・121・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数（数学学二二)） 匆
【评注】对二重积分的对称性的考查一直是研究生考试的重要测试内容. :
【评注】 对二重积分的对称性的考查一直是研究生考试的重要测试内容
』- = = = = = -- = = = = = -_ = = = = = 〜 = = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
四四、、分分块块函函数数积积分分的的计计算算
解题加速度
解题加速度
。
11..【【分分时析在 在naxm{axx2｛,ry22,}y中），中去，去掉掉取取最最大大的的符符号号，，把把DD分分成成两两个个区区域域积积分分..
【解】=^｛（x,j/） |0< x < 1,0 W v = ｛（z,y） | 0< x < bx < 3/ < 1｝,则
【解】令D?={(x,y)|o≤x≤1,0≤y≤x),D?={(x,y)|o≤x≤1,x≤y≤1},则
山 J 。 cemma(x｛2r2.,yy23｝ )&d心xdy== 户 e2d&x心dy ++ 户 jje e3 孩 & drd 心 y
DD = D, D2
=匚d叫x r e"3腿dy++匚d如y y 腊e''&d x==e-1.
e — 1.
0 0
2
2
. .【【分分析析】】 首首先先应应设设法法去去掉掉取取整整函函数数符符号号，，为为此此将将积积分分区区域域分分为为两两部部分分即即可可..
【【解解】 】 令 D令i D=? =｛&{(,xy,）yI )0| y — \√/l —I-Xx2 2++ yy2/dxddxyd y dx y√ J' I — -x 衣 2 + + y J 'd y y D
—
= D — 0 x
1 x=1
=J ddxxj . y√/1 I—- xx22 ++y y22dd((11 —-x x22 ++y /2) )
2
= =J 0 — 1 [ 0 1—- (（11 —-x工22）)23 ]]&dx = 1 ------ 1 J （1( —1- xx22）) — d 1 dx x （令( 令 x x== ssini n00,0, 0≤00≤ π )
3 3 3. 2
0 0
= = 1 1- | 1 f% 量 ocoss^'θd0dθ == | 1 - | 1 J 量 ； (（ 1 1 + + c 廿 os 2 2 6 。 ) ） 2 揣do
3 3 3 2
3
0 0
= =M 1 一 I 1 f 量 !(信 3
十
+ T 1 cCOoSs 22°0++ § 1 c-ocoss 4400)）dd0θ == § 1 一窟 1π.。
3 3. 8 2 8 3 16'
0
2圉2(（2200151,56,题6题)【）【答答案案】】 BB..
【解析】画出积分区域，用极坐标把二重积分化为二次积分.
【解析】画出积分区域，用极坐标把二重积分化为二次积分.
曲曲线线22巧xy==1,14,4x却y=1=的1极的坐极标坐标方方程程分分别别为为
1 1
rr == -^,r ,r = = —
√ Js S .i i n n 2 20 0 J √ 2 2 s s i i n n 2 20 。
π π·
,θ=
直直线线yy ==x ,xy.y= √= 37x3的x的极极坐坐标标方方程程分分别别为为。0== 孕,。=y.
4 3
8
量J
所所以以 f(x,y)drdy == 「dθ ff( (rrccoosθs ,rrssiinn θff))rrddrr.,应应选选(B ( )B。).
有4
元m
D
「— — — — — — rr. — — — — — — ~ — —— — — — — — — — — — ——
。 【【评评注注】】 注 注意意极 。极坐坐标标与与直直角角坐坐标标的的转转化化Adxxddyy == rrddrrddO0..
,
y
瓯23(（22001177,,1133题 题)）【【答答案案】】 -一In l(nc（ocso s 11)）..
1
【【解解析析】】 积积分分区区域域如如图图。.
交交换换积积分分次次序序
中 tan x. dx== | d dx x| t 国 a x n 1 1 三 x. d心y == I ttaann x Axdxx ==-—I nl(nc(cooss xx)) 1 0 1 x
工 。 Jo J 1 o 0 x 。 J o0 。 0 o
=—In(cos 1),
=—ln(cos 1).
2
即2(2（022002,100,1题0)题【）【答答案案】】-|(（22√#2--11)）..
9
【【解解析析】】 交交换换积积分分次次序序
M p √y/xx3 3++ IIddxx == f ddxx 貌 f √x++1 1 ddyy == j xx22√x2 + + 1 I d d x z
5 = J o J 00 = 0
2 1 2
=-y ( (x x2 3 + + 1 ) 1 ÷ )3 (2√2-1).
9 9
0
2瓯5(2（022012,11,41题4)题【）答【答案案】】普 π
2
c c o o s s 4 2
π
·
L 7t
【【解解析析】 】积积分分区区域域。D=={{(&x,,y少)|I1≤x≤t2,√x≤y≤t}
=={{(（xX,, yV)）|I1≤y≤t,1≤x≤y2},
交交换换积积分分次次序序
·123 ·
-123 ・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数（数学学二二)）
3
ff((tt)) == J ddy> 鬼 | ssiinn
y
子工d&x == s s i in n 王y 工 ddxz) ) )d d y y, ,
1 1
1。
则则f(*t)) s s i i . n n — 工 d d x x = = — — t c Z o co s s t t + +t t c e o a s s —t 1 '・
t
=
π π
2
因因而而ff( ( (普 ) )=普 c c o o s s —π.
2 2
\ 匕 /
L 7T
……子
|| 【 【 评 评 注 注 】 】本 本 方 方 法 法 是 是 利 利 用 用 变 变 限 限 积 积 分 分。的 的 导 导。数 数 直 直 接 接 求 求 出 出 f f ( (t t ) ) , , 也 也。可 可 先 先 求 求 二 二 次 次 积 积 分 分 f f ( ( t t ) ) , , 再 再 求 求
II
it 导得f(,t )。 II
"导得 /(X). "
IL= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
坦26(（2200222,22,2题题)【）【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】 交交换换积积分分次次序序
1 x2
M y ....-ddrx ==「ddxx「 y ddyv == !「-；-^— ddxr
√ Jl 1 + +x ♦ 2 Jo0 J0o √ 714 1 - + X x 3 2 2 . Jo0 √ /+ 1+ ♦ x
= =
1 2 2·
√1+x2 2 2_
+了
=y3 3 0 3
0
选选(（DD)）..
解题加速度
解题加速
。
1.【答聚D.
1•【答
π ,
【
【解
解
析
析
】
】在极
极
坐
坐
标
标
系
系
下
下，
，
积
积
分
分
区
区
域
域
D
D
=
= ((rr,,。θ)|) 10 0W≤ rr ≤< ccoossθ。,,00 <≤。0≤< 号
2
},
。
于于是是在在直直角角坐坐标标系系下，下积，分积区分域区D=域 D{=&{(,’x),y|0)|《O≤zx<≤l,10,W0≤vy≤< √x-x2),所以以
cos √2
r量f ri 重c^x-x
dθ dx
de f/((rrccoossθ 0,r,rssiinn θ9))rrddrr == dr ff(Cxx,^y)^ddyy,.
Jo0 Jo0 Jo J0o
r ,
2 2 . . 【 【 答 答 案 案 】 】 j： ddxzj , 2， f( 怂 x, , y / ) ） d 如 y. ・
1
【【解解析析】 】积积分分区区域域。D==
{ ((xx,,yj)) | 00 ≤< xx≤ y
2
,,xx22 W≤ vy <≤ xx 里 "
6 1 1 王
所所以以 /( (z x , , y y ) ) d d z x + + j： ddy^JT/ f ( ( x x , , ^ y )d )d x x = = J2 ddxxJ 2,f(x,y)dy.
。 1 0
与
B.
33.•【【答答案案】】B.
【【解解析析】 】令令了x= = r crcoossθ 0,,yy ==r srsiinnθ。，,则则rr—= 22所所对对应应的的直直角角坐坐标标方方程程为为x2x +2+ yy22 ==2 222, ,rr= =2c 2ocsoθs 9
所所对对应应的的直直角角坐坐标标方方程程为（为了(一x1-）12 )+2+ Jy 2==1 .1.
8
由「d费θ ［/（r2）rdr的积分区域
由 f(r2)rdr的积分区域
2coa0
J 0 J 2 cos 0
π
2 2 c co o s s 0 θ V < rV r< 2 2 ,0 , 0 V < 0 0 V < 奇,
2
乙
在在直直角角坐坐标标下下的的表表示示为为
√2x-x√3时，y”(x)>0.
当—妪 V z V 0 或 X > 焰时，、"(z) > 0.
由
由
此
此
可
可
知
知
，
，曲
曲
线
线
y
y =
=
y (
y
x
d
)
x
凹
)凹
的
的
区
区
间
间
为
为
(一
(一
√
冲
3,
,
0
0
)
)
和
和
((√733,,++cc)x;d)凸；凸 的
的
区
区
间
间
为为(一 (一，
8
一
,
√
_
3姬)和)和(0(,
0
√
,V
3
3
).
).
拐点为(-√3,-√3e+),(0,0),(√3,√3e+).
拐点为(一根'，一屈T) ,(0,0) ,(V3，V3e^).
、:可、可降降阶阶的的二二阶阶微微分分方方程程的的求求解解
d2y. d2y = 3
08((2(0201100,,1177题题))【【分分析析】 】先先求求2,,由由拦 =
“iL
、可可得得关关于于ψ。((t。)的的微微分分方方程程，，进进而而求求出出
dx2 dx2
— dz' 侦 44((11 ++t i))
((pt()t). •
dy
= dy
dy dt = 业(t)
［解】 由参数方程确定函数的求导公式字=乎 =*值 可得
【解】由参数方程确定函数的求导公式 dx dx 2t+2 可得
dx ax 2r + 2
■ddtT
(业(t)
)
d(
= \2 2 t t + + 2 2) ”/(r()t()2(t2 +t+ 22) )--224/((ft))
d d 2 勺 y = d d t t = = ⑵(2t++2 2)尸? = = ” 疣( ( t t )( ) 2 ( t 2 + t+ 2 2 ) ) — -2 2 w ° ( ' t (£ ) )
dx dx 2t+2
d? & 2t + 2 ((22tt ++2 2))33 .
dt
"dt"
=
由题意”知(t归)(2牛t+2*)—243′(t) = 占 3 ，从而
由题意知! ,从而
(2t+2)3 4(1+t)
”(t)(t+1)-φ(t)=3(t+1)2.
矿(£)(7 + 1) — 必(Q = 3(t+ I)2.
人 ψ(t)
”“⑴(t )- ==. 3((tt ++1 )l),,
t+1
* i + 1
解解微微分分方方程程，
5
(欧1(1)) == 2—ψ, ((11)) == 66..
. U
1
令令 y/= =φ欧('t()，),，则则y y′ —- ］ ］了y ==3 3((11++t) D,所,所以以
1+r
y=@
y = eJ击山 ( (j, 3 3 ( (l 1 + + D D ) e e —1 J 金 + " * & d + + c C ) )) = = ( ( 1 1 + + 0 ^ ( ) 3(3ti ++C C ) ).
因因为为 yy((l1))==ψ欧'((11)) ==6 6,,则则 CC= =0, 0故,故y=)3 =t (3tz+(z1 +) ,1即)»即φ §(t(t))= =3 z3(zt(r+ +1 )1,)故,故
3
ψ
扒
(
t)
t )
=
=
J 3
3
z
t
(
(
i
t
+
+ 1
l
)
)d
d
z
t
=
= 2
■2产 ++己 t3 ++ GC .
5 3
又又由由ψ0(1()1 )== &,得得GC? ==0 ,0故,故φ昨(t))== 言t〃2++t已3
2 2
|r ~ = = = - = ~ nl
【【评评注注】】 此 此题题是是参参数数方方程程确确定定函函数数的的导导数数与与微微分分方方程程相相结结合合的的一一道道综综合合题题，，有有一一定定"
I
II 情I情I
难度.
］难度. J
---J
0 9 (2(0201166,,1199题题))【【分分析析】】 根根据据已已知知的的关关系系式式，，变变形形得得到到关关于于“u((xz))的的微微分分方方程程，，解解微微分分方方程程求求
· 130 ·
. 130 .第第六六章章 常常微微分分方方程程
得得u“((x])).・
【【解解】】 计计算算得得
y
yz
? (
(x
x
)
) =
=
[ u
[
'
t/
(
(
x
z
)
)
+
+
u(
u
x
(
)
x
]
)
e
]
'
e
,
x
y
, J
?；(
(
x
x
)
)
=
=
[u
[
”
/(
(
z
x
)
) +
+
2 u
2
'
u
(，( x
x
)
)
+
+
u(
u
x
(
)
x
]
)
e
]e
2
x
.
.
将y?(x)= u(x)e2代入方程(2x-1)y"-(2x+1)y′+2y=0有
将 ％(z)= u(x)ex 代入方程(2x — l)j/‘一(2z + l)y/ + 2y =。有
(2x-1)u"(x)+(2x-3)u'(x)=0,
(2z — l)u"(z) + (2z — 3)i/(z) = 0,
2x—3
u iz ” " ( (z x) ) = = — _ 2j? — 3,
uu' ((xx)) 2 2x x — — 1 ]，
两边积分In u'(x)=-x+In(2x-1)+1nC,即
两边积分 In i/(z) =— x + ln(2x — 1) + In G，即
/u('•(zx) )==C C?i( (22xx- —1 )le)e?~*J, ,
因 因 而 而 uu((xx)) ==-—CC?i( (22xx+ +1 )l)ee?~+x ++C C?2..
由由条条件件 uu(—( -11) )== ee,,uu((0)O )==—- 11,,得得 CCi? ==1 1, ,CC?2 ==0 ,0u,u((xx))= =-(—2(x2+z1 +) e1?)e+-.x.
y少?((zx)),，sy?C(rx ))是是二二阶阶微微分分方方程程((22x^--11)y)”/--((22^x++1)1y)′/ ++2 y23=/ 0=两 0个两线个性线无性关无的关解的，解所，所以以所所求求
的的通通解解为为
y
jz
(
(
x
x
)
)
=
=
k?
么
e'
b
+k
+
?(
奶
2(x
2
+
z
1 )
+
,
l
k
)
?
,
,
刈
k?
，
为
幻
任
为任
意
意
常
常
数
数
.
.
三三、、高高阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的求求解解
皿10((22001100,,99题题))【【答答案案】】G Cee端2+r+CCz?ccooss vx ++C ?Cs’isninx(工C(?G, C,C?,2C,C?为3为任任意意常常数数))..
【【解解析析】】Z y-°2-/2 y+" +/y-'2-2yy ==0 0的的特特征征方方程程为为
r3-2r2+r-2=0,
/ 一2产 +广一2 = 0,
即即((rr —- 22))((rrz2 ++1 1)) ==0,0解,解得得r ?n= 2=, r2?,?r2=,3± =i±, 所i,所以以通通解解为为
yy= =C? Ge2e+*C +?c Gosexo+s Cx? +si Cn3xs(inC ,x(C.C?,t ,CC,2为 ,C任3 为意任常意数常)数。).
= = = n = = n = = = = L = = = = = = = = = = T = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
---- --
I'
【【评评注注】】虽 然虽此然题此是题三是阶三微阶分方微程分，方但是程属，于但考是试属大于纲考明试确要大求纲掌明握确的要内求容掌. 握的内容."
『===========================================』
Ⅱ[U((2
2
01
0
1
1
,
1
4
,
题 4题)【)【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】士±义λ均均是是特特征征方方程程r2r-2A-2x 2== 00的的根根..非非齐齐次次项项为为ee?"及及e的 特的解特形解式形分式别分为别工为(x口(a职e2))
及及了x((b诡e--)*,)所,所以以微微分分方方程程/y-"A-λz>2y == ee“^++ee^^((λA>>0)0的)的特特解解形形式式为为x(工ae㈠2+职be+-施*)*.)因.因此此应应选选((CC))..
……邛
" 【【评评注注】 】 此 此题题主主要要考考查查线线性性微微分分方方程程解解的的结结构构。. 1"
IL= m = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M = = = = = = = = = = = = =
1回2((2201031,31,31题3题)【)【答答案案】】 ee3”* ——e e′x -—x ex2e*Z.x.
【【解解析析】】本本题题主主要要考考查查二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程
3/
y
' +
"+ /p>y'/++q衣y=f=(，x)(解工的)解性的质性和质结和构结，构，关关键键
是是找找出出对对应应齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的两两个个线线性性无无关关的的解解..
由由线线性性微微分分方方程程解解的的性性质质知知乂y?一-y弘?==e 3e*3，,y，M?--yV?=3 e='e是，对是应对齐应次齐次线线性性微微分分方方程程的的两两个个线线性性
无无关关的的解解，，则则该该方方程程的的通通解解为为
y、 ==CGiee13r，++CG?ee2，-x一e工2,身其，中其C中?,GC?,为G任为意任常意常数数。.
代代入入初初始始条条件件可可得得G C=? =11,,CC2 ?==--11..
固13((22001155,,1122 题题))【【答答案案】】 yy((xx)) == 22ee2x ++e- e2~r2\.
【【解解析析】 】本本题题是是求求微微分分方方程程满满足足初初值值条条件件火y0()O=)= 33,,/y('0(0) )==0 0的的特特解解..
由由题题意意知知y(y0()0 =)= 33,,/y('0()0 )== 00,,解解特特征征方方程程r2r+2+rr--22 ==0 ,0特,特征征根根为为
r尸1 ?== 11, ,r厂2? ==- —2 2.・
微微分分方方程程的的通通解解为为y =y= CC?}ee2++CC?2ee~-22x,,代代入入初初值值条条件件火y0()0 )== 33,,y/('0()0 )==0 0,,有有
· 131 ·
-131►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·-■提高■篇((数数学学二二))
C?+C?= 3,
(G +C2 = 3,
C?-2C?= 0,
解解得得 CCi ?== 22,,CC?Z ==1 ,1所,所以以y、((zx)) ==2 e2e2J+ +e -e~22.x.
(Ci — 2C2 = 0
圆(20(1270,147题,4)题【)【答答案案】】 CC..
【【解解析析】 】题 目题中目方中程方对程应对的应齐的次齐方次程方的程特的征特方征程方为程，为一r42r-+48r+ =8= 00,,解解得得rr?m. ?==22±±22ii..
方方程程yy"~- 44yj/' ++8跄y==e2子的的特特解解可可设设为为yy?；= =A eA2er*, ,
方方程程 yy "—-4 4yj′/ ++ 88y、==e 2ec2xocso2s x2的x 特的特解解可可设设为为y y:z= =r ex2e(2xB (cBocso s 22xx+ +Cs Cisnin 22xz)),,
故故该该方方程程的的特特解解可可设设为为
…
y1= y?+yi = Ae2+xe2(Bcos 2x+Csin 2x)
y* = + yz = Ae2x + xe2j(Bcos 2x + Csin 2x)
应应选选((CC))..
5E(2(021091,49题,4题)【)【答答案案】】 DD..
【【解解析析】 】 由 由题题知知，齐，次齐方次程方的程通的解通为解v为=y=((GC?++CG?xQ)ee~-*，,，
非非齐齐次次方方程程的的特特解解为为y°丈== ee2.\
因因而而特特征征方方程r程2 +r +ara +r+ 5b ==0 0有有二二重重根根一-11,,所所以以a a== 22,,6b ==1 .1.
把把yy ==e 3代代入入方方程程y"/++a ya′y ++b byy == cceex'得得cc ==4 .4.
皿16((2200202,01,13题3题)【)【答答案案】】 11..
+m
【
【解
解析
析
】
】 『加
y(x
)
)d
&
x
=
=
一
一
「 +00 ° (3y” ++ 22丁y'))&d x==一-y'"「—一22y4+「00 ，
0 0 0 0
+00
只 只 需 需 计 计 算 算 、 y ' '( ( + + o8o) ) == l ilmim y y''((x.x)及)及 li1血 m ' y ( ( 工 x) ) . . 也 也 可 可 求 求 出 出 y 》 ( ( xz)),,再 再 计 计 算 算[ y y ( f. x x ) 'i d d x x . .
→x-*4+-o0o +x-»+0<» J 00
((方方法法一一)) 由 特由征特方征程方r2程+2rr2++l2 r=+ 10=得0得r==-—1,1则，则
y(x)=(C?+C?x)e~*,y'(x)=(C?-C?-C?x)e→*.
。 y(jc) = (Ci + C2x)e-X = (C2 — Ci — C2x)e-X.
显显然然)y((++ 8~))== l ilimm yy((xx)) ==0 0,y,J'((++ )8= )l=i ml imy 'j/((xz))= = 0 0..
+0m
X→-*+4-0O0O
+0 +00
工1―→++800
有有J 「 +8 yy^(xx^)ddxx ==-—y y' I | 4-00 — — 2 2 y y I | 4-oo == y3/'((00) )++ 22)y((0O)) ==1 1..
0 0 0
((方方法法二二)) 由由方方法法一一知知，、，&y)( x=) =((CCi? ++C C?2xJ)：)ee?-*x..
利利用用)y(0()O )== 00,,jy/('0()0 =)= 11 得得 CCi? ==0 0,,CC?2 ==1 ,1则,则y y(Cxx))= =xe x~e2-x..
+00 +00 +00 +om
所所以以J f +oo yy{(xx})Adxx == f J
0
+ oo xxet~~'xA d
t
x ==-—x ex?e+-x I
0
4 | -00 +十 J f +
0
oo ee-~x'ddx==— —e e?-x+ | I
0
4-00 = = 1 1 . .
[E(2021,15 题)【答案】Gb+Ge+1*ccoos!s √ # ③ ^x+ +C ?Ce3?e-**sisni1n √③ ^ , x (其中 G，G,G 为任意常数).
17(2021,15题)【答案】 C?e2+C?e? 2 2 x(其中C?,C?,C?为任意常数)。
U U
【【解解析析】】 方方程程为为三三阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程，，其其特特征征方方程程为为
r户3一-11 ==( r(r-—1)D(br2++rr++1l)) ==0 .0.
1 √3;
特征根为C = 1,吃 =一§ 士亨i,方程通解为
特征根为r?=1,r?.3? =— 士 i,方程通解为
2 2
y = Gb +CU* c c o o s s √ 亨 3 工x++C Ge-e+*ssiinn√亨③工，其中Q ,C2 ,C3为任意常数.
y=C?e2+Cze x,其中C?,C?,C,为任意常数.
2 2
[108((22002222,,1144 题题))【【答答案案】】C iC ?++eeI2((CC2?ccooss 22xx ++C ?Cs3isnin2 x2)x,)C,C?,1C,C?,2C,C?为3 为独独立立的的任任意意常常数数..
【【解解析析】 】特 征特方征程方为程r3 为-2rr?2 -+2r52r+ =5 r0=,0即,即r(rr2(~r22-r2+r5+5) )==0 0..
2±√4-20
解 解得 得 rn? ==0 ,0r,?r2.,3, == 2 士勺 丝==1±1 ±2 i2.i.
2
所所求求通通解解为为
yy((xx))= = C ?C+, e+'e(C，?(Cc2oCsO s2 x2+xC +?s Ci3ns in2 x2)z,)其,其中中C ?G,C ,?G,C，?G为 为独独立立的的任任意意常常数数..
· 132 ·
. 132 .第第六六章章 常常微微分分方方程程
◄◄
J解解题题加加速速度%
1i[..^【答^案 g J r + x+x ++2 .2.
【【解解析析由二阶一亦常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解为为Vy ==(C(?G+ C+? xC)2ex'),e得S得对对应应特特征征方方程程的的两两
个个特特征征根根为为r=
r
r
2
?
=
=
1
1
,
,故故
a
a
=
=
—
- 2
2
,
,b
b =
=
1
1
;
;
对应非齐次微分方程为y"-2y'+y=x,设其特解为y′= Ax+B,代入得-2A+Ax+
对应非齐次微分方程为3/' — 2丁+丁 =工，设其特解为丈=Ar+B,代入得一2A+Az +
B
B
==x工,，有有
A
A =
=
1
1
,
,
B
B
=
=
2 .
2.
所以特解为y′=x+2,因而非齐次微分方程的通解为y=(C?+C?x)e2+x+2.
所以特解为y，= z + 2,因而非齐次微分方程的通解为v = (G +Gz)e，+z + 2.
把把 yv((o0))==2 2,以y''((00) )== 00代 代入入，，得得 GC ?==o0,,GC ?==-—11..
所所求求特特解解为为
y =
y=
—
-
x
x
e
e
x
2
+
+ x
x
+
+
2 .
2.
…… … … ……
r【评注】此题是对通常二阶常系数线性微分方程解的结构和形式的考查.
【评注】 此题是对通常二阶常系数线性微分方程解的结构和形式的考查.
22..【【分分析析】】 直直接接利利用用二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的求求解解方方法法..
【【解解】 】 由 方由程方y程，~y3”y-，3+y 2′y +=2 y0=的0的特特征征方程方r程2-┌3r- 3+r 2+ 2== 00解解得得特特征征根根小r?==1l,,rr2? ==2 ,2所,所以以
方方程程y/" -- 33y/′ + +22yy == 00的的通通解解为为§y ==C G?ee2，++CG?ee2、.
设设 yy"" -—3 3y寸′ ++ 22>y ==2 2xxee2x 的的特特解解为为 y y' '== xx((AAxz+ +B) Be)'e,J，则则
(
3
y
,
' )
)
'
'
=
=
(
(
A
A
x
r
2
。
+
+
2
2
A
A
x
z
+ Bx+B
+
)
B
e2
)
,
e
(
\
y(V ')
)
"
"
=
=
( A
(A
x
z
2
2
+
+
4 A
4A
x
z
+ B
+
x
B
+
x
2
+
A+
2
2
A
B
+
) e
2B
?
)
,
eJ.
代代入入原原方方程程，解，得解A 得=—A=l-,B1, =B=--22,,故故特特解解为为v，y'== xx((--xx--22))ee2J,,
所所以以原原方方程程的的通通解解为为
》y==y +$y +'=》C• i=e 2G+eC，?+e2G-xe(^x—+2z)(He 2+, 2其)e中，，其C?中, CC?, 为,C2任 为意任意常常数数.•
33..【【答答案案】】 ee'\.
【【解解析析】 】齐齐次次线线性微性分微方分程方/(程x)f+'(/x()x+)f-(2x/)(-x2f)( =x) 0=0的的特特征征方程方为程r2为 +rr+-r2-2 == 00,,
特特征征根根为为rr】?==1,l,rr?2= -=2一,因2,此因齐此次齐次微微分分方方程程的的通通解解为为f(心x)= =CG?ee?，+C+? eC-z2:e.f于.于是是
f((x工)=)=CjCe2ie-x2 —C ?2eC-22e~,2fx ,” (x)==C ?Cei 2e+x 44-C 4zCe2-e2-2ri,r,
代代入入尸子&(x)) ++f /((xx))= =2 e2′矿得得
22CC?ieex2 ++5 5CC?2ee--22xr ==2 e22e*..
从从而而 CC;)==1 ,1C，G?= 0=, 故0,故f( /x()x=) e=2 e.1应.应填填e 2e*..
44..【【解解】】(I(I)v)"y +"+ 22jy ′+灼+ky==00的的特特征征方方程程为为产r++22rr ++k %= 0=, 其0,其特特征征根根为为
r?=-1-√1-k,r?=-1+√1-k
ri =— 1 — — k ,r2 =— 1 + y/1 — k
均均小小于于零零，，故故火y工(x))== GCiee'寸*+十C?Ce2z?e+X.
而 y;(x)dx= C r 1 e' + +C? 1 e2 =— ( Ci 十 C r ? . ) ,
r? ri
0 0 0
「+8
所所以以L Vy((zx))ddxz收收敛敛.
0
入
1—r? = ]—灭—2
1 — a _』\ — b — 2
C?=
G r,— r: 2、1—k
{ C Ci ? + + C C ? 2 = = 1 1 , , 门 一 a 2 /If
((nⅡ))由由、y((00))==11, ,yJ'((00))==1,1得,得 r 厂 1 C C ? i + + r r ? 2 C C , 2 = = 1, 解解得得< n / ? 一 - 1 1 = √1—k+2
C?=
三
r 门 i— 一 r a a 22 √1—k 毒
·・ 11333 3·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
►► 数学历年真题全精解析(数学二)
C? C? 3
因因此此.「\
y
(
(
z
x
)c
)
L
d
r
x
=
=-
-((令■
十
+ 令■)
二
)= A
ri r? k
0
5.【答案】 e~(C?cos√2x+C?sin√2x).
5.【答案】e-i(Ci cos + C2sin
V2jc).
【【解解析析】 】对 应对的应特的征特方征程方为程，+ 为
2
r
r
+
+
2r
3
+ 3
=
= 0
0
,
,解
解
得
得
n
r
,
.
2
=
=
-1
-
±
l±
√
7
2
2
i
i
,
,
故通解为y=e^(C?cos√2x+C?sin√2x),其中C?,C?为任意常数.
故通解为y = e^(Gcos岳+ Gsin屈)，其中Q ,C2为任意常数.
四四、、微微分分方方程程的的应应用用
皿19((22000099,,1188题题))【【分分析析】】解解微微分分方方程程巧x"y一”丁-y +′ 2+ =2= 00并并利利用用面面积积为为22,,求求出出曲曲线线y y== yy((xx))的的
方方程程，，进进而而求求得得旋旋转转体体的的体体积积..
【
【解
解
】
】解
解微
微
分
分
方
方
程
程
x
xy
/
”
-
-
/
y
+
'+
2
2
=
=0
0
,得
,得
其
其
通
通
解
解
y
v
=
=
C ?
G
+2
+
x
2
+C
z
?
+
x2
C
,
注
其
\
中
其
C
中
?,
G
C?，为
G
任
为
意
任
常
意常
数
数
，
,
因因为为Vy ==y(火x*)通)通过过原原点点时时与与直直线线xx ==1 1及及y=、0=围0成围平成面平的面的面面积积为为22,,
于于是是，，可可得得GC ?== 00..又又
C? C?
。 22 == J y > ( ( x x ) )d d j x ? = = J( (22xx+ +C ?Cx22x2))ddxx= =。( x (j 2 ? + + 亭x了3，)1 | = =1十】+亨
3 3
0 0
从从而而G C? ==3 ,
3
所 ,所以以所所求求非非负负函函数数为为、y==2
2
x工++3 x
3
2工(2x&≥20)。.).
1
在 在第 第 一 一 象 象 限 限 曲 曲 线 线v =y= /f((xx)) 表 表 示 示 为 为 工 x = = §(( √71T++33y-?1-) 1,)D,绕Dy绕轴v旋轴转旋所转得所旋得旋转转体体的的体体积积为为
3
R VV= 5=π 5-V;f,其，其中中
V Vi ? = = J π 7TX x 2 2 d d y y = = J π TC · •— 1 ((√』\ I++ 33y. -—1 l))'2ddyy == — π J ((22 ++ 33yy -—2 2√』T\ ++3 3yy))dd;yy == 1 — 3.π,
9 9 6 tt,
13π= 17π。
所所以以 VV == 5 5πtt — 一单
6
7T=
6
b b
一
工
2亚0((22000099,,2200题题))【【解解】 】由由题题意意知知，当，一当
tt
-
V
π
z
<
V
x< 00时时，，丁 y== —-
y
W
2
,,即即夕yd如y==一-x工dx如,,可可得得y3-22 ==— -x x22
π π
(
++C ,C由,由初初始始条条件件y丁(一金))
二
=窟,,得得CC= =π 721。,所所以以yV==√ π2-一x那2..
√2 √2
当
当
O
0
≤〈x<π时
时
，
，)〃
y
+
“
3
+
/ +
y+
z
x
=
=0
0
,
,;
y
y
”
" +
+
v
y =
=
0 的
0 的
通
通
解
解
为
为
y
；y*
1 =
=
C ?
G
c
e
o
o
s
s
x
x
+ C
+
?
C
s
2
i
s
n
in
x
x
.
.
zVtt
令令
J
y
'
”
+ j
+
y +
y +
z
x
=
=0。的的特特解解为为少= y?
A
=
z
A
+
x +
B
B ,则,则有有。+O
A
+
r
A
+
x
B
+ B
+
+
x
x
=
= 0
0
, ,得得
A
A=
=
-
—
1
1
,
,
B
B
=
=
0,。故，故y少?==
-x,因而y”+y+x=0的通解为y=Ccosx+C?sinx-x.
—z,因而 J' + v + z = 0 的通解为 3/ = Ci cos 1 + C2sin x — x,
由由于于yV == y;y((xz))是是((一一π心,六π))内内的的光光滑滑曲曲线线，，故故jyy在在1x==0处0处连连续续，,
于于是是由由火y(。—O)~)—=π7t,j,/(y0(+O) *=) =GC,，故故 CG? ==π 7：时时，，；y y== yy((xx))在在 xx= =0处 0 连处连续续..
又又当当一-π
ttV
(y0()0 )== 00,,y/'(0(0)) ==1 ,1且,且由由导导数数的的几几何何意意义义得得tatna naa == 擘.
dx
ax
等等式式两两边边对对]x求求导导
· 134 ·
-134 -第六章 常微分方程
第六章常微分方程 <4
=
da d1x
sec2n
dx dr
于于是是[［1】 ++ ((新 dy)) 2- 芸] dy = = 窘 d2y
,
，
即
即 d2 窘 y = = d 打 y
十
保( dy ) )3 ： ·
dx) dx dx dx2 dx dx)
dp. dp=1+p2,
此此方方程程是是不不显显含含Hx的的二二阶阶微微分分方方程程，，令令力p==yV',',则则yJ”'== p力
d
尹 y,,代代入入得得
d
尹
y
=1+/>2,
dy dy
解得arctanp=y+C,即p=tan(y+C?)。
解得 arctanp = 丁 + G ,即 p = tan(j/ + G ).
π
·
由由)y((00) )== 00,,yy'((00) )== 11,,有有 CCi? == 号4.
π π
再再解解微微分分方方程程y′y == t atna|n ( ( y y + + 号 4 ) )得得ssiinn ( (: y y + +号 4 ) )== C C e e 2 x . .
√2
·
由v(0)= 0得C =萼.
由y(0)=0得C=
2
√2。 π·
( )
所
所
以
以
表
表
达
达
式
式
为
为
y
火
(x
了
)=
) =
a r
a
c
r
s
cs
i
i
n
n(孝ge3)—号.
2 4
y”
=
da
((方方法法二二)) 由由于于y3′/ == ttaanna仪,，即即a=a =ar acrtcatnan y ',所所以以半= 1 〔了 +y 々 2 ・
dr
ax 1 十 _y
y”
由由已已知知条条件件得得 1+］y2丁 = = y ' J ,即，即 y° y = = y } ' ' ((1 1 + + y' / 2 2 )). .
1十7
dp
令令yJ′ == 力p,，则则Pp′' == pP((1l++p/2>)2.)分.分离离变变量量得得”雪*2、== d&x,,两两边边积积分分得得
p
p
(
(1
1 +十p
P
2 )
)
p2
In =2x+In C1,
In 1+p~2j = 2x + In Ci.
