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2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
(1) 当 时，与 等价的无穷小量是：（ ）
(A) (B) (C) (D) .
(2) 设函数 在 处连续，则下列命题错误的是：（ ）
(A) 若 存在，则 (B) 若 存在，则 .
(C) 若 存在，则 存在. (D) 若 存在，则 存在.
(3) 如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 的上、下半圆周，在区间
上的图形分别是直径为 的上、下半圆周，设 则下列结论正确的是：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设函数 连续，则二次积分 等于：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设某商品的需求函数为 ，其中 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等
于 ，则商品的价格是：（ ）(A) (B) (C) (D)
(6) 曲线 渐近线的条数为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(7) 设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设矩阵 ， ，则 与 ：（ ）
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则此人第4次射击恰好第 次
命中目标的概率为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示 的概率密度，则在
条件下， 的条件概率密度 为：（ ）
(A) (B) (C) (D) .
二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．
(11) _________.
(12) 设函数 ，则 _________.
(13) 设 是二元可微函数， 则 _________.
(14) 微分方程 满足 的特解为 =_________.(15) 设矩阵 则 的秩为_________.
(16) 在区间 中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于 的概率为_________.
三、解答题：17～24小题，共86分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
(17) (本题满分10分)
设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点 附近的凹凸性.
(18) (本题满分11分)
设二元函数 计算二重积分 ，其中 .
(19) (本题满分11分)
设函数 在 上连续，在 内二阶可导且存在相等的最大值，又 ，
＝ ，证明：
(I) 存在 使得 ；
(II) 存在 使得
(20) (本题满分10分)
将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间.
(21) (本题满分11分)
设线性方程组 ①与方程 ②有公共解，求 的值及所有公共解.(22) (本题满分11分)
设 阶实对称矩阵 的特征值 是 的属于 的一个特征向量.记
，其中 为 阶单位矩阵.
(I) 验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；
(II) 求矩阵 .
(23) (本题满分11分)
设二维随机变量 的概率密度为
(I) 求 ；
(II)求 的概率密度 .
(24) (本题满分11分)
设总体 的概率密度为 ，其中参数 未知， 是来自总体
的简单随机样本， 是样本均值.
(I) 求参数 的矩估计量 ；
(II) 判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由.（相当于判断 ）
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) _________.
(2) 设函数 在 的某邻域内可导，且 ，则 _________.(3) 设函数 可微，且 ，则 在点 处的全微分 _________.
(4) 设矩阵 ， 为 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 _________.
(5) 设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则 _______.
(6) 设总体 的概率密度为 为总体 的简单随机样本，其样本
方差 ，则 =_________.
二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增量， 与 分别为
在点 处对应的增量与微分，若 ，则：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 设函数 在 处连续，且 ，则：（ ）
(A) 存在 (B) 存在
(C) 存在 (D) 存在
(9) 若级数 收敛，则级数：（ ）
(A) 收敛 (B) 收敛
(C) 收敛 (D) 收敛
(10) 设非齐次线性微分方程 有两个的解 为任意常数，则该方程的通解是：
(A) (B)
(C) (D)
(11) 设 均为可微函数，且 已知 是 在约束条件 下的一
个极值点，下列选项正确的是：（ ）(A) 若 (B) 若
(C) 若 (D) 若
(12) 设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是：（ ）
(A) 若 线性相关，则 线性相关
(B) 若 线性相关，则 线性无关
(C) 若 线性无关，则 线性相关
(D) 若 线性无关，则 线性无关
(13) 设 为 阶矩阵，将 的第 行加到第 行得 ，再将 的第 列的 倍加到第 列得 ，记
，则：（ ）
(A) (B)
(C) (D) .
(14) 设随机变量 服从正态分布 ，随机变量 服从正态分布 ，且
，则必有：（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
(15) (本题满分7分)
设 ，求
(I) ；
(II) .
(16) (本题满分7分)
计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平面区域.(17) (本题满分10分)
证明：当 时， .
(18) (本题满分8分)
在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切线斜率与直线 的斜率之
差等于 .
(I) 求 的方程；
(II) 当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 的值.
(19) (本题满分10分)
求幂级数 的收敛域及和函数 .
