文档内容
2017 年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5C． D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数
法表示为（ ）
A．7.1×107B．0.71×10﹣6 C．7.1×10﹣7 D．71×10﹣8
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a﹣（b+c）=a﹣b+cB．2a2•3a3=6a5 C．a3+a3=2a6D．（x+1）2=x2+1
5．（3分）在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．
为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级 50名学生读书的
册数，统计数据如下表所示：
册数 0 1 2 3 4
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是2
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y= （m≠0）的
第1页（共31页）图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞ 的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2 C．x＞2D．x＜﹣6或0＜x＜2
8．（3分）若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（
）
A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）4是 的算术平方根．
10．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转
动时，指针指向的数小于5的概率为 ．
11．（3分）使 有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）反比例函数y= 的图象经过点M（﹣2，1），则k= ．
13．（3分）△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE=7，则BC= ．
14．（3分）已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2= ．
15．（3分）正六边形的每个内角等于 °．
16．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为 D，
AB=BC=2，则∠AOB= °．
第2页（共31页）17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连
接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= ．
18．（3分）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A BO，再以OA 为
1 1
直角边作等腰直角三角形A A O，如此下去，则线段OA 的长度为 ．
2 1 n
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2）2﹣（ ）﹣1+20170
（2）（1+ ）÷ ．
第3页（共31页）20．（10分）（1）解方程： =
（2）解不等式组： ．
21．（7分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，
随机抽查部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己最喜欢的一个版面，将
调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 ，a= %，“第一版”对应扇形的圆心角
为 °；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数．
第4页（共31页）22．（7分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，﹣3，﹣5，
7，这些卡片除数字外都相同．小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的
三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符
号相同的概率．
23．（8分）如图，在 ▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长
线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD= °时，四边形BECD是矩形．
24．（8分）4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男
子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
第5页（共31页）25．（8分）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3 ，将线段AC绕点A按逆时
针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC= ；
（2）求线段DB的长度．
26．（9分）如图①，菱形ABCD中，AB=5cm，动点P从点B出发，沿折线BC﹣CD﹣
DA运动到点A停止，动点Q从点A出发，沿线段AB运动到点B停止，它们运动
的速度相同，设点P出发x s时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与x之间的函数关
系如图②所示，其中OM、MN为线段，曲线NK为抛物线的一部分．请根据图中的
信息，解答下列问题：
（1）当1＜x＜2时，△BPQ的面积 （填“变”或“不变”）；
（2）分别求出线段OM，曲线NK所对应的函数表达式；
（3）当x为何值时，△BPQ的面积是5cm2？
第6页（共31页）27．（9分）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平
后，得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ．
第7页（共31页）28．（10分）如图，已知二次函数y= x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，⊙C的半径为 ，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（ ），C（ ）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．
第8页（共31页）2017 年江苏省徐州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5C． D．
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣ ；
故选D．
【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是1，我们就称这
两个数互为倒数．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
3．（3分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数
第9页（共31页）法表示为（ ）
A．7.1×107B．0.71×10﹣6 C．7.1×10﹣7 D．71×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数字0.00000071用科学记数法表示为7.1×10﹣7，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a﹣（b+c）=a﹣b+cB．2a2•3a3=6a5 C．a3+a3=2a6D．（x+1）2=x2+1
【分析】根据去括号，单项式的乘法，合并同类项以及完全平方公式进行解答．
【解答】解：A、原式=a﹣b﹣c，故本选项错误；
B、原式=6a5，故本选项正确；
C、原式=2a3，故本选项错误；
D、原式=x2+2x+1，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，整式的加减，完全平方公式，熟记计算法则
和完全平方公式即可解题．
5．（3分）在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．
为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级 50名学生读书的
册数，统计数据如下表所示：
册数 0 1 2 3 4
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是2
【分析】先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出
平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数
第10页（共31页）据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，
根据方差公式即可得出答案．
【解答】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50= ；
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2，
故选A．
【点评】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解
题的关键是牢记概念及公式．
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求
解．
【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确认识∠ACB与∠AOB的位置关系是解题
关键．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y= （m≠0）的
第11页（共31页）图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞ 的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2 C．x＞2D．x＜﹣6或0＜x＜2
【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．
【解答】解：不等式kx+b＞ 的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，