1
由由题题意意Jy(0'() 0=) =11,,即即当当工x==00时时，,》p==11,,于于是是得得CCi ?== § 2'..故故
e2
ex
y'=p= √2
y = P = 1
1- e2*
2
e2
两两边边积积分分得得yy= =a racrcssiinn √%2 + + C ? G . .
V2
π π·
e2
由由3y/((00) )== 00得得CCz? ==一-与..所所以以了y((x工)的)的表表达达式式为为yy= =a racrscisnin宰一号.
4 √2 4
4 72 4
2弱2((22001155,2,200题题))【【解解】】 设设t时t时刻刻物物体体温温度度为为T(Tt()Q(℃(C),)由,由题题设设知知
dT
务==k(奴T—T -2200)).,
dt
解解该该方方程程得得
T
T
(r
(
)
t=) =220 0
+
+ C
C
e
e&
*, ,又又
T
T
(
(
0
O
)
)== 112200,,则则
C
C =
=
1 0100,0T,T(ht)) =
=
2 02+01+0 010e0"e.\
1 In 10
TT((3300)) == 3 03,0则,则e*器30。 == 1 佥 0 ,以k ==一— ll 3 L 0 lP..代 代 入 入 TT((rt0o ) )==2 211得 得 t ot0= = 6 600..
则则还还需需要要3300分分钟钟物物体体温温度度降降至至2211℃笆.
2困3((22001177,,2211题题))【【解解】 】设设PP((xx,y,>(x()x))的)的切切线线方方程程为为
YY- —y (yx()x=) =y 'y(fx(x))((XX— —x x))..
令令 XX= 0=, 0则,则yp；y p= =y (yx(x))- y—' y( x{)xx^x..
法法线线方方程程为为
· 135 ·
-135 ・►►
数数学学历历年真年题真全题精全解析精·解题析高疆■(（数数学学二二)）
1
Y丫-一y火(x了))==--^
y(
^
x
(
)
X(X -—x z))..
y (z)
令令 丫Y ==0 ,0则,则x Xpp= =x+ xy +(x y){yx')y( x{)x.),
由xp = yp,得
由ip = ，得
)y((工x))—-yy'\(jcx))xx ==x x+ y+( yx^)xy^'y( x),,
y
y—x = x 卫一 -1 1
y'(x)= X______
y+x
一 ^y++71
x
X
y du+u,
这这是是齐齐次次方方程程，，令令x乎== 〃u,，则则了y ==u UxZ, ,yy′f == xz茶+ 〃，
一 dx
x d A u u + | u = u u - — 1 1
*dx"=顽u+1 ，
du = u-1 -u2—1,
x du _ u — 1 -u=_ — u2 — 1
ddxx uu ++11 U uu ++11
电 u+1
“ + 1 du =-
u2+1'du =—
u2 +1
1
-^-ln(u2 + 1) + arctan u =— In | x |+ C.
2 ln(u2+1)+arctan u=-1n|xl+C.
xx ==1 l,,jy/ ==0 0,9uu ==0 ,0,得^#CC ==0 0..
1
T
1
2
I
ln
n]( y x于 ) 2 )++1 1 ]++ aarrccttaann x于 y ++I Inn xz= =0 0..
2即1((22001199,1,177题题))【【解解】】((II) 由)由一一阶阶线线性性微微分分方方程程通通解解公公式式得得
1 2
y =e山 f [ -^-eeT^ ·.厂er卜dr&d& x++ CC)
xdx
y = 2√x
U 2&
=e分 e*.2 门 ( j 亲 dx z++CC)) ==e ef ,苏 ( 2 √G/x^++CC))..
2√x
\J Z 工 '
由由 _ y y ( (l 1 ) ) = = e e ? 7 知知， ,C C = = 0 0 则 则 ,
yy == yj/(（xx）) ==√ VxxeeTT.
;
(（Ⅱn）)dD绕绕x］轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转体体的的体体积积为为
π, = π
V V = = π kJ （*2 (（V√xree 工 T 12 f ）)2'ddxx ==π kJ C2>2x xe e lZ ' d d z x = = 号
2
e e> 2 [ 2 =穿
2
(酒e?——ee))..
五困(（22002200,,2211题题)）【【解解】 】设设切切点点为为M(过x,此y),点过的此切点的线切方线程方为程Y为 —Y -y y== yJ′（(XX -—xi).）.
令令YY== 00得得乂X= =x —*一
y
y
'
多,有,T有I
( x
一
一
多
y
y
'
,
,0
0))..由由题题意意知知
3 1 y
[V(£)d£ = * ×X 冬劣·•、y,，
y(t)dt =
2 2 y'
J o Z y
l
两两边边对对zx求求导导
2yy22-y2y”
3 ·
y = 3 ^yy，2 — y2yf 日no z, o f2 n
y = 4~T * ~y乃1'-I, , B 即 P 3 3 y y y y ” — - 2 2 y y 1 2= = 0 0 . .
4 y
dp
令令pP ==y ':,/则，则y/” ==p ·P •半,，方方程程变变为为
dy
djy
dp
33jy/>p 驱—一22伊p2==0o,,
dy
·・ 113366 ·-第六章 常微分方程
第六章 常微分方程 «
dp
有 有 3 3 y y dy -—2 2pp= =0 或0或p=力0=(舍0(去舍去))..
ay
dy
解解得得力p==C?Gy,y亦4是，亦：是*
==C
G
?y
y*
2 ,
,所
所
以
以
3孩
3y+
=
=
C
C
,
?
X
x
+
+ C
C
?
2.
dx
而曲线经过原点，得C?=0,所求的曲线方程为y= Cx3(C>0).
而曲线经过原点，得G = 0,所求的曲线方程为=Cz3(C> 0).
J
解解题题加加速速度%
1.【分柜 利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形
1.【分, 利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(口 )利用定积分计算平面图形
的的面面积积，，福确定参数
y ----
【 【解 解 】 】 ( (1))设设曲曲线线L L 的的方方程程为为y v = = f( x/()了,则),由则题由题设设可可得得y J ′ — - 子x == 皿ax,，这这是是一一阶阶线线性性微微分分方方
1
程程，，其其中中PP(X(x))==——x ,, 0>) 所0)围所成围平成面平图面图形形如如图图所所示示..所所以以
DD == [ [[aarx —-( (aaxx22 —- aaxx})~]\ddxx == aa\ ((22xx —- xx22 ))ddxx … == ^ 4
3
-a a = = 8
3
,
J o J o 0 o
.
O7 1 2 x
故故 aa= = 2 2..
………………… ………………………
[r ~ - = = = = - = - =i|
” 【【评评注注】】 本本题题涉涉及及导导数数和和定定积积分分的的几几何何意意义义、、一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的求求解解，，属属基基本本题题型型。. "
IL _ _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - =J
;
2.【分析】 利用体积值和面积值的关系列出微分方程，解方程得到曲线的方程，
2.【分析】利用体积值和面积值的关系列出微分方程，解方程得到曲线的方程.
【【解解】】((方方法法一一) ) 旋旋转转体体的的体体积积为为VV == πf(x)dx=π f(x)dx,
曲 曲 边 边 梯 梯 形 形 的 的 面 面 积 积为 为 ： ：S S== £/f&(x))d&x,,则 则 由 由 题 题 意 意 知 知 VV = =π tWSS..
子
因因而而π irj f尸((x了)d)x&= = nnttj f/((Qx)cdLxr,,即即j /f2((xx))ddxx ==t rj f/((xx))ddxx..
两两边边对对t，求求导导可可得得 /f22((it) )== £/f((xx))ddxx ++t fz(/(tz)),,
再再对对t/求求导导 2f(t)f(t)-f(t)-tf'(t)= f(t),
化化简简可可得得 ((22/Xf(Qt )—- t<))f/'((rt) )== 22f/((tz)),,
dt + 1 2
变形为半+品t ==11, ,解解得得£ t== CC· •尸y+++ y.
变形为dy 2y 3
a> Zy 3
在在体体积积表表达达式式令令8=t =11,,有有尸子(1(1)一)-/f((11) )== 00,,
因因为为 /f(r()t >)> 00,,所所以以 /(fI() 1=) =11,代,代入 入t =t =CC •· /*y +++ 2
y得
得
C
。 =
=
§ 1
,
，进
进
而
而
t
t
=
=
§ 1 ((
√
才 1
y
++2 2 y了)).
3 3 3
1
1 -3x=0.
所所以以该该曲曲线线方方程程为为22丁y ++ √y 3jc = 0.
((方方法法=二二) ) 同同方方法法一一，，得得2f(t)f(t = )= 2 2 / f X ( Q t) + +tf / '(（£ t）) , ,尸f(⑴1) == =1. 1.
整整理理得! d 嗜 y = 2y , ， 令 令《 y = = u “ , ， 则 则 d 字 y == “u ++t浩 du , ，原 原 方 方程 程 变 变 成 成 t 洗 du =豪 3u— 告 2u2
dt 2y—t' t dt dt dt 2u—1
·・11337 7·・►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提■高■篇(（数数学学二二)）
1
2u—1
分分离离变变量量得得 咨一；du= -
t
ddZt,,B即P
u(3—— 2LuU)) t
1 ( -1 4 4 )d1 u = d d t z
3 u 十 3—2u du = t ,
3 \ w 3 — 2u
积 积分 分 得 得 一一4 1 'lInn& u(3( 3—- 22uu))22 ==I nln((CCtt)),,即即 u ((33— —2 2u)u-)~ 2 ^ == CCt.t.
3
1
代代入入 £ t== 1 1 , ,以u==1 1 , ^ 得 ^C C = = 1 , 1 所 ,所以以 u “ ((3 3 — - 2 2 u u ) )2 2 = =
y 1 2
代代入入 uw == y t -化 化简 简 得 得 jyy(3(t3 —t -22yyY) 2== 11,,即 即 2t == 3 — √ ^― y 十+ 3 y.
t 3妁3
2 -y+ 1
故故所所求求曲曲线线方方程程为为xx
=
=
3 + 3√y
3 3 77
广 C.
II
【【评评注注】】 注注意意利利用用隐隐含含的的条条件件确确定定常常数数C.
•I
·138 ·
-138 -第一章 行列式
第一章 行列式 ◄◄
第 第 二 二 部 部 分 分线线性性代代数数
第第一一章章 行的列列式式
一一、、数数字字型型行行列列式式的的计计算算
□(（22001144,7,7题题)【）【答答案案】】 BB..
【解析】 数字型行列式，有较多的0且有规律时，应当有按拉普拉斯公式处理的构思.
【解析】 数字型行列式，有较多的0且有规律时，应当有按拉普拉斯公式处理的构思.
c 00 d c d 00
00 aa bb 0|0 c 0 0 d c d 0 0
=一
a 0 0 b a 00 b = a b 00 = c d · d c
a Q Q b a 0 0 b a b Q 0 d d C
==-—(a{da—d —bc b)e2)2..
0 c d 0 0 c d 0 00 d c a b b a
0 c d Q 0 c d 0 0 0 d c a b b a
cc 00 00 dd 00 aa bb 00 00 00 bb aa
2(（22001199,,1144题题)）【【答答案案】 】--44..
1 -1 0 0 1 0 0 0
1 —1 0 0 1 0 0 0
-2 1 -1 1 -2 -1 -1 1
-2 1 -1 1 -2 _ 1 _ 1 1
=-4,
【【解解析析】】 由 由I A| A|| == 三 =-4,
3 -2 2 -1 3 1 2-1
3 -2 2 -1 3 1 2 _ 1
0 0 3 4 0 0 3 4
0 0 3 4 0 0 3 4
按按第第 11 行行展展开开又有又 有I A ||A=l =1 1• ·AnA +u+((--l)1A)A1i2 ?== A An ?--AAz1,2,
所所以以 AAnn —-AAi12? ==--44..
©3(2（022002,01,144题 题)【）【答答案案】】 aa22（(aa22 --44)）..
【
【
解
解
析
析
】
】
由
由
行
行
列
列
式
式
性
性
质
质
恒
恒
等
等
变
变
形
形 ，例，如例把如把 2行2行加加到到
1
1行行
,
， 3行3行加加到到
4
4行行，
，再
再
1
1
列
列
的
的
（
(一一
1
1
）
)倍倍加加到到
22列列，，44列列的的（(一一 11）)倍倍加加到到33列列
0 -1 1 a a 0 0 a00 0
a (
=
0 a 1 —1 0 a 1 -1 0 a 2 —1
-1 1l a 0 -11 a 0 三 -12 a 0
1 -1 0 a 0 0 a a 0 00 a
a 2
= a2
a2(a2—4)
2. a
7
【【评评注注】】 基基本本计计算算题题，，解解法法非非常常多多，，也也可可每每列列都都加加到到第第11列列，，再再消消00,,…-
-J
·139 ·
. 139 .数学历年真题全精解析·醒高籍(数学二)
►► 数学历年真题全精解析（数学二）
日（(22002211,,1166题题)）【【答答案案】】 --55..
【【解解析析】】(（方方法法一一)） 用用定定义义，，逆逆序序数数
一—般般项项（(一-1)“ 'ay,a
a
y
2
,；2 a
a
y
3j
,
3
a
a
w
ij
.
t.
当当第第一一行行选选取取
a
a
”
u(（或或a
a
)
1
时
3）
，时无，无论论2,
2
3
,
,
3
4
,
行 4行如如何何选选择择都都不不可可能能出出现现工x3
3
,,本本题题x了3
3
只只有有两两种种可可能能
aizaziaaau=x·1·x·x=x3,
〃12。21&33。44 =飞・1・％・1 = 丁3,
auazaaui=2x·x·x·2= 4x3,
。14。22。33々41 = 2x • X * X * 2 = 4® ,
而而逆逆序序数数
r（
t
2
( 2
1
1 34
3
) =
4
1
）
,
=
r(
1
4
,
2
“
3
4
1 )=
2
5,
3
均 奇
1）
排
= 5
列 ,均，奇都排应列带，都负应号带.负故号x.3故的®系的数系为数为一一5.
5.
(（方方法法二二)） 先先变变形形再再分分析析
x
xx 12x 0 1 0
X X 1 2x JC 0 1 0
1 x 2 —1 = 1 x-12 —3
1 X 2 -1 I x — 1 2 -3 ,
fE(x))==
2 1 x 1
=
2 -1 x -3
2 1 X 1 2 -1 X -3
x
2-11 2 —3 1 x—4
2 _ 1 1 X 2 -3 1 x — 4
x
X
3
3
项项只只能能出出现现在在。a
11
u。a
22
z
“
a
33
s口a
44
?==x2x(2 x-1
—
)
1
(
)
x
(
-
x
4
—
)中
4)
，中下，下略略..
7,解解题题加加速速度度
1 1..【【答答蒸】
【
【解
解
析
析 个数个字数型字行型列行式列的式计的算计，算由，由于于本本题题有有较较多多的的零零，，可可以以直直接接展展开开计计算算..若若按按第第一一
行行展展开开，，有有
a?b?0 0 a? b?
a2 0 0 。2
a? b? a? b?
D D = = a b 缶 ?a?0 0 —b? 0 0 b 缶 ? a? = = a 山 ? 句 a b. a 缶 ? - — b? 缶 b 》 ? 4 b 口 ? 2 a?
0. 0 a b?0 0
缶 缶 。3
0 0 。4 鼠 0 0
==(a?a?-b—?b缶?。)
4
(）a（?。a
2
?。—
3
—b?妃b?
3
)）,，
所所以以应应选选(（DD).）.
若若熟熟悉悉拉拉普普拉拉斯斯展展开开，，可可通通过过两两行行互互换换，，两两列列互互换换，，把把零零元元素素调调至至行行列列式式的的一一角角..例例如如
a;00 b? a; b? 0 0 a?b? 00
心 0 0 b】 Qi bi 0 0 Qi 0 0
0 a? bb? 0 00b? a? = b? a?00
0 <22 b2 0 0 0 b2 b\ 0 0
0 b? ay 0 0 0 a? b? 00a?b?
0 。3 0 0 0 Q3 b\ 0 0 Q3 缶
b. 0 0 a b. a. 0 .0 0 0 b? α?
加 0 0 Q4 = b\ Q4 0 0 0 0 b2 Q2
a? b? a? b
a\ b} a3
b? a; b? α?
=
=
(a
（
?
a
a
i
?
a
-
4
b—?b缶?)》4 (）a
（
?
%
a?口—
3
—b?力b
2
?。)
3
.）.
。4 a4 b： a2
22..【【答答案案】】 BB..
【【解解析析】 】 问 问方方程程f(x) = = 0 0 有有几几个个根根，，也也就就是是问问任f(工x）)是是x 1 的的几几次次多多项项式式..将将第第1 1 列列的的一一1 1 倍倍依依
次次加加至至其其余余各各列列，，有有
x-2 1 0 -1 x—2 1 0 0
x-2 1 0 - 1 x-2 1 0 0
2x—2 1 0 -1 c3+c 2x—2 1 0 0
ff( (工x))== 2z — 2 1 0 - 1 C2 + C4 2x — 2 1 0 0
3 3丁x-一3
3
1
1 x
x-
-2
2 —
-2
2 3x-
—
3
3
1
1
x
x
—
—
2
2
—
—
1
1
4x -3 x-7 -3 4x -3 x-7 -6
4z — 3 x — 7 — 3 4j7 — 3 X — 7 — 6
=
x—21 x-2 -1
x — 2 1 x — 2 — 1
==xx((55xj?- —5 )5),,
2x—21 x—7 -6
2jt — 2 1 x — 7 — 6
·140 ·
-140 -第 第 一 一 章 章 行 行 列 列式 式 44
可可见见由由拉拉普普拉拉斯斯展展开开式式知知ff(（xx)）是是x工的的二二次次多多项项式式..
故故应应选选(（BB)）..
[i== = =: = ~~ = -~ = = = = = = = ~ = = - = = = = - = ~ = -- - = = ~ = :s = = = = ~- = '!'n]
【【评评注注】】 由由于于行行列列式式中中各各项项均均含含有有x,若若直直接接展展开开是是烦烦琐琐的的，，故故一一定定要要先先恒恒等等变变形形；；更更
Z, [I
''不不要要错错误误地地认认为为f/(（x工)）一一定定是是四四次次多多项项式式..
I
『=====_===_=============_==================.』
33..【【答答案案】】（(一-11)）~11(（n“—一1)1.）.
【【解解析析】 】把把第第22,,33,,-…）,Wn各各行行均均加加至至第第11行行，，则则第第11行行为为儿n一-11,,提提取取公公因因数数几n-一1后1后，，再再把把第第11
行行的的一一 11倍倍加加至至第第2,23,,3…,-,,n7各!各行行，，可可化化为为上上三三角角行行列列式式..即即
1 1 1 … 1 1
1 1 1 - 1 1
0 -1 0 … 0 0
0 — 1 0 0 0
0 0 -1 … 0 0
0 0 — 1 :0 :0
|AA || == ((nn -—1 1)) ==(-(一1) 1-)11(n("— —1)1).
::: ::
0 …-1 0
00 (0 0 — 1 0
0 0 0 00 … ( 0 0 — -1 1
lr = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =11
【【评评注注】】 除 除去去用用行行列列式式性性质质及及展展开开公公式式计计算算外外，，你你能能利利用用特特征征值值更更简简单单地地求求出出行行列列式式
II II
'I || AA| 的|的值值吗吗?？ "
』= = = = = = = = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = =...........= = = = = = = = =』
44..【【答答案案】】 22（(22""--11)）..
1
【【解解析析】】（(方方法法一一）) 用用第第11,,22,,33,,…••,•n/——1 1行行的的-+倍倍逐逐行行相相加加得得
2
2 2 0 0 0 0 …… - · ・・ 0 0 2 2 2 2 0 0 00 … - - 0 … 0 2 2
2
- - 1 1 2 2 0 0 … -・・ 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 - ・ 0 0 22 ++ 3 2
·…·
0 -12 0 2 =
0 : _ 1 : 2 -・・ : 0 : 2 — 0 0 — -1 1 2 2 - - 0 0 2 2
• : • : : *"*
0 0 0 … 2 2 •
0 0 0 ・・・ 2 2 0 … 2 2
00 00 0 ・ ・ 2 2
0 0 00 0 0 … -.. ——112 2 0 0 0 0 0 0 … ■ , -一1 1 2 2
…
200 … 0 2
2 0 0 — 0 2
2 2 0 0 0 0 …— 0 0 2 2 2+22
2 + 2。
2+22 22 0 0 … …… 00 2
00 22 …00 …— 00 2 + 2； 2
2
2 2+22+23
= 2+22+23 2 9 ... 0n 2 + 2 2 2 2 +23
= 0 0 00 22 - 00 2 + 2 源+2, = = :** : 22
: ***
*……
: : : : : 2+22+…+2=1
2 2 + 2, ------ 2""1
0 0 0 2 2 9 22""~?2
0 0 0 — 2 2
0 00 0 0 … — — — 1 1 2 2 2 2 + + 2 2 2 + , … -- · ---- + 2 2 m "
22”«-1i
==2 2+ +22 2+, …---+--2-” 2=" 2=( 22”(2” -一1 )1.).
(（方方法法二二)） 把把每每一一行行相相应应倍倍数数加加到到第第一一行行得得
· 141 ·
. 141 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 是■高■■(（数数学学二二)）
…
…·
2 2 0 0 0 0 — 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 00 … 0 0 2 2 + + 2 2 2 2
--11 22 00 … — ( 0 0 22 -~11 22 00 …― (0。0…。 2 2
… =
0 0 - - 1 12 2— 0 0 2 2 0 0 - - 1 122 - 0 0 2 2
: =
;
…·
0 10 0 2 2 0 0 0 2 2
0 0 0 — 2 2 0 0 0 — 2 2
0 0 0 …-12 0 0 0…-1 2
0 0 0 ― -1 2 0 0 0 — 1 2
0 0 23… 0 … 2+22+23
0 0 23 …0 2 + 22 + 23
-12 0 … 0 2
-1 2 0 — 0 2
=
0 —12 … 0 2
0 -1 2 — 0 2
:
=
**:
0 0 00 00 …— 2 2 2 2
00 0 0 0 0 .. … . - -1 1 2 2
00 00 0 0 … — 2 2 … — ~ 12 2 + + 2 22 2 + + • … •• + +2，21
- - 1 1 2 2 0 0 … … - · 0 0 2 2
= 0-12 0 2
0 — 1 2 … 0 2
= : : : :
0 0 00 0 0 — …2 2 2 2
0 0 0…-1 2
0 0 0 ... -1 2
0 0 0 … 0 2+22+…+2”
0 0 0 ……0 2 + 22 +… + 2”
-12 0…10 2
-1 2 0 - 0 2
=
0 0 - — 1 1 2 2 … — 0 0 2 2
=
: : :
0 0 0 … 12
0 0 0 —2
00 00 0 0 … ... - — 1 1 2 2
==((22+ +22 2+, …_|---+--2-” 2)")((--1 1))"*·((-_1 l))"i1 ==2 (22(2"" --1 )1)..
(（方方法法三三)） (（用用递递推推法法)）
2 00 … 0 2
2 0 0 — 0 2
—1 2 0 … 02
-1 2 0 — 0 2
0 —12 … 0 2
0-12— 0 2
: : : : : ==22DD,;i+ +2(2-(—1)1+冲1·• ((--1 1)L-1 ==2 D2D.—-1 ++22
0 0 0 … 2 2
0 0 0 — 2 2
0 0 0 …-1 2
0 0 0 ... — 1 2
DD.“ …==2 2DD.-1; ++22= =2 (22(2DD.
t
z++22)) ++2 2= =2 22D2D.^z2 ++2 2+ +2 222
==222，((22DD
l
,3 ++2 2)) ++2 2+ +2 22,= =2 32D3D-_?3 ++2 2+ +2 222+ +2 323
==22~—1 DD?| ++2 2+ +22 2+, …---+--2- *21=i2 =+ 222 ++ …2。+-2--”- =22" (=2 ”2(2—" -1 )1)
或或 DD.,++22 ==2 2((DD,i+ +22))= 2=2 2(2D(D-
t
+2+)2=)…==…2=~22(^D2(?0+2 2+)2.).
2 2
2 2
又又因因 ED>?2== , 。==66,所,所以以 DD,,, ++2 =2 2=~ 22·18.,8故,故D 。D” ==2 *2+1*--22..
1 2
—1 2
· 142 ·
-142 ・第 第 一 一 章 章 行 行 列 列 式 式 44
二二、、抽抽象象型型行行列列式式的的计计算算
05((（22001100,1,144题题)【）【答答案案】】 33..
【【解解析析】】 本 本题题是是考考查查抽抽象象行行列列式式的的计计算算..
|\ AA ++B B1~'| | ==| E| EA+AB+1BE X|E= | |=( | B1B)A+B1(A1A)I|
==|1B B-1T(（BB+ +A -41 t )）A a | =I =|B I -B1"|1 ·I • |I BB+A+-A1|1 ·|.|| AA| |
= 1
×2×3= 3.
= y2X2X3 = 3.
F " ^ = = = = = = = = = = = 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -=j|
II 【【评评注注】 】 本 本题题难难度度系系数数00..551155.. II
ii ii
" 注注意意|I AA++BB|≠ \^|A\ lA+ |\ B+| \ ,B对 \ 于,对|于A+|B AI 一+ 般B|要 —用般单要位用矩单位阵矩E恒阵等E恒变等形变的形技的技巧巧，. "
』= = = = = = = = = = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
0((22001122,,1144题题))【【答答案案】】—一272.7.
【【解解析析】 】两 行两互行换互4换变A成变B成,所B,以所|以A|| A=l=--| |BB ||,，再再由由行行列列式式乘乘法法公公式式及及I A| •A *| |== ||AA|*|1i立立
即即有有
0107|\ BBAA*' || ==| |BB|·|.||AA*# ||==--||A A| ·|-|| AA l|22 ==--2277..
'0 1 0-
100
或 或 者 者 ， ，按 按题 题 意 意1 0 0 AA ==B B,即,即 BB ==E ?ElA2A..
001-
0 0 1
那那么么 BAB A* *== EEi?2AAAA - *== || AA || EE?12 ==3 E3E?u, ,
从从而而 | |BBAA • *|| == || 33EEv? |I ==3 333 || EE?iz| =I =-2- 72.7.
0((22001133,,1144题题))【【答答案案】】—一1.1.
【【解解析析】 】由 由=a—?= -A,(i,=j =11,,22,3,)3知)知 A，AT==—-AA°* .
那那么么 |A|A|| == ||AATT|| == || —-AA** l|==((-—1 )I)33 ||AA'* |I= =-—1AI Al 2|2,,
即艮P |I AA| (| 1(1+|+A| lA) =I)0 ,=故 0|,故A|I为 A 0I或为-。1或.又一A1是.又非A零是矩非阵零矩，阵不，不妨设妨a设?≠夭0.0于.于是是
|I AA l| ==a Q?1A1Ai]]+ +ai。]?2人A】z2 ++a。A13?人=】3- =( a—) (+<2a]1 1+z Q+&a +3 ?房)3≠)7^0 0,，
所所以以|I AA l|==-—11..
;解解题题加加速速度度
1.【答案C
1.【答殍C.~
【解析短用%列式的性质，有
【解析利用符列式的性质，有
3,%，a ，A 1 % ,a
j
a0?3, faUz2,
»
α
数学历年真题全精解析■（数学二）
BBI —' —EE的的特特征征值值..
1 1 1 1
由由AA～-BB,知,知BB的的特征特值是征2值3 是4 于 5 .于是是 B B1 T 的的特特征征值值是是2 2 , , 3 3 , , 4 4 , ,5 5. ,那那么么 B B 1— -E E的的特特征征值值
Z o 4 □
是是 11,,22,,33,,44.从.从而 而| |B1-— E E| |== 11 ×X 22 ×X 33 ×X 44 ==2 424..
r
33..【【答答案案】】 aa22(（aa—-22"").）.
【【解解析析】】 因因为为 1 1
- 1 1 _ ■ 1 1 0 0-—17r 「 1 1 -
A A = = c a x a ? r = = 0 0 ((11,,00, ,--11))== 0 0 0 0 0 0 , ，而 而 a a 1 ' a α = = ( ( 1 1 , ,0 0 , , — -1 1 ) ) 0 0 = = 2 2 , ,
-1. -10 1 -1.
-1_ -1 0 1 . -1_
则则 AA22=(ax?)(an?)=α(a'α)a1==2 2aaxa?T= = 2 2AA.于.于是是
= (aaT)(aaT) = a(aTa)aT
A”= 2~1A,
A" = 2f,
a—2-10 22*-1
a - 2"-1 0 2—
那那么么 a| aEE--AA""| =| =| a| aEE-2-2"i1AA l|== 00 a 0 0 == aa22((aa--22”"))..
2°-1 (0 a—2*1
2"~' 0 a- 2"-1
p==-= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - = - = = ~ = = = = = = = ~=i]
ii 【【评评注注】 】 若 若对对特特征征值值熟熟练练，由， r 由 (A r ) ( A = ) = 1 1, ,知知A A 的的特特征征值值为为2, 2 0 , , 0 0 , . 0 那 .那么么，，A 4 ” ” 的的特特征征值值是是n
Il H
蔑碑 •' 22“”，,00,0,0.从.从而而 aaEE—-AAn” 的的特特征征值值是是 q a—-22”"，,口a，,。a..故故 || aaEE— -A A°n || ==( a(—a-22")na)2a.2. 11
L=== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -= -= -= -= =- =J』
44 ..【【答答案案】】 一-11..
【【解解析析】 】 设 设标Aa:==λ人:a。?,,A必a?==λ?义α。?,，义λ尹?≠义λ，z由,由人A2。(a;+α?)=α?+α?有有
1 1 1 2 2 2 1 2 2（ 1 +a2）= ai +a2
λ}a+?北+λ。2α?】=+a;。+a?居,(一2-1)。α;+(2-1)α?==00
A?a! 2 = a 2 ,（ 1） 1 + （A! — l）a2
a?-1=0,
人A? — 1 = 0,
因为％ 是不同特征值的特征向量，必线性无关，所以｛2崩--11= =0 0,,
因为α?,a:是不同特征值的特征向量，必线性无关，所以
λ?≠λ?.
、义 尹人
1 2 .
不不妨妨设设 a?=11,,人λ=?=—- 11,,故故 I| AA l=a?λ?=-11..
Al = 2 | = A1A2 =—
r
3
55..【【答答案案】】乎.
2
[A:: A?】: A?
A” A? A31
Az Az An
【【解解析析】】（(方方法法一一） )
A *
A *
=
=
A12 A22 A32
,
»A
A
n
? +
+
A
A
?
2
+
1
A
+
?
A
是
31
A是*第
A*
1 行第 元1 行素兀7 之素之和和..
A:? Az? Aas
人 人
13 A23 33_
222 口 211 333 1 3
L- = 27 1 27 = 2
= 3
由A 1 2 ,有A* 2 =A*A 1 =1A|E 1 3 ,所以A* 1 2
1 [2. 1 1 3 [1] 3
2
3
即即
A
A
n
u
+
+ A
A2
z
1
;
+
+
A
A
31
? =
= 2
3
·・ 1
1
4
4
4
4
·
-第第一一章章行行列列式式
◄◄
a
Q
i
u
ai
a
2
12
a1
"1
s
3
= a
aQz
u
ll+
+
+a
a
z
?
Q+1
+
2a
a
+z
i
Q 13
a
a
i
z
z
Q 1 2 a
Q
z
。1
s13
((方方法法二二)) 川A A| |== aaz211 azz azs a21 。 。 。
Q22 Q23 = + Q22 + 23 22 23
aa+ a?+a?
a?1 。a3zaa 。 a32 +。 a。32a 。33
Q31 32 &33 I I 31 + 33 32 33
1 ai a1
1 al2 a13
I
=
= 2
2 1
1
a。g a口23 =
=
2 (
2(
1
1
·
•
A
A
;
n
;
+
+1
1
·
•
A
A2
z
1
?
+
+1
1
·
*
A
A3
?
1
)
)
22 23
1
1
。aa 。a
32 33 |
又又因因|I AA ||== 33
Au + + A31 = 3
所以A?+Az?+A?=
所以 A2i 2·
三三、、行行列列式式I |AA |I是是否否为为零零的的判判定定
解解题题加加速速度度
1.【答案》
1 .【答
AB |AB
【【解解析析】 )因因为为AB是是m阶m矩阶阵矩阵，，|AB|=| 0=的 0充的充分分必必要要条条件件是是秩秩rr((AABB))<>n 时n时，，必必有有r(AB)≤W nn <m>nn时时,，Bx=0必必有有非非零零解解，，从从而而ABx=0有有非非零零解解，，故故|AB|=
00..所所以以选选((BB))..
A*
2 2 . . 【【证证明明】】((方方法法一一)) 由 由于于A = *= A A t T ,,即即有有 A A。,==a ?(V ( i V , i j > = ; 1 = , 2 1 , , … 2,・ , ・•n，)〃,)其，其中中A A ,是 ij是行行列列式式
I A |
A|中a中,与的的代代数数余余子子式式..
A O,
因因为为A≠尹0,不不妨妨设设a％y≠尹00,那,那么么
I A | = a, H--
Al=aaAa+a?Aa+…+amA。=at+a2+…+a2>0,
+ai2Ai2 = a-i + a-2 + ... +q£ > 0,
I A I
故故|Al≠尹00..
A I = 44 44*
((方方法法二二))((反反证证法法)若) | 若|A0|,=则0 ,则丁AA=T=AA=* =\ |A A\ |EE ==0 O..
a, a,a,T
设设 AA的 的行行向向量量为为 a(;i (=i =11,2,,2・,・・…,〃,),n则) ,则aa=; 1a-=i a+1a+-a2 3++ •…•• ++aa2l= =0( 0i(=/ 1=, 21,,2…,・,・・n ,)〃)..
于于是是 aa,; ==( a(aa,i, ,a
q
a‘2,，……,，an))==0(0i(z= 1=, 21,,2…,・,・・n,)〃.).
A = O, A A |
进进而而有有A=O,这这与与A是非是零非矩零矩阵阵相相矛矛盾盾..故故|| A|≠乂0 0..
33..【【解解】】 因因为为
|. |(E + A)T|= |A| •
A\A+ +E |E=\ |=A +|a A +A TA|At =||=A (|AE(+EA +T )A| t)=| |=A | |A·|(E+A)|=|A|·|\EE ++A A|\
I A I • I AT I = I I A
且且由由 AAAAT T== EE知 知 |A|·|AT|=1b, 即即 |AA l|22 ==1 1..又又 ||AA|| V
,
a
a 2，?。]
3
=〕[=a?
[
,
a
α
i
,?。,
2
a，。?
3
]〕 0
0
1
1
0
0
=
=
[0
［
,
。
a
，
?
阪
,
必
2a
皿
?]
］
,
，
得
得
002-
0 0 2_
AA((«a! ?++。a2? ++ αa3)?=) =AAaai ?++ AAaa2 ?++ AAaa3?
=
=
0
0+
+
a 口?
2
+
+
2 a 2皿?==a?如+2
+
a
2
?她..