(20) (本题满分13分)
设 维向量组 ， ， ，
，问 为何值时 线性相关?当 线性相关时，求其一个极大线性无
关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
(21) (本题满分13分)
设 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ，向量 是线性方程组 的两
个解.
(I) 求 的特征值与特征向量；
(II) 求正交矩阵 和对角矩阵 ，使得 ；
(III) 求 及 ，其中 为 阶单位矩阵.
(22) (本题满分13分)
设随机变量 的概率密度为 令 ， 为二维随机变量 的分布函数.
求：
(I) 的概率密度 ；
(II) ；(III) .
(23) (本题满分13分)
设总体 的概率密度为 其中 是未知参数（ ）， 为来自总体
的简单随机样本.记 为样本值 中小于 的个数，求：
(I) 的矩估计；
(II) 的最大似然估计.
2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 极限 =_________.
(2) 微分方程 满足初始条件 的特解为_________.
(3) 设二元函数 ，则 _________.
(4) 设行向量组 ， ， ， 线性相关，且 ，则 _________.
(5) 从数 中任取一个数，记为 ，再从 中任取一个数，记为 ，则 =_______.
(6) 设二维随机变量 的概率分布为
若随机事件 与 相互独立，则 =_________， =_________.
二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 当 取下列哪个值时，函数 恰好有两个不同的零点：（ ）
(A) . (B) (C) (D) .
(8) 设 ， ， ，其中
，则：（ ）
(A) (B) . (C) (D) .
(9) 设 若 发散， 收敛，则下列结论正确的是：（ ）
(A) 收敛， 发散 (B) 收敛， 发散
(C) 收敛 (D) 收敛
(10) 设 ，下列命题中正确的是：（ ）
(A) 是极大值， 是极小值
(B) 是极小值， 是极大值
(C) 是极大值， 也是极大值
(D) 是极小值， 也是极小值.
(11) 以下四个命题中，正确的是：（ ）
(A) 若 在 内连续，则 在内有界
(B) 若 在 内连续，则 在 内有界
(C) 若 在 内有界，则 在 内有界
(D) 若 在 内有界，则 在 内有界
(12) 设矩阵 = 满足 ，其中 是 的伴随矩阵， 为 的转置矩阵.若 为三个相
等的正数，则 为：（ ）(A) (B) (C) (D)
(13) 设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无关的
充分必要条件是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(14) 设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知.现从中随机抽取 个零件，测得样本均值
，样本标准差 ，则 的置信度为 的置信区间是：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（注：大纲已不要求）
三 、解答题：本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分8分)
求 .
(16) (本题满分8分)
设 具有二阶连续导数，且 ，求 .
(17) (本题满分9分)
计算二重积分 ，其中 .
(18) (本题满分9分)
求幂级数 在区间 内的和函数 .
(19) (本题满分8分)
设 在 上的导数连续，且 ， ， .证明：对任何 ，有
.
(20) (本题满分13分)
已知齐次线性方程组(I) 和 (II)
同解，求 的值.
(21) (本题满分13分)
设 为正定矩阵，其中 分别为 阶， 阶对称矩阵， 为 矩阵.
(I) 计算 ，其中 ；
(II) 利用(I)的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
(22) (本题满分13分)
设二维随机变量 的概率密度为
求：(I) 的边缘概率密度 ;
(II) 的概率密度 ;
(Ⅲ) .
(23) (本题满分13分)
设 为来自总体 的简单随机样本，其样本均值为 ，记 .
求：
(I) 的方差 ；
(II) 与 的协方差 ；(III) 若 是 的无偏估计量，求常数 .
2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上．
(1) 若 ，则 _________， _________.
(2) 函数 由关系式 确定，其中函数 可微，且 ，则
_________.
(3) 设 则 _________.
(4) 二次型 的秩为_________.
(5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 =_________.
(6) 设总体 服从正态分布 ， 总体 服从正态分布 ， 和 分别
是来自总体 和 的简单随机样本，则
_________.
二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
(7) 函数 在下列哪个区间内有界：（ ）
(A) (B) (C) . (D) .
(8) 设 在 内有定义，且 ， 则：（ ）
(A) 必是 的第一类间断点. (B) 必是 的第二类间断点.
(C) 必是 的连续点. (D) 在点 处的连续性与a的取值有关.(9) 设 ， 则：（ ）
(A) 是 的极值点，但 不是曲线 的拐点.