故选B．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结
合思想的应用．
8．（3分）若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（
）
A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1
【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个
交点．
【解答】解：∵函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴ ，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．该题属于易错题，解题时，往往忽略了
抛物线与y轴有交点时，b≠0这一条件．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
第12页（共31页）9．（3分）4是 1 6 的算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出
结果．
【解答】解：∵42=16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．
10．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转
动时，指针指向的数小于5的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵共6个数，小于5的有4个，
∴P（小于5）= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
11．（3分）使 有意义的x的取值范围是 x ≥ 6 ．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：∵ 有意义，
∴x的取值范围是：x≥6．
第13页（共31页）故答案为：x≥6．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．（3分）反比例函数y= 的图象经过点M（﹣2，1），则k= ﹣ 2 ．
【分析】直接把点M（﹣2，1）代入反比例函数y= ，求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象经过点M（﹣2，1），
∴1=﹣ ，解得k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上
各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（3分）△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE=7，则BC= 1 4 ．
【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边
的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=7，
∴BC=2DE=14．
故答案是：14．
【点评】本题主要考查三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，
由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证
明中有着广泛的应用．
14．（3分）已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2= 8 0 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，
∴a2﹣b2=10×8=80，
第14页（共31页）故答案为：80
【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础
题型．
15．（3分）正六边形的每个内角等于 12 0 °．
【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．
【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为： =120°，
故答案为：120°
【点评】本题考查多边形的内角和，解题的关键是求出六边形的内角和，本题属于
基础题型．
16．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为 D，
AB=BC=2，则∠AOB= 6 0 °．
【分析】由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD得到∠A=30°，然后由切线
的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB的度数．
【解答】解：∵OA⊥BC，BC=2，
∴根据垂径定理得：BD= BC=1．
在Rt△ABD中，sin∠A= = ．
∴∠A=30°．
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°．
∴∠AOB=60°．
第15页（共31页）故答案是：60．
【点评】本题主要考查的圆的切线性质，垂径定理和一些特殊三角函数值，有一定
的综合性．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连
接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= ．
【分析】先根据勾股定理得到AC的长，再根据AQ=AD，得出CP=CQ=2，进而得到
BP的长，最后在Rt△ABP中，依据勾股定理即可得到AP的长．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC，
∴AC=5，
又∵AQ=AD=3，AD∥CP，
∴CQ=5﹣3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ，
∴CP=CQ=2，
∴BP=3﹣2=1，
∴Rt△ABP中，AP= = = ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应
用，解决问题的关键是判定△CPQ是等腰三角形．
第16页（共31页）18．（3分）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A BO，再以OA 为
1 1
直角边作等腰直角三角形A A O，如此下去，则线段OA 的长度为 （ ） n ．
2 1 n
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答
案．
【解答】解：∵△OBA 为等腰直角三角形，OB=1，
1
∴BA =OB=1，OA = OB= ；
1 1
∵△OA A 为等腰直角三角形，
1 2
∴A A =OA = ，OA = OA =2；
1 2 1 2 1
∵△OA A 为等腰直角三角形，
2 3
∴A A =OA =2，OA = OA =2 ；
2 3 2 3 2
∵△OA A 为等腰直角三角形，
3 4
∴A A =OA =2 ，OA = OA =4．
3 4 3 4 3
∵△OA A 为等腰直角三角形，
4 5
∴A A =OA =4，OA = OA =4 ，
4 5 4 5 4
∵△OA A 为等腰直角三角形，
5 6
∴A A =OA =4 ，OA = OA =8．
5 6 5 6 5
∴OA 的长度为（ ）n．
n
故答案为：（ ）n．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定
理得出是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2）2﹣（ ）﹣1+20170
（2）（1+ ）÷ ．
第17页（共31页）【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣2）2﹣（ ）﹣1+20170
=4﹣2+1
=3；
（2）（1+ ）÷
=
=
=x﹣2．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、零指数幂，解答本
题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（10分）（1）解方程： =
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经
检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1） = ，
去分母得：2（x+1）=3x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故原方程的解为x=2；
第18页（共31页）（2） ，
由①得：x＞0；
由②得：x＜5，
故不等式组的解集为0＜x＜5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．同时考查了解一元一次
不等式组．
21．（7分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，
随机抽查部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己最喜欢的一个版面，将
调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 5 0 ，a= 3 6 %，“第一版”对应扇形的圆心角为
108 °；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数．
【分析】（1）设样本容量为x．由题意 =10%，求出x即可解决问题；
（2）求出“第三版”的人数为50﹣15﹣5﹣18=12，画出条形图即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）设样本容量为x．
第19页（共31页）由题意 =10%，
解得x=50，
a= ×100%=36%，
“第一版”对应扇形的圆心角为360°× =108°
故答案分别为50，36，108．
（2）“第三版”的人数为50﹣15﹣5﹣18=12，
条形图如图所示，
（3）该校有1000名学生，估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数约为1000×
×100%=240人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（7分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，﹣3，﹣5，
7，这些卡片除数字外都相同．小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的
三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符