近近十十年年没没有有出出单单纯纯矩矩阵阵运运算算的的考考题题，，但但早早些些年年考考的的一一些些题题型型应应当当复复习习..
05((（22002211,,1100题 题)【）［答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 对 对AA作作初初等等行行变变换换化化为为上上三三角角矩矩阵阵BB,,有有
1
1 0 -1 1007尸 1 00-1 1 0 0
■ 1 0 -1 ; 1 0 0- 一1 0 -1 1 0 0'
[[AA || EE]] ==2 2. — - 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 — 0 0 - - 1 1 3 3 - -2 2 1 1 0 0
:
--11 22 —- 55 M 00 0 1 11_ 1 0 0 2 2 - - 6 6 : 11 1 0 01 1.
1 0-1 1 00 10 —1: 1 0 0
0 -1 3 —210 01-3 2 -10 =[B|P],
0 0 0 -321 00 0 -3 2 1
「］
■ 11 00 07 0 尸 一 1 00 --1r = - 1 1 0 0 --1r ■ 1 1 0 007 0-
因因为为 2 2 . — _ 1 1 0 0 2 2 _ -1 1 1 1 = 0 0 1 1 - - 3 3 ,，可可知知pP == 2 2 - - 1 1 0 0
-3 2 1 -1 2 -5 00 0 -3 2 1
-3 2 1. -1 2 -5_ 0 0 0 _ -3 2 1_
再再对对BB作作列列变变换换(（或或B8T作丁作行行变变换换)化）化为为对对角角矩矩阵阵，，可可求求QQ(（或或Q。?).
10-1 0 0
0 1-3 010
= 10 1
「1 0 V
『 B ] 00 ( 0 000
E 可可得得。Q== 0 0 1 1 3 3
10 0 101
001
01 0 013 0 0 1
00 1 001
1 00 100°尸 100 100 100
■ 1 0 0 1 0 0- -1 0 0 1 0 0' 1 0 0-
或或[[BBTT I| E E]]== 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 —► 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 得得Q Q T T = = 0 0 1 1 0 0
-1-30 001 000 131 131
-1 -3 0 0 0 1_ 0 0 0 1 3 1_ _1 3 1.
从从而而选选(（CC)）..
［^~ = = = ~~~ = = -- ~~ = = = = = ~ = ~- ~= - ~ = = ~~ = = ~ = - = = -~ = ~~ = ~=t］
" 【【评评注注】】 本 本题题其其实实是是考考察察如如何何把把AA化化为为其其等等价价标标准准形形.P.P,,QQ是是不不唯唯一一的的(（考考题题中中用用的的"
“是是“aPP,,QQ可 5分分别别为为”")）.. -
: 作独择题，当求出P之后，选项只能是（B）或（C）,但PA=B,B不是等价标准形，必须：
作为选择题，当求出P之后，选项只能是(B)或(C),但PA=B,B不是等价标准形，必须
:还还要要作作列列变变换换，，也也就就排排除除（(BB）),,只只能能选选（(CC）)..因因此此Q。是是可可以以省省略略不不去去求求解解的的.但.但若若是是解解答答题题，，则则：
:要按上述方法来求解，如果忘了这的原理，直接用矩阵乘法，当然也可找出正确答案. :
要按上述方法来求解，如果忘了这的原理，直接用矩阵乘法，当然也可找出正确答案.
虹…= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _ = = = = = = = = = = = = = = =』
06(（(22002222,,1166题题）)【【答答案案】】一-1.1.
【【解解析析】 】 因 因AA经经行行变变换换PPi?和和列列变变换换PP2?得得到到BB..
· 147 ·
. 147 .-
数学历年真题全精解析·提高厘(数学二)
►► 数学历年真题全精解析• （数学二）
即即有有P P?
.A
A
P
P?
2
=
=
B
B
,其 ,其中中
1
100 1 00 -2 1-1
■1 0 o- 1 0 0- — 2 1 -r
P?= 001 ,P?= -110 ,B= 1 -1 0
Pi = 0 0 1 ，P2 = -1 1 0 = 1 _ 1 0
010 0 01 -1 0 0
0 1 0. 0 0 1. —— 1 0 0 _
由 由((
P
P ?
A
A
P
P?
2)
)
-
-
*
1
=
= B
B
- 1
'
得得 1
■ 1 1 0 0 0 0]「 0 0 0 0 — - T 1 ] ] P 10 0 0 O' = ■ 0 0 -1 -1 0 0 ■
A1=P?B1P?= -110 0-1-11 001 0 0 -1
A-' = P2B P,= -1 LOO 一 1 — T o 0 1 = 0 0 一 1
_ 00 00 11J L— -1 1 -1 - 1 11 J 0 01 1 0 0_ — -1 1 1 1 — - 1. 1.
所所以以ttrr(A(A~-1
)
)
=
=-
-
1
l
.
.
或或由由 AA == PP1TB BPP2711 1 :。7
- 1 1 0 0 0 o- - - 2 2 1 i 一 -1 r "11 000]0- = ■-1 1 — r
=
= 0 0 0 0 1 1 1 1 1 - -1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 = L - _ 1 1 0 0 0 0
010 -1 0 0 001- 0 -1 0
0 1 0_ -1 0 0 _ 0 0 1_ _ 0 一 1 0 _
Iλ
a
++1
i
—
-1
1 1
1
=
A
λ
+
+
1
10
0
λ
A +
+1
l
|I AλEE--AA l| == 1 1 λ A 0 0 = 1 1 ? A 0 0 ==((aA+ +1 )1()(xA22 ++1 1))
0 1 λ 0 1 λ
0 1 A 0 1 A
AA的的特特征征值值：：一-1l,,ii,,—-ii
A
A
1
-
的 1的特特征征值值：：一-1
1
,
,
-—i,
i,
i
i
, ,亦亦有有
t
t
r
r
(A
(A
-1
?
)
1)==—--11..
|=-- = = - = -=S! = = = = = = = ?! = = = 5?-- = = = -；!SSS! = = - = = = ^ = =! = = =r = = T?=J|
r
1 1 1
li 【【评评注注】】 本本题题也也可可求求出出AA的的特特征征值值为为λ义?I,a，%?,，λ%?后后，，比tr((妒A1-)1 )==
λ
=
?
十+ A=? 十+
λ
{
?
.
II Al A2 A3 11
lL^iSJSJaii;iJi = s;iiSi =.....................=========二巨====一 = = = = = = = =
解题加速度
1 1
1
2 3
3
2
2 1 2
1.【答案】 3*-1
3
3
3
3 1
2 1
【【解解析析】】 矩矩阵阵乘乘法法有有结结合合律律，，注注意意
1 1
1=(1, 2 3 ) 2 ==33(是（是一一个个数数)）,，
3
…7 1 1
11
匚
1
2 T3
2
1 , 1 2
而A= a1β= 2 (1, 2 3 )= 21 1 _ T3 2_ （(是是33阶阶矩矩阵阵)）,，
3
3 3 1
2 1
2
· 148 ·
148 -…
第二章 矩阵
第二章矩阵 ◄◄
尸
1 1
1
2 3
2
2.1 2
于是A°=(a1β)(a1β)…(βaT)= aT(βαT)…(βaT)β=3~'a^β= 3"
于是 A” = (aT/?)(aTp)-(PaT) = aTCpaT) -(paT)p = 3^ ^/?= 2 1 —3
3
3 1
2
「= * = _ = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 、
【评注】 若α,β是n维列向量，则A=αβ『是秩为1的n阶矩阵，而α1β是1阶矩阵，
【评注】 若a,。是〃维列向量，则A = a伊是秩为1的n阶矩阵，而o「。是1阶矩阵，：
ii
；是是一一个个数数..由由于于矩矩阵阵乘乘法法有有结结合合律律，，此此时时AA” °== rI~~'】AA,,而而lI= =a2 βaT.fl. 11
|L = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M = = =J1
2.【答案】 0.
2 .【答案】O.
【 【解 解 析 析 】 】 由 于由 A于” A一” 2—A—2A ~=1 =((AA--2 2EE))AA~ l 1, 1 而 ,而
-101
-1 0 1 ■
A-2E= 0 0 0
A -2E = 0 0 0
1 0-1
1 0 _ 1_
易见(A-2E)A=0,从而A"-2A-1=0.
易见(A — 2E)A = O,从而 A" 一 2Ai = Q.
lr -=-- il
ii 【 【评 评 注 注】 】 由 由 于 于 7 ii
ii ■ 1 1 0 o 1 r r 1 i 0 o 1 r = 一 2 2 02 0 ° 2-
ii ii
A2= 020 020 040 = 2A.
ii A2 = 0 2 0 0 2 0 = 0 4 0 =2A. ii
101 101 202
_1 0 1. 0 1_ _2 0 2_
ii ii
ii 利 利 用 用数 数 学 学 归 归 纳 纳 法 法 也 也 容 容 易 易 得 得 出 出 4 A ” ” -2 - A 2A T -1=0_. O 本 .本题题若若用用相相似似对对角角化化的的理理论论来来求求A 4 ", ” 虽，虽说说可可得得 ii
ii
ii
到到正正确确结结论论，，但但烦烦琐琐。.
ii
L 一 一 一 _ _ _ _ J
“
1 1
30 0
-3 0 0
3.【答案】 03 0
3 .【答案】0 3 0
00 -1.
0 0-1
【【解解析析】】 本 本题题考考查查 n n阶阶方方阵阵方方幕幂的的运运算算..由由于于 1
[
[0 ]1 [。] , ai # =
# = ]
OT FA" 01
a? a2
0 B. O B". [
LO B」 LO B”」
a? a3.
)
'0
0 —-1'r ]
2
= )
•
-
一
1
1
0
0
]
■
又
又 .1 1 0 0 . . 0 0 _ -1 1o.
..易易 见见
-107
儿2 -1 0 0
-0 一 1 0 - 2 r-i 0 0-
=
A2= 10 0 0 -10
A2 = 1 0 0 = 0 -1 0
0 0 1
00 00 --11. _ 0 0 1
1
从从而而AA2200004+==(A(2A)21)0100022 == 瓦E.那那么么
30 0
一3 0 0 一
B2004-2A2=P-1A2001P-2A2=P-1EP-2A2= 030
B2004 - 2A2 = p-iA2OO4P- 2A2 = P^'EP - 2A2 = 0 3 0
00 —1.
_0 0 _ 1.
· 149 ·
・149・►►
数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·•墨■高■■(数
（数
学
学
二
二
)
）
IT = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = q]
" 【【评评注注】 】 若 若f^'PA-P1A =P= BB则则PP-1 AA"nPP= B=" ,B通",过通相过似相求似A求”A是”是求求AA的的方方幂幕的的重重要要方方法法.. 1
'I
[= = = = = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -= =- = = = = J=』
44..【【答答案案】】 —一33..
【【解解析析】 】由 A由BA B== 0O,,对对BB按按列列分分块块有有
AB=A[β.,βB,β]=[AB?,Aβ?,Aβ?]=[0,0,0],
AB = A[P1 ，。 ,^^3 ] = [0,0,0],
,“2 3 ] =
即即βA，,0β2 ,,0β3是是齐齐次次方方程程组组AxA x==00的的解解..
又又因因BB≠#0o,故,故A4xr= 0=有0非有零非解零，解那，那么么
1 2 -2 7 0 0
1 2 -2 7 0 0
=
|AA || == 4 4 t t 3 3 = 4 4 t t 3 3 ==77((tz ++3 3))= = 00→=7t ==-—3 3..
3-1 1 3-11
3 -1 1 3 _ 1 1
若若熟熟悉悉公公式式:A：B A=B =OO,,则则rr(A()A )++ rr((BB)) W≤ n.可可知知rr(A(A) )V<3 3..亦亦可可求求出出2 t==-—3 3..
[r = = = -~=, = = = = = = =~~-~- = = - = = -- =: = = = = = = = - = = ~ = = ~--==『
|| 【【评评注注】 】 对 对于于ABA B==OO要要有有BB的的每每个个列列向向量量都都是是齐齐次次方方程程组组AAxx= =0的0构的思构，思还，还要要有有秩秩II
|| it
11 rr((AA)) ++r r((BB))≤ ?X=36 =A- 61A=-31 A=* ,3故A-应，故选应选(B()B.).
((由由题题中中44个个选选项项可可知知必必有X有、X=? =OO,,XX4? ==0 O,只,只需需检检查查XX?2或或XX?即3即可可))
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
1
: 【【评评注】注 】本 题 本考题查的考知查识的点知有识:A点A'有 =：\AAA\*E=|或A|4E*或=A|*A=||AA|AT-1或或aA -> - 1 = = t A 4^ T A A * ’ ； ; 行 行 ：
. I A I „
"列列式式的的拉拉普普拉拉斯斯展展开开式式；；分分块块矩矩阵阵的的求求逆逆公公式式..这这些些都都是是线线性性代代数数的的基基本本内内容容。. "
II II
I. 本本题题难难度度系系数数00..667766.. .i
=』
IL == = ： = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ： =
· 150 ·
• 150 ・第二章 矩阵
第二章矩阵 ◄◄
/解解题题加加速速度
11..【【答答瓷工 A+2+E 2)E.).
【
【解
解
析
析
】
】更阵阵A‘的4元的素元没素有没给有出给，出因，因此此用用伴伴随随矩矩阵阵、、用用初初等等行行变变换换求求逆逆的的路路均均堵堵塞塞..应应当当考考虑虑
用用定定义义法法..因因为为
(A-E)(A+2E)-2E=A2+A-4E=0,
(A-E)(A + 2E) —2E = A2 + A-4E = O,
故故((AA —- EE))((AA ++2 2EE))= =2 E2,E即,即
A+2E
=E.
((AA—-EE))· - 2 = E.
1
按按定定义义知知(A( A—- EE)L- 1== i(A(A ++2 2EE).).
2
100厂
ri o o-
1
22..【【答答案案】】
1
佥
0
22 22 00
l_33 44 55.
A A
【【解解析析】 】由 A由A'A A=*|= |AA || EE有有
TAT
停A*=E故,故(AG*T) -L1 =
A
名
T
..因因为为|以Al=|1=0】.。所.所以以
I A I 71
100
ri o o-
1 ·
((AA*・))T-1 == 土 22 22 00
10
345
3 4 5
33..【【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】 如 如对对任任何何nn阶阶矩矩阵阵4A,,BB关关系系式式成成立立，，那那么么AA,,BB可可逆逆时时仍仍应应成成立立，，故故可可看看成成AA,,BB可可逆逆
时时(CT* ==??
由于
由于
1
A O[IFA? -1 [ A-1 O
1 =|A||B| *1 O -
Cc *== |1 Cc |I bC1 ==
0
o
B
=|A||BI
O B-1
I L_Oo B 。 B. 一 j -O B1.
= 1= 1
_ '| I AA |I |I BB II AA1- 0 O 1_ [r|| B B 丨 | A A · " 0 O 一 ,
—- O O [| AA| || | BBI | B B -1 -'J= L OO |\AA|B\°B-.
所所以以应应选选((DD))..
作作为为选选择择题题，，根根据据这这四四个个选选项项，，也也可可如如下下判判断断：：
1
)X? X?
设 设 C C ' * = = [ v , 由 由 C C C C * *= = | |C C| | E E , , 有 有
X? X?
-X3 [ X A O A 4 - O B ° . 71 [ X X ; ? X X x ? ? 2 1 - = — [- A B A X X X ; ? . B A A X X X . ? 2 1 ]= =1 \ Aa| \ | \ Bb| \ [E 0 E E O O . '1 '
-O bJLx3 X\_ -BX3 BXj .O E.
因因为为 AAXX】:==|| AA| | |[ BB| E| E→=>XX?i ==| A| |A| HB |BA -I A1-=1 |=B || AB^ I. A故* ,应故选应选(D(D).).
4 4 . .【【解解】 】 由 由于于 B B = = E E ? t A jA , 其 ,其中中E。 E, 是 ,是初初等等矩矩阵阵
· 151 ·
• 151►> 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•醒■高■■(数（数学学二二)）
"1 -
1
0 i
0 I i
E,=
1 0 j
1 0 j
1
_ 1.
(（II)）因因为为 4A 可可逆逆，，A|≠0,故故 ||BB|| ==| |E E?,A,A| =| |=E | ,E|,）·| •| | AA| =| -=|—A|| A≠ | 0#.： 所0.所以以B 可B 可逆逆..
(（ⅡU ）)由由 BB == EE,.,AA, ,知知 AABB -'1 ==A A(（EE,,,AA)）t 1 ==A AA-A1-E'E?^1' ==E qE1 了= E=。 E”.
55..【【证明证】明（】I ）(AI，)=A 2（E=(-E&-T5T）（)E(_Eg-g5T5）π= )e=—E-2髯25丁5++兹5丁55兹5t
==EE -—5 g5r 1++引5 S(W5）g5T )5-5==AA++ (叫55）髯) T _ 就-,T ,
那那么么 AA2 2== A?(55-11）)成5T? ==0 o..
因因为为&ξ是是非零非列零向列量向，兹量T关，Os?,故≠妒0,=故AA2e=gAT=g5_5l- 1== 00,,即即g5Tg5 ==1 .1.
(Ⅱ)反证法.当ξ5=1时，由(I)知A2=A,若A可逆，则
（口）反证法.当= 1时，由（I ）知］=A，若A可逆，则
A=A''A2= A-1A= E.
A = A~'A2 = A-1 A = E.
与与已已知知A A== EE-—ξ就≠丁共E矛E矛盾盾..
厂== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
【【评评注注】】£ξ是是〃n维维列列向向量量，，则则兹弱丁T是是九n阶阶矩矩阵阵且且秩秩为为11,,而而5g5T是g一是个一数个，数数，数学学符符号号的的含含
:义义要要搞搞清清，，不不要要混混淆淆，本，题本考题查考矩查阵矩乘阵法乘的法分的配分律配、结律合、律结.合对律（口，）对，由(ⅡA )=, 由EA—=E髯-5T,,有有 :
； AAS5 == 5S-T5(（*55）) == 5S-T5 ==0 0,, :
"可可见见与S是是AAxx ==0 的0的非非零零解解，，故故|| AA| =| 0=. 亦0.知亦A知不4可不逆可.本逆.题本证题法证很法多很，多你，你还还有有别别的的方方法法吗吗?？"
L- 一------ ------------------= -- = = = = = = =……= = = = = = = = = = = - — =』
66..【【解】解（】I(）I由) 由AAA，A=* =AA-°A =A=| |AA || EE 及及 AA** ==| A| |A A| -A1",1有,有
[ ■ E E 0 0 ] ］「 A A α al] = [ r A A α a ]
PQ=
= -α aTA 1 - A *| | A A l | JLaa1T b0.」一 L - 一 a a ? TA A ， * 4 A + + | | A A |a | T a1 - - a a ' T A A * 'a a + + b b | \ A A l \.
α 1
[A
A a '
-00 |A| |A( b| -（α6 —?aAT-A'-1aa)）.,
（(Ⅱn)）用用行行列列式式拉拉普普拉拉斯斯展展开开公公式式及及行行列列式式乘乘法法公公式式，，有有
E 0
E 0
=1Al,
P|= =1 A |,
--αaT+AA*' |AAl |
α
A
A a
II pP |11 Qel 1 ==| 1 PpQg l1 == ==||A Al 2|(2（b6- —a+ aAT/A'-1aa)）..
00|AI| A( b| -（αb —^ Aa-TA'α-1a)）
又又因因 AA 可可逆逆，，| AA l| 尹≠ 00,,故故 | |QQ | |== || AAl | (（b3- —aA（»-丁'妒a)/.）.
由由此此可可知知QQ可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是b。-一αa?TAA-'-α'a≠尹00,,即即aa?TAA-1 α'a≠尹bb..
【评注】 本题考查分块矩阵的运算，要把握住小块矩阵的左右位置.要看清aTA 'a是】
【评注】 本题考查分块矩阵的运算，要把握住小块矩阵的左右位置，要看清α?A~'α是
|| 1
"11阶阶矩矩阵阵，，是是一一个个数数。. "
1-一=- = = = _ = _ = = ~ ==========================；=,==』
7
7
..【【答答案案】】 一-1 .
1.
【 【解解析析】】
按
按
可
可
逆
逆
定
定
义
义
，
，有有
A
A
B
B=
= E
E,
，
即
即
aα
1
(（EE -—a aaaT「)） ( （ E E + + —aaa 1 ) ） = = E E . ,
·152 ·
-152 -第二章 矩阵
所以
所以
E+ 1 αa?—-aa?— 1aaTaaT = E.
E + a—aaT — aa r —a 'aa ' aa 1 = E.
a a
a
a '
0
又又 aa'' αa ==( a(a, 0,0,,… ,,00, ,aa)) . = = 2 a 2 2 a , 2 有 ,有
重曲电
a
1aa?-a.
1
( —1—2a
a
1
由由 aaaa1' ≠H：OO,所,所以以a-- - - 1 1 — -2 2 a a = = 0 0 → =>2 2 a a 2 2 + + a a — - 1 1 = = 0 0 . .
a
1
解解得得aa ==—-1 1 ,,aa ==号((舍舍去去))..
2
8.【答案】 -E.
8.【答案】一E.
【【解解析析】】记 C记=C E=E--((EE--AA))--11,,已已知知CCBB ==A 且A且A可A逆可，逆，
所所以以 丨| AA || == || CC|H| BB| ≠1^00,从,从而而 || CCl≠l^O0,,C C可 可逆逆，，且且 BB^=CC1TAA..
再再由由 CC(E( —E -AA) )== ((EE-- ((EE--AA))--11)()E(-EA-)A )== EE--AA--EE= —=-AA,,
可可知知 CC ==--AA((EE--AA))-~1*, ,CC~1'= =-(-E (—E-AA)A)A-'-,1,
BB -—A A= =C C1TA'-AA-A= -=(-E (-EA-A))AA--''AA--AA ==-- EE++AA--AA= =-—E.E.
或或令令 EE ==( (EE- A—)A(E)(—E —A )A-)1T,,则则
[[EE--( (EE—-4A))T1]]BB == AA
即即[([E( —E -4A))(E(-EA-A)T)- —1-(E( E—- AA))T1]B] B== AA
[(E-A)-E](E-A)-'B= A
[(E —A) -E](E-A)TB = A
因因AA可可逆逆，，左左乘乘一-AA-1T有有
((EE--AA))-''BB= =—-EE
左左乘乘 EE-A-A得得B =B=-E- E++ AA 得得BB-A-A ==--EE
也也可可用用E
E
-A
-
左
A
乘左已乘知已条知件条的件两的端两，端再，化再简化，简请，请自自己己动动手手..
三三、、矩矩阵阵的的秩秩
8
H((22001166,1,144题题)【)【答答案案】】 22..
【【解解析析】】 矩 矩阵 阵A,AB1, B等等价价 —1 — a q + 1 0 ——► 0 a + 1 0
II -1 -1 a -1-a 0 a+1 0 0 a+1 II
II -1 _ 1 a _ _— 1 — a 0 q + L _ 0 0 a + l_
II 知知a。==2时2 ，时,rr((AA))== 22..
❾9(（(22001188,,88题题)）【【答答案案】】 AA..
…
【解析】 记AB=C,对A,C按列分块有
【解析】 记AB =C,对A,C按列分块有 乙
b: bi?… b。
bz: b??… b?
[[。ai,,α。z,…,α.] : =
=
[y
［
,
，
y
i
?
，
,
＞
…
2，
,
…
γ
，
。
y”
]
］
,
，
1 2
b。i b … bm.
即
即
Y
勿
?,，Y？?
2
,
,
…
…
,γ
，乙
。
可
可
由
由α
。】
?
，
,
％
α
,
?
・
,
・
…
・，。
,a
”
。
线
线
性
性
表
表
出
出
.
.
由
由
矩
矩
阵
阵
的
的
秩
秩就
就
是
是
列
列
向
向
量
量
组
组
的
的
秩
秩
，
，
故
故
（A）.
rr（(AA,,AABB)）==r(a厂（i。,1… ,α.,,yY】,,…,Y乙,)）==r(厂a（?。,1 …,••,・ a,o。”）)== rr(（AA)）,,
所所以以选选(A).
r
71 1
1
) • 1 i 1' r ,B= ■ 0 o 1' r [ ■ 0 0 0° 0 1 - [ - 1 l 1 io 00 o * - , ii
II 【【评评注注】】如如令令AA == 00. = 1 0 ,，则则 BBAA == 1 1. ,,((AA,,BBAA))== 0011. ii
_0 0. .1 o_ _1 1_ .0 0 11.
II
II 其其秩秩为为22,,而而rr(（AA)）==1.1所.所以以(B()B不)正不正确确。.
1 71 1
II [10" [0 0° [ 100 0
-1 O- ,B= ■0 o_ -1 0 0 0-
如如令令AA == ,B = ,,则则 rr((AA,,BB)) == rr =22,,而而 rr((AA)) == 11, »rr((BB))== II
00. .10. 0010.
.0 0. 1_1 0. 1 _0 0 1 0- II
1 1
10° 01"门 [1001 II
-1 o- ,B?= •0 r ■1 0 0 r
11,,知知（(CC）)不不正正确确..此此时时AA「T== .00. 00. , ,r r (A (A T T ,B ,B T ? ) ) = =r r 0000. = = 1 1 ,知 ,知(（D D ) ） 不不 II
ii .0 0- .0 o_ _0 0 0 0.
II
正确.
正确.
II
L
/解题加速%
解题加速度
1
1
.
.［【答案答案B
【解析句
【解析本题可用
用
秩
秩
的
的
概
概
念
念
|A
I
l
A
= 0
1
但
=0
有
但
n
有
—1n阶 —子
I
式
阶子
不
式
为
不
0来
为
分
0来
析
分
、
析
推
、
断
推
，
断
由
，由
于
于
1 1 1 … 1
1 1 1 1
a l a … a
1 a a
… a
AI Al =| [=([n(”-一1)
l)
a
a
+
+
1
l
]
]
α
a
a
a
l
1
: : : ***
a a a …
1
a a a 1
1 11 1
1 1 1 1
1—a
1 — a
=[(n-1)a+1] 1—a
L(n-l)a + l] 1 — a
1—a
1 — a
=
=
[
[
(
(〃
n-
一
1)1a)q + +1] 1(]1(1- —a)
q
*)1.
1
由由rr（(AA）) == ”n--11知知||A Al=|0=,0故,故a取a取自于自于己或或11..显显然然aa ==1 时1时，,
1—n
· 154 ·
・ 154 -第第二二章章 矩矩阵阵
◄◄
7
111…1
_1 1 1 …1 ■
1 1 1 … 1 ,
A= :11 : 1-1 :*。
A =::: :
1 1 1 … 1
_1 1 1 - 1 _
而而rr((AA))= =1不 1符不合符题合意题，意故，故应应选选((BB))..
lr =
【t评评注注】】 因因为为AA是是实实对对称称矩矩阵阵，7若，若特特征征值值熟熟练练，，亦亦可可用用相相似似来来处处理理.注.注意：意：
ii
i i i i [a : a a : a : … a a i i i i
AA==((11 -—a a))EE ++ ,，所所以以AA的的特特征征值值：(：〃 一(n1-)1 q ) +a +11,1, 1—- aa((nn -—1 1个个),)， ii
a a … a 7 ii
_ a a •• a
ii
[
「(3n —— 11))q a ++1 1 ii
1—a ii
1 — a ii
故故 AA～
ii
ii
1—a.
1 — a ii
L = =J
2【答案】 C.
2 .【答案】C.
【【解解析析】 】 已 已知知矩矩阵阵AA而而需需求求是是rr(A(A** )),，故故应应以以rr((AA**) )公公式式为为背背景景..根根据据伴伴随随矩矩阵阵AA°*秩秩的的关关系系式式
{
'n处,, rr((AA)) == nn,,
rr((AA*' )) == < 11,, rr((AA) )== nn -—1 1,,
.00,, rr((AA) )V< n〃 -—1 1,，
知知 rr((AA*' )) ==1 l?(rA(A))= =2 .2.
若若aQ= =b,们易易见见r(rA(A)≤) V1, 故1,故可可排排除除((AA)()(BB))..
a b
a b
当当aa≠丰bb时时，,AA中中有有22阶阶子子式式 ≠尹00,,若若厂r((AA)) ==2 ,2按,按定定义义只只需需I| AA l| ==0 .0由.由于于
b a
b
a+2b a+2b a+2b
a-\- 2b a 2b q + 25
A I A l | = = b b a a b b ==( a(a+ 2+b 2)b() a(a— —b b)Y2 ,,
b b a
b b a
所所以以应应选选((CC))..
33..【【答答案案】】 CC
【【解解析析】 】 因 因为为P 乂P≠ O0,,所所以以秩秩r(rP()P )2≥ 11，,问问题题是是rr((PP))究究竟竟为为11还还是是22??
若若 AA是 是m m× Xn 矩n 矩阵阵，，BB 是是 nn ×X ss 矩矩阵阵,，ABA B== OO,,则则 rr((AA)) ++r r((BB))≤ Vn n.,
当当 tt ==6 时6 时，，r〃((QQ)) ==1 .1于.于是是从从 rr((PP))++rr((QQ)) ≤W 33得 得r r((PP))≤ <2 2..
因因此此((AA))((BB)中)中对对秩秩r(rP()P的)判的定判都定都有有可可能能成成立立，，但但不不是是必必成成立立..所所以以((AA))((BB)均)均不不正正确确..
当当tt≠尹66时时，MrQ(Q) )==2 2..于于是是从从rr((PP)) ++r (r(Qg))≤ W3 得3得r(rP()P≤) <1. 故1.故应应选选(C(C).).
44. 【.答【答案案】】 C.C.
【【解解析析】 】若 P若~ APP- 1=A BP=,则B,P则^lP(A- |+( kAE+)kPE )=P B= B++ kkEE，,即即若若AA〜～B,则则AA ++ kAEE～ -BB+ +kE k.E又.又因因
相相似似矩矩阵阵有有相相同同的的秩秩，，故故
rr((AA -- 22EE)) ++ rr((AA 一- EE)) ==r r((BB -一2 2EE)) ++r r((BB- 一E E))
· 155 ·
-155 ・►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提—高篇((数数学学二二))
7
-2 0 1 -10 1
-2 0 1 ■ -1 0 1 ■
+r
= r 0-1 0 0 00 =4,
0 -1 0 + r 0 0 0
1 0 -2 1 0-1
_ 1 0 -2_ _ 1 0 _ 1_
故故应应选选((CC))..
r--------------------------- = = = = = = = = = = = = = . = = = = = = = = = = = = = = — = 『
H 【【评评注注】】 本 本题题是是考考如如AA-～BB,,则则rr((AA)) ==r (rB()B,利),利用用相相似似来来处处理理矩矩阵阵的的秩秩，，其其中中用用到到相相似似n
Il (I
11的的性性质质：如：A如〜AB～，则B,A则 +A k+EE～〜BB ++k kEE.・
55 .【.答【答案案】】 2.2.
r
【【解解析析】】 因因为为AA有有33个个不不同同的的特特征征值值，,A4必必可可相相似似对对角角化化，，相相似似矩矩阵阵有有相相同同的的秩秩..
设设AA的的3个3特个征特值征为值λ为iA,iλ，义
2
?，,义λ
3
，?由,由I |AA || ==λ A? iAλ2A?3λ =? =00..不不妨妨设设Aλi =?= 00,,则则
-0 一
A～ λ2
A〜 义
) 2 ,
λ?
_ 义
3_
从从而而 rr((AA)) ==r r((AA))= =2 .2.
66..【【答答案案】】 AA..
【【解解析析】】 本本题题考考的的是是矩矩阵阵秩秩的的概概念念和和公公式式..
因因为为AABB ==E 是Em是阶m单阶位单矩位阵矩阵，，知知rr((AABB)) == mm..
又又因因 rr((AABB)) ≤
→
1 A
|
3
A 3
| =
|=
0
0
=
→
> |
|
A
A |
|
= =10,
a 1 0 01 0
Q 1 0 -。1 0 _
而而 1| AA || == 1 1 a Q — — 1 1 =a3,所 所以 以 Q a = = 0 0 , , 且且知知 A A = = 1 1 0 0 - -1 1
=q3,
0 1 a 0 1 0
0 1 Q 0 1 0
(Ⅱ)由X(E-A2)-AX(E-A2)=E→(E-A)X(E-A2)= E,
(H)由 X(E-A2) -AX(E-A2) = E=(E — A)X(E — A2) = E,
EE--AA,E,-EA-2A必2可必逆可，逆于，于是是
XX= (=E —(EA-)A-)1~(,E(—E-A1A2)2-)1-1 7
= 1 —10] -1 0 0 1 -1
-1 1 1 0 10
0 -11 -102
…7
= 21-1 20-1 = 31-2
11-1 01 0 1 1-1
11 0 10.0 21-1
解题加速度
1.【签 A
【解析B=B+ABA→B》((EE -—A A))BB= =E →E=>BB= =( E(-EA-)A-L1, ,
C=A+CA→C(E-A)=A→C=A(E-A)-',
C= A + C4=>C(E-A) = A=>C = A(E-4)t ,
那么
那么
B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1= E,
B — C= (E-A)T -A(E-A)t = (E —A)(E-A)T = E,
故故应应选选(（AA)）..
22..【【解解】 】由 I由 A|' A| *=| =| |AA |I--11,,有有| |AA l-= 8=,8得,得|A|| A= 2| .=A 是2. A可是逆可矩逆阵矩.阵用.A用右A乘右矩乘矩阵阵方方程程的的
两两端端，，有有
r
( ( A A 一 -E E ) ) B B = = 3 3 A A . ① ①
因因为为 AA'*AA= = A AAA**=|=A|| EA, 用| EA*,左^A乘'上左乘式上的式两的端两，端并，并把把||A Al =|2=代2入代，入有，有
((22EE —-AA'*) )BB= =6 6EE.. ②②
于于是是 BB ==6 6(C22EE—-A"A*)
0
100 0 _1 0 000 _
~ 1 0 o o - 010 0
0 10 0 0 1 0 0
因因为为22EE —-A4°* ==
-
0
1 0
1
1
；
0
: , ，则 则 可 可 求 求 出 出 (2 (2 E E— -A A - ' ) ) - - ] 1== 1
1 0
01
1
0
0
一 1 0
0 30 -6.
1 0- 1]
.0 3 0 -6 0 2 0 6.
600 0
「6 0 0 0 ■
060 0
0 6 0 0
因此B=
因此B =
606 0
6 0 6 0
030-1
0 3 0 一 1
· 157 ·
. 157 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
第三章 向量
第三章 向量
、向量的线性表出
-、向量的线性表出
101
1 0 1
013
( （ 2 2 0 0 1 1 1 1 , , 2 2 2 2 题题【）【解解】】 （( I I ）)因因为为| I a * ? ,,a?%,，α皿? 1 l = = 0 1 3 =1≠尹0,所所以a以?,α】，?％,α，。?线线性性无无关关..