(B) 不是 的极值点，但 是曲线 的拐点.
(C) 是 的极值点，且 是曲线 的拐点.
(D) 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点.
(10) 设有以下命题：（ ）
① 若 收敛，则 收敛.
② 若 收敛，则 收敛.
③ 若 ，则 发散.
④ 若 收敛，则 ， 都收敛.
则以上命题中正确的是：（ ）
(A) ①②. (B) ②③.
(C) ③④. (D) ①④.
(11) 设 在 上连续，且 ，则下列结论中错误的是：（ ）
(A) 至少存在一点 ，使得 > .
(B) 至少存在一点 ，使得 > .
(C) 至少存在一点 ，使得 .
(D) 至少存在一点 ，使得 = .
(12) 设 阶矩阵 与 等价，则必有：（ ）
(A) 当 时， (B) 当 时， .
(C) 当 时， . (D) 当 时， .
(13) 设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的
齐次线性方程组 的基础解系：（ ）
(A) 不存在 (B) 仅含一个非零解向量
(C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量.(14) 设随机变量 服从正态分布 ，对给定的 ，数 满足 ，若
，则 =（ ）
(A) (B) (C) (D) .
三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
(15) (本题满分8分)
求 .
(16) (本题满分8分)
求 ，其中 是由圆 和
所围成的平面区域(如图).
(17) (本题满分8分)
设 在 上连续，且满足 ， .
证明： .
(18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为 ，其中价格 ， 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性 ( > )；
(II) 推导 (其中 为收益)，并用弹性 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分9分)
设级数 的和函数为 .求:
(I) 所满足的一阶微分方程；(II) 的表达式.
(20) (本题满分13分)
设 ， ， ， ，
试讨论当 为何值时，
(I) 不能由 线性表示；
(II) 可由 唯一地线性表示，并求出表示式；
(III) 可由 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.
(21) (本题满分13分)
设 阶矩阵 .
(I) 求 的特征值和特征向量；
(II) 求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵.
(22) (本题满分13分)
设 为两个随机事件，且 ， ， ，令
求(I) 二维随机变量 的概率分布；
(II) 与 的相关系数 ；
(III) 的概率分布.(23) (本题满分13分)
设随机变量 的分布函数为
其中参数 .设 为来自总体 的简单随机样本，
(I) 当 时，求未知参数 的矩估计量；
(II) 当 时，求未知参数 的最大似然估计量；
(III) 当 时，求未知参数 的最大似然估计量.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 设 其导函数在 处连续，则 的取值范围是_________.
(2) 已知曲线 与 轴相切，则 可以通过 表示为 _________.
(3) 设 ， 而 表示全平面，则
=_________.
(4) 设 维向量 ， 为 阶单位矩阵，矩阵 ， ，其中
的逆矩阵为 ，则 _________.
(5) 设随机变量 和 的相关系数为 ，若 ，则 与 的相关系数为_________.
(6) 设总体 服从参数为 的指数分布， 为来自总体 的简单随机样本，则当 时，
依概率收敛于_________.
二、选择题：7~12小题，每小题4分，共24分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 设 为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数 ：（ ）
(A) 在 处左极限不存在 (B) 有跳跃间断点
(C) 在 处右极限不存在 (D) 有可去间断点
(8) 设可微函数 在点 取得极小值，则下列结论正确的是：（ ）
(A) 在 处的导数等于零 (B) 在 处的导数大于零
(C) 在 处的导数小于零 (D) 在 处的导数不存在.
(9) 设 ， ， ，则下列命题正确的是：（ ）
(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛.
(B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛.
(C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不确定.
(D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不确定.
(10) 设三阶矩阵 ，若 的伴随矩阵的秩等于 ，则必有：（ ）
(A) 或 (B) 或
(C) 且 (D) 且 .
(11) 设 均为 维向量，下列结论不正确的是：（ ）
(A) 若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，则 线性无关.
(B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ，有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 .
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(12) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件: ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反
面各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件：（ ）
(A) 相互独立 (B) 相互独立
(C) 两两独立 (D) 两两独立.
三、解答题：13~22小题，共102分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
(13) (本题满分8分)
设 ，试补充定义 使得 在 上连续.