号相同的概率．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两人抽到的数字符号相
第20页（共31页）同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两人抽到的数字符号相同的结果数为4，
所以两人抽到的数字符号相同的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事
件A或事件B的概率．
23．（8分）如图，在 ▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长
线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD= 10 0 °时，四边形BECD是矩形．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出
∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠OEB=∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOE和△COD中， ，
第21页（共31页）∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE=OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°，
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，
∴OC=OD，
∵BO=CO，OD=OE，
∴DE=BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判
定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（8分）4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男
子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可
得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得： ，
第22页（共31页）解得： ．
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组
是解题的关键．
25．（8分）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3 ，将线段AC绕点A按逆时
针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC= 4 ；
（2）求线段DB的长度．
【分析】（1）证明△ACD是等边三角形，据此求解；
（2）作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后
在Rt△BDE中利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；
（2）作DE⊥BC于点E．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE= DC=2，
CE=DC•cos30°=4× =2 ，
第23页（共31页）∴BE=BC﹣CE=3 ﹣2 = ．
∴Rt△BDE中，BD= = = ．
【点评】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形的应用，正确作出辅助线，转化
为直角三角形的计算是关键．
26．（9分）如图①，菱形ABCD中，AB=5cm，动点P从点B出发，沿折线BC﹣CD﹣
DA运动到点A停止，动点Q从点A出发，沿线段AB运动到点B停止，它们运动
的速度相同，设点P出发x s时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与x之间的函数关
系如图②所示，其中OM、MN为线段，曲线NK为抛物线的一部分．请根据图中的
信息，解答下列问题：
（1）当1＜x＜2时，△BPQ的面积 不变 （填“变”或“不变”）；
（2）分别求出线段OM，曲线NK所对应的函数表达式；
（3）当x为何值时，△BPQ的面积是5cm2？
【分析】（1）根据函数图象即可得到结论；
（2）设线段OM的函数表达式为y=kx，把（1，10）即可得到线段OM的函数表达式
为y=10x；设曲线NK所对应的函数表达式y=a（x﹣3）2，把（2，10）代入得根据得
到曲线NK所对应的函数表达式y=10（x﹣3）2；
（3）把y=5代入y=10x或y=10（x﹣3）2解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）由函数图象知，当1＜x＜2时，△BPQ的面积始终等于10，
第24页（共31页）∴当1＜x＜2时，△BPQ的面积不变；
故答案为：不变；
（2）设线段OM的函数表达式为y=kx，
把（1，10）代入得，k=10，
∴线段OM的函数表达式为y=10x（0≤x≤1）；
设曲线NK所对应的函数表达式y=a（x﹣3）2，
把（2，10）代入得，10=a（2﹣3）2，
∴a=10，
∴曲线NK所对应的函数表达式y=10（x﹣3）2（x≥2）；
（3）把y=5代入y=10x得，x= ，
把y=5代入y=10（x﹣3）2得，5=10（x﹣3）2，
∴x=3± ，
∵3+ ＞3，
∴x=3﹣ ，
∴当x= 或3﹣ 时，△BPQ的面积是5cm2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，待定系数法求函数的
解析式，掌握的识别函数图象是解题的关键．
27．（9分）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平
后，得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ．
第25页（共31页）【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到
AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时
PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′
是等边三角形，得到BN= BD= ，于是得到结论；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为
QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
第26页（共31页）∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN= BD= ，
∵∠PBN=30°，
∴ = ，
∴PB= ；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′= = ．
∴QN+NP+PD的最小值= ，
故答案为： ．
第27页（共31页）【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称﹣﹣最短路
径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段是解题的关键．
28．（10分）如图，已知二次函数y= x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，⊙C的半径为 ，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（ 3 ， 0 ），C（ 0 ，﹣ 4 ）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．
【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得
到BC=5，BP =2 ，过P 作P E⊥x轴于E，P F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质
2 2 2 2
得到 = =2，设OC=P E=2x，CP =OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，于是得到
2 2
FP = ，EP = ，求得P（ ，﹣ ），过P 作P G⊥x轴于G，P H⊥y轴于H，同理
2 2 2 1 1 1
求得P（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判
1
定和性质即可得到结论；
（3）如图3中，连接AP，∵OB=OA，BE=EP，推出OE= AP，可知当AP最大时，OE的
值最大，
第28页（共31页）【解答】解：（1）在y= x2﹣4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=﹣4，
∴B（3，0），C（0，﹣4）；
故答案为：3，0；0，﹣4；
（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，
连接BC，
∵OB=3．OC=4，
∴BC=5，
∵CP ⊥BP ，CP = ，
2 2 2
∴BP =2 ，
2
过P 作P E⊥x轴于E，P F⊥y轴于F，
2 2 2
则△CP F∽△BP E，
2 2
∴ = = ，
设OC=P E=2x，CP =OE=x，
2 2
∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，
∴ = =2，
∴x= ，2x= ，
∴FP = ，EP = ，
2 2
∴P （ ，﹣ ），
2
过P 作P G⊥x轴于G，P H⊥y轴于H，
1 1 1
同理求得P （﹣1，﹣2），
1
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，
过P 作P H⊥y轴于H，
4 4
则△BOC∽△CHP ，
4
第29页（共31页）∴ = = ，
∴CH= ，P H= ，
4
∴P （ ，﹣ ﹣4）；
4
同理P （﹣ ， ﹣4）；
3
综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ﹣4）或（﹣
， ﹣4）；
（3）如图（3），连接AP，∵OB=OA，BE=EP，
∴OE= AP，
∴当AP最大时，OE的值最大，
∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=5+ ，
∴OE的最大值为
故答案为： ．
第30页（共31页）【点评】本题考查了根据函数的解析式求得点的坐标，圆与直线是位置关系，勾股
定理，相似三角形的判定和性质，考查中位线和圆外一定点到圆上距离的最值
等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
第31页（共31页）