=1 0, a 3
115
1 1 5
那么α?,a?,α?不能由β,β?,β线性表示?β,β,β线性相关.即
那么,。 ，。 不能由A，应，怯线性表示W，。2 ,03线性相关.即
2 3
113
1 1 3 1 1 3
1β,B·B l= 124 =a-5=0,
P］，阮，。3 1 = 1 2 4 == |0 01 11 a — 5 = 0,
13 a 02 a—3
13a 0 2 a — 3
所所以以a
q
== 5 5..
(（Ⅱn)）如如果果方方程程组组x幻?a。?】++x三?α。?++x?xa3?a=3 β=( Qj=j（1j, =2, 31),2都,3有）解都，有即解β，即,β。 ,,0β2 ,可。 由可a由?,。α，?。,α，。?线线性性
2 2 1 3 1 2 3
|表表示示.因.因为为现现在在的的33个个方方程程组组系系数数矩矩阵阵是是相相同同的的，，故故可可拼拼在在一一起起加加减减消消元元，，然然后后再再独独立立地地求求解解..对对
回芯爪'枝: ［
[
a
a
,
, α
,a
2
2
,
,a
α
3
?：:β
"
,β
,
,版β]作作初初等等行行变变换换，，有有
］ 1
101:113 1011137 101 1 1 3
■10 1：113_ -10 1：113_ [Oi l 1 3
013 124 1 2 4
0 1 3 ： 1 2 4 —► 0 13 12 4 —A 0-131 2 4
115 135- 014022 001 10-2
_1 1 5 i 1 3 5_ 0 1 4 i 0 2 2_ 0 0 1—1 0 — 2_
100 2 1 5 ]
-10 0：2 1 5
→
010 4 2 10
―A 0 10 4 2 10 1
00 00 11 ! -— 11 00-2 -2 - .
所所以以白β==22aa;i ++4 a4?a2- α— a?3,，βP2 ?==aa;i ++2 a2a?2,,β03 ==5 a5?。+】1+0 a10?a—2 —2 a2?a.3.
本本题题已已给给出出向向量量坐坐标标故故用用解解方方程程组组的的方方法法来来处处理理.如.如果果题题有有向向量量坐坐标标就就解解方方程程，，如如果果没没有有向向
量量坐坐标标，，就就用用概概念念、、秩秩、、定定理理来来分分析析推推导导.. -.-
「 【评注】 因为4个3维向量夙，&，质，。必线性相关，所以若。邮，任残性无关，那么a】，
【评注】 因为4个3维向量吊，B,β,α必线性相关，所以若民，园，B线性无关，那么a?,
II
it II
••α。
2
?
，
,。α3必?必可可由由&民，位，，,氏B线线性性表表出出，，与与题题设设矛矛盾盾，，故故。民邮，，园氏，一图定一相定关相，关亦，可亦推可出推/出］，|&B,，B质,B1 l==0 0..
II
II
II
I. 难难度度系系数数数数一一 00.. 665577,,数数二二00..6 6227,7数,数三三0.06. 3603.0.
II
IL =
2
❷(（22001133,,77题题(答答案案】】 BB..
X
【解析】 对矩阵A,C分别按列分块，记A=[ai,az,…,a.],C=[γ?,Y?,…,y.].
【解析】 对矩阵 分别按列分块，记 ,。 ，••• 〃］， 3 ,形，…，
A,c A = O1 2 ，a C =
由AB =C有 …
由AB =C有 乙
b: bi?… b。
-如
b?: bz?… b?
。: :
[ai,a?,…,a.] 21 =[r,Y?,…,γ.].
[。 ,。 】 ，•・•，为］.
1 2 =［y ，？2
b。 b.z … b。
b nn -
,158 ·
-158 -第三章 向量
第三章向量
人Yi=bua?+b??a?+…+bn:an,
71 = bna\ + b2}a2 H------ b„ta„,
Y?=b??a?+b??α?+…+bn?a,
c 形=bi2ai + b22a2 H------ 1- bn2a„,
又又1 ::*…
γ。=b?α;+b?a?+…+b_a.,
Yn = 6i„a, +h2„a2 H------ b„a„,
即C的列向量组可以由A的列向量组线性表出.
即C的列向量组可以由A的列向量组线性表出.
因因为为BB可可逆逆，，有有CCB»-
t
1 == A .
a
类.类似似地地，,AA的的列列向向量量组组也也可可由由C的C列的向列量向组量线组性线表性出表，出因，因此此选选(B（B ).
）.
3(2019,22题)【解】向量组(I)与(Ⅱ)等价，即两个方程组
0（2019,22题）【解】 向量组（I ）与（H ）等价，即两个方程组
[ai,α2,a?]X=[β.,B,β],
,。2，。3 ]X = [_fli ,。2，“3 ]，
[β,B,β]Y=[a?,α?,α?],
EPl，°2，。3 ]丫 = ,。2，。3 ]，
r
同同时时有有解解，，亦亦即即
r(aj,a?,a?)= r(a;,α?,a?,β,B,B)=r(β,B,B).
9（X2 9U3）=厂（fifi 02，。3，。1，。2，。3）= 了（。1 ,。2 ,03）•
11 1 1
「I 1 1 1 0 1 -
由[ai,α?,α?:β,B,β]= 10 2 2 3
由，。2，。3 : P1，夕2，。3 ]= 1 0 2 1 2 3
44 a2+3 a+31-a a2+3
.4 4 a2 + 3 :Q + 3 1 — a a2 + 3_
1 1 1 0 1
~1 1 1 1 0 1 -
0-1 1 2 2
—> 0 一 1 1 0 2 2
0 0 aa2—1 a-11-a a2—1.
0 0 a2 — 1 : a — 1 1-a a2- 1_
当当aa≠尹±士1 时1时，,
r厂(（。aj
1
,,。α
2
?
5 «
,
3
a）?)==r厂(（a。?
1
,,α丁2 z，g,α，。?1,，β02,，B。,3）β=)=厂r（(。β 1，,0β2，0,3β
）
)
=
=
3
3,
,
向向量量组组（(II)）与与(（ⅡH)）等等价价..
当当a
a
=
=
1 时 1时，，
rr(（（aX?i 9,（Xa2z 9,Ua3?
）
)
=
=r (a?,,a。?
2
,，a口?
3
,，■β ,,。β 2，。?
3
β）)
=
= r了(（β。1,,0B2,，β腐）)=
=
2
2
,
,
向向量量组组（(
I
I)）与与(（Ⅱ
H
)）等等价价..
当当aa ==-—1时1时，，
r
y*
(
（a
a
i
i ,
,。
α
2
z
，
,
。
a
3
?）)
=
= 2
2
,
9
r
r
(
（
a（X ?
j
,
9
α
（X2
?
,
,
口
α
3，
?
。
,
1
β
，艮
,β
，怯
,β）= )=
3
3,
,
向向量量组组（(
I
I)）与与(（Ⅱ
H
)）不不等等价价..
所以a≠-1时向量组(I)与(Ⅱ)等价.
当a≠±1时，对方程组x:α?+x?a?+x?a?=β,有 1
1 1 1 1 100 1
[a?,α?,a?,β]= 0-1 1 2 010 -1
0 0 a2-1: a2—1. 001 1
方程组有唯一解(1,-1,1),故β=α;-α?+α?.
当当a
Q
=
=
1 时
1
，时，对对方方程程组组x
11
?
（
a
X1
?
+
+x X?2aa?2 ++x工?α 3。?
3
==β夕,
3
有,有
1
1 1 1:1r 102 3 尸
「1 1 1 "1 0 2 3 一
[a;, 0 α 2 ? ， , 。 α 3 ? ，夕 , 3 β 〕 ] = = 0 0 - _ 1 1 1 1 2 2 ―A 0 0 1 1 - - 1 1 - -2 2 *
000 0. 00 0 0
0 0 0 0_ 0 0 0 0 _
方方程程组组通通解解：：（3 (
,
3
—
,-
2
2,
,0
0
）
)丁? ++k奴(-一2,
2
1,
,1
1
,
)
1
T尸,k以为为任任意意常常数数，，
故故β。3 =
=
( 3
（3
-
—
2k
2
)
&
a ）外;+(+-
（
2
—
+
2
k )
+
a
4
?
）
+口h
2
a
+
?化,k
3
为以任为任意意常常数数..
H
(（2
2
0
0
2
2
2,
2
1
,
0
l0
题题)【）【答答案案】】 C
C
.
.
【【解解析析】】a。;
1
,也α?，,。a
3
?与与a。;
1
,，。α
2
?，。,a
4
?等等价价＜=→＞。a
4
?可可由由a。,
1
α血?,，α。3 ;线线性性表表示示且且α。3 ?可可由由α。1 ?，,。a
2
?，,口a
4
?线线性性表表示示
· 159 ·
・ 159 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
方0 程方程组组①①x了?a 1。?
1
+
+
x
%
?
2
a。?
2
+
+
x
x
?a
3a
?
3
=
=
a:。与
4
与②②x二?a 1。?
1
+
+
x
^
?
2
α
«2
?
+
+
x?a?= a?均有解.
^3«4 = «3均有解.
先考虑方程组①:
先考虑方程组①:
λ 11 111
A 1 1 1·n+r 1 1 1
la a ; 、 , ,a α 2 , ? a , 3 a?l= 1 1 λ A 1 1 1 1 · •广2 n + + 门 n ((λA++ 22)) 1 1 λ A 1 1
1 1 λ 1 • r3 4- ri 11 λ
1 1 A 1 1 A
1 1 1
1 1 1
(（一-1)日n++皿r
1） ((Aλ++ 22)) 0 0 λ 义 — 一1 1 0 0 =(λ(A -—1 )1 2尸((λ人 ++2 2))..
(-1)n++ r门
（—l）ri
0 0 x-1
0 0 A-1
当当义λ尹≠一-22,,λ义乂≠ 11时时方方程程组组①①有有唯唯一一解解..
当当λ
A =
=1 时 1时，，
1 1 1 1 1111
（(fal?l ,»α。2z，,α?,α）?)=
1 1 1 1 行行初初等等变变换换
0000
1111. 0000.
方方程程组组①①有有无无穷穷多多解解..
当当λA ==--22时时，, 7 1
-21 1 1 11-24
(a.,L:.Q?,@?)= 1 -2 1 -2 行行初初等等变变换换 0 1 -1 2
（CC1 ,。2，，口4）
1 1 -2 4 00 01.
方方程程组组①①无无解解..
总总之之，，当当义λ尹≠一-22时时，，方方程程组组①①有有解解..
再再考考虑虑方方程程组组②②:：
λ 11 λ 1 0
A 1 1 = A 1 0
|a
(X
;
1
,
,
α
。2
?
，
,
。
α
4
?
1
l
=
= 1
1
λ
A
λ
A =
1
1
λ
A 0
0 ==(a32 -—1 )12)2..
1
1
1
1
λ
A
2
2
1
1
1
1
x
a
22--1
i
当当义λ夭≠±± 11时时，，方方程程组组②②有有唯唯一一解解..
当当λA ==1 时1时，，
r1i 1i 1i 1in 尸 1111
「ill】〕
(（αCC1? ,,。α2?，,口α4，?。,α3 ）?)== 1 1 1 1 1 1 1 1
行行初初等等变变换换
0 0 0 0 0 0 0 0
1111 0000
_i 1 i i_ 0 0 0 0_
方方程程组组②②有有无无穷穷多多解解..
当当λ
A =
=-
-
1 时 1时，， L 7
-1 1 1 1 1 -1 -1 —1'
1 -1-1 1 行行初初等等变变换换 0 1 1 0
(a;,α?,α?,α?)=
1 1 1 -1 0 0 0 1
方方程程组组②②无无解解..
总总之之，，当当人λ尹≠一-11时时，，方方程程组组②②有有解解..
综综上上，，当当；Iλ尹≠一-22,,λ义乂≠一- 11时时，，方方程程组组①①②②都都有有解解，，正正确确答答案案为为(（CC)）..
也也可可用用秩秩来来处处理理
向向量量组组（(II）)、、（ U(）Ⅱ等)价等 价?rI(）I)== rr（(nⅡ）)== rr(（II,,Ⅱn)）
·160 ·
・ 160 -r
第第三三章章 向向量量
λ 1 1 1
λ 1 1 1
7 1 1 V ■ A 1 1 1 _
[I,Ⅱ]= 1 λ 1 λ 1-λλ-1 0 λ-1
[I , 口 ]= 1 A 1 A —► 1 -A A - 1 0 A-l
11 λλ2. 1-λ 0 λ-1 λ2—1
_1 1 A A2_ .1 - A 0 A-l A2 - 1.
当当 Aλ == 11 时时，，r（rI(）I =)= rr（(HⅡ）)==rr（(II,，ⅡU）)== 1l
(（II)）与与(Ⅱ（H)）等等价价..
当当λ;（≠夭1时1时，， 1
[■ λ A 1 11 1 1 1 ■ - λ A + + 2 2 0 0 0 0 -λ -A — - 1 r
[I,II]= -110 1 -1 10 1
[I，口]= —1 1 0 1 ―A 一1 1 0 i
-101 λ+1. -1 01 λ+1
-1 0 1 A + 1_ _-l 0 1 A + 1 _
当a=-2时，r(I)=2,r(Ⅱ)= 3
当 A - 2 时,r（ I ） = 2 ,r（ II ） = 3
当当 λ
a =
=-
-
11时 时，,rr（ (
i
I）)==3 ,
3
r
,r
(（Ⅱ
n
)
）
==2 ,
2
(
,
I（ )i(）Ⅱ（n )不）不等等价价
所所以以选选(（CC)）..
|r=~ = ~ = = = = = - = = = = ~- = = = = = = - = = = = - = = = = = = = = = = - = = := = = ~=T]
" 【【评评注注】】 本本题题作作为为选选择择题题，，可可用用排排除除法法选选出出正正确确答答案案.. "
II II
" 因因λA ==-2-时 2，时方，方程程组组① ①无无解解，，故故排排除除(（AA)）(（DD).）. "
II II
«• 因因λA ==-1-时1，时方，方程程组组② ②无 解无，解故，故排排除除(（BB)）.. it
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
解解题题加加速速度度 回
1
1
.
.
【
【分
分 所谓谓向向量量组组(（II)与）与(Ⅱ（口)等）等价价，，即即向向量量组组(（II)与）与(Ⅱ（□)可）可以以互互相相线线性性表表出出..若若方方程程组组
x了:0a? ++x?xa22a*+xa?=β有解有，解即，β即可P以可由以α由?a,】α，％?,,αa,?线线性性表表出出..若若对对同同一一个个aa,,三三个个方方程程组组xx?1Oa1;++xx?2aa?2
++x x?a3a?3= β= (piH=1 =,2 ,13,2),均3）有均解有，解即，即向向量量组组(（Ⅱ口)）可可以以由由(（II) 线）线性性表表出出..
【【解解】 】设设xx?iaa;i++xx?a2a?2++x?xa3?a=3β =(艮i=（1/, =2, 13),2,,由3）于,由这于三这个三方个程方组程的组系的数系矩数阵矩一阵样一，样，故故可可拼拼成成
一个大的增广矩阵统一的加减消元.对[a?,a?,a?:β,β?,β]作初等行变换，有
11 1: 1 2 2
[a;,az,α?:β,β,β]= 01 -1 2 1 1
23 a+2 a+3 a+6 a+4.
1
11 1 1 2 2 11 1 1 2 2
01-1 2 1 1 01 -1 2 1 1
0 l a a+1 a+2 a_ 00 a+1 a-1 a+1 a-1.
(（11）)当当 aa≠ 乂-一1 时1 时，，行行列列式式| |a :%, a?,，a。?l=a+。1≠+ 01,尹由0克,拉由克默拉法默则法，则知，知三三个个线线性性方方程程组组
3 I =
x工?mα ?++xx?2aα2 ?++xx?3aa3? ==β p(.（ii= =1, 21,,23),3均）有均唯有一唯一解解.所.所以以β同,β，&,，β怯可可由由向向量量组组(（II)）线线性性表表出出..
由由于于行行列列式式
1 2 2 2 = 1 1 2 2 0
1β, ，。 β,β 1 l = = 2 2 1 1 1 = 2 2 1 1 0 0 = = 6 6 ≠ 0 0 , ,
Pl 2
a+3 a+6 a+4 a+3 a+6 —2
Q + 3 a + 6 Q + 4 Q + 3 a + 6 -2
故Ya,方程组x:β+x?B+x?β=a;(j=1,2,3)恒有唯一解，即α?,a?,a?总可由向量组(Ⅱ)线
故V a,方程组了1& +了+工3夕3 = a； （.j = 1,2,3）恒有唯一解，即ai ,a2 ,a3总可由向量组（□）线
性性表表出出，.
因因此此，，当当aa丈≠一- 11时时，，向向量量组组（(II)）与与(（Ⅱ口)）等等价价..
(（22）)当当aa ==-一1时1，时，有有
· 161 ·
. 161 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
11 1 1 2 2
I 1 1 1 2 2 一
[a;;α?,α3:β,β,β]→ 01-1 2 1 1
［。1 ,。2，。3 : ，怯］- 0 1 _ 1 2 1 1
00 0 -20-2
0 0 0 -2 0 -2_
r(a1 .a2 ,a3) r(ai ,a2 >a3，A ), JiOi +x2a2 +x3a3 = $
由
由
于
于
秩
秩
r(a?,α?,a?)尹≠r(a?,a?,a?,β)
线
,线
性
性
方
方
程
程
组
组x?a;+x?a?+x?a?=β无解
无
，
解
故
，故
向
向
量
量
β
仇
a, ,a2 ,a3 I ) II)
不
不
能
能
由
由
a?,α?,a?
线
线
性
性
表
表
示
示
.
.
因
因此
此
，
，向
向
量
量
组
组
(
(I)与
与
(
(
Ⅱ)不不等等价价..
C.
2
2
..【【答答案案】】 C.
a,/Ly α,β无关£)=5 a,/J a,0,y
【 【解 解 析 析】 】 由 由 α,β.γ 无 无 关 关→ 。 匕»p",d理 J →8可可由由α,β线线性性表出表→出δ可可由由α,β,γ线线性性表表出出..
αa,β,δ相相天关
或或者者用用秩秩来来分分析析、推、推理理：：
=>r(a,p,y) = =>r(a,p)=
α。，,0β,丫, γ无无关关→r(α,β,γ)=
3
3 →r(α,β)= 2
2
,
,
=>r(a,p,6) <
α,β,δ相相关关→r(α,β,δ)
3
<3
,从
,从
而
而 r(α,β,8
=
)= 2
2
,
,
那
那
么
么
r(a,p,y) =
r(a,β,γ)= rr((a,aβ,p,δ,6,,yy)),,
S
所所以以δ必必可可由由αa,β,p,,γy线线性性表表出出..
3.【答案】 B.
3 .【答案】B.
p
【解析】 因为β可由a?,a?,…,α。线性表示，故可设
【解析】 因为 可由*,阪，・・・，。〃线性表示，故可设
P =
β=k?a?+k?α?+…+k.α….
加③ + k2a2 + …+ kmam.
P ，•••，am—
由于β不能由α;,a?,…,α,线性表示，故上述表达式中必有k。≠0.因此
由于 不能由,。2 1线性表示，故上述表达式中必有尹0.因此
αm= 1 .cn —
am = km (β-k?α?—kk?2αa2 ?—-… ..—.—k…卜-1 iαO—…i)),,
Rm
n)
即即α皿。可可由由((Ⅱ)线线性性表表示示，，可可排排除除((
a
A))((D
d
).).
I ) Ziai
若若αg。可可由由((I)线线性性表表示示，，设设。Eα =m =l?α H- ; -- + -- … --- +1妃 】 。 厂 1 ,则 ,则
)«1
β。== (B ((k ) 一 . ? ++k_ klm?l\)a?+ + (k ( ? .2 + k + 。 ^l疽? 2 ) )α。2 ? + + …++( k(?■+«k-】。 + l Z i Q ) m α -1 … Sm -? -l
与与题题设设矛矛盾盾，，故故应应选选(B).
「 【评注】 本题能否用秩来分析、推导？
【评注】 本题能否用秩来分析、推导?
r(ai ,a2 r(ai ,a2,,,• ，P), 11
II H
" 提提示示：: r(a;,α?,…，,口a小m))== r(a?,α?,…,α9amm,β),
iiii »a2，…, i)+1 = r(a),a2，…,ai，P)・ u
r(a?,α?,…,am-i)+1=r(a?,a?,…,α-1,β)。
r(ai 如― 」
二二、、向向量量组组的的线线性性相相关关和和线线性性无无关关
0(2010,7 A.
5((2010,7题题))【【答答案案】】 A.
【【解解析析】】 本本题题在在考考查查线线性性表表示示与与线线性性相相关关之之间间的的联联系系..
I U r( I )< r( 0 ).
因因为为I可可由由Ⅱ线线性性表表示示，，故故r(I)≤r(Ⅱ).
I r( I ) = r(ai ，…，a,) = r, r(
若若 I无无关关，，则则 r(I)=r(a?,az,a,2…,a,)=r,显然显r然( Ⅱ)口=r)(=β r,(.βfi} ,…,β)≤>tt,,则则aa?,iα,a?z,,……,，αa.,必必线线
性性相相关关””，,即即若若多多数数向向量量可可以以由由少少数数向向量量线线性性表表出出，，则则这这多多数数向向量量必必线线性性相相关关，，故故应应立立选选(（DD)）..
或或者者，，因因II能能有有ⅡU表表出出→nrr（(II)）≤
即向量组β,β+a?,β+a?,…,β+a,线性无关.
即向量组0,0 +a】，p +。2，…，P + a线性无关.
「……= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
" 【【评评注注】 】 用 用定定义义法法证证线线性性无无关关时时，，应应当当对对 "
Il k:α?+k?α?+…+k,α:=0 II
" … kx a\ +- -k2-a2- +- --+- k-ta-t -=- -0 -------- 11
Il it
“作作…恒恒…等等…变变…形…形，…，常常……用用…技技…巧巧…是是 ““ 同同 …乘乘…"” 与 与 …““重 重组…组…"，”…本…,本题…题…这…这两 两 个 个 技 技 …巧巧…都都…要要…用…用…到到 .. 另另 外外 ， ， 用用……秩秩…也也 是 是 一 一…种…种…：
«常常见见的的方方法法，.
- - -1
LL_ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
44..【【解解】 】设 加设％k ?+ak;+2ak2? +a? -+…+k+kr,aar ,++ 1ipβ == 00,, ①①
因为β为方程组的非零解，有
因为P为方程组的非零解，有
a?:b?+ai?b?+…+a?b。=0,
人 61 缶 +。… 12缶 H------a}nbn = 0,
a??b?+azb?+…+a?b。= 0,
%机 +仁22》2 + + a2nb„ = 0,
Y
anb?+arb?+…+amb。= 0
ar\b} + arZb2 H------amb„ = 0
即即β。尹≠
0
0
,
,
p
β
Tai
a ;
=
= 0
0
,
,
…
・・・
,，伊β口a「,==0
0
.
.
用用β伊左左乘乘①①,，并并把把βMa; ==0代 o入代，入得,得Iβ如β邛== 0o..
因因为为”β尹≠00,,有有。β邛β>>00,,故故必必有有il
=
=0
0
.
.
从从而而①式①为式k?α为?++k?奶α。?
2
+
+
…
•
+
••
k
+
,α kr,a=r0 ,=由 0于,由α于?,aai? ,,。…
2
,α,线线性性无无关关，，所所以以有有
k?=k?=…=k,= 0.
kx = k2 = ••・=kr = Q.
·・1
1
64
6 4
·・第三章 向量
第三章向量
因此向量组α:,a?,…,a.,β线性无关.
因此向量组tti ,。2，…，。"线性无关.
F - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - nl
【评注】由于不清楚β是齐次方程组的解，即β?a,=0,许多考生没想到本题应当用β
|| 【评注】 由于不清楚。是齐次方程组的解，即pTa. =0,许多考生没想到本题应当用伊it
II ||
［左
左
乘
乘
①
①
式
式
.
. J
三三、、向向量量组组的的极极大大线线性性无无关关组组与与秩秩
解解题题加加速速度度
11..【【解解】】由对[蔽a?j,a％?,，a。?3,，a。?4]〕作作初初等等行行变变换换，，有有 1
- 1 1 + + a q 2 2 3 3 4 4 - - 1 1 + + a q 2 2 34 3 ° 4「
1 2+a 3 4 -a a 00
1 2+a 3 4 —a a 0 0
[a?,a?,a?,a?]=
1 2 3+a 4 -a0 a 0
1 2 3 + Q 4 ——a 0 a 0
1 3 4+a. -a 00 a.
_ 1 2 3 4 + a_ -—a 0 0 a_
若
若
a
a
=
=
0, 则
0,
秩
则秩
r( a
r
?
（a
,
i
α
,a
?
2
,
,
a
。
?
3
,
,
a
。
?
4
)
）
=
=
1,
1
a
，
i
。
,
1
a
，
?
%
,a
，
?
。
,
3
a
，。
;
4
线 线性性相相关关..
有极大线性无关组a?,且α?=2a?,a?= 3a?,a?= 4a?.
有极大线性无关组ai，且。2 = 2。】,a3 =3（Xi ,口4 = 4。］.
若若a
a
≠尹0,
0,
则则有有 1
1+a 234” a+10000°
~l+a 2 3 4- a+ 10 0 0 0-
-1 1 0 0 -1 100
-1 1 0 0 _ 1 1 0 0
[a;,α?,a?,a?]→
,。2，＜3，。4〕
-1 010 -1 010
-1 0 1 0 _ 1 0 1 0
-1 001. -1 001.
_一1 0 0 1_ .一1 0 0 1-
当当a
a
= -
=
1
—
0时
1
， 0时ai,,az。,
2
a?，。,
3
a，?。线 4线性性相相关关，，有
有
极
极
大
大
线
线
性
性
无
无
关
关
组
组
α。2 z，,。a
3
?，,口α 4，且?,且
O1
a
=
:=
_
-α。2 ?
—
-a。?
3
- 一α?".
俨= = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
7
" 【【评评注注】】 当当aa = =--1100时时，， "
it 0 0007 ••
n r o o o on .I
-1100
" _ _ -110 0 "
[a?;az,a?,a?]→ = B.
" ,。2，皿，。4〕f -11 0C 10C = 8・
•I —10 10 11
I„I L - -1 1 0 0 01 0 . 1J I（I1
: 显
显
然
然
，
，
矩
矩
阵
阵
B
B中
中
第
第
2
2
,3
,3
,4
,4
列
列
线
线
性
性
无
无
关
关
，
，
故
故
我
我
们
们
可
可
回
回
答
答
α
。
?
2
,，a
皿
?,
，
a
。
?
4
是
是
极
极
大
大
线
线
性
性
无
无
关
关
组
组
，
. :
: （(注注：：极极大大无无关关组组答答案案不不唯唯一一）)，,在在BB中中，，易易见见 "
: (（00,, —-1 1,-,一1,1-, 1一)π1）=丁 -=(0-,（1o,,0i,,o0,)oπ）T--(0（,00,0,1,1,,0o)）?T--(0（0,0,0,,00,,1i)）T,, :
…………… …… … ……………………………
" 故故可可回回答答a?==—- α%一?-。a 3 ?一- α口4.
II ------·----------------- '•
这这样样一一种种求求极极大大线线性性无无关关组组和和回回答答线线性性表表出出的的方方法法，，大大家家要要掌掌握握。. •
.1
1L _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = J
2.【证明】 因为r(I)=r(Ⅱ)=3,所以a?,a?,a?线性无关，而a?,a?,a?,a.线性相关，因此
2.【证明】 因为r（ I ） = r（ fl ） = 3,所以a】,a2 ,a3线性无关，而。i ,a2 ,a3,a4线性相关，因此
a
。
?
4
可
可由
由 a
口
i
1
,
，。
az
2
,
，。
a
3
?
线
线
性
性
表
表
出
出
，
，
设
设
为
为
。4
a
=
? =
1
l 1。?a
1
?
+
+l
，2
?
。
a
2
?
+
+ l
Z
?
3a
a
3
?
.
若
若
k
41
?
。
a
］
;
+
+k
k
?
2a
a
2
?
+
+k
k
?
3
a
a
?
3
+
+
k 虹?(（a。?
5
-
—
α
g
?
）
)
=
=0
0
,即
,即
(k?-l?k?)a?+(k?-l?k?)α?+(k?-l?k?)a?+k?as= 0,
（■1 — /也）＜X1 + （，2 —，2^4）。2 + （力3 —，3为4）。3 + &4。5 =。，
由于r(Ⅲ)=4,即a?,a?,a?,α?线性无关.故必有
由于r（ m ） = 4,即ai ,。2，。3，。5线性无关.故必有
·
,1
1
6
65
5
·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·：提提高高篇篇(（数数学学二二)）
人k?-l?k?= 0,
k\ — l\ k\ = 0 9
k?-l?k?=0,
k-2 ，2“4 0,
k?-l?k?=0,
力3 —，3&4 = 0，
蜘k?== 0
0
,
,
解解出出k知?==0,
0
k以?=
3
0
=
, k
0
?以=0
2
,
=
k ?
0
=
,
0
^1
. 于
=
是
0.
a于?,是αO?1 ,,a。?
2
,
，＜
α «3，?。-
5
α—?。线 4线性性无无关关.即.即其其秩秩为为4
4
.
.
=『
= = = = = * = * = = = = = = = = = F = = * = = * = n = = = = = = = = = =
II 【 … 【评评 … 注注】 … 】 … 本 本 … 题题考 … 考查 … 查向向 … 量量 … 组组 … 秩秩的的 … 概概 … 念念 … ，，涉涉 … 及及 … 线线 … 性性相 … 相关关 … 、、线 … 线性 … 性无无 … 关关 … 等等 … 概概念念 … 以以 … 及及 … 线线性 … 性相 … 相关 … 关性性 …II
II II
"与与向向量量组组秩秩之之间间的的关关系系。. "
-----=- = -= -= =- = -= -= J
3.【解】 因β可由a?,α?,a?线性表示，故线性方程组
3.【解】 因怯可由。】，。2，。3线性表示，故线性方1程组
- 1 1 3 3 9 9 一 云x?「
=
[~bb~
2 2 0 0 6 6 x? = 1 1
12
[o]
- - 3 311-7-7-_ _ 工 % ? 3 . 一 0_
有解.对增广矩阵施行初等行变换：
(139 —b
1 3 9 b] 1 3 9 b r) 2b-1
012
2 0 6 1 0-6-12 1—2b 6
1
-31-7 0] 010 220 3b 000 3b 2b—1
10 6
3b 2b—1
由非齐次线性方程组有解的条件知：10 6 =0得b= 5.
又a和α?线性无关，a?=3a;+2a?,所以向量组a,a?,a?的秩为2.
0 a 5
0 a 5
1 21
由由题题设设知知向向量量组组β$,，。β2，,0β3的的秩秩也也是是22,,从从而而 1 2 1 ==00,,解解得得 Qa ==1 515..
-1 1 0
_ 1 1 0
· 166 ·
• 166 ・第四章 线性方程组
第四章线性方程组
第第四四章章 线伐性性方方程枝国组
、齐次方程组、基础解系
-、齐次方程组、基础解系
H((22001111,8,8题题)【)【答答案案】】 DD..
【解析】 本题没有给出具体的方程组，因而求解应当由解的结构、由秩开始.
【解析】本题没有给出具体的方程组，因而求解应当由解的结构、由秩开始.
因因为为A如x==0只0只有有1个1个线线性性无无关关的的解解，，即即nn-r-(rA(A)) ==1 ,1从,从而而rr((AA)) ==3 .3那.那么么
rr((AA* ') )== ll=→>nn--rr(.(AA' ') )== 44--11 ==3 ,3,
故故AA*x，=x 0=的 0基的础基解础系解中系有中3有个3线个性线无性关无的关解的，解可，可见见选选项项((AA)()B(B)均)均错错误误..
再再由由A A*
'A
A=
=
| A
\A
|E
|
,
E
及 ,及|A
|
|
A
= 0
| =
,有
0,
A有*A
A"
= 0
A
,
=
知
O
A
,
的知列 A的向列量向全量是全是A*
A
x
'
=
x
0 的
= 0
解的，解而，而秩秩r
r
(
(A
A)
)
=
=
3 ,
3,
口 口
故故AA的的列列向向量量中中必必有有33个个线线性性无无关关..
0
最后，按A =0,即[a?,α?,α?,a?] =0,即a;+a?=0,
1 1
0_
说
说
明
明
α
ai
?
,
,
a
a
3
?相
相
关
关
→
=>
a
a
?
i
,
,
α
a2
?
,
,
a
a
3
?相
相
关
关
.
.
从
从
而
而
应
应
选
选
((D
D
)
)
.
.
[i=- = - = - = = - = ~- - = ~~-=; = = = ~- ~ = = -~=, = = = = = = = = - = ~ = = ~ = ='=il
11 【【评评注注】】 不不要要忘忘记记 "
it "
Il 大 (nn,, rr((AA)) == nn,, '«
: rr((AA*' )) == v 11,, rr((AA)) == 〃n -一1 1,, u
" 00, ,rr((AA)) < _ 1 1 ► （） 1 -* 0 1 0 -2
1 2 0 -3 L0o 44 -3 1 001-3-
_1 2 0 -3. —3 1 _ 0 0 0 0 1 -3.
因因 nn —- rr（(AA） )== 44 -—3 3= =1 ,1令,令 =1求出五=33.,、r » == s22o・.】n1=--11. ,
1
故故基基础础解解系系为为1η== (（一-1 1,2,2,,33,,11)）七.
(（Ⅱ n )）A A B B = = E中 E B中的 B 列的向列量向其量实其是实三是个三非个非齐齐次次线3 线 1性0 性方方程程组组
o0
Ax= ,Ax= 1 ,Ax= 0
0 1
的
的
解
解
.
.
由
由
于
于这
这
三
三
个
个
方
方
程
程
组
组
的
的
系
系
数
数
矩
矩
阵
阵
是
是
相
相
同
同
的
的，所，以所令以可令
=
A=(
（A
A: E
:
)
E
作 ）作初初等等行行变变换换：:
「 1 I - 一2 23 3 - - 4 4 11 000]0 了 - ri 3 -4 1 0 01
A=(A:E)= 01-11 010 0 1 1 1 0 10
=（A ： E）= 0 1 -1 1 0 1 0 — 1 -1 1 0 1 0
_ 1 1 2 2 0 0- -3 3 0 0 0 0 1. 1_ L 0 o 4 4 -3 - 3 1 1 :一 = 1 10 0 1 1J
1-2 3 -4 -20 5 1 12
「1 -4 1 01 r1 —2 0 5 : 1 12
―A 0 0 1 1 - - 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 -A 0 0 1 1 0 0 ■ 2 1 1 — 3 3
Lo 1 -3 1-11 L0o 0 1-3-1 1
0 1 -3 1 I 1J 0 1 —3 — 1 -4
·173 ·
• 173数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数(数学学二二))
n100 1 2 6 _- 1r
0 0 1 2 6
010-2 -1-3 1
0 1 0 -2 _ 1 -3 1
001-3 -1-4 1
0 0 1 -3 -1 -4 1 _
由由此此得得三三个个方方程程组组的的通通解解：：
(2,-1,-1,0)T+k:η
(2, — 1, — 1,0)丁 + 一 即,
(6,-3,-4,0)T+k?η;
(6, — 3, — 4,0)丁 + Ji),
(-1,1,1,0)?+k?η,
(—1,1,1,0)丁 + 龙3“，
2—k? 6—k? —1—k?