(14) (本题满分8分)
设 具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 ，求
(15) (本题满分8分)
计算二重积分 ，其中积分区域
(16) (本题满分9分)
求幂级数 的和函数 及其极值.
(17) (本题满分9分)
设 ，其中函数 在 内满足以下条件：
， 且 ，
(I) 求 所满足的一阶微分方程；
(II) 求出 的表达式.
(18) (本题满分8分)
设函数 在 上连续，在 内可导，且 .试证必存在 ，使(19) (本题满分13分)
已知齐次线性方程组
其中 试讨论 和 满足何种关系时，
(I) 方程组仅有零解；
(II) 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
(20) (本题满分13分)
设二次型 其中二次型的矩阵 的特征值之和为 ，特
征值之积为 .
(I) 求 的值；
(II) 利用正交变换将二次型 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
(21) (本题满分13分)
设随机变量 的概率密度为
是 的分布函数.求随机变量 的分布函数.
(22) (本题满分13分)
设随机变量 与 独立，其中 的概率分布为
而 的概率密度为 ，求随机变量 的概率密度 .2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)
(1) 设常数 ，则
(2) 交换积分次序： .
(3) 设3阶矩阵 ，3维列向量 .已知 与 线性相关，则 .
(4) 设随机变量 和 的联合概率分布为
-1 0 1
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
则 和 的协方差 .
(5) 设总体 的概率密度为
而 是来自总体 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为 .
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选
项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 在闭区间 上有定义，在开区间 内可导，则 ( )
(A)当 时，存在 ，使 .
(B)对任何 ，有 .
(C)当 时，存在 ，使 .
(D)存在 ，使 .
(2) 设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ，则幂级数 的收敛半径为 ( )(A) 5 (B) (C) (D)
(3) 设 是 矩阵， 是 矩阵，则线性方程组 ( )
(A)当 时仅有零解 (B)当 时必有非零解
(C)当 时仅有零解 (D)当 时必有非零解
(4) 设 是 阶实对称矩阵， 是 阶可逆矩阵，已知 维列向量 是 的属于特征值 的特征向量，则矩阵
属于特征值 的特征向量是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设随机变量 和 都服从标准正态分布，则 ( )
(A) 服从正态分布 (B) 服从 分布
(C) 和 都服从 分布 (D) 服从 分布
三、(本题满分5分)
求极限
四、(本题满分7分)
设函数 有连续偏导数，且 由方程 所确定，求 .
五、(本题满分6分)
设 求 .
六、(本题满分7分)
设 是由抛物线 和直线 及 所围成的平面区域； 是由抛物线 和直线
所围成的平面区域，其中 .
(1)试求 绕 轴旋转而成的旋转体体积 ； 绕 轴旋转而成的旋转体体积 ；
(2)问当 为何值时， 取得最大值？试求此最大值.
七、(本题满分7分)
(1)验证函数 满足微分方程
(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.
八、(本题满分6分)
设函数 在 上连续，且 .利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点 ，使.
九、(本题满分8分)
设齐次线性方程组
其中 ，试讨论 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，
并用基础解系表示全部解.
十、(本题满分8分)
设 为3阶实对称矩阵，且满足条件 ，已知 的秩
(1)求 的全部特征值
(2)当 为何值时，矩阵 为正定矩阵，其中 为3阶单位矩阵.
十一、(本题满分8分)
假设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量
试求：(1) 和 的联合概率分布；(2) .
十二、(本题满分8分)
假设一设备开机后无故障工作的时间 服从指数分布，平均无故障工作的时间 为5小时.设备定时
开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间 的分
布函数 .2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题
(1) 设生产函数为 , 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A, α, β均为大于零的参数,则
当Q =1时K关于L的弹性为 .
(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万元.若以 表示第t 年的工资总额(单位：百万
元)，则 满足的差分方程是___
(3) 设矩阵 且 (A)=3,则k = .
(4) 设随机变量X和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5.则根据切比雪夫不
等式 .
(5) 设总体X服从正态分布 ，而 是来自总体X的简单随机样本，则随机变量
服从____________分布，参数为__________.
二、选择题
(1) 设f (x)的导数在x=a处连续,又 则( )
(A) x = a 是f (x)的极小值点.
(B) x = a 是f (x)的极大值点.
(C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点.
(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.
(2) 设函数 其中 则g(x)在区间(0,2) 内( )
(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续
(3) 设其中A 可逆,则 等于( )
(A) (B) (C) (D) .
(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n维列向量.若 ，则线性方程组( )
AX =α必有无穷多解 AX =α 必有惟一解.
仅有零解 必有非零解.
(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( )
(A) -1 (B) 0 (C) (D) 1
三 、(本题满分5 分)
设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:
和 求 .
四 、(本题满分6 分)
已知f (x)在(−∞,+∞)内可导,且 求c的值.
五 、(本题满分6 分)
求二重积分 的值,其中D 是由直线y=x, y= −1及x =1围成的平面区域
六、(本题满分7 分)
已知抛物线 (其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的
面积为S.
(1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值.
七、(本题满分6 分)
设f (x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
证明至少存在一点ξ∈(0,1), 使得
八、(本题满分7 分)
已知 满足 (n为正整数)且 求函数项级数 之和.九、(本题满分9 分)
设矩阵 已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求:
(1) a的值;
(2) 正交矩阵Q,使 为对角矩阵.
十、(本题满分8 分)
设A为n阶实对称矩阵， (A)=n， 是 中元素 的代数余子式 (i,j =1,2,…,n) ，二次型
(1) 记 写成矩阵形式，并证明二次型 的矩阵为 ;
(2) 二次型 与 的规范形是否相同？说明理由.
十一、(本题满分8 分)
一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为
5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,
其中Φ(x) 是标准正态分布函数).
十二、(本题满分8 分)
设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G=
{(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3 }
上的均匀分布，试求随机变量U= 的
概率密度
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题
（1）设
（2）设
（3）若4阶矩阵 和 相似；矩阵为 的特征值 则性列式
（4）设随机变量X的概率密度为 若 使得 则 的取值范围是
（5）设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量 则方差 =
二、选择题
(1)设对任意的 ，总有 ( )
(A)存在且等于零 (B)存在但不一定为零
(C)一定不存在 (D)不一定存在
(2)设函数 在点 处可导，则函数 在点 处不可导的充分条件是( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 是四元非齐次线形方程组 的三个解向量，且
表示任意常数，则线形方程组 ( )
(A) (B) (C) (D)
(4)设 为 阶实矩阵， 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）： 和（Ⅱ）： ，必有(
)
(A)（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）解也是（Ⅱ）的
(B)（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的
(C)（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解
(D)（Ⅰ）解是（Ⅱ）的，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解
(5)在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于
临界温度 ，电炉就断电，以 表示事件“电炉断电”，设 为4个温控器显示的按递增顺序
排列的温度值，则事件 等于事件( )(A) (B)
(C) (D)
三、（本题满分6分）
求微分方程 满足条件 的解。
四、（本题满分6分）
计算二重积分 ，其中 是由曲线 和直线 围成的区域。
五、（本题满分6分）
假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是
其中 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨）， 分别表示
该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 ，其中
表示该产品在两个市场的销售总量，即
（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利
润最大化；并比较两种策略的总利润大小。
六、（本题满分7分）
求函数 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。
七、（本题满分6分）
设 。
八、（本题满分6分）
设函数 上连续，且
试证明：在 内至少存在两个不同的点
九、（本题满分6分）
设向量组 试问：当 满足什么条件时，
（1） 可由 线性表出，且表示唯一？（2） 可由 线性表出？
（3） 可由 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。
十、（本题满分10分）
设有 n 元实二次型 ，其中
为实数，试问：当 满足何种条件时，二次型 为正定二次型。
十一、（本题满分8分）
假设05.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知 服从正态分布
（1）求X的数学期望值E(X)(记E(X)为b)；
（2）求 的置信度为0.95的置信区间；