一 2 _ k\ 6一幻 一 1 一心一
-1+2k?-3+2k? 1+2k?
—1 + 2k] —3 + 2互2 1 + 2奶
故故所所求求矩矩阵阵为为8B== ，,奴k?，,奴k?，,奴k?为为任任意意常常数数..
-1+3k?-4+3k? 1+3k?
—1 + 3^1 一 4 + 3奴 1 + 3心
k? k? k?
心 -
「--了-…- = - = = -— — -…………………r……司
] 【【评评注注】 】 本 本题题难难度度系系数数数数一一 00. .444455,,数数二二00.. 441166,,数数三三00.. 443366.. J
r
9
(2015,7题【答案】 D.
【解析】 Ax=b有无穷多解?r(A)= r(A) I ki +7,2.
=Z1
2 -1
-1 2
·
+1?
于于是是H n =
=
(l（?
4
+ +4l叫?)）β仇 ++( l
（Z
?
i
+
+
7
7
l
Z
?
2
)
）/
B
J2
? ==L ?g(β ++β 庄)）+
+
l
Z
?
z
(（4
4
β
$ +
+
7
7B
&
?
）
)=
=
l;
1 4
1 7
其其中中l
E
,l?为为任任意意实实数数..
2
2
..【【答答案案】】 B
B
.
.
【【解解析析】】 显显然然命命题题④④错错误误，，因因此此排排除除（C(C）)（D(D）)..对对于于（(AA）)与与(（BB)）其其中中必必有有一一个个正正确确，，因因此此命命题题
①①必必正正确确，，那那么么②②与与③③哪哪一一个个命命题题正正确确呢呢?？
由由命命题题①①,，““若若AAxx ==00的的解解均均是是BBx=x 0=的 0解的，解 -则， - 则秩- 秩(-A（)A -≥） - 2秩-(秩 -B)- （B”- ）正” - 正确- 确 -，， -知知 - ““- 若若- BBx x==0 0的的解解均均
是是AAxx= 0=的 0解的，解则，则秩秩(（BB)）≥ 2秩秩(A（A)”）”正正确确，，可可见见“若“A若x A=x =00与与BBxx ==0 同0解同解，，则则秩秩(（AA)）==秩秩(B（)B”）”正正
确确..即即命命题题③③正正确确，，故故应应选选(（BB).）.
希希望望你你能能证证明明①①正正确确，，举举例例说说明明②②错错误误..
33..【【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】 若 若〃η是是（I(I）)的的解解，，则则AiAj n== 00,,那那么么
(AA)η=AT(An)= ATO=0,
（ATA）rj = Ar（Ajj） = At0 = 0,
即即η
1
是是(（Ⅱ
H
)
）
的的解解..
若
若
α
a 是
是
（
(
I
Ⅱ
I）
)
的
的
解
解
，有
，
A
有
r
A
A
T
a
A
=
α
0
=0
,用
,用
aT
a T
左
左
乘
乘
得
得
a
α
TA
?
TA
AT
a
A
=
a=
0
0
,
,
B
即 P（(
A
A
a
a
）
)
T
(
（
A
A
a
a
)
）
=
=
0
0
.
.
亦亦即即A&a自自己己的的内内积积（(AAaa l,AAaa'）) ==0 ,0故,故必必有有Aα& ==0 ,0即,即αa是是(（II)的）的解解..
所所以以(（II) 与）与(Ⅱ（口)同）同解解，，故故应应选选(（AA).）.
[r - - -- = ~ = ~- e = = = -- -- -- - = = = -- = =? = - …= - …= - =… - =… =,=…：-- --- ,-!f -=…司=司
【评注】 若α=(a?,az,…,a,),则α'α=a2+a2+…+a2,可见a1α=0=α=0.
11 【评注】 若 a = （ai 9a2,»a„）T »则 ara =房 +展 + ••・ ,可见 aTa = 0 0a = 0. n
L h~ - = - = - = - = - = - = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -= -= -= -= -= -= -= -= - = 1 *^1
44..【【解解】】 因 因为为方方程程组组（(nⅡ）)中中方方程程个个数数v<未未知知数数个个数数，，（(Ⅱ□）)必必有有无无穷穷多多解解，，所所以以（(II)）必必有有无无穷穷
多多解解..因因此此（(II)）的的系系数数行行列列式式必必为为00,即,即有有
1 2 3
1 2 3
235 =2-a=0→a= 2.
2 3 5 = 2 — a = 0=>a = 2.
1 1 a
1 1 Q
123 101
-1 2 3- _i o r·
235 011
对对(（II)系）系数数矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换，，有有 2 3 5 —► 0 1 1
1 1 2 0 0 0
_1 1 2_ 0 0 0_
可可求求出出方方程程组（组I (）I的)的通解通是解x是 =x奴=k一(1-,1 —,- 11,,11）T).
因因为为（(--11,,--11,1,)1应）T当应是当方是程方组程(组Ⅱ（)口的）解的，解故，故有有
-1-b+c=0,
(（—1 — b c = 0,
1一-22--胪b2 ++c c++1l= =0 .0.
解解得得。b==1l,,cc == 22 或或 bA ==0 0,,cc ==1 .1.
当当bb ==0 ,0c,=c1=时 1，时方，方程程组组(（ⅡU)）为为
·・
1
1
8
8
0
0 ·
-第第四四章章 线线性性方方程程组组
x?++xx?3 ==0 0,,
2x?+2x?= 0.
\ 2xx + 2x3 = 0.
…………… ………… …
因
因
其
其系
系
数
数
矩
矩
阵
阵
的
的
秩
秩
为
为
1
1
,从
,从
而
而（I (I）)
与
与（(
n
Ⅱ）)
不
不
同
同
解
解
，故
，故
。=
b=
o
0
,
,
c
c =
=
1 应
1应
舍
舍
去
去
.
.
当当a。==2,2b,5= 1=, cl,=c2 =时 2， 时(，I（)1与）(与Ⅱ（)U同）同解解..
55..【【解解】】(（11）)对对方方程程组组(（II)的）的增增广广矩矩阵阵作作初初等等行7行变变换换，，有有
1
1 1 0 -2 -67 -27
■1 1 0 -2 -6- 0 0 _ 1 -2~
A?=
瓦= 4 4 - _ 1 1 - - 1 1 — - 1 1 1 1 —A 0 0 1 1 0 0 - - 1 1 - — 4 4
3-1-10 3
_3 -1 _ 1 0 3 _ _00 001 1-2-2|-5-5_.
由由n〃 -一rr(（AA)） ==4 -43 —= 13, =取 1自,取由自变由变量量为为x?.
令令xa? ==0 ,0得,得方方程程组组（(II)）的的特特解解（(一-22,, —-44,, -一5 ,50,0)）T丁,，
令令x4? ==1, 1得,得(I（)的I）导的出导组出的组基的础基解础解系系为为(1（,11,,12,2,1,1)）?丁.
・
故故(（I
I
)）的的通通解解为为：：x x
=
= (
（
-
—
2,
2
-
,
4
—
, -
4
5
,
,一0)
5
T
,0
+k ）丁( 1+,奴1,
1
.2
,1
,
,
1
.
)
2
T
,1
,k ）丁为以任为意任实意数实数。.
(（22）)把把（(II）)的的通通解 解11 x=;—=-2 2++ &k,,了x2 ?==—- 44 ++k 4,,x13? ==-—5 +5 2+k ,24x,1?4= k=代 4 入代入(Ⅱ（□)）
人—(（mm -—2 2)）(（互k一-44）) ==0 0,,
整整理理得得 ｛（〃一4）以一 4） = 0,
(n-4)(k-4)=0,
t = 6.
、t = 6.
由由于于4k是是任任意意常常数数，故，m故 =m 2=,2n, =n= 44,,l t== 66..此此时时（(II）)的的解解全全是是（(IIⅡ）的)的解解.当.m当 =m =22,,〃 n== 44,,ft ==
…………………………… …………
6时，易见r(A?)=r(A?)=3,(Ⅱ)的通解为α+kη形式.
6时，易见r（A2） = r（A2） = 3,（ II）的通解为a + S形式.
所所以以xx==( -（2—,-24,,—-45,,0一)5π,0+）k丁(1+,奴1,12,1,1,2),就1）是丁就(Ⅱ是)（的口）通的解通，解从，从而而(（II)与）与(Ⅱ（口)）同同解解..
66. .【【答答案案】】 CC..
【【解解析析】 】 由 由拉拉普普拉拉斯斯展展开开式一 式（A(A）)与与(（BB)）的的系系数数行行列列式式，，均均是是
AO E A
A n e A
==|I AAI ·| • | |BB || ； ==||EE|·|・||AABB|| ==| A|A|·|・||BB||
E B 0 AB
h D （J A1J
两两者者相相等等，，（A(A）)和和（(BB）)同同时时只只有有零零解解或或同同时时有有非非零零解解•.于于是是（(AA)）和和(（BB)）同同时时正正确确或或同同时时错错误误..目目
前前是是44选选11,故,故(（AA)(）B（B)肯）肯定定均均不不正正确确..
关关于于（(DD）),,因因为为矩矩阵阵乘乘法法没有没交有换交律换，可律构，造可A构和造BA使和ABB使 =AB O=O.B,AB A==0 O.即.艮|(KDD)）不不正正确确..
1 1
[- 1 1 0° 0- [00° 0-
例例如如AA ==
0 0
和和BB ==
.10.
，,则则AAxx == 00与与BBxx= =0 同0同解解..
_0 0- =L1 0.
■ 1 1 0' 0 [ ］「0 0 0° 0 1 一 『■ 0 0 0 ° 0 1 -
=0
但但AABB == =O
.00 0.0JL 1 1 0 0 一= .00 0.0.
1
(-000 °0 ] ］「 1 1 0° 0]- ■000 °0-
BA =
BA =
.11 0.oJLo0 0.0. 10.
.1 0_
0000°
■0 0 0 0-
L 1
AABB BB*~ 00 00 11 00
那那么么厂r = r = = 1 1
.
O
O
AA.- 0
0
0
0
1
1
0
0
0000-
_0 0 0 0_
·・ 118811 ·-一
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· ・提提高高篇篇 (5数导学匚二)
7
00107
一0 0 1 o_
11
[B
BA
A A2 1
1
0
0
0
0
0
0
r = r =2
r r =2
O B. 0000
-O B J 0 0 0 0
0010-
_o 0 1 0_
即BP（(DD)）中中两两方方程程组组不不同同解解..
y J : i 1 A B
[ A
y = 0的解
对对于于（(0C),,设设，y== ，,刈yi,y?为为〃n维维列列向向量量是是（(II)） O B. =O的解.
)A
A B
B ]儿yi 1
=。y
■ A
?
2A y
」
j ; i +
+ B
B
，，
y
y
2
,
2
O7
O
O B-
则则
0 B. yz- By? O-
-O B 」 -By2 O
)2
Ay,+By,=0.
(Ay! + By = 0,
即
即
2 所所以以 Ay;==00,,BByy?2 ==00..
By,=0.
{By2 = 0,
r
由由AAxx =—0 与0与BxB=x0=同0解同，解，于于是是BBjyi ;== 00,,AA
j
y2? ==0 0..
1 11=
[B
B
A
A"
]儿y: = By?+Ay? O
O
?
'
那那么么(（ⅡU)） 0 A. Ly2z· - Ay? O. 1
-O A- -Ay 2 - -O-
即即yy若若是是(（ⅡI)）的的解解，，则则yy必必是是(（Ⅱ口)）的的解解..
反反之之亦亦对对..所所以以（(CC)）正正确确..
1 1
[-[11 0°O' [■ 0 0 0° 0-
当当然然（(AA)）(（BB)）不不正正确确，，也也可可用用刚刚刚刚（(DD）)中中的的反反例例 和知 来来说说明明..
.
_
0
00
0
.
.
Th
.1
1 0.
0.
· 182 ·
・182・____ <
第第五五章章 特征值与特W征征向向量量
…
第第五五章章 特特隹征值值鸟与特特任征向向量量
。
、-特、特征征值伉，、特特征征向向量最的的概概念念与与计计算算
d(（22001155,1,144题题)【）【答答案案】】 2211..
【解析】 由由
A
Aα
a
=
=
λ
X
a
a
→
=
A
>
"
A
α
na
= λ
=
"
X
α
na
,
,
因因为为AA的的特特征征值值是是22,,—-22,,11,,所所以以BB的的特特征征值值是是33,,77,,11,,故故| |BB || ==2 12.1.
0(（22001177,,1144题题)）【【答答案案】】-一1.1.
【解析】 按按定定义义，，设设AAaα ==λ Xxa,即
41-2 [17
1 2 a 1 =λ 1
31 —1. 2 2
人4+1-4=λ,
4 + 1-4 = A,
所所以以 1l ++2 2+ +2a 2=a λ= ,A , 解解得得aa ==-—1 .1.
3+1-2=2λ,
3 + 1-2 = 2A,
r
0(（22001188,,1144题题)【）【答答案案】】 22..
【解析】劣 [。A[，a。,a，。z,
〕
a
=
?]
[
=
2
[
0]
2 a+;。+a+?+。a?，,%a ?
+
+
2
2。a?，,-a?+a?]
1 2 3 2 3 3 — «2 +
20 0
「2 0 0
,
=「a?,a?,α?] 11-1
%] ,a. ，。3〕 1 1 _ 1
12 1
_1 2 1
一22 00 00 -
记 记 P P = [ = a ?[。,a，?。,a，?。] 〕 , ， 可 可 逆 逆 ， ，8 B== 1 1 1 1 - _ 1 1 ,，则则AP== PPBB=→>P^P 1AAPP == BB即 即A A～ 〜B.B.
1 2 3
12 1
_1 2 1 _
λA —— 2 2 00 00
λI AEE--BB || == - _ 1 1 A x - - - 1 1 1 1 ==(λQ--22)）[E(（λA--1l)）22++22]],,
_1 —一2 λ—1
-1 2 A -1
故故AA的的实实特特征征值值为为22..
解解题题加加速速度度
侦答廿？ ] 1
1.【答案】 B.
1 1
【【解解析析】 】由由AAαa ==义aa。,α，。≠尹00,,有有A劣2
2
a。=λ= AxaA a= x=2 Eαa,,故故—3 - A A 2 2 a α = =
3
— - A λ 2 2 a a . .
3 3
1 1 1 4
即即若若λ人是是矩矩阵阵AA的的特特征征值值，，则则是
2是
矩
矩阵
阵的
A2
特
的特
征
征值
值
，
，
现
现
λ
人
=
= 2,2因,因
此
此
，
，!AA2 ，
有
有
特
特
征
征
值
值*..再再利利用用
3 3 3 3
O o «5
o
1 1 -1 3
若
若
Ax
&
= λ
=
α
S
,
,
则
则
A
A
-
~
' α
a =
= λ
α,，从从而而(（?
3
人-A22）
有
有
特
特
征
征
值
值M
4 .
•
故
故
应
应
选
选
(
（
B
B
)
或或者， (
3
1 者 -A2) -1
α
a =
=3 (
3
A
（A
-1
-
)
1）
2
2
α
a,
,
由
由
义
λ
=
=2
2
是
是
A
A
的
的
特
特
征
征
值
值
，
，
知
知
2
1 !是
是A
妒
-1
】
的
的
特
特
征
征
值
值
，
，
于
于
是
是
4
1 土是是(（AA-1'1)）22
\ o / 2 4
·- 118833 ·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
的的特特征征值值，，亦亦知知应应选选(（BB)）..
22..【【答答案案】】 11..
【【解解析析】】 根根据据已已知知条条件件本本题题有有两两种种解解法法.用.用定定义义，由，由
Aa?=0=0a;,A(2a?+a?)=2Aa;+Aa?= Aa?= 2a;+α?
Aa\ = 0 = Oai ,A（2ai +a2） = 2Aa\ + Aa2 — Aai — 2ai + az
r
知知AA的的特特征征值值为为1和1和0.因0.此因A此的A非的零非特零征特值征为值1.为或1者.或，者利，利用用相相似似，，有有
02”
「0 2'
A[a?,a?]=[0,2a;+a?]=[aj,a?]
A[ai,%] = [0,2ai + 阪]=[a】，％] 0° 1.】.
)02"]
ro 2i
可可知知AA～〜L J,，亦亦可可得得AA的的特特征征值值11和和0,0因,因此此AA的的非非零零特特征征值值为为1.1.
_01.
「 【评注】 要掌握定义法,Aa = Aa,a 0,通过恒等变形推导出特征值、特征向量的信,
【评注】 要掌握定义法，Aα= a,α≠0,通过恒等变形推导出特征值、特征向量的信
I t I l息息..若若已已知知a。j,
1
a，。?
2
,a，。?
3
线线性性无无关关，，又又有有 I | I |
Aa?=a:a?+a?a?+a?a?,Aa?=b?α?+b?a?+b?a?,Aa?=c?a?+c?a?+c?a?
Aa\ = a{ai + a2a2 + a3a3，&2 = + b2a2 + b3a3 >Aa3 =勺① + c2az + c3a3
的的信信息息，，一一定定不不要要忘忘记记相相似似的的背背景景，.
"
A
A[
[
_
a
a
i
\
,血α，?％,a]? ]== [
[
A
&
a
i
? ,血Aa?
2
,，如Aa?
3
〕]
||
it
=
=
[ a
[
?
a
a
ia
;
i
+ a
+
? a
a
?
2
+
a
a
2
?
+
α
<
?
23
,
(
b
X3
?，α但1
a
;】++b? α
bm
?+
+
b?
6
α
3(
?
X3
,，c勺:蜀a? ++c ?
c
α
2a2
? +
+
c ?
03
a
(
?
X3
]
]
a? b? c?'
初 6） C「
r
=[a;,a?,a?] a? b? c?
=»(X2 03 〕 Cl
a? b? c?.
*3 C3_
a; b? C?
云
1
b\ C「
a? b? C?
即即
P
P
-
1
1
A
AP
P =
=
B ,
B
其
,
其中中P P= [=a :
[a
,】a
，
?
％
,
，
a
a3
?
]
]
,
,
B
B
=
=
0 Cz
a? b?C?.
一。 3 b3 C3_
本本题题难难度度系系数数0.704.
0. 704.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — -- -- --
33..【【解解】】（I( I）)由由AA ==q aβflr和和αaTβft ==0 0,有,有
AA22 ==(a（β邱丁)(）a（岫β)）=
=
α
a
(β（pT α a）)
p
P
T
=
=
0 aQβaftπT == 0O..
（(Ⅱ□）)设设λ义是是AA的的任任一一特特征征值值，，η〃是是AA属属于于特特征征值值λ义的的特特征征向向量量，，即即AAηt]==λ切η，,邛n≠尹00..那那么么
A2n=λAη=λ2η.
A2t] = AArj = A2t/.
r
因因为为A妒2==O,O故,故2义η2=邛0=,又0,因又η因≠宛0尹,0从,从而而矩矩阵阵A的A的特特征征值值是是λ义==0(0n（重〃重根根)）..
不不妨妨设设向向量量α a，P ,β的的第第 1个1个分分量量山a尹?≠ 0 0 ,缶,b尹?≠ 0 0 .对.对齐齐次次线线性性方方程程组组（0E (O — E - A A ） ) x x = =0 0 的的系系数数矩矩阵阵作作
71
初初等等行行变变换换，，有有
-a?b 缶 ?— — a a ? x b b ? 2 … - — • a — ; b a 。 xbn [b;b b ? 2 … , b。
Qi
-a?b?-a?b?…-a?b。 00… 0
—。 。 —a2b2 • ,—a2bn 0 0 -・・ 0
0 0 E E - -A A = = 2 1 : *** ——► : : : :
― — a n a b , x b? — — a a n , b b 2 ?… - • — a — ,b a 。 nbn_ _ 0 0 00 …・・・ 00_
得得到到基基础础解解系系
n
功
.=
=
(-b
（―
?,
。
b?
，
,
。
…
，
,
…
0)
，。
?
）
,
丁
n
，
:
邛
= (-
=
b?（,
―
0,
。
b?
，°
,…
，缶
,
，
0
…
)π
，0
,）…
丁，
,
…
η
，邛
- -
I
? =
—
(-b（― 。
A
,
”
0，,
。
0
，
,
。
…
，，"
,b
，
?
。
)
】）
?
，
.
2 1 2 3
于于是是矩矩阵阵AA属属于于特特征征值值义λ==00的的特特征征向向量量为为
k加;邛mi++k?.n邛?+…+ +,,k, ,+η虹-1,份其中,其k,中k?加,…以,k，…。，,么是不是全不为全零为的零任的意任意常常数数。.
I 2 1 1 2 -1
· 184 ·
・ 184 -《 第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量
44..【【分分析析】】 因因为为AA'*与与BB相相似似，，而而两两个个相相似似矩矩阵阵的的特特征征值值与与特特征征向向量量有有关关联联，，利利用用它它们们之之间间的的
联系就可求出B的特征值与特征向量，进而就可求出B+2E的特征值与特征向量.
联系就可求出B的特征值与特征向量，进而就可求出B + 2E的特征值与特征向量.
【解】 由于
【解】由于
λA —- 33 -—2 2 —— 22 -7λ—A——77 AA-——77
| I λ AE E -A -A|= - — 2 2 λ A - — 3 3 — — 2 2 =2_ 2 A-3
— — 2 2 — — 2 2 λ A — — 3 3 0 一 1-A λ A- A 1
1 1
1 1
2 A 3 2
==((3A -*7 7))((AA --1 1) ) - 2 A 3 ==(λ(A-1-)l)22((λA--77)),,
①0 -- 11 11
故A的特征值为λ?=λ?=1,λ?=7.
故A的特征值为人 =人 = 1，义 = 7.
1 2 3
IAl
因因为为| |AA || ==Ⅱ λX,i ==7 ,7若,若AAaa ==aa加,，则则AA**α a == λ α，,所所以以，,AA*’的的特特征征值值为为77,,77,,11..
A
由由于于
B
B =
=
P -
P
1
-
A *
A
P ,
P
即 ,即A*
A
与
*
B与相
B
似相，似故，故B的
B
特的征特征值值为为7,
7
7
,
,
7
1
,1
,从 ,从而而B
B
+ 2
+
E
2
的
E
特的征特值征值为为9,
9
9
,
,
9
3
,3
.
.
IA
因因为为 BB((PT'yα))== ((Pp--'1AAT*PX)P(^P'1aa)) == PP~1 AA''αa == J-AlPp--''αa,,
λ
A
Al A
按 按 定 定 义 义 可 可 知 知 矩 矩 阵 阵 BB属 属 于 于 特 特 征 征 值 值甲的 的 特 特 征 征 向 向 量 量 是 是pPT-'aa.. 因 因 此 此BB ++2 2EE属 属 于 于 特 特 征 征 值 值V」+ +2 2 的 的
λ λ
A A
特特征征向向量量是是P-1α.
01-1]
0 1 一 r
由由于于P1== 1 10 o 0 o ,,而而
_0o 0 0 11
-2 22 - 22i r11 1 1i]
当当 Aλ == 11 时时，，由由(E(-EA-)AX)x == 00,, 2 2 2 2 A 000 ,
-2j [(.) 0 OJ
?
得得矩矩阵阵
A
A属属于于义λ==1
1
的的特特征征向向量量
o
α】= ;=
(
(
—
-1
1
,
,1
1
,
,
0
0
)
)
T
?
,a
,
2
a
=
?= (
(—
-1
1
,
,
0
0
,
,1
1
)
)
T
,
,
r 4 _ 2 _ 2] 「10—1]
→01-1
当当 Aλ == 77 时时，，由由(7(E7-EA-A)x) x== 00,, i 2- I ,
2 — 2 4 J |_( ) 0 0 J
得得到到矩矩阵阵AA属属于于义λ==77的的特特征征向向量量。a3? ==(1(1,1,1,,11)),丁那，那么么
P广-'。a?==( (11,-,1-,10,)0T)T, ,PP-~']aa2? ==( -(―1, 1-»1 —,1 1) ,TD,TP »-P'-a1a?3= (=0 ,(10,,11,)1T).T.
1
从从而而,，B +B+ 22EE属属于于义λ】?==λA2 ?== 99的的特特征征向向量量为为蜘k?（(11,,一-11,,00）)丁?++k处?(（-一1,1-，1一,11，)1?）,丁其，其中中k刈?,以k?是是
2
不不全全为为。0的的任任意意常常数数，，而而BB ++2 2EE属属于于λ义?3 ==3的 3特的征特向征量向量为为k?么(0（,01,,11,)1?）,丁其，其中中k,k为3为非非零零常常数数..
r
5 -2-27
ii 「5 -2 —2] ii
ii 【t评评注注】 】 本 本题题也也可可以以先先求求出出A*A *== — -2 2 5 5 — - 2 2 1 ,，然然后后求求 ii
-2-2 5
_- 2 — 2 5
1
[ 7 0 0
-7 0 0 -
B B = = J P T 1 】A A' ，P P= = - -2 2 5 5 - - - 4 4 1
n - -2 2 - - 2 2 3 3 -
:再求B + 2E,…. ii
再求B+2E,….
ii
. = = = = = =；
55 ..【【答答案案】】22..
· 185 ·
-185 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
【解析】因为矩阵A=脚1的秩为1,所以矩阵A的特征值是乙a。,0,0.
【解析】 因为矩阵4 = paT的秩为1,所以矩阵A的特征值是
而而本本题题乙、aa。"就就是是αa"^β,故,故俭即丁的的非非零零特特征征值值为为22..
【评注】 若α=(a?,az,a?),β=(b?,b?,b?),则
【评注】 若（X = ,。 ，仁 ）丁 »P = （b] ,b?,缶）丁，则 7
（Q] 2 3
a?b? a?b? a?b?
b\ 。 bi 。 bi
Q] 2 3 ,
A=1= a;b? a?b? a?b?
A = Pa] = a.? a2b2 a3b2
a;b? a?b? a?b?.
_。 缶 口 。 缶-
1 2）3 3
”那那么么 || λAEE —-A A| =| λ= 1A-3 (—a ?(b"?i+ a+?ab?2b+2a +?b a?3)bλ3 )A22,» 而而 aa1] βp == βflTαa ==a a?bxb?\ ++a ?ab2b?2+ +a? ab3?b.3.
ii ii
" 一一般般地地，如， r(如A)r =( A1),=有1 ,|A有E|—λA E| =- AA|" =•—x °52 a-„2 Aa11?-1，1则,义则i λ=;习= 2Q”a，.人,2 ?==……==λ兀.==00..;"
:本本题题难难度度系系数数00..6 68800.. :
关关于于秩秩为为11的的矩矩阵阵的的特特征征值值公公式式应应当当熟熟悉悉!！
:、相相似似与与相相似似对对角角化化
|J(（22000099,,1144题题)【）【答答案案】】 22..
【【解解析析】 】设设α =(a（?。,a,z。,a，?口)?丁,β，"7==(b（?缶,b，?。,b，。?)?,，则则
a = 1 2 3） 2 3）T
a? a?b?a?b? a?b?
ci\ b\ CL\
Q]^2
a β ftT T = = aa?2 [[b缶?，,。b
2
?，,。b
3 ]
?]
=
= a a^ ? b b i ? a Q ? -2 b
^2
? a
Q
?
2
b
6
?
3
a?b? a?b? a?b?.
1 a?. _口 缶。 方 。 》
3 3 2 3 3 -
a?
0
az
=a?b?+a?b?+a?b?.
而而β『αa ==(b（?缶,b，。?,，b、?)）小 =d\b\ +。 。 。3、3 •
2 3 2 2 2 +
a?
可可见见β伊α。正正是是矩矩阵阵 的 的主主对对角角线线元元素素之之和和，即，即矩矩阵阵的的迹迹.因.因为为两两个个矩矩阵阵相相似似有有相相同同的的迹迹，，所所以以
fβlaα = =2 2++ 00 ++ 00 ==2 .2.
" 【【评评注注】】 关关于于符符号号qaβflT1 ,,f阳laT1 ,,aa'Tβp,f,iβTaα -一定定要要分分清清，，还还要要知知道道它它们们之之间间的的内内在在联联系系，，这这"
II II
"是是常常考考的的知知识识点点，，不不妨妨看看看看22000099年年数数一一、、数数三三的的试试题题，，也也是是在在考考查查这这里里的的知知识识.本.本题题难难度度系系"
II n
]数数 00..5 57788.. … j
1
_ 1 1 1 1 … … 1 1 ■ -00 — 0 0 1 1 -
1 1 … 1 0… 0 2
1 1 — 1 0 — 0 2
0(（22001144,,2233题题）)【【证证明】明 】记记4A == : , ,8 B = = : : :
-11 )1 1 … … 1 1 _ _ 0 0 … … 0 0 n n _
因因AA是是实实对对称称矩矩阵阵必必与与对对角角矩矩阵阵相相似似..
.
由由|I λXEE--AA| |==λ义”"一-泌n-11 ==0,0知,知A的A特的特征征值值为为nn,,00(（nn -—1 个1个)）..
0
故故AA～〜AA == . .
一 00.
又又由由|| λAEE —- BB| =|=(λ (A-n-)nλ)A"^-11 ==0 0,知,知矩矩阵阵BB的的特特征征值值为为〃n,，00(3n-—1 1个个))..
· 186 ·
. 186 .第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量
n
当当
A
λ ==
0
0 时时，，r(OrE( O
—
E
B
-
)
B =)=
r
r
(
(
B
B
)
)== 1
1
, ,那那么么
n
n
-
-
r
r
(O
(O
E
E
-
-
B
B)
)
=
=
n -
n
1
-
,
1
即 ,即齐齐次次方方程程组组(O (
E
O
—
E-
B
B
)
)
x
x
=
=
00有有n«-1-个1线个线性性无无关关的的解解，，亦亦即即Aλ == 00时时矩矩阵阵BB有有nn-1-个1线个性线性无无关关的的特特征征向向量量..从从而而矩矩阵阵BB必必与与
对对角角矩矩阵阵相相似似，，即即
0
0
B
B
～〜A A =
=
0
0.
从
从
而 而4A和
和
BB相
相
似
似
.
.
" 【 【评 评 注 注 】 】 因 因 为4为〜A～AA,故 ,故 存 存 在 在 可 可 逆矩 逆 阵 矩R阵 使 P使PTP 1AAPP, ?==AA,又,又 因 因 BB～〜A,A故,故 存 存 在 在 可 可 逆 逆 矩 矩 阵 阵 PR? 11
II ） II
"使使 PP?T''BBPPz ?== AA,,于于是是 7PY1 AAPP?== P^1B BPP?z→^PPzP?TP 1AAPP?^P1 ?=1 =BB,,令令？P == P?P|珂?1。,即即有有 rP'A1APP ==B B.. "
II II
|> 难难度度系系数数 00..338822,,00..335544,,00..336688.. j
0(2(2001166,,77题题))【【答答案家】】 CC..
【【解解析析】 】 由 由已已知知条条件件,存，在存可在逆可矩逆阵矩P阵使P使P P-A1PA P== BB..那那么么
BBT
t
==(P (-P1-A'AP)Pπ)T= = P PTATAT(TP(P-1-)')TT= = P P?1TA'ATTPP?i ,,
，(
其其中中PP?| ==( P(Tp)T'),T即,即AT4与丁B与T相BT似相，似(A)A正)确正确。.
BB- 11 ==( P(P--1'AAPP))--'1 ==P P1~A'-A1-1( (PP--11 )-1== PP1-A'-A1'PP,,
即即AA?1T和和B?b1t相相似似，，((BB)正)正确确..
又 又 PP~1' (CAA ++ AA--^1P) P== PP^1'AAPP ++ PP~1'AA -'P1 P=BB ++B B11,,
即即AA++AA-1T和和B+BB +1 相B 似'相，似(，D()D正)正确确..
从从而而应应选选((CC))..
1 …1 2
1 2°
21
[
「
1
1
1°
11 「2 21
)22
「2
'
1"
『21°
特特别别地地，,AA== 01. 与与方B== 01. ,相相似似..但但A A++AATT == . 口 2 2. 口 与 与B B + + B B T— T= 12. °不不相相似似..
Lo 1J Lo 1J L2 2」 Ll 2J
0(2(0201177,,88题 题))【 答案】 BB..
000
_0 0 0 '
00-1
【【解解析析】 】 对 对矩阵矩A阵,A特,特征值征为值2为,22,,12.,由1.2由E2-EA- A== 0 0 一 11知知其其秩秩为为11..
0 0 1 .
0 0 1
齐齐次次方方程程组组((22EE -—AA)x)x= 0=有 02有个线2个性线无性关无的关解的，解亦，亦即即λA= 2=有 22有个2线个性线无性关无的关特的征特向征量向，量所，所以以
AA～〜CC相相似似..
1
0 —10°
-0 -1 0-
对对于于矩矩阵阵BB,,特特征征值值为为2,22,,21,.1由.由于2于E2-EB-B== 0 0 0 0 0 0 ,,故故其其秩秩为为22..
00 (0 0 1. 1.
齐齐次次方方程程组组((22EE--BB))xx=0 =只 0有只1个有线1个性线无性关无的关解的，解亦，亦即即λA= 2=只 2有只1有个1线个性线无性关无的关特的特征征向向量量，,
BB不不能能相相似似对对角角化化..故故应应选选((BB))..
&((22001188,,77 题题))〔(答答 案】AA..
【解析】 这这55个个矩矩阵阵特特征征值值都都是是11,1,1,1,1且且都都没没有有3个3个线性线无性关无的关特的征特向征量向，量L即，即都都不不能能相相似似对对角角化化..
110°
-1 1 0'
对对((BB))((CC)()(DD)选)选项项，,Aλ ==1 1都都是是有有2个2个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，，而而 0 0 11 11与与（(AA)）对对义λ==11都都只只
001.
0 0 1.
·187 ·
. 187 .-
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
有有11个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，，所所以以选选(（AA).）.
一 1 1 1 1 0 7 0 《 '
【【评评注注】】 如 如 P P = = 0 0 1 1 0 0 , ， 则 则
001.
0 0 1.
1 1 0 1-10 1107 1107尸 11-1
rl 1 0- ■1 一 1 0一 ■1 1 0- -1 1 0- = _1 1 - r
P P 1 0 0 1 1 1 1 P P = = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 = 0 0 1 1 1 1 ,,亦亦知知选选(（AA)）..
0 0 0 0 1 - 1_ 00 0 0 1 1_ _00 0 0 1. 1_ 00 001 ]1_ 0 0 0 0 1 1 _
09(2（022002,02,32题3题)【）【解解】】(（II)因）因α。≠尹0且0且αa不不是是A的A特的征特向征量向.于量是.A于a 是≠k&a尹,从从而而αa与与AAαa不不
共共线线，，即即。α，如,A线a线性性无无关关，，故故
P
P== [α,Aa]可可逆逆..