（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。
十二、（本题满分8分）
设 是两个随机事件，随机变量
试证明随机变量 不相关的充分必要条件是 相互独立。
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题
（1）设 有一个原函数 ，则（2）
（3）设 ,而 为正整数，则
（4）在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布， ，若以
表示 次称重结果的算术平均值，则为使 的最小值应不小于自然数=
（5）设随机变量 独立同分布， ，则行列式 的数学期望
二、选择题
(1)设 是连续奇函数， 的原函数，则( )
(A)当 是奇函数时， 必为偶函数 (B)当 是偶函数时， 必为奇函数
(C)当 是周期函数时， 必为周期数 (D)当 是单调增函数时， 必为单调增函数
(2)设 连续，且 ，其中D是由 所围区域，则 等于(
)
(A) (B) (C) (D)
(3) 设向量 可由向量组 线形表示，但不能有向量组（Ⅰ） 线性表示，记向量组（Ⅱ）：
则( )
(A) 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
(B) 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
(C) 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
(D) 可由（Ⅰ）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示
(4)设 阶矩阵，且 相似， 阶单位矩阵，则( )
(A) (B) 有相同的特征值和特征向量
(C) 都相似于一个对角矩阵 (D) 对于任意常数
(5)设随机变量 ，且满足 则 等于( )
(A)0 (B)
(C) (D) 1三、（本题满分6分）
曲线 的切线与 轴和 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 ，试求切线方程和这个图形的面积，当切
点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？
四、（本题满分7分）
计算二重积分 其中 是由直线 以及曲线 所围成的平面区域。
五、（本题满分6分）
设生产某种产品必须投入两种两种元素， 分别为两元素要投入量， 为产出量；若生产函数为
，其中 为正常数，且 。假设两种元素的价格分别为 ，试问，当产量为12时，两
元素各投入多少可以使得投入总费用最小？
六、（本题满分6分）设有微分方程 ，其中
试求出 内的连续函数 ，使之在 和 内都满足所给方程，且满足条件
七、（本题满分6分）
设函数 连续，且 。已知 的值。
八、（本题满分7分）
设函数 在区间 上连续，在 内可导，且
试证：（1）存在
（2）对于任意实数 ，必存在 使得
九、（本题满分9分）
设矩阵
求
十、（本题满分7分）设 为 实矩阵， 为 阶单位矩阵。已知矩阵 试证：当 时，矩阵 为正定矩阵。
十一、（本题满分9分）
假设二维随机变量 在矩阵形 上服从均匀分布。记
(1)
(2)
十二、（本题满分9分）
设
证明统计量 服从自由度为2的t分布。
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ,则 .
(2) .
(3) 差分方程 的通解为 .
(4) 设矩阵 满足 ,其中 , 为单位矩阵, 为 的伴随矩阵,则
.
(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本,其中 .则当 , 时,统计量 服从 分布,其自由度为
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字
母填在题后的括号内.)
(1) 设周期函数 在 内可导,周期为4.又 则曲线 在点
处的切线的斜率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 设函数 讨论函数 的间断点,其结论为 ( )
(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点
(C) 存在间断点 (D) 存在间断点
(3) 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 .若存在三阶矩阵 使得 ,则（ ）
(A) 且 (B) 且
(C) 且 (D) 且
(4) 设 阶矩阵
,
若矩阵 的秩为 ,则 必为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设 与 分别为随机变量 与 的分布函数.为使 是某一变量的分布函数,
在下列给定的各组数值中应取 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
设 ,求 与 .四、(本题满分5分)
设 ,求 .
五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定 )就售出,总收入为 .如果窖藏起来待来日按陈酒价格
出售, 年末总收入为 假定银行的年利率为 ,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现
值最大.并求 时的 值.
六、(本题满分6分)
设函数 在 上连续,在 内可导,且 试证存在 使得
七、(本题满分6分)
设有两条抛物线 和 ,记它们交点的横坐标的绝对值为
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 ；
(2) 求级数 的和.
八、(本题满分7分)
设函数 在 上连续.若由曲线 直线 与 轴所围成的平面图形绕 轴旋转
一周所形成的旋转体体积为
试求 所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 的解.
九、(本题满分9分)
设向量 都是非零向量,且满足条件 记 矩阵 求：
(1) ；(2) 矩阵 的特征值和特征向量.
十、(本题满分7分)
设矩阵 矩阵 其中 为实数, 为单位矩阵.求对角矩阵 ,使 与 相似,并求
为何值时, 为正定矩阵.
十一、(本题满分10分)
一商店经销某种商品,每周进货的数量 与顾客对该种商品的需求量 是相互独立的随机变量,且都服从区间
[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供
应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地
取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 ；
(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 .