或或(（反反证证法法）)若若PP不不可可逆逆，，有有
|I PP| I ==| αI a,^AAαa 1|==00,,
αa与与AAaa成成比比例例，，于于是是&Aa ==h如a..又又α口≠尹0知0知α是。是A的4特的征特向征量向，量与，与已已知知条条件件矛矛盾盾..
(（ⅡII）)（(方方法法一一） ) 由 由 A2Aa2 α+ A+aA a—- 66aa ==0 有0 有A2 Aα2（=x =6 α6a— — AAax..
AP=A[a,Aa]=[Aa,A'a]=[Aa,6α-Aa]
AP = A[a,Aa] = \_Aa ,A2a] = [Aa,6a —Aa]
0 6 (
=[a,Aa]
1 —1.
因因P可可逆逆，，于于是是
P 1
0 6 ] ·
P-1AP=
1 —]
[0 6 ] λ —6
记 B=[° 6 ，而 | AE — B I = " = A2 + A — 6,可知特征值为 2,-3.
记B= ,而|E-B|= =λ2+λ-6,可知特征值为2,—3.
1-1 -1 λ+1
LI — 1J — 1 A + 1
于于是是AA有有2个2个不不同同特特征征值值从从而而AA可可相相似似对对角角化化..
方(方法法二二) ) 因 因A2 +A2A+-A6-E6 E== ((AA--22EE))((AA ++ 33EE)) ==( (AA+ +3 E3)E()(AA- —2 E2)E,),
由由人A'2。α+ +&Aa —- 66(a1 ==0 0,,即 BP ((AA22 ++ AA- —6 E6)Eα)a ==0 0,,
于于是是((AA--22EE))((AA ++3 3EE))αa ==0 0,,
艮即 P（(AA--22EE)）(（AAαa ++33αa） )== 00,,
即即 AA(（AAaa ++3 3aa)） == 22(（AAaa ++3 a3a)）,,
由由αa不不是是特特征征向向量量，，有有AaA a++ 33aa≠尹00,,
从从而而λA ==2 2是是A的A特的征特值征，值，类类似似有有λA ==-3-是 3特是特征征值值.下.下略略..
1皿O(（2202022,28,题8题)【）[答:答案案】】 BB..
【【解解析析】 】如 A如 =A= PPAAPP-11即即AA与与A相A相似似，，所所以以AA和和AA的的特特征征值值相相同同，，即即4A的的特特征征值值是是11,,--11,,
00;;反反之之若若AA的的特特征征值值是是11,,- 1-,10,,0即,A即有A3有个不3个同不的同特的征特值征，值所，以所A以可A相可似相对似角对化角，化而，而对对角角矩矩阵阵由由
r
特特征征值值11,, -—1 ,10,构0构成成，，即即AA～〜AA.从.从而而(B（B)正）正确确..
关关于于(（AA)）,矩,矩阵阵等等价价是是秩秩相相等等，，特特征征值值可可以以不不一一样样..
2 「2 ■11 ] 一 2 2
1 P2= -1 ,A = 1
例例如如P?= 1 P?= -1 ,A = 1
P1 =
1 1 0
_ 1_ _ 1_ - 0_
· 188 ·
. 188 .第五章特征值与特征向量
第五章特征值与特征向It
21 2 7 7
水
「2 1 1 「2
有有 AA == PPA,APP?2 == 1 1 - -1 1 - 一 1 1 = = 1 1
1] 0 1 0-
1_ 0_ 1_ 0_
A的特征值不是1,-1,0,故(A)不正确。
A的特征值不是1, -1,0,故（A）不正确.
关关于于(
（C
C)
）
,
,
仅仅实实对对称称矩矩阵阵可可以以用用正正交交矩矩阵阵相相似似对对角角化化，，一一般般矩矩阵阵如如可可以以对对角角化化只只能能由由可可逆逆矩矩阵阵
来实现并不能用正交矩阵.
来实现并不能用正交矩阵.
11 0尸
1 1 0'
例 例如 如 4 A = = 0 0- -1 1 0 0 , ,A A的 的 特 特 征 征 值 值是 是 1 1 , , - - 1 1, ,0 0
000.
0 0 0.
0-10
■0 —1 01
r
02 0
但但 EE--AA == 0 2 0 得得 aa】?==((11,,00,,00))T
00 1
0 0 1.
-2-1 0
-2 -1 0 ~
—E—A = 0 0 0
—E — A = 0 0 0 得 得 a 。2 ? = = (1(1 ,，- — 2 , 2 0 ,0 ) ) ? T
0-1
_ 0 0 -1_
a;与与a?不不正正交交，，不不能能用用正正交交矩矩阵阵相相似似对对角角化化..
【评注】 不同特征值的特征向量其线性组合不再是矩阵A的特征向量，所以，虽然
II 【评注】 不同特征值的特征向量其线性组合不再是矩阵A的特征向量•所以，虽然
(a?,β)
II $ B = = a? 皿 ,B ，位 ?= = a? a2 一 — z«2 y B Pi
(叩禹1，，仇β)）
正正交交，，但但。β
2
.不不是是特特征征向向量量，，也也就就不不能能用用其其相相似似对对角角化化。.
对对于于(（DD)）,,合合同同 ?Fp,q不，q变不，变但，但不不能能保保证证特特征征值值相相同同，，例例如如
尸 尸
it 1 r[i1
I I I l A A = = - -4 4 , ,P P = = 22 有有 II
[ L J II
it _ 0 0_ 口 1 L L II
it 儿
1
=
A = PAPT = 2 -1 2 -4
PAP7
1 0] 1 0
AA与与AA合合同同，，但但AA的的特特征征值值不不是是11,, --11,,00..
解题加速度
1.【解】(1)(方法一)由于AP=PB,即
A[x,Ax,A2x]=[Ax,A2x,A3x]=[Ax,A2x,3Ax-2A2x]
000
=[x,Ax,A2x] 10 3
01-2
00 0
10 3
所以B=
01-2-
(方法二) 由于P=[x,Ax,A2x]可逆，那么P-1P=E,即P?1[x,Ax,A2x]=E.
（方法二） 由于 P = Ex,Ax,A2x］可逆，那么 P~lP = E,即 = E
· 189 ·
・189・数学历数年学真历题年全真题精全解精析解·析提•曩高高篇篇(数（数学学二二)）
n)1 尸
T 「°〕 o
所 所 以 以j P r - 'x 1x = = 0 0 p ,P - ~ I ' A A x x = = 1 ,P1A2x= ..于于是是
0 oj
_0_
B
B
=
=
P 1
P
A
~
P
lA
=
P
P -=1 [PA-x x[,_AA
x
2.xA,^A
x
3.Ax?]
x
=\P =-1
P
[
~
A
l
x
[_
,
A
A
x
2
,A
x
2
,
x
3
,3
A
A
x
x
—2A2x]
000 尸
_0 0 0 _
==[[PP1-A】Ax,x P,P1~A}2Ax2,x,PP-~11 ((33AAxx —— 22AA22xx))J] == 1 10 0 3 3
01-2
0 1 -2_
[a, a: an]
Qi 口 2 。 3
b? b? b?
(
（方
方
法
法
三
三
）
)
设
设
8
B
=
=
缶 缶
，,则则由由
A
A
P
P
=
=
P
P
B
B得得
C? C? c? L
a? az a?
a-2
[Ax,A2x,A3x]=[x,Ax,A2x] b? b? b?
[Ax ,A2x,A3x] = ^x,Ax ,A2x~] b} b2 缶
C? C2 C?.
人(AAxx —= aa^?xx ++b b?\AAxx+ +c? CAj2Ax2x,,
A2x=a?x+b?Ax+c?A2x,
即 即 A2x = a2x + b2Ax + c2A2x,
A3x=a?x+b?Ax+c?A2x=3Ax—2A2x,
A3x = a3x + b3Ax + c3A2x = 3Ax 一 2A2x,
入
aGi;Xx ++ (
(b
b
i
? —-1 l))AAxx ++c
c
?
}A
A2
2x
x =
=
0
0
,
,
于于是是 * a a2 ? x x + + b b ? 2A A x x + +( ( c C2 ? — -1 l ) )A A2 2x x = = 0 0 , ,
aa3?xx ++ ((b缶?一-33))AAxx ++( (cc?3 ++2 2))AA22xx ==0 .0.
r
因因为为xx,,AAx,xA,2Ax线\线性性无无关关，，故故
a;=0,b?=1,c?=0;a?=0,b?=0,c?=1;a?=0,b?=3,c?=-2.
a\ = 0,缶0= 01 ,C10 =7 0；a2 =0,》
2
= 0，。
2
= 1 ;a3 = 0,&3 = 3,c3 =— 2.
~0 0 o ■
10 3
从从而而求求出出矩矩阵阵BB == 10 3.
01 -2.
0 1-2,
(（ⅡII）)由由（(II）)知知AA〜～BB,,那那么么4 A++ EE～〜BB+ +E ,E从,从而而
10 0
1 0 0
1 1.3 =—4.
A| A++EE| =| =| | BB+ +E E| | == 1 1 3 = -4.
01-1
0 1 -1
22..【【答答案案】】 22.. 口 0 7
「 10 k 尸
-1 0 k~ -3
1]
【【解解析析】】 由由于于α邱β丁π == 1 ((11,,00,,kk))== 1 1 0 0 k k ,，那那么么由由邱a@『～〜 0 0 知知它它们们有有相相同同的的迹迹..
LiJ
1 _ 1 1 . 0 0 k k_ _ 0 0.
故故 11 ++00 ++k A= =3 +3 0++ 00 +, 所0,所以以k为==2.2.
3 3 . . 【【解解】】 （ ( I I ） )设设5&是是属属于于特征特值征λ值。扁的的特特征征向向量量，，1即即
2-1 2 1 1
_ 2 -1 2 一 1 ]
,
5 a 3 1 =λo 1
5 a 3 Ao 1
- — 1 1 b b - - 2 2 . -1 - -1 1
· 190 ·
-190 ・第五章 特征值与特征向量 ??
第五章特征值与特征向・
2-1-2=λ
人
2 — 1 — 2 — Ao
即 即＜ 5 5 + + a q - — 3 = 3 x = o , Ao ♦ 解解得得λ Ao o = = — - 1 1 , ,Q a = = - — 3,b= = 0. 0.
-1+b+2=-λo.
.—l+b + 2 =— Ao.
(Ⅱ)由
(H)由
λ-2 1 -2
A — 2 1 -2
|I λAEE—-AA l|== - -5 5 λ A + + 3 3 — -3 3 ==( λ(A ++1 1))33,,
1 0 λ+2
1 0 人+ 2
知
知
矩
矩阵
阵
A
A的
的
特
特
征
征值
值
为
为
;
λ
h
;
=
= λ
A2
?
=
= λ
A3
?
=
=-
-
1 7.
1.
-31-2
-3 1 一 2-
由由于于 rr(—( -EE —- AA)) == rr - — 5 5 2 2 - — 3 3 = = 2 2 , ,
1 01
.1 0 1 .
从而λ=-1只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化.
从而A =-1只有一个线性无关的特征向量，故4不能相似对角化.
44..【【解解】】 4A的的特特征征多多项项式式为为
λ-1 —2 3 = λ-22-λ 0 1 -1 0
A-1 -2 3 A — 2 2 — A 0 1 -1 0
1 1 λ A — -4 4 3 3 = 1 1 λ A — -4 4 3 3 ==(λ(A—-22)) 1 1 ? A — -4 4 3 3
-1 -a λ—5 -1 -aλ—5 -1-a λ—5
_ 1 —a A — 5 -1 —a A -5 _ 1 —a A -5
1 0 0
=(λ-2) 1 λ—33
-1 -a-1 λ-5
—1 — a — 1 A — 5
==(以λ一- 22))(3a 2—- 884x ++1 188+ +3a3)a),,
若若λA == 22是是特特征征方方程程的的二二重重根根，则，有则 22有 -1226-+1 61+8 1+8+
3a
3 a=1 =00,,解解得得
a
a=7=--22..
1 -2 3
"1 -2 3 '
当当a a = = - — 2时 2时，,A A 的的特特征征值值为为 2 2 , , 2 2 ,6 , , 6矩,矩阵阵 2E 2 - E A - A = = 1 1 -2 -2 3 3 的的秩秩为为11,,故故λA == 22对对应应
-1 2 —3.
-1 2 -3.
的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有两两个个，，从从而而
A
A可可相相似似对对角角化化..
若若入λ==22不不是是特特征征方方程程的的二二重重根根，则，A则2 -x82A- 8+x +118 8++ 33aa为为完完全全平平方方，，从从而而181 +8 +33aa ==1 61,6解,解得得
a =— 2·
3
3-23
-3 -2 3 -
2 1 0 3
当当aa ==--4时
时
,
，
A
A
的
的
特
特
征
征
值
值
为
为
2,
2
4
,
,
4
4
,
,矩
4,
阵
矩
4
阵
E
4
-
E
A
-A
=
=
1 ° 3
的
的秩
秩
为
为
2
2,
,故
故
A
λ
=
= 4
4
对
对
应
应
3
2
3 -一11 2 -一11
3
_ 3 _
的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.
的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.
三三、、关关于于相相似似时时可可逆逆矩矩阵阵
P
P
■[J]((22001155,2,32 题3题)【解)【】解(I】)A(I〜)AB～n、B→a*2 =a? =£2b6..,, |1 AA || ==| | BB| ,| 得,得
0+3+a=1+b+1,
jO + 3+a = 1 + 6+1,
1 22q a -—3 3= =b b,,
解解出出 aa == 44,,6b ==5 5..
。191
・ 191 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析・（数学二）
λ—1 2 0
A-1 2 0
0 λ—50
((Ⅱ U))因因为为 A A - ～ B B , , | I A λ E E -A -A 1 | = = | 1 A λ E E - - B B | |= = 0 A — 5 0 = = = ( λ (A — -5 5 ) ) ( ( λ A — - 1 1 ) ) 2 2 , ,故故得得 A A
0 -3λ-1
0 -3 A-l
的的特特征征值值为为11,14,,55..
对对 Aλ == 11», 由由(E( E—- AA))xx ==0 0..
1-2 3 1-23
-1 -2 3 - 1 -2 3-
1-2 3 00 0
1 -2 3 —► 0 0 0
-12 —3. 000.
-1 2 -3. 0 0 0.
得得基基础础解解系系a?
=
=(
（
2
2
,
,
1
1
,
,
0
0
) ）丁T,，血a?==(-（一3,
3
0
,
,
0
1
,
)
1
T ）七.
对对义λ==55,,由由（5(E5E-A-A）)x x== 00 1 1
5 -23]
1237 101
-5 -2 3- rl 2 3「 1 0 r
123 —► —►
011 011
1 2 3 0 1 1 0 1 1
000- 000.
L1 2 1_ 0 0 0. 0 0 0.
得得基基础础解解系系。3 a=?= （(--11,,--11,,11)）.T.
2-3-1 1 尸
「2 -3 -r 1
L
1. 0 —1 1
令 令 PP= = [ a [ ? 。 ,1 a ,。 ?2, ，。 a3?]]== 1 0 -1 有有 l P a 1 p A P = = a A = = 1
01 1 5
0 1 1 . . 5.
-了
【评注】 本题难度系数数一0.540,数二0.463,数三0.513.
【评注】 本题难度系数数一 0. 540,数二0. 463,数三0. 513. I
圈12(（22001166,,2233题题）)【【解解】】（(II)）由由A4的的特特征征多多项项式式
λ 1 —1
A 1 -1
|I AλEE--AA l|== - - 2 2 λ A + + 3 3 0 0 ==λ A((Aa ++ 1l))((Aa ++2 2)),,
0 0 λ
0 0 A
得得A4的的特特征征值值为为00,, —-1 1,—,一22..
对对；λ1 ==0。,，由由((O0EE--AA))xx ==0 0,,
1
0 1-1 20-3
■ 0 1 - 11 「2 0—3-
-23 0 01-1
-2 3 0 -* 0 1 - 1 •
_ o0 o0 0o J L0o 00 00 .
得基础解系(或特征向量)γ?=(3,2,2)T.
得基础解系（或特征向量）勿=（3,2,2）、
对λ=-1,由(-E-A)x=0,
对 A =-1,由(一E — 4)x = 0, 1
1
-11-1 1-10
-一 1 1 _ 1] ri -1 o'
-22 0 00 1
-2 2 0 f 0 0 1
_ 00 0 0--1 1J L0o 00 0-0.
得基础解系(或特征向量)γ?=(1,1,0)T.
得基础解系（或特征向量）形=（1,1,0）1
对对;λ1 ==--22,,由由(一(-2E2 E—- AA))xx ==0 0,,
-21-1 『—210°
--2 1 -1] r- 2 1 0'
-21 0 0 01
-2 1 0 0 0 1
_ 00 00--22」 L 00 00 0.0_
得得基基础础解解系系(（或或特特征征向向量量)）为γ?==(（1l,,22,,00)）TT..
· 192 ·
-192第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量
a7
7
■0 ■
-1
令 令 P P= = [ [ n 为 , ， Y 形 ?, ，为 Y? ]， ] 有 , 有 Fi P A 1 P AP = = A A = = -1 ， , 那 那 么 么 T P1 ” A ' ' 'P P = = A ” A” , ，
o
—2—
- ~ 2.
311 ] 0 00 1 尸
3 1 ° 5“ ■ 0 0 1 -
A A " " = = = P P A A " " P P^ - ' 1 = = 2 2 1 1 2 3 (—1)” 1 2 4 4 - 一 2 2 - — 4 4
[
22 000] 1 ( ( - - 2 2 ) ) ” ". - - 2 22 2 1 1 _
-2+2° 1—2 2—2*
= ■-2 + 2" 1 —— 2" 2 - 298'
·
-2+21001—21002—2”
=—2 + 2100 1 — 2100 2 — 2".
0 0 0
一 0 0 0 .
((Ⅱ口))因因序B2== BBAA,,知知 BB，3==B B((BBAA))= = B B22AA= B=A B2,A归2,归纳纳得得
-2+2” 1-2” 2—2°
■— 2 + 2" 1 — 2" 2 — 298'
B10°= BA”=[a?,az,a?] -2+21° 1—2102—2”
B> = BA" = [01,«2,«3] - 2 + 2100 1 - 2100 2 - 2"
0 0 0
一 0 0 0 .
=[(-2+2“)a;+(-2+21)a?,(1-2”)a;+(1-21°)α?,(2—2°')a?+(2—2”)a:],
=L(-2 + 2M)O1 +(-2 + 2,00)a2,(l- 299 )a, + (1 - 2,00)a2 ,(2 - 298 )a, +(2-2")a』,
所所以以怯β==((-一2+
2
2
+
”
2
)
")
a
%
;+
+
(-
(
2
-
+
2
21
+
0 9
2
)皿α)％?;;
Bfh2 ==(1 -(21°-2)α")?O+1( 1+—(2l1-02°1)0α0)a?2;>
βA ==( 2(-22 -*) 2α98)?a+)(+2— (22”-2)"α)a?2..
「= = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
Si
[ 【【评评注注】】 本本题题难难度度系系数数数数一一 00..223366,,数数二二00.1.16611,数,数三三0.0.2 12212.. J
圆E((22001199,2,32 题3题)【解)【】解(I】)(因I A)因〜AB～,有B、,有a#Z a=? =£2b6*.,, I| AA || ==I |B B1 .|.
x-4= y+1.
即 {I： "「V'l'所以 x = 3,y =—2.
即 所以x=3,y=-2.
4x-8=-2y,
|4x — 8 =— 2y,
((HⅡ))因因 || AλEE--BB l|==( a(A-2-2)()(aA+ 1+) (l)λ(A+ +2 )2,)矩,矩阵阵 BB的 的特特征征值值为为 22, ,—- 11,, -一2 2..
又又AA～〜BB知知AA的的特特征征值值为为22, ,—- 11,,--22..
以以下下分分别别求求出出矩矩阵阵AA和和BB的的特特征征向向量量：：
4 2-1 2107
-2-1 2 →
由(2E-A)= 00. 1
00 4 000]
得λ=2的特征向量a?=(1,-2,0),
[ 1 2-1 1207
由(-E-A)= -2-4 2 001
0 01 000]
得得λA ==—-1 1的的特特征征向向量量。a2? ==( -(―2, 211,,10,0))?丁,,
J
[ -00
2
2 _-1 r 「2
2
1
1
0o -
,
-
-2-5 2 02-1
由由(一(- 22EE--AA))== L-2 -5 2 ―> 0 2 '—L
0 0 0 000
_ 0 0 0 _ 0 0 0 .
得得Aλ ==—- 22的的特特征征向向量量。3 a=? =((11,—,-22,,—-744))丁,,
[ 1-21 2
-1 -2 1 一 ■2
令 令 P P ? 】 = = [a [a ?, 】， a 地 z , ,。 a 3 ? 〕 ] = = - - 2 2 1 1 - - 2 2 ,，有有 P P T ? 'A 1 P A i P = ? = A A = = - -1 1
00 -4.
_ 0 0 一 4_ —-22_]
· 193 ·
・193・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提握高高篇・((数数学学二二))
对对矩矩阵阵BB.,
由由((22EE--BB))xx= =0得 0λ得;=1 2=的 2特的征特向征向量量β仇=(=1,(10,,00,)OTF,,
由(-E-B)x=0得λ=-1的特征向量β?=(-1,3,0),
由(-E-B)x = 0得;1=一1的特征向量怯=(一1,3,0尸,
由(-2E-B)x=0得λ=-2的特征向量β=(0,0,1),
由(一 2E-B)x = 0得义=一 2的特征向量怯=(0,0,1)。
1 —10° 2
1-10- ~2
0 30 -1
令令 P
P2
? =
=
[ β
LP1
, β
,02
,，。β
3
】]== 0 3 0 ,，有有 PPT?B1PBz P=? =AA == -1
0 0 1. —2—
0 0 1. _ -2.
于于是是 PPT1 AAPP?, ==P?
P
1B
^
P
'B
?
P
,得 i，得P ?RPP?T1A AP?PPii?V1 == B B..
7
令令 PP= =P ?PP.?P1?1,，则则有有 PP1^A'APP= =B .B其.其中中
1 1
- 1 1 - -2 21 1 一 1 1 T3 0 0 = 潸， 1 1 3 1 1
P=P?P?1= -2 1-2 1 1
p = PRl = -2 1 -2 0 0 3 0 0 = — -2 2— 3 - 一 2 2
0 0 —4.
_ 0 0 -4.
0 0 0 0 1 1. _ 0 0 00 —-44].
【评注】 由于特征向量是不唯一的，因此可逆矩阵P是不唯一的。
【评注】由于特征向量是不唯一的，因此可逆矩阵P是不唯一的.
1 1 1
« 「111] U
1
: 本题R中，如用一血替换可得「= --22 --11 --22 ,Pz中，如用身怯替换,R就是初等:
本题P?中，如用一α?替换可得P= ,P?中，如用 β替换，P?就是初等
3
0 0 —4.
" 0 0 — 4J *
II II
[矩矩阵阵，，求求丐P?I'是是不不是是直直接接有有公公式式?？ J.
圈4(2(022002,08,题8题)【)【答答案案】】 DD..
【【解解析析】 】本 题本考题查考
P
查
^
P
'A
1
P
A P
=
= A
A
的的基基本本知知识识.
.
P
P
——特特征征向向量量，,A A—
—
特特征征值值，，且且
P
P与与
A
A的的位位置置对对应应
要要正正确确。.
因因α
a,
?
,a
,a
2
?是是人λ==1
1
的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量，,a a
,
?是是
A
λ
=
=-
-
1
1
的的特特征征向向量量..
厂
'1 _
-1
于于是是aα. ;++aa?3不不是是AA的的特特征征向向量量，，排排除除(A(A))(C(C))..又又对对角角矩矩阵阵AA== -1 ,，故故PP中中特特征征向向
[
1
_ 1.
量量应应当当是是对对应应Aλ == 11,,Aλ ==-—1 .1λ. A= =1的 1顺的序顺，序排，排除除((BB))..
(
(
D
D)
)[
[
a
a
i
;
+
+α
%
?
,
,
—
-α
Ch
?
,
,
%
α
]
?中]中
ai
a ;
+
+
a
a?
?
与与α％?是是
A
λ
=
= 1
1
的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量，，一-
a
α 3是?是
A
x
=
=—
—
1
1
的的
特特征征向向量量，，故故应应选选((DD))..
[1£5((22002211,,2222题题))【【解解】】由由特特征征多多项项式式
λ—2 —1 0
A-2 -1 0
-1λ-2 0
|I AλE E—- AA || == — 1 A — 2 0 ==( (aA- —b )6() (aA- —1 )1() (λA -33)).
-1 -a λ—b
—1 — a A 一 b
因因为为AA只只有有两两个个不不同同的的特特征征值值，所，以所们以b==11或或5b ==3 .3.
((11))当当b6==1时1，时,AA的的特特征征值值为为1,11,1,,33..
由由于于AA〜～AA,,那那么么r(rE(E-A-A)) ==1 1..
1
-1-10 1 1 0
-1 _ 1 0~ ~1 1 0一
E-A= -1-10 01—a 0
E-A = -1 _ 1 0 ―A 0 1 — a 0
-1 -a 0. 0 00.
-1 —a 0. 0 0 0_
· 194 ·
・194・-—
第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量
:
所所以以
a
a =
=
1 且 1且λ义=
=
1的
1
特的征特向征量向为量a为?=
=
( -
(
1
―
, 1
1
,
,1
0
,
)
0
?
)
,丁a，％?= (0,(00,,01,)1T)丁..
再再解解((3E3E —-AA))xx ==0 得0得λ义=3=的3特的征特向征向量量a?她=(=1,(11,,11,)1T)口T..
-10 1
-1 o r ~1
令令 P?=[a?,，a。?,，。a?〕]== 1 1 0 0 1 1 有有 ^PA'PAxP ?== AA == 1 1
P1 = 2 3
0 11. 3
_ 0 1 L _ 3_
((22))当当b5= =3时 3，时A,A的的特特征征值值为为1,13,3,,33..
由由AA～〜AA则则厂r((33EE--AA)) ==1 .1. L
1 -10]_ 1 -1 0
-1 _ 1 0' -1 一 1 0-
,
33EE--4A == - -1 11 1 0 0 ——► 0 0 a a + + 1 10 0
-1 -a 0. 00 0-
-1 —a 0. 0 0 0.
所以a=-1.解出特征向量β=(1,1,0)?,β?=(0,0,1)?.
所以 a =— 1.解出特征向量 $ = (1,1,0)T ,p2 = (0,0,1)T.
再再解解((EE —-AA))xx ==0 得0得λ人==1的1特的特征征向1向量量β氏==(-(1―,211 ,,7 11,1) T)丁..
]
10-1
令 令 P P 2 ? = = [ L β Pl 9 , p2 B , , 03 B 〕 ]= 10 1 有有 Pz1AAPP2?= 3
P7
011 1
解题加速度
1.【解】((1)因为A和对角矩阵B相似，所以-1,2,y就是矩阵A的特征值，由
为A和对角矩阵B相似,所以一 1,2,、就是矩阵A的特征值，由
λ+2 0 0
A + 2 0 0
—2 λ—x—2
E—A|= —2 A — x -2 ==((aA+ +2 )2[)[xA22 -~( x(x+1+)l)λA+ +( x(—x-22))]],,
-3 -1 λ—1
-3 -1 A-l
知知λA ==-—2 是2是A的A特的征特征值值，，因因此此必必有有yy ==— -22..
再再由由Aλ = =22是是AA的的特特征征值值，知，| 2知E —|24E -I =A l4=[24之[—222-(x2 (+x 1+)1 +) +(x( x—- 22))] ]== 00,,得得 zx ==0 0..
-2007尸 -1 ]
-2 0 0- -1
((Ⅱ口))由由于于 2 2 0 02 2 2 2 1
3 11. —2—
.3 1 1. _ -2.
对对 Aλ ==—- 11,,由由((―-EE -—A A))xx= =0得 0 得特特征征向向量量 aO?i ==( 0(0,,- —2, 21,1))?丁,，
对对人λ==22,,由由((22EE -—AA)x)=x 0=得 0特得征特向征量向α量a?2= (=0 ,(10,,11,)1π)T,»
对对 Aλ ==—-2 2,,由由((一-22EE- —A )Ax)x= 0=得 0特 得征特征向向量量7a ?a=3 (=1 ,((011,,,00-,,1 —) π1).T.
0 01
一 0 0 1
那那么么，，令令P=[［a。?,,。az，,皿as］]== - - 2 2 1 1 0 0 ，,有有 P-1AAPP == BB..
P = 1 2 P~
11 —1.
_ 1 1 -1
2
2
.
.
【【解解】 】由由矩矩阵阵A
A
的的特特征征多多项项式式
λ A — — 3 3 — — 2 2 2 2 = λ A- - l 1 - - 2 2 2 2
λI AE E — - A A l | = = k k A x + + 1 1— -k k = 0 0 A λ + + 1 1 — - k b ==((aA--11))((Aa+ +1 )12)2,,
-4 -2 λ+3 λ-1 -2λ+3
-4 -2 A + 3 A-l -2 A + 3
得得到到矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为11,, 一-1 1,,一 一1 .1. §
由由于于AA～〜AA,那,那么么λA==--1 时1时，，矩矩阵阵AA必必有有22个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，因，此因n此-rn(--rE(--EA-A)) ==2 2,,
即即 rr((—- EE —-A A)) ==1 .1求 .求出出 kk ==0 .0.
· 195 ·
-195 --
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提提高高篇篇(（数数学学二二)）
当λ=1时，由(E-A)x=0得特征向量a;=(1,0,1)?,
当A = 1时，由（E-A）x = 0得特征向量a】=（1,0,1）。
当x=-1时，由(-E-A)x=0得特征向量a?=(-1,2,0)?,a?=(0,1,1)T.
当 A =- 1 时，由（-E-A）x = 0 得特征向量。2 = （一 1,2,0）丁，。3 =（0,1,1），
1-107
"1 -1 0- 1
·
02 1 -1
那那么么，，令令PP ==[ a?,,α。2z，,皿a?］]== 0 2 1 ,，有有广P-A1APP == -1
[
1 0 -1
_1 0 1_ -1.
3
3
. .【【解解】】(（II)按）按已已知知条条件件，，有有
A[a?,az,a?]=[a;+a?+α?,2a?+a?,2a?+3a?]
4［。1 ,。2，皿］=［。1 +。2 +。3，2。2 +。3，2。2 + 3a3］
1007
■1 0 0'
=[a?,a?,a?] 122
=［a】，a2，她］12 2,
113
_1 1 3_
100
-1 0 0'
122
所 所以 以 矩 矩 阵 阵 8 B = = 1 2 2
113.
_1 1 3_
(Ⅱ)因为a?,az,a?线性无关，矩阵C=[a,az,a?]可逆，所以C1AC=B,
（H）因为。1，。2，。3线性无关，矩阵c=［。】，。2，。3］可逆，所以CT AC = B,
即即AA与与B8相相似似..由由
λ—1 0 0
A-1 0 0
|I A?EE--BB ||== - -1 1 λ A - -2 2 — -2 2 ==( λ(-"1)I2(Eλ— —4 4)),,
-1 -1λ-3
-1 -1 A — 3
知知矩矩阵阵BB的的特特征征值值是是11,1,1,,44..故故矩矩阵阵AA的的特特征征值值是是1,11,1,4,4..
(Ⅲ)对于矩阵B,由(E-B)x=0,得特征向量m?=(-1,1,0)?,n?=(-2,0,1)T.
（DI）对于矩阵 B，由（E — B）x = 0,得特征向量饷=（一 1,1,0）丁，邛2 = （-2,0,1）、
由由（(
4
4
E
E
—
-B
B
)x
）x
= 0
=
, 得
0,
特得特征征向向量量η f）?
3
=
=
( 0
（
,
0
1
,
,
1
1
,
)
1）
?丁.
・
尸
□1
1 _
那那么么令令PP］ ?==[ ［η fjl :,,即?2,，邛μ3 ］:]，有,有P1BBPP 1 ?== 1 1 , ， 从 从 而 而
44_ 1
[
1
P1C-1ACP?= 1
PTb ACP. = 1
4
4.
-1 —20°
-1 —2 0-
故 故当 当 P P= = C P C ? P = 1 [ = ai ［ , 。 α 1 , ? 。 , 2 a ，。 ? 3 ] 〕 1 1 0 0 1 1 ==[ -［—a;。+α1 +? ,%— , 2—a ;2+aα】+? ,aα3 9?02+ α+ ?皿]时］时，，
_ 0 0 1 11. 1_ L 1
1
·
P-1AP= 1
P~XAP = 1
4
4.
四四、、实实对对称称矩矩阵阵
0160(（2200101,08,题8题)【）【答答案案】】 DD..
【解析】 这是一道常见的基础题，由Aa=λx,α≠0知A"α=λ'α,那么对于
【解析】 这是一道常见的基础题，由血=Aa,a夭。知A”a = A"a,那么对于
妒A2 +
+
A
A
= O
=
→
O
(
=
x
>
2 （+人λ之
+
)
A
α
）a
=
=
0→
0=
λ
>A2
2
+
+
A
λ
=
= 0
0
,
,
所所以以AA的的特特征征值值只只能能是是。0或或一-11..
· 196 ·
・196・第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量 (?
再由A是实对称知必有A～A,而A的对角线元素即是A的特征值，那么由r(A)=3可知(D)
再由A是实对称知必有A〜A,而A的对角线元素即是A的特征值,那么由r(A) = 3可知(D)
正正确确..
=7
•' 【【评评注注】】 本 本题题难难度度系系数数0 0 . .7 7 5 56 6 . .
(L s = = = = = = = = = = = = = = = =
1
[f
7
i
(
(2
2
0
0
1
10
0
,
,2
2
3
3
题
题
)
)
【分
【
析
分
】
析 】
由
由
Q为
Q为
正
正
交矩
交
阵
矩
，有
阵，有=Q
q
?
t
=,Q
因
1,
而
因Q而 tAQQ? =AQ Q= Q'A1AQQ==AA,,&所
t
以
以
Q
。
的
的
列向量就是矩阵A的特征向量.
列向量就是矩阵A的特征向量.
1
【【解解】】 设设土 ((11,,22,,11))πT是 是AA关 关 于 于 特 特 征 征 值 值 λ “ ;的 的 特 特 征 征 向 向 量 量 ， ， 那 那 么 么
√6
V6 251
口
0 -1 4 →天
'0 - 1 4- ‘00 ++( (-—2 2)+)+44= λ= ?A,i,
1 1 aA?i == 22, ♦
—1 3 a 2 =λ? 2 -1+6+a=2λ?,→
-1 3 a √6 √6 —1 + 6 + a = 2Ai,=> a =-1.
a -1.
44 aa 0]0. 1 1 、 4 4 + + 2 2 a a + + 0 0 = = λ %
把把aa= =-1—,代1,代入入矩矩阵阵AA,有,有
λ 1 —4 λ+4 0 -λ—4 λ+40 0
A 1 —4 = A + 4 0 -A-4 = A + 4 0 0
I AE-A | = 1 x—3 1 1 λ—3 1 1 λ—3 2
|λE-Al= 1 A — 3 1 = 1 A — 3 1 = 1 A — 3 2
—-44 11 ) A - -4 4 1 1 λ A _ — 1 1 1 1 λ A — -4 4
==(λ(人-一2)2()以λ一-55))((人a++4 4))..
求求出出矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为：：22,,55,,— —44..
对对义λ==55,,由由((55EE —- AA))xx ==0 ,0即,即
_ 5 5 1 1 _-4£ I 1 2 2 1 1 一 - 1 1 0 0 -_1 r
1 1 2 2 1 1 ―A 009 9 9 9 —►: 0 0 1 1 1 1
-41 5 0-9-9 00 0
-4 1 5 0 -9 -9_ 0 0 0
得得特特征征向向量量(Xa2 ?== ((11,, -—1 ,11,)1?)丁..
对对 Aλ ==—- 44,,由由(一(4-E4 —E- AA))x x==0
1
-4 1 -4 1 0 1r
-4 1 -4- '1 0
―►
1-7 1 010
1 -7 1 0 1 0
-4 1-4- 000-
-4 1 -4 0 0 0
得得特特征征向向量量aa3 ?==( -(—1, 10,,01,)1T)T..
—
实实对对称称矩矩阵阵不不同同特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量相相互互正正交，交把，把α
a
?
2
,
,
a
a
?
3
单单位位化化，，有有
1
。 Y Y ? t = = — (1,- — 1 , 1 1 ,1 ))? t ,，γ 73 ? = = 1, 1 0 , , 0 1 , ) 1 T )T . .
√③ L
11 11 1
[ _ 哉
√6 √2
V26 √③713
2 1 _ _ [■22
Q = 0
那 那 么 么可 可 得 得Q= √ V16 6 √ 7313 ： ，,则则 QQ tA?QA = Q = Q Q 1 'A A Q Q = = 5 5
[
V16 17 一 3 1 —-44].
√6 √3 √用2
|| [【注注】 】难难度度系系数数00..227766.. II
II II
要要理理解解QQ的的列列向向量量就就是是A的A特的征特向征向量量，，通通过过特特征征向向量量来来构构造造方方程程组组求求参参数数是是常常考考的的知知识识点点.J
·・ 1
1
9
9
7
7
·
-数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高莆(数学二)
Q1S8((22001111,,2233题题))【【分分析析】】 本本题题未未给给出出具具体体的的矩矩阵阵AA,又,又需需要要求求A的A特的征特值征、值特、特征征向向量量，，应应当当考考
虑用定义法Aa=λa,α≠0来推理、分析、判断.
虑用定义法Aa = Aa ,a丈0来推理、分析、判断.
【【解解】】((
I
I
)
)因因
r
r
(A
(A
)
)
=
= 2
2
知知1| A7A l =
|
0
=
, 所 0,所以以λ；1 =
=
0 是 07是A的
A
特的特征征值值..又又
-1 ■ 1 ■ T
1 = -1 =— 1
一 -叮 T
=
A 0 0 0 ,A 0 0
A 0 = [ 0 ==-- 0 0 = 0
- -1 1 1 1 - _ 1 1_ [1 L LiJ
所所以以按按定定义义;Ix ==1 1是是A的A的特特征征值值，,a为?==(1(1,0,0,,11)尸是是A属A于属于λ义=1=的1特的征特向征向量量；;
λ=-1是A的特征值，a?=(1,0,-1)是A属于λ=-1的特征向量.
A =一1是4的特征值,％ = (1,0,— 1)丁是A属于;I =-1的特征向量.
设
设
a
a
?
,
= (
=
x ?(,
x
x,z,,
x
x2?,x )π3)t 是
是
A属
A
于
属
特
于特
征
征
值
值
λ
;
=
I
0
=
的
0
特
的
征
特
向
征
量
向
，
量
作
，作
为
为
实
实
对
对
称
称
矩
矩
阵
阵
不
不
同
同
特
特
征
征
值
值
对
对
应
应
的
的
特特征征向向量量相相互互正正交交，，因因此此
{aTa?=x?+x?=0,
Jafaa = +工 =°，
3
］破a]。a?
=
=
X
x
i
?
—
- x
X3
? =
=
0
0
,
,
3
解解出出 aa?3 ==( 0(,01,,10,)0T)T..
故矩阵A的特征值为1,-1,0;特征向量依次为
k,(1,0,1)Y,k?(1,0,-1)?,k?(0,1,0),其中k?,k?,k?均是不为零的任意常数.
。-
(Ⅱ)由A[a?,α?,α?]=[α?,-α?,0],知
1 —10° 1 10° -1
=
A=[a?,-α?,0][ai,αz,α?]-1= 0 0 0 0 01 000
1 1 0- 1 -1 0 100.
。-L
— — — — — — — — — — — — — — — — — — —— — — — — — — — — — ~ — — — — — — — -^|
【【评评注注】】 本本题题特特征征值值不不同同的的特特征征向向量量已已经经正正交交，，也也可可考考虑虑用用正正交交矩矩阵阵、、相相似似对对角角化化来来"
1 1 II
-1 0一 1 ]
0
√妨2 √2
ii
求求矩矩阵阵AA,,即即令令。Q== 0 0 1 1 0 0 ,，则则 ii
ii
1 1 0 1 ii
0 √2 2 ii
1 ii
n
ii
Q'AQ=A= 0
Q~}AQ = A = 0
垂
—1.
A=QAQ-1= QAQT
A = QAQ-1 = QAQt
1 1 1 1
0 0 800
√2 √2 1 √2 √2
= r
0 1 0 0 0 1 0 000
三 0
1 1 —1— 1 1 1 0 0
0- 0- 0_
√2 √2 √2
ii
a b c”
a b c ~
b d e
当当然然也也可可设设AA == b d e ii
ii
__c c ee ff]_ ii
· 198 ·
・ 198 -第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量 ??
广
人
a-c=-1,
ii a — c =一 19
ii 1 1 a+c=1,
ii 11r -11 r Q + c = 1,
■ 1 r-1
ii 由由AA 0 0 0 0 = = 0 0 0 0 有有 b b - — e e = = 0 0 , ,
b+e=0,
b-\- e = 0,
II -11 1 1
-1 i. _ i i_ c-f=1,
it
c — f = 1,
c+f=1,
it c + f = 1， it
)001
ro 0 V
it
it 易易得得a a== 00,, cc ==1l,,6b == 00,,ee ==0 0,,f/*==0.0即.即有有 AA== 0 0 -d d 0 0 ，,再再由由 rr(A(A) )== 22=→>dd ==0 0.然.然后后 it
it
1 0 0
.1 0 0_ II
it 再再来来求求特特征征值值、、特特征征向向量量.. it
it
不不要要忘忘记记实实对对称称矩矩阵阵不不同同特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量相相互互正正交交这这一一重重要要定定理理，，由由此此构构造造齐齐：
ii
次；次方方程程组组可可求求出出特特征征向向量量，，本本题题难难度度系系数数00.. 553344,,00..447799,,00..6 61177..
ii ii
[1f9i(（2200131,38,题8题)【）【答答案案】】 BB..
【解析】两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值.
【解析】两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值.
λ-1 -a -1
A-1 —a -1
-aλ-b —a
|\ λXE E—- AAl= —a k-b —a ==λA[[Ax2 2--( (b6+ +2) 2λ)A+ +2 b2—6 -2 a22a]21.
-1 -a λ—1
-1 —a A-1
因因为为
λ—2
A — 2
λ— b
|λAEE--BB || == X — b ==λA((Aa -—2 2))( (λA —-b 6))..
a
A
由由λA ==2 2必必是是A的A特的征特值征，值，即即
|I 22EE--AAl |==2 [22[222--22((6b ++2 2))++22b6--22aa22]] ==0 0..
故必有a= 0.
故必有a = 0.
由由λX == bb必必是是AA的的特特征征值值，，即即
bI Eb-EA-lA=b |[=b52-[胪(b一+2（)。b++ 22b"] += 02刀,b可=0为,。任可意为常任意数常.数所.以所以选选(B（B).）.
解解题题加加速速度度
1
1
..【【解解】!冉矩阵AA的的特特征征多多项项式式
λ-a -1 -1 x-a-1 λ-a-1 0
A — a — 1 — 1 = A — a — 1 A — a — 1 0
|λE-AI= — -1 1 λ A — - a a 1 1 = - _ 1 1 a A - — a a 1 1
— — _1 1 、 1 1 λ A — — a a 0 a a + + 1 l - -A λλ A — - a a — -1 1
1 1 0
1 1 0
=(λ(A —— aa— — 11))2 - -1 1 λ A — - a a 1 1 =((aA- —a -a 1—) I2)(2 λ(A —- aq ++2 2)),,
00 --1111
得得到到矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为λ"=;人=λ
2
?==aa+ +1, lλ,A?3 == a。—一22..
对对于于Aλ == aa ++1 ,l由,由[[((aq ++1 )1E)-E A—] xA=]0x ,=得 0到,得2个到线2个性线无性关无的关的特特征征向向量量
aa,} ==( 1(,11,,10,)0π)T ,,aa?2 ==( 1(,10,,01,)1T).T.
对对于于人λ==qa —-2 2,,由由[[((qa —- 22))EE -—A A]x]x= 0=, 0得,得到到特特征征向向量量 aa3 ?== ((-—1 ,11,1,,11))T..
· 199 ·
-199 ・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
11-1尸 a+1
-1 1 一 1「 a + 1
10 1 a+1
那那么么，，令令pP ==(=a(?。,α,。z,α?)= 1 0 1 ，,有有广P A1PA P=== AA == a + 1
1 2 >«3)=
01 1 a—2_
0 1 1 _ - a — 2_
因因为为AA的的特特征征值值是是
a
a
+
+ 1
l,
,
a
a
+
+1
l
,
,
a
a
-
-
2
2
,故 ,故A
A
- E—的 E特的征特征值值是是a,。a，。,,a“-一3.3所.所以以
|| AA- —E |E= | =a2 a(2a (—a —3 )3.).
lr =
【【评评注注】 】由 A由〜A～AA,知,知4 A—- EE～〜AA— —E ,E于,于是是 ii
a ii
a
ii
a
|\ AA--EE |\ == |\ AA--EE| \ == a
== aa22 ((aa ——3 3))..
ii
a—3
a — 3
ii
亦亦可可求求出出行行列列式式I |AA—-EE| |的的值值.. ii
22..【【解解】】((II))对对方方程程组组AAx=xβ =的0增的广增矩广阵矩作阵初作等初等行行变变换换，，有有
11 a 1 11 a 1
_1 1 a 1 - 1 1 a 1 -
A= 1 a 1 1 0 a—11-a 0
= 1 a 1 1 ——► 0 a-l 1 — a 0
a a 1 1 1 1 —-22]. 0 0 1 1 - - a a l 1 — - a a 1 2 — -α a — — 2 2 _ _
a
1 1 1
「1 1 1 -
0 a-1 1—a 0
0 a — 1 1 — a 0 ,
0 0 a+2_
0 0 ((aa--1l))((aa ++2 2)) Q + 2_
因为方程组有无穷多解，所以r(A)=r(A)<3.故a=-2.
因为方程组有无穷多解，所以r(A) = r(A) V 3.故a =- 2.
λ-1 -1 2
A-l -1 2
((IⅡI))I |AλE —E- AA || == - - 1 1 λA + +2 2--11 ==aA((aA+ +3 )3()λ(A--33)),,
2 -1λ—1
2 -1 A-1
所所以以矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为;Uλ=?= 33,,人λ ?== 00,,义λ ?== —-33..
2 3
2 -1 2 1-51
,
-1 5 -1 09 0
当当 4λi =?= 33 时时，，由由(3(E3 —E -AA))xx == 00,,
2 -12 000-
得得到到属属于于特特征征值值A λ= =33的的特特征征向向量量aa】;=(1,0,-1)T.
-1 1 - - 1 1 2 2 - 一 1 1 0 0 - - 1 V
-1 2-1 01-1
当当义λ2 ?== 00 时时，，由由(0(E0 —E -AA))xx —= 00,, -1 2 _ 1 0 1 -1
2-1-1 000
_ 2 —1 _ 1_ 0 0 0 _
得得到到属属于于特特征征值值义λ==00的的特特征征向向量量地a? ==( 1(,11,,11,1))?丁..
-4-12 10-1
-1-1-1 01 2
当当人λ=?=--33 时时，，由由(一(3-E3 —E -AA))xx == 00,,
3
2 -1-4 00 0
得得到到属属于于特特征征值值A λ=一=- 33的的特特征征向向量量sa?=(1,-2,1)T.
实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值不不同同时时，，其其特特征征向向量量已已经经正正交交，，故故只只需需单单位位化化..
1 1
1 1 1 ,
β 怯= = √2 0 ,β= √3 1 ,民= √6 -2
-1 1 1
· 200 ·
-200 ・—
第
第
五
五
章
章
特
特
征
征值
值
与
与
特
特
征
征
向量
向 量?4?
—
1 1 1 厂
1 1 '
1
√2 √3 √布6
3
1 2 CTAg 4
那 那么 么 令 令 Q Q = =( ( β 01 , ,。 β 2，p , 3 B ) ) = = 0 __ √ 2_ 6 ， , 得 得 Q1A = Q= 。 Q 一】 1 。 AQ = = A A = = 0 0
√③
V6
-3
-3
1 1 1
1
√2 √6
一宙 √③
a
1-1
-a 1
3.【解】 (I)A = 1 a —1
3.【解】(I)A= 1 a -1
-1 -1 a
_一 1 一 1 a
λ-a -1 1 x-a+1 0 λ-a+1
A — a — 1 1 = A-a + 1 0 A — a + 1
-1 λ—a 1 -1 λ-a 1
|AλEE--AA l| == —1 A — a 1 = -1 A — a 1
1 1 λ一a 1 1 λ—a
1 1 X-a 1 1 A — a
λ-a+1 0 0
= A-a+1 0 0
-1 λ—a 2
-1 X-a 2
1 1 λ-a-1
1 1 A-a-1
==(a(A- —a+ a1 +)2 l()λ2 (A— —a a— —2 2)),,
AA的的特特征征值值为为:：a —a -l,1a, a—- 11 ,,aa ++2 2..
aA ==a -a 1—时 1 ，时, 7 1
[-1-1 1 11-17
-1-1 1 00 0
((aa-1)E — A =
) 1 1 -1 00 0
a?=(-1,1,0)π,a?=(1,1,2),
λ人== Qa ++2 时2时，，
2-11r 101r
-2 -1 1 0 ,
((aa ++ 22))EE —- AA == - - 1 1 2 21 i ―> 0 0 1 1 1i
1 1 2 000-o_
_ 1 1 2_ 0 0
口
aa3? ==( (-—1 1,,- —1
7
,1,11))丁,，
--17r --1r
pi
1 1 1
单 单 位 位 化 化 得 得 n 为 ? = = 会 1i ,Y?= 1 ,Y — ?= - -1 1
√2 √6 √3
_ 0o _ 2 1
_ 1 _
一，
1 1 1
■ 1 1 1 1
√F2 √~i=6-,
√③
，
v6 y3
[a-\
1 1 1
令令 PP==[ 3r,,7Y2?,,7y3?〕]==
√ 7
]
2 2 √ V
1
6 6
_
V√
x
3③
1 ,，则则 PPyATPA =P =PP~1'AAPP==AA == a a — — 1 1
a+2
2 1 q + 2.
0n 2 1
l ° √6 √3
布
((ⅡU))记记〃B ==(a(a+ 3+) 3E)-EA —,B A是,B对是称对矩称阵矩阵.因.因AA的的特特征征值值是是aa -—1 ,l,aa- —1, la,a+ 2+, 2知,知B的B特的特征征值值
B
44,,44,,11,,从从而而B正正定定..
PPTTBBPP == PPTT ((aa ++3 3))EEPP— - PPTTAAPP
·201 ·
. 201 .r
►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
a+3 _ a—1 = 力1 ]
= 「。+ 3 a - 1 -4 _
a+3 a—1 4
Q + 3 —— a — 1 = 4
a Q + + 37 _ 3_ 1 a a + + 2 _ 2_ _ 1 1_
2 2 2 2
〃2 % 「2 一2
p P T T B B P P = = 2 2 2 2 ,B= = P P 2 2 PpTTPp 2 2 P PT
1 1 — 1 1
1_ 1. 1. 1_
山
1 1 1 1 1
1 0
2. 0
√2 √6 √3 —√2 √2
] 2
1 1 1 X1 1 2
pT =
C= P 2 √2 √6 √3 2 √6 √6 √6
V6
1 1
2 1 1 1 1
0 1
√3 √3
√6 √3 √③
_ V3
5-11
=
11
-1 51
3
3
1 15
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = , = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = »1
【评注】 当λ=a-1,求特征向量时，可用常规的(1,0)(0,1)来赋值，则a?=(-1,1,
II 【评注】 当A =。一1,求特征向量时，可用常规的(1,0)(0,1)来赋值，则a, = (-1,1, II
II . «
"00))TT,,αa2? ==((11,,00,1,1)T)七.此此时时a?a,】α，％?不不正正交交，，需需进进一一步步用用正正交交化化来来处处理理..
。202 ·
・ 202 -第六章 二次型
第六章二次型
第六章 二次型
一一、、二二次次型型的的标标准准形形
L
a 0 1
a 0 1
（(22000099,,2233题题）【)解【】解】（I( ）I)二二次次型型ff的的矩矩阵阵A A== 0 0 a a — -1 1 .由由于于
1 -1 a—1.
.1 -1 a — 1
λ-a 0 -1 = λ—a λ—a 0
X—a 0 —1 A ~ a 义。 0
|AλE—E-AA l| == 0 0 λ A — - a a 1 1 = 0 0 λ— A — a a 1 1
-1 1 x-a+1 -1 1 λ-a+1
-1 1 A-a+1 -1 1 A-a + l
= λ—a 0 0
k-a 0 0
= 0 0 λ A — - a a 1 1 = =(λ:A--aa))[E?A-(-a(a+ 1+) ]D[]λCA-(-a—2)],
-1 2 λ-a+1
-1 2 A-a + 1
所所以以AA的的特特征征值值为为人λ
i =
;=
q
a,，人λ
2 =
z=
Q
a +
+
1 ,
1,
λ人3 ?==a a— —2.2.
（(Ⅱn ）)因因为为二二次次型型了f的的规规范范形形为为书y2++yy2l,，说说明明正正惯惯性性指指数数Pp == 22,,负负惯惯性性指指数数qq ==0 ,0那,那么么二二次次型型
矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为++,,++,,0（.）・
显显然然a a—- 22)
++( b(62ixX1i ++b 2bxzJ2Cz+ b+3 bxl2 x+j 2+b? 2b6?i bx2?xx\?x+2 2+b ?2bb?\bxz?xyx x?+3 2+b ?26b2?6x3x?x2X?3))
==(2(2aa1?+ +b2 房))x药1+ +(2 (a22房+ +b2 房)x)蒙2+ +(2 (a23a+； 3+) 房x2)+药2 (+22a(?2aaz】+％b +?b6?1)62x)?xx1x?2
+2(2a?a?+b?b?)x?x?+2(2a?a?+b?b?)x?x?,
+ 2(2。1口3 + 缶缶)xix3 + 2(2a2a3 + b2b3 )x2x3»
所所以以按按定定义义二二次次型型矩矩阵阵
2a2+b2 2a?a?+b?b? 2a?a?+b?b?
~ 2a? + 拼 2a}a2 + 缶。 2^1 U3 + b\ 63
2
A= 2a?az+b?b? 2a2+b2 2aaaa+b?b
A = 2a}a2 + b}b2 2彼+房 2。 。 + 方 力
2 3 2 3
2a?a?+b?b?12a?a?+b?b? 22aī+b3
_2a】G3 + b]缶 2a2a3 +1 b2 b3 2al + bl _
= 2a} 2a;a? 2a?a? 岳b?b? b?b?
~ 2a? 2a^a Q3 F b\b?
+
2a?a? 2a2 2aza? + b?b? b2 b?b?
2〃2 。 3 缶。2 房 。 2 。 3
2a?a? 2a?a? 2a3 6;b? b?b?b号
2al - 缶 bl -
故A=2axT+即
故 A = 2aaT+flpT.
难难度度系系数数 00.. 445544,,00..4 40000,,00..4 42266..
·205 ·
・ 205 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提捷高踊篇
・
(数（数学凄二二)）
§(（22001144,,1144 题题)）【【答答案案】】［[一-22,2,2]］..
【【解解析析】】 由由配配方方法法可可得得 …
f(xi,x?,x?)=x1+2ar?x?+a2x3-(x1-4x?x?+4x2)+4x3-a2x
/（xi m ,x3）=工；+ 2arix3 4- a2xl — （xf — 4x2x3 + 4工；）+ 4xj — a2x|
=(x?+ax?)2-(x?-2x?)2+(4-a2)x2,
=（hi + ax3 ）2 — （x2 — 2x3 ）2 + （4 — a2 ）xi»
因为负惯性指数是1,故4-a2≥0,解出a∈[-2,2].
因为负惯性指数是1，故4-a2 >0,解出a e ［一2,2］.
06(2（021051,58,题8题)【）【答答案案】】 AA..
【解析】f在正交变换x=Py下标准形2y1+y2-y3,意味着A的特征值：2,1,-1.
【解析】/在正交变换x=Py下标准形2y\+yl-yl，意味着A的特征值：2,1，一1.
又又PP= [=e ?,ez,e,2 e?],说说明明22,1,1,,- 1—的 1特的征特向征量向依量次依为次e为i,«1e ,z如,e,?e3,.
由e?是一1的特征向量，知-e?仍是一1的特征向量，故Q=[e?,一e?,e?]时，二次型标准形
由电是一 1的特征向量，知一 e,仍是一1的特征向量，故Q =［幻，一幻，如］时，二次型标准形
为为：：22"y—i-况y2++y犹3,应，应选选(（AA)）..
或或者者，，由由 口
1000° 1 0 0
Q=[e?,-e?,e?]=[e?,ez,e?] 001 =P 001
0-10- 0 —10.
1 007 yi yi
·
知 x= 0y =P 0 (0 1 y? =P y?
0 —10] yn. 一y2
又又因因二二次次型型
/
f(
（x
x
,
?
,
,
x
x
2
?，,工x
3
?）)在在正正交交变变换换
x
x
=
= P
P
y
y
下下的的标标准准形形是是2
2
y明2++y ?乂—一y3乂,所，所以以f了在在正正交交变变换换
x x = = Qy Q 下 y 的下的标标准准形形为为：：2武2yi++抹y3一-(（-一y队?)）2，,即即踣2y¥i++况y3一-y邳2.. .
■(（22001166,,88题题)【）【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 二二次次型型矩矩阵阵
a 117
a 1 r
A= 1 a 1
A = 1 a 1
1 1 a
_1 1
由由特特征征多多项项式式
λ-a -1 -1
A — a — 1 —1
λ 1 IE E— -A A l | = = - 一 1 1 λ A — - a a - _ 1 1 ==(λ (A — - a a - — 2 ) 2) ( ( a A - — a a + 1 + ) 1 2 ) . 2.
—1 —1 λ— a
-1 -1 A — a
矩矩阵阵AA的的特特征征值值:：a +a +22,,aa—-1l,,aa--1l..
（a+
+
2
2
> 0
0
.，
cl
由由力p==1l,,qq= =2 可2可知知
a-1<0,
所所以以一-22 << aa <<1 .1.
S — 1 V 0,
&8((（22001177,,2233题题【）【解解】】 二二次次型型矩矩阵阵
乙
2 1-4
一 2 1 -4'
A = 1-1 1
A = 1 _ 1 1
-4 1
-4 1Qa _
正正交交变变换换下标下准标形准是形λ:是yi++λ兀?话y2,，说说明明AA的的特特征征值值为为λ“?λ，人?2,，0。.・所所以以
22 1 1-一4 4
1 -1 1
|I AA l| == 1 -1 1 ==-—33((aa- —2 )2)= = 0 0,,
—- 4 1 a
-4 1 a
·206 ·
・206.第第六六章章二二次次型型
故a= 2.
故 <2 = 2.
λ A — - 2 2 - - 1 1 4 4 = λ A — - 6 60 0 6- 6 λ — A
由由||涸λ一E-AA |l == - - 1 1 λ A + + 1 1 - -1 1 = - -1 1 λ A+ + 1 1 一 -1 1
4 —1 λ—2
4 -1 A — 2 44 --11 λ—A2-|2
= λ—6 0 0
A-6 0 0
-1λ+1 -2
= _ 1 义十1 一 2 ==λA((Ax ++3 3))((Aλ —- 66)) == 00,,
4 -1 λ+2
4 一 1 A + 2
得得矩矩阵阵AA的的特特征征值值：：66,,--33,,00..
由由((66EE —-A 4))xx= 0=得 0基得础基解础解系系a?5= (=1, (01,,-01,)—π 1,)丁即，即λ;=1 6=的 6特的征特征向向量量..
由由(-3
3E
E -
—
A
A
)x
)x
= 0
=
得
0
基得础基解础解系系a?
a
=
2
(
=
1 ,
(
-
1
1
,
,
—
1
1
)T
,1
,
)
即 T,即λ人=-
==
3
—
的
3
特的征特征向向量量..
r
由(0E-A)x=0得基础解系a?=(1,2,1)π,即λ=0的特征向量.
由(0E-A)x = 0得基础解系a, = (1,2,1)丁，即2 = 0的特征向量.
因实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有
因实对称矩阵特征值不同特征向量7相互正交,故只需单位化，有
口
1
1 1
P 1 I F 1 I 「1]
1 1 1
Y = 0 ,Y?= -1 ,Y?= 2
√2 √6 事
√③
—1. 1 1
—
1 1 1
「1 1 X-
√成2 √布3 √V66
1 2
0 2_
那 那么 么 。 Q= = [yL?7,1 ，Y^?2, ，为 y? ］ ] = = 0 √3 √6 ,，经经Xx == Qgyy有有
73 a/6
1 1 1
1 1 J_
√2 √3 √6]
A
x?Ax=yTAy=6y1-3y2.
xTAx = yTAy = — 3邳.
【评注】 本题难度系数数一0.574,数二0.485,数三0.539.
" 【评注】 本题难度系数数一 0.574,数二0. 485,数三0. 539. "
L…= = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = ·= =·J
人x?-x?+x?=0,
X2 +工3= 0,
Q((22001188,,2222 题题))【【解解】】((II ))平平方方和和 ff((x工?i, yxx?2 ,口x?3))== 00?0.< xx?2 ++x了?=3= 00,,①①
x; +ar?= 0.
X} +ar3= 0.
1-11
由 0 1 1 =a-2,
10 a
当a≠2时，①只有零解，即f(x?,x?,x?)=0只有零解，x= 0.
1-11 1027
,
当a=2时， 0 1 1 011 1
1 0 2 000
①的基础解系为(-2,-1,1).
故故f(口x?,x2?，了,3x)?)== 00的的解解为为Xx ==k(虹-2一,2-,1 —,1 1),'1,)Tk为以为任任意意常常数数..
人yy\? ==xx?i-~x x?2 十+ix3,,
( ( Ⅱ II ) ) 当 当 a ≠2时 时 ， ， 令 令y y y ? z = = x Z , 2 十 +工 xa 3 , , ② ②
y?=x? +ax,,
=Xi +0X3，
·207 ·
• 207 ・►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 提■高■篇(（数数学学二二)）
1-11
1-11
0 1 1
因因0 1 1尹≠00,,②②是是可可逆逆坐坐标标变变换换..
1 0 a
1 0 Q
f(x?,x?,x?)的规范形为yǐ+y2+y3.
/(x, ,x2,x3)的规范形为 y^+yl+yl.
或当a=2时，
或当Q = 2时，
f(x?,x?,x?)=(x?-x?+x?)2+(x?+x?)2+(x?+2x?)2
/(X1 口2 »x3) =(X1 — X2 + X3)2 + &2 + 工3)2 +(X1 + 2x3)2
=2xi+2xz+6x3-2x?x?+6x?x?
=2x? + 2xf + 6x1 — 2x]X2 + 6xxx3
==22 [ ^xxi1 —-x X?\ ((xx2? —- 33xx3? )) ++ - 1 ^-((xx2? -—3 x3x?3) )22 [ ]++2 2xx2i ++6 x6x2f— — 1 ((工x2? —-3 3xx?3) )22
4 2
=2| ( 工?一
1
2 x?+
3
2x?
)2
十
3
2 x1+3x?x?+
3
2
==22 ( (工Zi?一 -- 2
1
工x2 +? +言
3
工 2 3x ?）
)2
+ 十 号
3
2 （了 (2 x + z+ 工 x3?）)2 2,,
可可得得规规范范形形"yi++y院2..
「___一__-_ 一一一 一二 一一一 ---_一 - - --
— — — — — — — — — — — —1 — — — — — — — — — — — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n|1
【评注】当a=2时，如注意到(x?-x?+x?)+(x?+x?)=x?+2x?,也可先经坐标
" 【评注】 当a = 2时，如注意到(xi — x2 +x3) + (x2 +x3) = x\ +2了3,也可先经坐标"
II »
i< 变变换换 «
ii 人y V ? 】 = = x X ? 1 — — x X ? 2 + + I x X a 3 , , ••
II 11
x?+x?,
« 〈y了2 ? = = X2-\- Xz , "
Il y?= x?, "
Il 1^3 = Z3， II
；得得 ff ==y 1yTBByy= y=i"+y+i+、(； +y? (+yyi ?+) >22=)22 y=1 2+"2 y+22+y2l y+i2yy?x。y2. :
2107
" 「2 1 01 "
: BB == 11 22 00,，由由于于矩矩阵阵BB的的特特征征值值为为33,1,1,0,0,从,从而而知知规规范范形形为为zǐ好++z姥z.・ :
000-
" 0 0 0 "
ii «
»| 本本题题难难度度系系数数 00..334477,,00..224488,,00..330033 "
—二=二二 二二二二 二 二二二二 二 二 二 二 二二 = = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = = = sJl
皿(（22001199,,88题题【）【答答案案】】 CC..
【解析】 规范形由p,q而定，判断特征值入手.
【解析】规范形由力,q而定，判断特征值入手.
设设 A A a a = = a M ,α ,a ≠：#0 0 . .由由 A A，+ 2+ A A = =2 2 E E 有 有 A A 2 ^ a a + + A A α a — - 2 2a a = = 0 0 即 即
（(Aa22 ++λA--22)）αa == 00..
知知xA22 ++λA--22= 0=, 矩0,矩阵阵A的4特的征特值征值只只能能是是11或或—一22..
又又因因|I A4||==4,4所,所以以矩矩阵阵A的4的特特征征值值是是：：11,,一-22,,— —2 2.. •
从
从
而
而
二
二
次
次
型
型
的
的
规
规
范
范
形
形
是
是
y
y
2
^
—
-
y
y
2
l
—
-
y
y
3
l
.
.
选
选
(（C
C
)
）
.
.
.
(2020,22题)【解】(I)二次型f经坐标变换x=Py成二次型g,故f和g有相同的正、负
[JJ（2020,22题）t解】（I ）二次型，经坐标变换x = Py成二次型g,故，和g有相同的正、负
惯惯性性指指数.数因.
g
因
=
g =
（:y
(
i
y
+
? +
V
y z）?
'
)
+
2 + 4乂4y 知3知力p==2
2
,
,q
q =
=
0
0
.
.
于是二次型f的正惯性指数p=2,负惯性指数为0.
于是二次型f的正惯性指数P = 2,负惯性指数为0.
因二次型f的矩阵
因二次型f的矩阵
1.a a
"1 a a
A = a l a
A = a 1 a .
a a .1
a a 1_
由由 || λAEE —- AAl =| =( λ（A- —1 -1 2—a )2(a）λ（A- 一1 +1 a+) 2a.）2矩.矩阵阵A 的A 的特特征征值值：：1 1—- Qa,,11 —-a a,»11 ++2 a2a..
·208 ·
-208 ・-_
。
第第六穴章章二二次次型型
1-a>0,
从 从 而 而 {｛ 1 二 +2a 检 =0, ，故 故aa =- 1 2 1
7,
(Ⅱ)由配方法f=x1+x2+x}-x?x?-x?x?-x?x?
(□)由配方法 / = Xi + x! + x| — X1X2 — X1X3 —X2X3
= [xǐ-2x;( 1
2 x互?++ 扣 2
1
X? ) 十
1
4 1 (x?+x?)2
]
+x3+x-x?x?一
1
4 (x?+x?)2
=
(x?一 2 1 1-x?一 X 1 2 x?) ) 2 十 3 4 3 (x?—x?)2,
人 1 1 1
z Z1 ? = = x 勾 ?一 _ 22 1 ^ x 2 ? 一 _ 2 万 1 x⑶?, x? = 1 √③ 1 1 z1
11 ,
令令V 2 22 ? = = √ V 2 2 ③ 3x 互 ?— _ √ y 检2 3 x / ? 3 ,， 即 即 x工? 2 = 0 0 √ 2 3 1 1 z2
工x?3. 23
(z?= x?, 01
N3 = •2^3， 0 0 1_
有有 ff= —zǐ Zi ++z2z.f.
人z Z\ ? = = y y ? } + + y y ? 2 , » z z 1 i = 1 1 1 1 07 0 y y i \
,
再再令令，z2 = 2 2 y / ? 3 ,，即即 2z22 0 0 0 0 2 2 yy?z
1 0 0
x % ? = = y > ? 1 , ， z? .1 0 0. ) y 3 ?
则则有有/f经经坐坐标标变变换换x= Py,
X
( 1 2厂
1 1 21
√3 2 1 √3
0一 = V3 ,
P= 2 002 — 4
P 0 1 2 10 4
1 0
√③ 100- √3
0. V3
0 0 1 1 0 0
_1 0 0 _
得g=yǐ+yi+4y3+2y?y?.
得 g = yi + yl+ 4法 + 2yiy2.
一 _ _ _
" 【【评评注注】 】 坐 坐标标变变换换x x== PPyy是是不不唯唯一一的的.. 11
a =』
[[2£(（2200212,18,题8题)【）【答答案案】】 B
B
.
.
1 1 0 110 人y?=x?+x?
1 1 0 = 1 1 0 yi JCi+ x2
【【解解析析】】 因因为为 0 0 1 1 1 1 = 0 0 1 1 1 1 ==00,所,所以以/ y yz ?=— x互?++x孔?不不是是坐坐标标变变换换。.
- - 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ) y 3 ? -- = --— —x? + + x 了 ? 3
—
f=xǐ+2x?x?+xǐ+x2+2x?x?+x1-x2+2x?x?—x3
，=药 + 2xi x2 + xf + xf + 2jc2jc3 + 勇一招 + 2xi x3 —繇
=2x2+2x?xz+2x?x?+2x?x?,
=2xl + 2x^2 + 2jc2x3 + 2xi x3
[ 1 r11 1
由由（(11）)配配方方法 法 f=22 [x蒙2 ++uxX?2 ((xxi? ++1x3? )尸2 ++
4
(x?++x a?))?2]—
2
(x;++x x?3) )22 ++2 x2x?ix x?3
1 1 2 1
=2((xXz? ++ |- + 扣))T&f)
=2| 2 L x?十 2 x? 2 (x?-x?)2.
011
'o 1 r
·
121
或或(（22）)特特征征值值法法 AA == 1 2 1
110.
_1 1 o_
λ A - 1 -1 _ - 1 1 = λ A + + 1 1 0 0 - - 1 1 - - λ A = λ A + + l 1 0 0 0 0
I AE-A | -1 λ-2 -1 -1 λ-2 —1 -1 λ-2 -2
|λE-Al= -1 A-2 -1 -1 A-2 一】 = -1 A-2 -2
——11 —— 11 )A - - 1 1 - - 1 1 λ A - -1 1 - - 1 1 λ 人 - 一 1 1
· 209 ·
-209 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高■(数学二)
==(a(A+ +1) 1()a(A2-2 3-3λA)),,
特特征征值值33,,--11,,00..
都都有有
P
p =
—
1 ,
l,
q
q
= 1
=
, 故 1,故选选(B(B ).
).
301
3 o r
,
1
围
3(
(
2
2
0
02
2
2
2
,
,
2
2
2
2
题
题
)【
)
解
【
】
解】
(I
(
)
I
,
)
=
f=
三
x'
仙
Ax
，
,
x
x =
=
(x
(
?
与
,x?,,x*3?))
t
1
，
,
4
A
=
= 0
0
4
4
0
0
103
.1 0 3.
3-λ 0 1
3 — A 0 1
0 4-λ 0
|I AA--XλEE ||== 0 4-A 0 ==( 4(4-λ-A)()(aA—-22)()(λA—-44)),,
11 00 3 3—-)义
AA的的特特征征值值为为人λ1 ;===2 ,2λ,心?==λA?3 == 44..
先先求求解解((AA--22EE))xx= = 0 0.. 7 1
101 101
ri 0 1] ri 0 1~\
A-2E= 020 行行初初等等变变换换 010
A-2E = 020 0 1 0
101. 000-
一1 0 1_ 0 0 0_
-1
-r
0
((AA--22EE))xx= =0 的0 的通通解解为为 xx= = kh 0 ..令令β怯==((-1一, l0,,01,l))TT..
1
_ 1 _
再再求求解解(A(A-4-4EE))xx ==0 0.. 7
-10 1 1 0 -1
r-1 0 1 ] [「1 0 — 1]
行行初初等等变变换换
AA -— 44EE == 00 0 000 00 00 00
1 0-1 00 0
_ 1 0-1. 0 0 0 _
1 p7
((AA -—4 4EE))xx= =0的 0通的通解解为为 1
x= k? 1 +k? 0
0 1
0 10
令令与& ==(0(0,,1l,,00))TT,,&5?==((11,,00,,11))T,,易易见见备5,正正交交..
1 -1
]-r
0
= √2√2
V2 V2
,
[ 与 β ]
令QQ == Mtrrtr 1
0
0 0
0
令 T与T'TS?T'T寿B?T.卜1
1 1
] ]
0
√2 √2
再再令令 Xx ==Q yQ,yy,y= (=y ?3,1y,3?/,2y，?/3))?t,，
则f=x1Ax=4y1+4y2+2y3=g(y,y?,y?)为标准形.
则 f = xTAx = 4" + 4^2 + 2yl = g(y} ,y2 9y3)为标准形.
((ⅡII))x x≠。0时时，y， = yQ=TQx? 尹x≠。(0若( y若 =y =00,则, 则x =x= QQyy ==0 0))..
因因 xxT1xx == ((QQyy))T((gQyy)) == yy'TQQT^QQyy == yy1TEEyy ==y y'Tyy≠ 丰 00
=
fr
x
((
?
xx
x
))= gg
y
((
'
yy
y
))= = 4 4
y
y "
i
i + +
+
4
y
或 y
ī
3 + +
+
2
v
2 y 摇 ? ≥>2 ?.
x* — 77 _ y\+yl+yl
取取 yy\? ==y y?z ==0 ,0y,j?z3= =1, 1可 ，可得得 g 岑 (y 号 ) == 22..
y1y
所所以以min呀 fx('鹭 xx) == 22.・
· 210 ·
210 --
第第六六章章 二二次次型型
/解题解题加加速速度度
1.【答宏】2.
1.【答
【【解解析析】风为
工
二
次
次
型
型
f （
f
工
(
1
x?,
，了
x
3
?
）
,x
=
? )
2x
=
5
2
+
x1
2
+
x
2
2
x
+
2 +
2
2
^3
x 2
+
+ 2
2X
x
1
?
X
x
2
?
—
-2
2
x
x
?
2 J
x
C
?
3
+
+
2
2
x
x
?
3
x
X
?
|
,
，
211 1
2 1 1
二 二 次 次型 型 矩 矩 阵 阵 A A = = 1 2 2 - - 1 1 ,，易易见见rr(（AA)） ==2, 2所,所以以二二次次型型的的秩秩为为2.2.
1-1 2
_ 1 2
人y?=x?+x,,
yi = zi + a，
【【评评注注】】 本本题题的的陷陷阱阱：：注注意意!yy?2 == x?-互x?一,不a是,不坐是标坐变标换变，换(，因（因为为行行列列式式为为00)）不不••
it
y?=x?+ x?
>3 = + Xa «
………………………… … ………
L要要误误以以为为秩秩是是33..
7
1 — a l+a 0
一1一。 1 +a 0-
1+a 1-a 0
22..【【解解】】（(II）)二二次次型型矩矩阵阵AA == 1+q i~a 0，,由由于于二二次次型型 f f的的秩秩为为2 2 , ,
0 0 2-
.0 0 2_
1-a 1+a
1 — a 1+a
即即rr（(AA）) ==2 2,,所所以以有有|| AA l|== 22 =-88aa ==0 ,0»得得 aq ==0 .0.
1+a 1-a
1+a 1 — a
λ-1 —1 0
义一1 -1 0
-1 λ-1 0
（(IⅡI）)当当aa ==0 0时时，，由由||涸λ一E-4Al= -1 A-1 0 ==λA（(Aλ~-22）)2 2== 00,
0 0 λ-2
0 0 A — 2
知知矩矩阵阵A4的的特特征征值值是是2,22,2,,00.. 7
1 -10 1 -10°
-1 1 0 0 00
对对；λI == 22,,由由（2(2EE--AA）)xx ==0 0,,
0 0 0. 0 00]
得得特特征征向向量量aa】;==(1（l,,1l»,00)）?T,,aa?2 ==(0,0,1)?. 7
-1-10 1107
-1-1 0 001
对对；λ
I =
= 0
0
, ,由由（O (0
E
E
-
-
A
A
）
)
x
x
=
=0
0
,
,
0 0-2- 000]
得特征向量a?=(1,-1,0)π.
得特征向量。3 = （1, — 1,0）丁.
由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有
由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有
1 1
Y71? == 土（(11,,11,,00）)。T,为γ ?== (（00,,00,,11)）?丁,，γ为?== £(（11,, —一 11,,00)）丁T.
√2 √2
42 晅
1 1
0 1 ■
√2 0 √2
1 1
令 令0Q ==[y
［为
,y
，
?
为
,
，
y
为
?
］
]
=
=
0- ，
,
那
那
么
么
，
，
二
二
次型
次
/
型
■
f
在
在
正
正
交
交
变
变
换
换
x
x
=
= Q
Q
y下
y下
的
的
标
标
准
准
形
形
为
为
0
√2 √2
V2
010
0 1 0 .
f(x?,x?,x?)=2yi+2y2.
/（xi ,Xz ,工3）= 2y\ + 2球
(（Ⅲ皿）)（(方方法法一一）) 由由（H(Ⅱ）知)知，在，正在交正变交换变X 换= xQ=yQ Ty下,/，（x f,(,x
t
?2,,x x3?）, x=? )0=化0化成成2y2\ y+i+ 22yyl 2== 00,,解解
· 211 ·数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
之得y?=0,y?=0,y?=t(t为任意实数),从而
之得=0，、2 =0，、3 =：（：为1任意实数），从而 1
x x = = Q Q 0 ==[y［i子,1Y、"?ti,,Y为?]］ 0 =tr?= = t ( £ 1（, 1, - — 1, 1 0 , ) O ? ） , T,
即方程f(x?,x?,x?)=0的解是k(1,-1,0)?,k为任意实数.
即方程/（幻，互，工3）= 0的解是"1, 一 1,0）眼为任意实数.
(
（
方
方法
法
二
二
）
)由
由于
于
/
f
（
(
X
x
1
?
,了
,2x，?
了3
,
）
x
=
?)
技
=x
+
i
M
+x 2
+
+
2
2
x
x
1
1
+
+ 2
2X
x
1
?
X
x
2
?
=
= (
&
x
1
? +
+工
x?
2
)
）
2
2
+
+
2
2
x
x
3
1
=
=
0 ,
0
所
,所
以
以
{x?+x?=0,
严+初=0,
Ixxs? ==0 0,,
其其通通解解为为Xx ==k(人-（1一, 1l,,l0,)0?,）T其,其中中k为k任为意任意常常数数。.
（T " - - ~ - - =j］
【评注】本题的前两问是常规题，也是常见的，只要按步骤处理即可.要注意对(Ⅲ)的
H 【评注】 本题的前两问是常规题，也是常见的，只要按步骤处理即可.要注意对（in）的«
II ••
［理理解解..本本题题难难度度系系数数00..556633.. J
·-J
a0 b
a 0 b _
020
33..【【解解】】((II))二二次次型型/f的的矩矩阵阵为为4A == 0 2 0 ，,设设AA的的特特征征值值为为λ“,((3i==1 ,12,,23,)3,)由,由题题设设，,
b 0 —2.
b Q -2_
{λ?+λz+λ?=a+2+(-2)=1,
Ai + A2 + A3 = q + 2 + (― 2) = 1,
有 =→>aa == 11,9bb ==2 (2已(已知知 bb >>0 )0)..
Aλzλ?=|Al=2(-2a-b2)=—12.
AiA2A3 = I A I = 2(— 2a — b2) =— 12.
(<Ⅱn）)由由矩矩阵阵A
a
的的特特征征多多项项式式
λ—1 0 —2
A-l 0 -2 λ—1 —2
λE-Al= 0 0 λ A — - 2 2 0 0 =(λ (A — — 2 2 ) ) A-l —2 ==(λ(A-~2)22)(2(λA ++3 3)),,
-2 0 λ+2
—-22 λA 十+ 22
-2 0 A + 2
得得到到AA的的特特征征值值人λi ?== λA2 ?== 22,,λ人3 ?==—-3 3.. 1
1 0-2 10-2
对对于于；Iλ = =22,,由由(2(E2E-A-A))xx == 00,, 00 0 000
-204 000
得得到到属属于于 a λ == 22的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量aa】?==(（00,1,l,,00)）?L,a 1 a2z ==(2(,20,,01,)1T)丁7 . 1.
—4 0 —2” 201
010
对对于于;lλ =一=-33,,由由(一( -3E3 E—- AA))xx ==0 0,, 0 -5 0
-2 0 —1. 000-
得到属于λ=-3的特征向量a?=(1,0,—2)T.
得到属于人=一3的特征向量。3 = （1,0,-2）T.
由
由
于
于
a
。
j,1α，
。
?
2
,，α
。3
?已
已
两
两
两
两
正
正
交
交
，
，故
故只
只
需
需
单
单
位
位
化
化
，
，
有
有
—
1 1
r Z1 ? = = ( 0 ( , 0 1 ,1 , , 0 0 ) ) ?丁,，？r2 ? = = -^1((227,,00,,11))T? ,,γ为?== £((11,0,,0 —,-22)) 丁
√5 √5
V5 V5
(7
2 1
0 £ ］■
0 √5 √5
75 V5
那那么么，，令令P P== (3Y1? ,,?Y2? ， ,为Y?）)== 1 1 0 0 0 0 ,，则则PP为为正正交交矩矩阵阵，，在在正正交交变变换换x x==P Py下y下，，有有
1 2
_2_
0
√5 √底5
75
·212 ·
・ 212 -—
—
第六章二次型
第穴章二次型 Y
2
「2
PTAP= P1AP= 2
PtAP = p-'AP = 2
. —-33].
二次型的标准形为f=2yi+2y2-3y3.
二次型的标准形为f = 2父+ 2展一 3法.
44..【【分分析析】 】本本题题已已知知二二次次型型在在正正交交变变换换下下的的标标准准形形就就是是已已知知矩矩阵阵AA的的特特征征值值，，而而QQ的的列列就就是是
AA的的特特征征向向量量，，现现在在的的问问题题是是如如何何求求出出AA的的所所有有线线性性无无关关的的特特征征向向量量?？反反求求出出矩矩阵阵AA??
【【解解】】（(
I
I )
）
二二次次型型x
x
?
t
AAx
x
在在正正交交变变换换x x =
=
Q y
Q
下 y下的的标标准准形形为为y1话+y+2话,说，说明明二二次次型型矩矩阵阵A
4
的的特特征征
值
值
是
是
1
1
,
,
1
1
,
,0
0.
.又
又
因
因
。
Q的
的
第
第
3
3
列
列
是
是(（ √ 孝 2 ,,00,3,亨√②)） T 「
,
，说
说
明
明
a
a
’
?
=
=( 1
（1
,0
,0
,
,
1
1
)
）
?
T
是
是
矩
矩
阵
阵
A
A
关
关
于
于
特
特
征
征
值
值A
λ
=
=0
0
的
的
特
特
2 2
征征向向量量..因因为为4A是是实实对对称称矩矩阵阵，，特特征征值值不不同同特特征征向向量量相相互互正正交交.设.设AA关关于于；hλ =?=据λ?==11的的特特征征向向量量为为
α
a =
= (
（
x
x
?
i
,
,x
x?
2 »
,
x
x
3
?
）
)
t
?
,则
,则
aT
a
a
1
3
a
=
?=
0
0,
,即
即
X
x）?
+
+x
x
?
3
=
=
0
0
.
.
取取α?==( 0(0,1,1, 0,0))?T, ,α。2? ==( -(―1, 01 ,,01,)lπ)T, ,那那么么a a?i, ,α。2? 是是人λ1 ?== λA2 ?==1 的1 的特特征征向向量量..
由由 A[a?,，α。2? ,,。α3〕?]== [［a。?1,α?,,00］]有有 7
0-107尸 0-11 -1
A=[a?,α?,0][a?,α?,α?]-1= 1 00 1 00
01“0] 0 1 1
[
0 1 0 1 1
0-
= 1 1 = 2 2
0 ·
1 0 0 2 2 0 1 0
0 1 0 1 1 1 1
0 0
2 2 2 2
(（ⅡH）)由由于于AA+ +E 是E是对对称称矩矩阵阵，,且且矩矩阵阵AA的的特特征征值值是是11,,11,,00,,那那么么AA ++E E的的特特征征值值是是2,22,2,1,1.因.因为为
AA+ +E 的E特的特征征值值全全大大于于00,,所所以以AA ++E E正正定定..
lr = ■= = = = = *： = =、= = = = = = = = * = = * = * = = = = = = * = = * = = = = = = = = =51
" 【【评评注注】 】本本题题也也可可把把aai^,aα2?单单位位化化处处理理((它它们们已已经经正正交交！)!构)构造造出出正正交交矩矩阵阵0Q,,即即 11
I I I I 00 - 1 二1 ----- 0 ---- 7 -------
it √ 72 2 ,√ V2 2 -1
it 1
» Q Q = = 11 0 o 0 0 ,，则则。Q一1A"Q==QqTtaAqQ == 1 ・.于于是是有有A A== QQAAQQπT ==….
0 _ 1 i_ 1 1 0 0 - . ii
0 √2 √2 ii
J2
3
"因因为为在在（(II )）中中已已求求出出矩矩阵阵4A,,那那么么计计算算AA ++E E的的顺顺序序主主子子式式△d ,== ,△?== 33,,&△ ?== 44全全大大"
2
•I Z 11
:于于。0也也可可证证出出AA ++E E正正定定.. :
" 本本……题题…综综…合合 性性 强强 ，， 知 知 识 识 点 点 多 多 ， 复 ， 习 复 二 习 次二 型次 一型 一定 定要 要 搞 搞 清 清二 二次 次型 型 和 和 特 特 征 征 值 值 知 知 …识识点点之之间间的的衔衔接接*•
II - H
..和和转转换换，，难难度度系系数数00.. 338855.. ••
L…
55..【【解】解】(I ( )I/) f== x1++4 4xx2f ++9 9xx21+
+
4 x4?xxix?2+ +6 x6?
x
x iX?3+
+
1 21x2x ?2x
x
?3
=
=
x?
x
A
TA
x
r
,
,
x=
x
( x
=
? ,
(j
x
c\
?
,
,
x
x
2 ,
?
J7
)
3
T)t .
. '
·213 ·
・213・►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提高篇(
（
数
数
学
学
二
二
)
）
123”
"1 2 3'
?的矩阵A = 246
/的矩阵A = 2 4 6.
369-
_3 6 9_
1-λ 2 3 1-λ2 3
1-A 2 3 1 — A 2 3
2 4-λ 6
( (—-2
2)
)
r
n
)
?++
,
r
2 2λ—λ 0
((ⅡII))1 |AA--AλEE |I == 2 4-A 6 2A ——A 0
3 6 9-λ 69—λ
3 6 9 — A 33 (6 9-A
==- -λA22((λA—-1144)),,
AA的的特特征征值值为为人λ| ;==λ扇?==0
0
。,
,
λ义3 ?
=
=1
1
4
4
.
.
先先求求解解（A(A-O-0EE）)xx ==0 0,即,即 AAxx= = 00,, 7
123” 1237
3 2 3- -1 2 3-
A= 246
行行初初等等变变换换，
000
A = 2 4 6 0 0 0
3. 6 9 000-
.3 6 9_ L0 0 0.
「一-2
2-
尸-37r
AAxx ==0 的0的通通解解为为xx ==k妇? 1 1 + + k k ? 2 0 0 ,,kk}?,,kk2?为为任任意意常常数数..
0 1
0 1
令令与=(-
（—
2,
2
1
,1
,
,
0
0
)
）
?丁,，&5 ==( -（3一, 0
3,
,
O
1
,
)
1
,
）T
下 ,下面面将将5&,,正冬正交交规规范范化化..
令令夙β==&5= =(- (2一, 21,,l,00))T,,
巧 -2
6
β=5:- (5:β) β= 0 1
5
(β,β)'
1 0
= ,一 =
一，
=((— 3 ,— 6 ,,11) ) T = 4 1 ■((—-3 3,,- —6 ,65,)5T)T..
5 5 5
\ t) D / 5 7
再再求求解解((AA--1144EE))xx= = 0 0..
1
10- x
-13 2 3 1 0 3
r-13 2 3 - 3
A A - — 1 1 4 4E E = = 2 2 -1一0 1 0 66
行行初初等等变变换换-
0 1- 2 2
0 1 3
3 6 -5 3
3 6 —5_
00 0
0 0 0
2
((AA -- 1144EE))xx == 00的的通通解解为为x =x=
令令β贝==(1(1,2,2,,33))，.
-2 -3 1
-2 -3 1 1
√5 √70 √14
V5 /70 /IT
=
,7 β β. β ] 1 1 - -6 6 2 2 ,
令今 望 ° Q= 一 r L Ⅱh| p aβ ' Ⅱ1、Ⅱ峨 饥 β .II ' Ⅱ II 0 β 3 . II 瑚√5 √70 而√14
5 3
0 5 3
0
√70 √14.
770 714J
再再令令xx ==Q yQ,y则 ,贝fij( /x（?
j
,
ti
x ,?x,2x皿?)化）化为为标标准准形形
g
g
(
3
y
1
?,，、y? 2，,必y?）)== 1
1
4 4乂v2.
(Ⅲ)f(x?,x?,x?)=g(y?,yz,y?)=14y3=0,即y?=0.
((0 ) ，工2 ,J?3)= g(yi 9y2，丁3)= 14掳=0,即 y3 = 0.
· 214 ·
・214・第第六穴章章 二二次次型型
-2 1
--2 ± 00 1
√5 √5 27
V5 75
-3 -6 5
-3 -6 5
由由 xx ==Q Qyy,,可可得得 y y== QQ?Txx == √70 √70 √70
770 770 770 -2
1
1 1 2 2 3 3 3-
,√7k 14 √
/1
1
4
4 √
/1
1
4
4.
_
1
” =*6(x+?+22x5?+33x五g))=0=的。的解解为为
√14
『 『
-2 —3°
-2- -3'
x= k? 1 +k? 0
k 1 +处 0 ,，上k?以,k2?为为任任意意常常数数..
0 1
_ 0 _ _ 1 _
二二、、二二次次型型的的正正定定
解解题题加加速速度与
1.【答案(一2,√2).
1.【答糊(一中板).
「
210
2 1 0-
t
111 —
【【解解析析】】二二次次型型，f的的矩矩阵阵4A== 1 2
2 ,，/f•正正定定?A的的顺顺序序主主子子式式全全大大于于0.0.
t
1
0
2
21 1
2 t2>0,
△△ 1 ?== 22,, △?==
1 1
==11,,△A3 ?== || AA || ==1 1— — ■2 t2 > 0,
所所以以一-√ ^22<> 00,,
即即 VVxx≠ 尹0 ,0恒,恒有有((BBxx))T?AA((BBxx) )>>0 0,,即即 VVxx≠ 关0 ,0恒,恒有有B Bxx≠ 0.0.
因因此此，，齐齐次次线线性性方方程程组组BxB x==0 0只只有有零零解解，，从从而而rr((BB)) == n n..
充充分分性性..H因((BB
t
πAABB))
t
T==B TBA
t
TA(
t
B(TB)
t
T)=
t
B=π BATBA,B知,^B]π BATBA为B 实为对实称对矩称阵矩，阵，
若r(B)= n,则齐次方程组Bx=0只有零解，那么Vx≠0必有Bx≠0,
若r(B) = *，则齐次方程组Bx — 0只有零解，那么V x丈0必有Bx 0,
又又AA为为正正定定矩矩阵阵，，所所以以对对于于BBxx尹≠00,,恒恒有有(B(
x
Bx)t )A?A(B(B
x
x) )>>0 0,,
即即当当xx≠ 乂0。时时，,xxTT((BBT?AABB))xx>>0 ,0故,故BT"AAB为B正为正定定矩矩阵阵..
「= = = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = = _ = = = = = = = = = = _ = = _ = =『
" 【【评评注注】】 本本题题的的证证法法很很多多..例例如如，，利利用用秩秩的的定定义义和和性性质质可可证证必必要要性性.. "
» !, 由由B"?- 恤A B是是n 7阶2 阶正正定定矩矩阵阵，，知知 n n== rr((BBTTAABB)) ≤Mr r((BB))≤ 2> 00,,又又因因AA正正定定，，故故由由
,215 ·
. 215 .HI
数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
► 数学历年真题全精解析• (数学二)
『= = = = = = = = = = = = * = = = .= = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7
" AλaTaa' α= = ( ( B B a a T T )A )A (B (B a a ) ) > > 0 0 , , "
II II
«得得到到 A λ > > 0 0 . , 所所以以B"TAAB正B正定定.. . :
: 本本题题证证法法虽虽很很多多，，但但得得分分率率却却是是当当年年数数学学一一中中最最低低的的，，人人均均仅仅00..7788分分，，但但是是区区分分度度高高，，反反 :
:映映出出优优秀秀考考生生解解本本题题并并不不困困难难。.对对于于定定义义法法，，各各概概念念的的衔衔接接与与转转换换是是考考生复生习复时习应时当应注当意注的意. 的.：
LIL …---= -= -= -= -= -= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
3. = 8, 7i
3.【【证证明明】 】因因"BT==((λAEE++AAT
t
AA))T
t
=
=
λ
A
E
E
+
+
A
A
TA
t
=
A
B,故B故是Bn阶是实阶对实称对矩称阵矩.阵构.造构造二二次次型型xT
xT
B
B
x
x
,
,
= AxTx + (Ax)T(Ax).
则x1Bx=xT(λE+ATA)x=Ax'x+xTATAx=λx'x+(Ax)T(Ax).
则 xTBx = xt(AE + AtA)x = Axtx + xtAtAx
Vx xTx>0,(Ax)T(Ar) >0. (>0 Vx
Vx≠尹0 0,恒,恒有有 x1x>0,(Ax)(Ax)≥0.因此因此，，当当;λ>0时时，，Vx≠乂0 0,,有有
x
xT
1BBxx ==λ
Ax
x
t
T
x
x ++ ((AAx
x
))t ?AA
x
x >
>
0 .
0.
二二次次型型为为正正定定二二次次型型，，故故BB为为正正定定矩矩阵阵..
62%,
” 【【评评注注】】 这 这是是数数学学三三当当年年全全卷得卷分得率分最率低最的低一的道一题道，题得，零得分零者分占者占62得得满满分分的的不不足足«
；3%, 1. 1
3人均人仅均1.仅1分.反分映.反出映考出生考对生正对定正矩定阵矩的阵性的质性及质判及别判法别不法熟不悉熟，悉在，在用用定定义义法法证证明明及及对对内内:
…/a……………… … …………………
:积积a'α的的理理解解上上都都有有欠欠缺缺.. :
B 0 B
I » 你你能能否否用用B的的特特征征值值全全大大于于0来来证证明明矩矩阵阵B是正是定正矩定阵矩?阵提？提示：示定：定义义法法.. "
LL -==- -= -= -= -= -= -= -= -= -= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =-』
4
4
.
.
【
【解
解
】
】由
由
已
已
知
知
条
条
件
件
知
知
，
，对
对
任
任
意
意
的
的
X
x
y
? ,
,X
x
2
?
,
,…,x。
恒
,恒
有
有
f(
f
.
(
X
x
t
?
,
,
工
x2 ?,,
…
…
，
,
石
x,
)
)
2
≥0
。
,
，
其
其
中
中
等
等
号
号
成
成
立
立
的
的
充充分分必必要要条条件件是是
大x?+a?x。=0.
+ag =0,
x?+a?x?=0,
Xg + %了3 =0，
; ①
■ : ①
x。-1+a?1x。=0,
MlI H- O-n-X^n =0,
x。+ax?= 0,
+a„Xi = 0,
根根据据正正定定的的定定义义，，只只要要Xx^≠O0,,恒恒有有xxq?AAxx >>0 ,0则,则xTxATxA是x正是定正二定次二型次.型为.为此此，，只只要要方方程程组组①①仅仅有有零零
解解，，就就必必有有当当X x乂≠。0时时,，□：! x+?+aaix?x2 ?»,x2x ?++aa2?ix3? ,…恒恒不不全全为为00,,从从而而ff((ixi ?,,xx2 ?,•,•…• ,j,„x). )>> 00,,亦亦即即/f■是是正正
定定二二次次型型..
而而方方程程组组①①只只有有零零解解的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数行行列列式式
11 a? 00 ・…・・ 00 00
0 1 a?… 0 0
0 1 a2 0 0
0 0 1 …00
0: 0 1 ― 0 0
==1l+ (+- C1)-'Da^?a'a?.…aza-?a≠,尹0 0,, ②②
000 … 1a.1
0 0 0 1 q„-i
a,00 … 0 1
an 0 0 0 1
即即当当 aa?iaa?2…,^aa。n 关≠((一-1)1”)” 时时，，二二次次型型 /f((Xx?i ,,xx?2,，……,,xx,„))为为正正定定二二次次型型..
【【评评注注】】 本本题题考考得得不不好好，，得得分分偏偏低低，还，还是是对对二二次次型型正正定定的的理理解解上上有有问问题题.，由由二二次次型型，f正正；；
:定转化为齐次方程组只有零解，进而转换为"阶行列式的计算，如果方程组①多写几个方«
定转化为齐次方程组只有零解，进而转换为n阶行列式的计算，如果方程组①多写几个方
:l程程，，行行列列式式②②多多写写几几行行、、多多写写几几列列，，计计算算时时可可能能会会少少许许多多无无谓谓的的差差错错..
·. 221166 ·.第第六六章章二二次次型型 <
=
5.【解】（I）因为P『=]修 E。— — A / -'C [］ T ' = ]［_% Em ［： 0[］，所以
5.【解】(I)因为PT= ,所以
E. — CTA-1E.
L 0U) J L—C A iSn J
PPTDgP=" ] E * . r 0 邛 [ A 1 C T '[E. — F A- ' 1 T C [
L — -c C t T a A -1 - 1E e . „JLc CT t B b . JLo0) E e . „ 」
= 1
_ T
A
A
C
C ［
[
「
E
E
。
.
—
-A
A- I
'C
C[-
—L.o0 BB --CCT^A-A1-C'.C^O0 EE.„ .
=
] 'AA OO -[
-L0o Bb-C-?CA-a'-C'c..'
（(Ⅱn ）)因因为为DD是是对对称称矩矩阵阵，，知知PPTDDPP是是对对称称矩矩阵阵，，所所以以BB--CC?rAA--''CC为^J对对称称矩矩阵阵..又又因因矩矩阵阵DD与与
1
A 0 O [ - AA O O [- 0° [
OR_ CT A-1C
合合同同，，且且DD正正定定，，知知矩矩阵阵
O B—CTA-1C.
正正定定，，那那么么，，VV
Y.
尹≠00,,恒恒有有
L.OO B -CtA-'C- O B - C1 A'C.
（ (oO,,yYTT) ）
]■a A 0 o 1「o
==YyTT( （ BB--Ce?rAA--1,cC ） )yY >>0 o,,
. O o B — b -CcTAT a - - I 1 C c J LyA
所所以以矩矩阵阵BB--CCTATA-'ClC正正定定..
「= = * = = = = = _ = = = = = = = = = = = = 、= = = = = = = = = = = = = = * = = = = = 「
|| 【【评评注注】】对对于于抽抽象象的的二二次次型型，，其其正正定定性性的的判判断断往往往往要要考考虑虑用用定定义义法法，，另另外外不不应应忘忘记记首首I
；先要检验矩阵的对称性.本题考得校差，难度系数仅0. 259. '•
先要检验矩阵的对称性.本题考得较差，难度系数仅0.259.
『= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
三三、、合合同同矩矩阵阵
、/1解解题题加加速速度度
1.【答案】A
1 .【答
【【解解析析由E-A|A=xE*--A4 λ| =3 A=40 -→ 4AA3的 =特 0=征>4值的为特4征,值0,为0,40,0.,又0,因0.又A是因实4是对实称对矩称阵矩阵，,A4必必
的
0
0
与与对对角角矩矩阵阵 相相似似..所所以以A 4 与与B必 B 相必似相.似
0
0
0
0
因因为为 A A, , B B 有有相相同同的的特特征征值值，，从从而而二二次次型型 x x L ? A Ax x 与与x『TBbxx有有相相同同的的正正、、负负惯惯性性指指数数，，从从而而aA与与 B B亦亦
（
合合同同..故故选选(A A ) ） . .
22..【【解解】】（(II)）因因为为λ义==3是3是A的4特的征特值征值，，故故
3 -10 0
3 _ 1 0 0
--11 3 30 000
3| 3EE— —AA l| ==
00030 -
3
y
—
了--11
00 0-10 - 1 11
= ·
3 3 - -1 1 3 3 — - y了 --11
==88(（22 —- yy)） ==0 0,,
-13 -1 1
-1 3 -1 1
所所以以yy == 22..
·221177 ·-MHKtt
数学历年真题全精解析·提高籍(数学二)
数学历年真题全精解析• 学二）
10007
1 0 0 0'
0100
（ (UⅡ ） ) 由 由 于 于ATA π=4=,A 要 ,要 （A(PA）TP（)A(PA） P=)P=PTTAA2P2 P== AA,,而 而AA22== ° 】 0 0 是是对对称称矩矩阵阵，，故故可可构构造造
0054
0 0 5 4
00 00454 ]5
二二次次型型xxT?AA22xx,,将将其其化化为为标标准准形形yTAy?yA.y即.即有有工A与2与AA合合同同.亦.亦即即PTPAT2AP2 P== AA..由由于于
x1A2x=x2+x?+5x2+5x{+8x?x?
xrA2x =若 + 我 + 5药 + 5x1 + 8及 ^4
==x浴1 ++x 蒙2 ++5 5 (（ x z；3 + + - 8 |-xx?3Xx4? ++ 16 x )）++5 Sxj2rJ一 — 16 x
5 25 5
4 2 9
==x渚1 ++x 隽ǐ ++5 5 (（xa? 十+ §了 x44 ) ） 十 + 寻了 x2 ； . ・
5
5
4
那那么么，，令令少y=?=幻x?，皿,y=?=乃x?必,y?==mx?+ %
x?,
必
y?=
=
x?
了
,
“
即
即
经
经
坐
坐
标
标
变
变
换
换
75
- 1 1 0 0 0 0 0 0 - y尸
x?
丁1
010 00
>1
x2 0 1 0 0 y? ,
Z2 二— 44 yi
x了? 3 0 0 0 0 1 1 - _亏5 y?
_ x 工 4 4 . _ _ 0 0 0 0 0 01 1 _ y?
9
有有 xxT1AA2 x2 x== yi++ yy 1 I 1 2 0 ++5 5yy3l ++ 5 y2. . 1
□
100 0
，回
010 0 1
所以，取P= 4 ,有(AP)(AP)= PTA2P= 5
001-
5
9
0001 5.
33. .【【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】A A与与BB合合同同^?xxATxA与xx与?BxxF有x相有同相的同正的惯正性惯指性数指，数及，及相相同同的的负负惯惯性性指指数数..而而正正(（负负)）惯惯
性性指指数数的的问问题题可可由由特特征征值值的的正正(（负负)）来来决决定定..因因为为
λ-1 —2
λE-Al= 义—1 — 2
I AE — A | = ==( （aA- —3 )3）(（λA ++ 11）) ==00,,
-2λ—1
—2 A — 1
故故 pp ==1 1, ,qg ==1 .1.
λ1 —— 1 1 29
本本题题中中(（DD)）的的矩矩阵阵，，特特征征值值为为 ==(（aA -—3 3)）(（Aa ++ 11）) ==0 0,,故故pp ==1 1, ,qq ==1 .1.
2 λ—1
2 A — 1
所所以以选选(（DD)）..
•• 「[1 1 2” 21] 「[ 1 1 — -2 21] "
i- 【【评评注注】 】 本 本题题的的矩矩阵阵AA== 21. 不不仅仅和和矩矩阵阵 -2 1 合合同同，，而而且且它它们们也也相相似似，，因因为为它它M
it L2 1J L— 2 1」 it
[3 ]
”们们都都和和对对角角矩矩阵阵 相相似似..
-1.
L — 1J
·218 ·
-218 -
